Учебное пособие по алгебре для учеников 9 класса по теме: «функции»

Учебное пособие по алгебре

Для учеников 9 класса

по теме:

"Функции"

учителя математики МОУСОШ №24

Товмасян Валентины Михайловны

Содержание

1.Линейное уравнение с двумя переменными и его

график ………………………………………… 2

2.Линейная функция и её график ………………… 3

3.Линейная функция y=kx ..………………………. 4

4.Функция y=x² и её график ……………………… 5

5.Функция y=√x , её свойства и график ………….. 9

6.Функция y=kx², её свойства и график …………. 11

7. Функция y=k/х , её свойства и график ………… 12

8. Функция y =ax²+bx+c , её свойства и график ….. 13

9.Функции у=хⁿ (nN), их свойства и графики ……. 14

10. Функции у=х-ⁿ (nN), их свойства и графики …. 15

11. Функция y = , её свойства и график ……….. 16

Линейное уравнение с двумя переменными и его график

аx + by + с = 0

a, b, c - числа, причем a ≠ 0, b ≠ 0, - линейное уравнение с двумя переменными x и y (или с двумя неизвестными x и y).

Решением уравнения ax +by + c = 0 называют всякую пару чисел (x; y), которая удовлетворяет этому уравнению, т. е. обращает равенство с переменными ax + by + c = 0 в верное числовое равенство.

Алгоритм построения графика уравнения ax + by + c = 0

1. Придать переменной x конкретное значение х = x₁; найти из уравнения ax₁ + by + c = 0 соответствующее значение y: y = y₁.

2. Придать переменной x другое значение x = x₂ найти из уравнения ax₂ + by + c = 0 соответствующее значение y: y = y₂.

3. Построить на координатной плоскости xOy две точки (x₁; y₁) и (x₂; y₂).

4. Провести через эти две точки прямую - она и будет графиком уравнения ax + by + c = 0.

Рассмотрим на примере.

4x+3y-12=0

Решение. Будем действовать по алгоритму (с учетом замечания).
1) Положим x = 0, подставим это значение в уравнение 4x + 3y - 12 = 0, получим:

2) Положим y = 0, подставим это значение в уравнение 4x + 3y - 12 = 0, получим:

3) Построим на координатной плоскости xOy две точки: (0; 4) - она найдена

на первом шаге алгоритма и (3; 0) - она найдена на втором шаге.
4) Проведем через точки (0; 4) и (3; 0) прямую. Это и есть искомый график

(рис. 34).

Линейная функция и её график

Линейное уравнение с двумя переменными x и y всегда можно преобразовать к виду

y = kx + m

где k, m - числа (коэффициенты), причем k ≠ 0.

Графиком линейной функции y = kx + m является прямая.

Построим график линейной функции y = 2x + 3.

y = 2x + 3 - линейная функция, графиком является прямая.

ООФ: х принадлежит (-∞; +∞)

х

0

1

у

3

5

Если k>0, то линейная функция y = kx+m возрастает.

Если k<0, то линейная функция y = kx+m убывает

Линейная функция y=kx

Если m = 0, то линейная функция принимает вид y = kx и её называют прямой пропорциональностью.

Коэффициент k- это коэффициент пропорциональности или угловой коэффициент.

Графиком прямой пропорциональности является прямая проходящая через начало координат.

Если k = 0, то формула линейной функции принимает вид y = m.

Графиком является прямая параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0;m)

Функция y=x² и её график

1. Область определения D(f)=(-∞; +∞)

2. Множество значений E(f)=[0; +∞)

3. f(x) убывает на (-∞; 0]

f(x) возрастает на [0; +∞)

4. Функция четная

5. y=0 при x=0

y>0 при x≠0

Дадим независимой переменной х несколько конкретных значений и вычислим соответствующие значения зависимой переменной у (по формуле у = x²):

если х = 0, то у = О² = 0;
если х = 1, то у = I² = 1;
если х = 2, то у = 2² = 4;
если х = 3, то у = З² = 9;
если х = - 1, то у = (- I²) - 1;
если х = - 2, то у = (- 2)² = 4;
если х = - 3, то у = (- З)² = 9;
Короче говоря, мы составили следующую таблицу:

x

0

1

2

3

-1

-2

-3

y

0

1

4

9

1

4

9

Построим найденные точки (0; 0), (1; 1), (2; 4), 93; 9), (-1; 1), (- 2; 4), (- 3; 9), на координатной плоскости хОу (рис. 54, а).
Эти точки расположены на некоторой линии, начертим ее (рис. 54, б). Эту линию называют параболой.

График функции y=-x² симметричен графику функции y=x² относительно оси абсцисс. Это та же парабола с той же вершиной и стой же ось симметрии, но только ветви параболы направлены не вверх, а вниз.

Как построить график функции y = f (x+L), если известен график функции y = f (x)

чтобы построить график функции , где - заданное положительное число, нужно сдвинуть график функции вдоль оси x на единиц масштаба влево;
чтобы построить график функции , где - заданное положительное число, нужно сдвинуть график функции вдоль оси x на единиц масштаба вправо.

Рассмотрим на примерах:

Как построить график функции y = f (x) + m, если известен график функции y = f (x)

чтобы построить график функции , где m - заданное положительное число, надо сдвинуть график функции вдоль оси y на m единиц масштаба вверх;
чтобы построить график функции , где m - заданное положительное число, надо сдвинуть график функции вдоль оси y на m единиц масштаба вниз.

Рассмотрим на примерах:

Как построить график функции y = f (x+l) + m, если известен график функции y = f (x)

Алгоритм 1

1. Построить график функции .

2. Осуществить параллельный перенос графика вдоль оси x на единиц масштаба влево, если , и вправо, если l < 0

3. Осуществить параллельный перенос полученного на втором шаге графика вдоль оси y на |m| единиц масштаба вверх, если m > 0, и вниз, если m < 0.

Алгоритм 2

1. Перейти к вспомогательной системе координат, проведя (пунктиром) вспомогательные прямые , , т.е. выбрав в качестве начала новой системы координат точку .

2. К новой системе координат привязать график функции .

Рассмотрим на примере:

Функция y=√x , её свойства и график

Свойства функции

1. Область определения функции - луч [0, +∞).

2. y = 0 при x = 0; y > 0 при x > 0.

3. Функция возрастает на луче [0, + ∞).

4. Функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.

5. y_наим = 0 (достигается при x = 0), y_наиб не существует.

6. Функция непрерывна на луче [0, +∞).

Для построения графика функции дадим, как обычно, независимой переменной x несколько конкретных значений (неотрицательных, поскольку при x < 0 выражение не имеет смысла) и вычислим соответствующие значения зависимой переменной y. Разумеется, мы будем давать x такие значения, для которых известно точное значение квадратного корня:

если x = 0,

то ;

если x = 1,

то ;

если x = 4,

то ;

если x = 6,25 ,

то ;

если x = 9,

то .

Итак, мы составили таблицу значений функции:

x

0

1

4

6,25

9

y

0

1

2

2,5

3

Построим найденные точки (0; 0), (1;1), (4; 2), (6,25; 2,5), (9; 3) на координатной плоскости (рис. 78). Они располагаются на некоторой линии, начертим ее (рис. 79). Получили график функции . Обратите внимание: график касается оси y в точке (0; 0). Заметим, что, имея шаблон параболы , можно без труда с его помощью построить график функции , ведь это - ветвь той же параболы, только ориентированная не вверх, а вправо.

Функция y=kx², её свойства и график

Графиком функции является парабола с вершиной в начале координат;

ось y является осью параболы; ветви параболы направлены вверх при k>0 и вниз при k<0.

Свойства функции при при k > 0

1. Ообласть определения функции есть (-∞, +∞)

2. y = 0 при x = 0; y > 0 при x ≠ 0.
3. - непрерывная функция.
4. y_наим = 0 (достигается при x = 0); у_наи6 не существует.
5. Функция возрастает при и убывает при .

6. Функция (k > 0) ограничена снизу и не ограничена сверху.

Свойства функции при k < 0

1. Область определения функции - (-∞;+∞)
2. y = 0 при x = 0; y < 0 при x ≠ 0.
З. - непрерывная функция.
4. y_наиб = 0 (достигается при x = 0), y_наим не существует.
5. Функция возрастает при , убывает при .
6. Функция ограничена сверху и не ограничена снизу.

Функция y=k/х , её свойства и график

Графиком функции (k ≠ 0) является гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных углах, если k > 0 (рис. 33), и во втором и четвертом координатных углах, если k < 0 (рис. 34). Точка (0; 0) - центр симметрии гиперболы, оси координат - асимптоты гиперболы.

Свойства функции при k > 0

1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме x = 0.

2. y > 0 при x > 0; y < 0 при x < 0.

3. Функция убывает на промежутках и .

4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции нет.

6. Функция непрерывна на промежутках и и претерпевает разрыв при x = 0.

Свойства функции при k < 0

1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме x = 0.

2. y > 0 при x < 0; у < 0 при x > 0.

3. Функция возрастает на промежутках и .

4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции нет.

6. Функция непрерывна на промежутках и и претерпевает разрыв при x = 0.

Функция y =ax²+bx+c , её свойства и график

Графиком квадратичной функции является парабола, которая получается их параболы параллельным переносом.

Алгоритм построения параболы

1. Найти координаты вершины параболы, построить на координатной плоскости соответствующую точку, провести ось параболы.

2. Отметить на оси x две точки, симметричные относительно оси параболы (чаще всего в качестве одной из таких точек берут точку x = 0), найти значения функции в этих точках; построить на координатной плоскости соответствующие точки.

3. Через полученные три точки провести параболу (в случае необходимости берут еще пару точек, симметричных относительно оси параболы, и строят параболу по пяти точкам).

- квадратичная функция, графиком является парабола.

;

Вершина параболы (2; 3), осью параболы- прямая x = 2.

Возьмем на оси x две точки x = 0 и x = 4. Имеем ; построим на координатной плоскости точки (0; -5) и (4; -5) (рис. 66).

Через точки (2; 3), (0; -5), (4; -5) проводим параболу (рис. 67).

Функции у=хⁿ (nN), их свойства и графики

Функцию вида у = хⁿ, где n = 1, 2, 3, 4, 5, ..., называют степенной функцией с натуральным показателем.

Свойства функции у = х⁴ :

1. D(f)=(-∞; +∞)

2. Четная функция

3. Убывает на луче (-∞; 0], возрастает на луче [0; +∞)

4. Ограничена снизу, не ограничена сверху

5. y_наим = 0, y_наиб не существует.

6. Непрерывна

7. E(f)=[0; +∞)

Составим таблицу значений для этой функции:

Х

0

1

1/2

3/2

Y

0

1

1/16

81/16

Построим точки (0;0), (1;1), (1/2);(1/16), (2; 16), (3/2); (81/16) на координатной плоскости (рис. 75а); они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 756).

Свойства функции у = х³:

1. D(f)=(-∞; +∞)
2. Нечетная функция;
3. Возрастает;
4. Не ограничена ни снизу, ни сверху;
5. Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
6. Непрерывна;
7. E(f)=(-∞; +∞)
8. Выпукла вверх при х < 0, выпукла вниз при х > 0.

Функции у=х-ⁿ (nN), их свойства и графики

Свойства функции у = х ^-2:

1. D(f)=(-∞; +∞)
2. Четная функция;
3. Убывает на открытом луче(0;+∞), возрастает на открытом луче(-∞; 0) ;
4. Ограничена снизу, не ограничена сверху;
5. Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
6. Непрерывна при х < 0 (т.е. на открытом луче (-∞; 0)и при х > 0 (т.е. на открытом луче (0;+∞);
7. E(f)=(0; +∞)
8. Выпукла вниз и при х < 0, и при х > 0.

Свойства функции у = х ^-(2n+1):

1. D(f)=(-∞; 0)U (0;+∞)

2. Нечетная функция;
3. Убывает на открытом луче (0;+∞)и на открытом луче (-∞; 0)
4. Не ограничена ни снизу, ни сверху;
5. Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
6. Непрерывна при х < 0 и при х > 0;
7. Е(f) = (-∞; 0)U (0;+∞)
8. Выпукла вверх при х < 0, выпукла вниз при х > 0.

Функция y = , её свойства и график

Свойства функции y=

1. D(f)=(-∞; +∞)

2. Нечетная функция;
3. Возрастает на всей числовой прямой
4. Не ограничена ни снизу, ни сверху;
5. Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
6. Непрерывна на всей числовой прямой
7. Е(f) = (-∞; +∞)
8. Выпукла вверх [0;+∞), выпукла вниз (-∞; 0]

Построим график функции у= на луче[0;+∞)

Составим таблицу значений.

Х

0

1

8

3 3/8

Y

0

1

2

1,5

Построим точки (0; 0), (1; 1), (8; 2), (3 3/8; 1,5) на координатной плоскости (рис. 114а); они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 1146). Мы учитываем при этом и то, что функция возрастает, и то, что она не ограничена сверху.

Воспользовавшись тем, что у = у= - нечетная функция, добавим к графику, построенному на рис. 1146, ветвь, симметричную ему относительно начала координат. Тогда получим весь график функции у= (рис. 115).