Дидактический материал по математике Задачи для любознательных

Задачи для любознательных

1. Тане надо было разложить 80 тетрадей на две стопки так, чтобы число тетрадей в одной из них составляло 60% числа тетрадей в другой. Помогите ей решить задачу.

Решение: Примем число тетрадей в одной стопке за 100%, тогда в другой будет 60%, а вместе - 160%. Значит в одной стопке должно быть 80 : 1,6 = 50, тогда в другой - 30.

2. В драмкружке число мальчиков составляет 80% от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек в драмкружке от мальчиков?

Решение: Пусть число девочек а, тогда число мальчиков 0,8 а. Число девочек составляет от числа мальчиков (а : 0,8 а) ∙ 100% = 125%.

3. Под кукурузу отвели участок поля в форме прямоугольника. Через некоторое время длину этого участка увеличили на 35%, а ширину уменьшили на 14%. На сколько процентов изменилась площадь участка?

Решение: Пусть длина участка а, а ширина b, тогда его площадь ab. После увеличения длины на 35% она стала равна 1,35а, а после уменьшения ширина стала равна 0,86b. Площадь участка стала равна: 1,35а ∙ 0,86b= 1,161ab. Значит, площадь участка увеличилась на 1,161ab - ab = 0,161ab, что составляет

100% = 16,1%.

Из числа построенных в этом году домов в одном из районов города более 94% имеют больше пяти этажей. Какое наименьшее количество домов возможно в данном случае?

Решение: Наименьшее число домов будет в том случае, если наибольший возможный процент домов, имеющих не больше пяти этажей, составляет наименьшее число домов. Это возможно, если 5%, т.е. часть, составляет один дом. Тогда всего домов будет 1 ∙ 20 = 20.

4. В цехе не больше 100 рабочих, треть из них женщины. 8% рабочих имеют сокращенный день. Сколько в цехе рабочих? Сколько из них женщин и сколько из них имеют сокращенный рабочий день?

Решение: Так как 8% = , то число рабочих в цехе должно быть кратным 25. Кроме того, так как треть рабочих - женщины, то число рабочих кратно 3. Таким числом, не превышающим 100, есть 75. Значит, число рабочих 75. Женщин в цехе 75 : 3 = 25, а с сокращенным рабочим днем 6 человек (75 : 25 = 3, 3∙2 = 6, или 75∙0,008 = 6).

5. Влажность свежескошенной травы 70%, а влажность сена 16%. Сколько надо скосить травы, чтобы получить 1 т сена?

Решение: В 1 т сена сухой массы будет 840 кг (100% - 16% = 84%, 1000 ∙ 0,84 = = 840). В свежескошенной траве сухая масса составляет 30% (100% - 70% = 30%). Значит, травы должно быть 840 : 0,3 = 2800 кг. Итак, чтобы получить 1т сена, надо скосить 2,8 т травы.

6. В свежих грибах 90% воды, а когда их подсушили, то они стали легче на 15 кг при влажности 60%. Сколько было свежих грибов?

Решение: Если свежих грибов было x кг, то сухой массы в них - 0,1х кг. После подсушивания сухой массы стало 40%, а воды - 60%. Значит, при влажности 60% грибов стало = х кг, а испарилось x кг, что составляет 15 кг.

Значит, х = 15, отсюда х = 20 кг.

7. Цену на товар сначала снизили на 10%, а потом на 15%. Каков общий процент снижения? Был бы он таким, если бы сначала снизили на 15%, потом на 10%?

Решение: Пусть а руб.- первоначальная цена, тогда 0,9а руб.- цена после снижения на 10%. А после снижения на 15% она стала 0,765а

(0,9а ∙ 0,85 = 0, 765а), что на 23,5% ниже первоначальной (100% - 76,5% = =23,5%). Если бы сначала снизили на 15%, то она стала бы 0,85 а; если бы затем снизили на 10%, то она стала бы 0,85а ∙ 0,9= 0,765а, то есть на 23,5% ниже. Значит, общий процент снижения в обоих случаях одинаков.

8. В магазине в первый день яблоки продавали по 60 р. за килограмм. Во второй день после снижения цены продали яблок на 50% больше, чем в первый, а выручка возросла на 12,5%. Какова стала цена яблок после снижения?

Решение: Пусть в первый день продали х кг яблок, тогда выручка в этот день составила 60 x руб. После снижения цены во второй день выручка составила

(60х ∙ 1,125) руб. и продали 1,5 x кг яблок. Цена 1 кг яблок составила

60 x ∙ 1,125: 1,5 x = 45 руб.

9. Собаки Отгадай и Угадай соревновались в беге. Прыжок Угадая на 30% короче, чем прыжок Отгадая, но зато он успевал за тоже время на 30% делать прыжков больше, чем Отгадай. Кто из них победит в соревновании?

Решение: Пусть длина прыжка Отгадая равна х, тогда Угадая − 0,7 х. За некоторое время Отгадай делает n прыжков. За это же время Угадай сделает 1,3 n прыжков. Значит, Отгадай пробежит расстояние хn, а Угадай − 0,7 х ∙ 1,3 n = 0,91хn.

Xn > 0,91хn. В соревновании победит Отгадай.

11. Бронза − это сплав 90% меди и 10% олова. Сколько кг меди и сколько кг олова надо взять, чтобы получить 83 кг бронзы?

12. Латунь - это сплав 60% меди и 40% цинка. Сколько кг меди и сколько кг цинка надо взять, чтобы получить 42 кг латуни? Ответ: 25,2 кг ; 16,8 кг.

13. Для изготовления подшипников используется сплав меди и свинца, содержащий 32% свинца. Сколько свинца и сколько меди надо взять, чтобы получилось 56 кг сплава?

14. Для паяльных работ используют сплавы металлов. Чаще всего применяют сплавы 2-х видов. Один называют мягким припоем - он содержит 40% меди, 2% сурьмы и 58% свинца, другой называют твердым припоем - он содержит 45% серебра, 30% меди и 25% цинка. Фабрика по плану должна ежедневно выпускать 7 т мягкого припоя и 9 т твердого. Сколько меди, свинца, сурьмы, серебра и цинка должна ежедневно получать фабрика, чтобы выполнить план? Ответ: меди − 5,5 т;

Сурьмы − 0,14 т; свинца − 4,06 т; серебра − 4,05 т; цинка − 2,25 т.

15. При размоле пшеницы получается 81% муки, 2% манной крупы и 17% кормовых отходов. Сколько муки, манной купы и кормовых отходов получится из 2,5 т зерна? Ответ: муки − 2 т 25 кг, манной крупы − 50кг, кормовых отходов − 425 кг.

16. Масса земли 5973 квинтиллионов тонн. а) масса железа составляет 37,04% от всей массы Земли. Какова масса железа на нашей планете. б) масса воды на планете составляет 9%. Какова масса воды на нашей планете?

17. Поверхность всей Земли 510,1 млн. кв. км. Суша занимает 149,2 млн. кв. км, остальная часть поверхности покрыта водой. Какова площадь поверхности покрыта водой? Сколько процентов поверхности Земли покрыто водой? (ответ округлите до десятых)

18. Одержав победу на президентских выборах В. В. Путин, принимая Присягу, сказал: «Россия занимает примерно всей суши, а насчитывает только 2% населения».

Поинтересуйтесь размерами площадей и количеством людей на планете и в России.

Эти задачи можно предлагать учащимся и в 6 и в 7 классах на кружковой работе. Можно давать на дом.

В 6 классе после прохождения тем «Нахождение числа по его дроби» и «Нахождение дроби по числу», мы возвращаемся к теме «Проценты» и продолжаем работать над решением задач. Вспоминаем изученное ранее, повторяем теорию и закрепляем.