Пояснительная записка

Элективный курс «Иррациональные уравнения и неравенства» предназначен для предпрофильной подготовки в 10 классе, своим содержанием сможет привлечь внимание учащихся, которым интересна математика, а также позволит хорошо подготовиться к продолжению обучения в старшей школе и поступлению в высшие учебные заведения. Содержание курса включает материал о различных способах решения (даже нестандартных) иррациональных уравнений и неравенств. Этот курс поможет проанализировать различные подходы к решению. В данном курсе учащиеся знакомятся с решением неравенств обобщенным и эффективным методами, что позволяет быстро и эффективно решать целый класс неравенств повышенной сложности, переводя их тем самым в разряд стандартных задач.

Данный курс рассчитан на 35 часов.

Целью данного элективного курса является: дать учащимся 10 класса возможность определиться с выбором профиля дальнейшего обучения в старшей школе, при этом показать значимость знаний по математике.

Для этого необходимо решать задачи:

• создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития познавательных и творческих способностей учащихся;

• научить применять полученные знания при выполнении нестандартных заданий;

• ознакомить учащихся с различными способами решения иррациональных уравнений и неравенств;

• повышение самооценки учащимися собственных знаний по математике;

• выработать навыки самостоятельной работы.

Данный элективный курс позволит так же повысить познавательный интерес к предмету и приобрести конкретные практические навыки; перейти от репродуктивного уровня усвоения материала (простого решения уравнений и неравенств) к творческому; научить применять знания при выполнении нестандартных заданий; научить логически, мыслить учащихся. Программа элективного курса охватывает и расширяет некоторые изучаемые темы предмета « Алгебра и начала математического анализа» в старшей школе, это позволит подготовить учащихся к продолжению образования.

Ожидаемые результаты обучения:

• точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе выполнения заданий;

• формирование практических навыков по применению способов решения иррациональных уравнений и неравенств;

• умение выбрать соответствующий метод решения иррациональных уравнений и неравенств.

Содержание программы

Тема «Решение иррациональных уравнений» считается самой трудной. Одним из способов решения иррациональных уравнений заключается в последовательном возведении обеих частей уравнения в степень.

Если степень, в которую возводится уравнение четная, то полученное уравнение может иметь посторонние корни, в таких случаях нужна проверка решений.

Умножение обеих частей уравнения на множитель зависящий от переменной, не всегда является равносильным преобразованием, поэтому нужно доказать, что это множитель определен и не обращается в нуль на области определения уравнения.

При решении уравнений и неравенств с несколькими радикалами лучше всего найти область определения и постоянно следить за равносильностью преобразования.

Умелое использование формул сокращенного умножения позволяет многие уравнения и неравенства решать проще, а некоторые уравнения без применения этого способа неразрешимы.

Все методы прекрасные, но к каждому иррациональному уравнению при решении, нужно иметь определенный метод. Поэтому данный курс рассчитан на расширение кругозора учащихся и на развитие нестандартного мышления.

При решении иррациональных неравенств следует помнить, что при возведении обеих частей неравенства в нечетную степень, всегда получается неравенство, равносильное исходному, а в четную - равносильно исходному, и имеющее тот же знак лишь в случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.

В данном курсе учащиеся знакомятся с решением неравенств обобщенным эффективным методами, что позволяет быстро и эффективно решать целый класс неравенств повышенной сложности, переводя их тем самым в разряд «стандартных» задач. Центральным методом в данном случае является метод замены переменных.

Содержание программы

1. Решение простейших иррациональных уравнений. (4ч.)

Определение иррационального уравнения. Примеры иррациональных уравнений. Свойства, на котором основано решение иррациональных уравнений. Область определения иррационального уравнения. Проверка корней.

2. Решение более сложных иррациональных уравнений. (7 ч.)

Введение подстановки других переменных.. Возведение обеих частей уравнения в третью степень. Решение уравнений, содержащих корень квадратный в корне квадратном. Графическое решение уравнения.

3. Нестандартные способы решения иррациональных уравнений. (8 ч.)

Использование систем уравнений при решении. Умножение и деление частей уравнения на выражения, сопряженные знаменателям.

4. Основные свойства и решения иррациональных неравенств. (4 ч.)

Область определения неравенства. Основные свойства иррациональных неравенств.

5. Решение более сложных иррациональных неравенств. (10 ч.)

Решение неравенства с помощью графика. Применение логического анализа в решении. Применение подстановки.

6. Резерв . (1ч.)

7. Итоговый тест . (1 ч.)

Тематическое планирование элективного курса «Иррациональные уравнения и неравенства» 10 класс (35 ч.)

№

Наименование темы

Форма занятия

Форма контроля

Дата

1-2

Решение простейших иррациональных уравнений

Лекция. Выполнение тренировочных упражнений

3-4

Решение простейших иррациональных уравнений

Практикум

Самостоятельная работа

5-6

Решение более сложных иррациональных уравнений

Лекция

7-

8-

9

Решение более сложных иррациональных уравнений

Практикум. Выполнение тренировочных упражнений

10-11

Решение более сложных иррациональных уравнений

Практикум

Тестирование

12-13

Нестандартные способы решения иррациональных уравнений

Лекция

14-15

Нестандартные способы решения иррациональных уравнений

Практикум. Выполнение тренировочных упражнений

16-17

Нестандартные способы решения иррациональных уравнений

Практикум

Самостоятельная работа

18-19

Нестандартные способы решения иррациональных уравнений

Практикум

Тестирование

20-21

Основные свойства и решения иррациональных неравенств

Лекция Выполнение тренировочных упражнений

22-23

Основные свойства и решения иррациональных неравенств

Практикум

Самостоятельная работа

24-25

Решение более сложных иррациональных неравенств

Лекция

26-27-28

Решение более сложных иррациональных неравенств

Практикум. Выполнение тренировочных упражнений

29-30

Решение более сложных иррациональных неравенств

Практикум

31-32-33

Решение более сложных иррациональных неравенств

Практикум

Защита творческого задания

34

Резерв

35

Итоговый тест

Возведение в степень (1)

Уединение радикала (2)

Введение новой переменной (3) (подстановка)

Уравнения, содержащие радикалы (4)

Уравнения вида = В(х) равносильно системе, состоящей из уравнения А(Х) = В²(х) и неравенства В(х) 0, то есть: = В(х) )

В(х)≥0.

Пример1.Решите уравнение

=1.

Решение. =1.

х+3 = 1,

1≥0; ⇔ х= -2.

Ответ : -2.

Пример2. Решите уравнение

= -1.

Данное уравнение не имеет решения, так как= -1⇔

х+3=(-1)²

-1≥0.

Второе условие этой

системы не выполняется ни при одном

значении х.

Ответ: решений нет.

Обратим внимание на то, что при этом ОДЗ выполняется автоматически и его можно не писать, а условие В(х)≥0 необходимо проверить.

Смысл таких преобразований в сведении данного иррационального уравнения к рациональному уравнению.

Пример1Решите уравнение

+=6.

Решение. Найдём О.Д.З.

Уединим радикал.

= 6- .

Отсюда следует:

15-х≥0,

3-х≥ 0, ⇔

6 - ≥ 0,

х≤15,

⇔ х≤ 3, ⇔

х≥ -33

⇔ -33<x<3

Возведём в квадрат обе части уравнения:

15-х=36-12 +3-х,

12 =24.

Ещё раз возведём в квадрат обе части

уравнения:

= 2,

()²=2²,

3-х=4, х=-1.

Найденное значение х удовлетворяет области допустимых значений уравнения, так как

-33<-1<3

Ответ: - 1.

В некоторых уравнениях нет необходимости возводить в квадрат обе части, т.к. получившееся уравнение может оказаться громоздким. Здесь лучше сделать замену переменных. Рассмотрим на примере:

х²+3х-18+4=0.

Решение. Обозначим:

х²+3х-6=у, тогда

у-12 +4=0,

4=12 - у.

О.Д.З. у≥0,

12-у≥0, ⇔ ⇔ у≤12,

у≥0,⇔

⇔ 0≤ у ≤12.

У прин [0;12].

Возведём в квадрат обе части уравнения, получим

16у = 144- 24у + у²,

у² - 40у +144 =0,

у₁= 36, у₂=4.

у₁ =36 не прин [0;12].

Значит:

х² +3х - 6=4,

х² +3х-10 = 0,

Д=49,

х₁=-5, х₂ = 2.

Ответ -5; 2.

Основной метод решения таких уравнений является последовательное возведение в квадрат обеих частей уравнения, используя формулы сокращенного умножения.

(а+в)³ = а³+в³ +3ав(а+в),

(а-в)³ = а³-в³ - 3ав(а-в).

Пример. -

=1.

Решение.

- = 1,

(- )³ =1³,

(х+45) -(х-16) - 3(х+45)(х-16) =1.

По условию:

- =1.

Тогда:

х+45- х +16 - 3 =1,

3 = 60,

=20,

(х+45)(х-16)=8000,

х² + 29х -8720 =0,

х₁=80, х₂ = - 109.

Ответ: -109; 80.

Методы решения иррациональных уравнений

Методы решения иррациональных уравнений

В работе будем придерживаться следующего определения иррационального уравнения:

Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня.

Прежде чем приступить к решению сложных уравнений учащиеся должны научиться решать простейшие иррациональные уравнения. К простейшим иррациональным уравнениям относятся уравнения вида: .

Основная идея решения иррационального уравнения состоит в сведении его к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием.

Главный способ избавиться от корня и получить рациональное уравнение - возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, которую имеет корень, содержащий неизвестное, и последующее «освобождение» от радикалов по формуле . [6]

Если обе части иррационального уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень и освободиться от радикалов, то получится уравнение, равносильное исходному. [6]

При возведении уравнения в четную степень получается уравнение, являющееся следствием исходного. Поэтому возможно появление посторонних решений уравнения, но не возможна потеря корней. Причина приобретения корней состоит в том, что при возведении в четную степень чисел, равных по абсолютной величине, но разных по знаку, получается один и тот же результат.

Так как могут появиться посторонние корни, то необходимо делать проверку, подставляя найденные значения неизвестной только в первоначальное уравнение, а не в какие-то промежуточные.

Рассмотрим применение данного метода для решения иррациональных уравнений вида . [7]

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Возведем обе части этого уравнения в квадрат и получим , откуда следует, что или .

Проверка. : . Это неверное числовое равенство, значит, число не является корнем данного уравнения.

: . Это верное числовое равенство, значит, число является корнем данного уравнения.

Ответ. .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. После возведения в квадрат получаем уравнение , откуда следует что или .

Проверка. : . Это верное числовое равенство, значит, число является корнем данного уравнения.

: . Это неверное числовое равенство, значит, число не является корнем данного уравнения.

Ответ. .

2.2.1. Метод сведения к эквивалентной системе уравнений и неравенств

Проверка, осуществляемая подстановкой найденного решения в исходное уравнение, может быть легко реализована, если проверяемые корни - «хорошие» числа, а для «громоздких» корней проверка может быть сопряжена со значительными вычислительными трудностями. Поэтому каждый образованный школьник должен уметь решать иррациональные уравнения с помощью равносильных преобразований, так как, выполняя равносильные преобразования, можно не опасаться ни потери корней, ни приобретения посторонних решений. [17]

Аккуратное возведение в четную степень уравнения вида состоит в переходе к равносильной ему системе:

Неравенство в этой системе выражает условие, при котором уравнение можно возводить в четную степень, отсекает посторонние решения и позволяет обходиться без проверки. [17]

Школьники довольно часто добавляют к этой системе неравенство . Однако этого делать не нужно и даже опасно, поскольку условие автоматически выполняется для корней уравнения , в правой части которого стоит неотрицательное выражение. [9]

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение равносильно системе

Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению , получим корни и .

Второй корень не удовлетворяет неравенству системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения.

Ответ. .

Полезно запомнить схему решения еще одного вида иррациональных уравнений . Такое уравнение равносильно каждой из двух систем

Поскольку после возведения в четную степень получаем уравнение-следствие . Мы должны, решив его, выяснить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ исходного уравнения, то есть выполняется ли неравенство (или ). На практике из этих систем выбирают для решения ту, в которой неравенство проще. [9]

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение равносильно системе

Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению , получим корни и . Однако при этих значениях x не выполняется неравенство , и потому данное уравнение не имеет корней.

Ответ. Корней нет.

2.2.2. Метод уединения радикала

При решении иррациональных уравнений полезно перед возведением обеих частей уравнения в некоторую степень «уединить радикал», то есть представить уравнение в виде . Тогда после возведения обеих частей уравнения в n-ую степень радикал справа исчезнет. [4]

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Метод уединения радикала приводит к уравнению . Это уравнение равносильно системе

Решая первое уравнение этой системы, получим корни и , но условие выполняется только для .

Ответ. .

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. Уединив первый радикал, получаем уравнение

,

равносильное исходному.

Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение

,

.

Последнее уравнение является следствием исходного уравнения. Возводя обе части этого уравнения в квадрат, приходим к уравнению

,.

Это уравнение является следствием уравнения исходного уравнения и имеет корни , . Первый корень удовлетворяет исходному уравнению, а второй - не удовлетворяет.

Ответ. .

2.2.3. Метод введения новой переменной.

Мощным средством решения иррациональных уравнений является метод введения новой переменной, или «метод замены». Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную. В ряде случаев удачно введенные новые неизвестные иногда позволяют получить решение быстрее и проще; иногда же без замены решить задачу вообще невозможно.

Пример 7. Решить уравнение .

Решение. Положив , получим существенно более простое иррациональное уравнение . Возведем обе части уравнения в квадрат: .

Далее последовательно получаем:

;

;

;

;

, .

Проверка найденных значений их подстановкой в уравнение показывает, что - корень уравнения, а - посторонний корень.

Возвращаясь к исходной переменной x, получаем уравнение , то есть квадратное уравнение , решив которое находим два корня: ,. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: , .

Замена особенно полезна, если в результате достигается новое качество, например, иррациональное уравнение превращается в квадратное.

Пример 8. Решить уравнение .

Решение. Перепишем уравнение так: .

Видно, что если ввести новую переменную , то уравнение примет вид , откуда , .

Теперь задача сводится к решению уравнения и уравнения . Первое из этих решений не имеет, а из второго получаем ,. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ. , .

Отметим, что «бездумное» применение в Примере 8 метода «уединения радикала» и возведение в квадрат привело бы к уравнению четвертой степени, решение которого представляет собой в общем случае чрезвычайно сложную задачу.

Пример 9. Решить уравнение .

Введем новую переменную

, .

В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид квадратного

откуда учитывая ограничение , получаем . Решая уравнение , получаем корень . Как показывает проверка, удовлетворяет исходному уравнению.

Ответ. .

Иногда посредством некоторой подстановки удается привести иррациональное уравнение к рациональному виду, как рассмотренных Примерах 8, 9. В таком случае говорят, что эта подстановка рационализирует рассматриваемое иррациональное уравнение, и называют ее рационализирующей., основанный на применении рационализирующих подстановок, называется способом рационализации.

Со всеми учащимися на уроке этот способ решения иррациональных уравнений разбирать не нужно, но он может быть рассмотрен в рамках факультативных или кружковых занятий по математике с учащимися, проявляющих повышенный интерес к математике.

2.2.4. Метод сведения к эквивалентным системам рациональных уравнений

Уравнения вида (здесь a, b, c, d - некоторые числа, m, n - натуральные числа) и ряд других уравнений часто удается решить при помощи введения двух вспомогательных неизвестных: и , где и последующего перехода к эквивалентной системе рациональных уравнений. [17]

Пример 16. Решить уравнение .

Решение. Введем новые переменные

и , где .

Тогда исходное уравнение принимает вид: . Полученное уравнение обладает одним существенным недостатком: в нем две неизвестных. Но заметим, что величины y и z не являются независимыми переменными - они зависят одна от другой посредством старой переменной x. Выразим x через y и z: и. Теперь, можно заметить, что если первое уравнение умножить на два и затем вычесть из него второе, то переменная x исключается, и остается связь только между y и z

.

В результате получаем систему двух уравнений относительно двух неизвестных y и z

Решая эту систему методом подстановки, приходим к уравнению , корнями которого являются числа и . Корень посторонний, поскольку . Осталось решить уравнение , откуда находим .

Ответ. .

Пример 17. Решить уравнение . [6]

Решение. Возведение обеих частей этого уравнения в четвертую степень не обещает ничего хорошего. Если же положить , , то исходное уравнение переписывается так: . Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее y и z. Для этого возведем равенства , в четвертую степень и заметим, что .

Итак, надо решить систему уравнений

она имеет два (действительных) решения: , ; , .

Остается решить систему двух уравнений с одним неизвестным

и систему

первая из них дает , вторая дает .

Ответ: , .

Не всегда после введения новых переменных удается исключить неизвестную x, как это было в рассмотренных Примерах 15, 16. Однако, как можно убедиться из следующего примера, переход от уравнения к системе может помочь и в таком случае. [17]

Пример 18. Решить уравнение .

Решение. Введем новые переменные

и , где .

По стандартной схеме получим следующую систему уравнений:

откуда следует, что

.

Так как , то y и z должны удовлетворять системе

Возведем оба уравнения этой системы в квадрат, после чего, сложив их, получаем уравнение .

Также возведем равенства , в квадрат и заметим, что .

Получаем следующую систему уравнений:

из которой получаем уравнение .

Заметим, что это уравнение имеет корень . Тогда, разделив многочлен на , получаем разложение левой части уравнения на множители

.

Отсюда следует, что - единственное решение этого уравнения. После проверки записываем это решение в ответ.

Ответ: .

2.2.5. Умножение обеих частей уравнения на функцию.

Иногда иррациональное уравнение удается решить довольно быстро, если обе его части умножить на удачно подобранную функцию. Конечно, при умножении обеих частей уравнения на некоторую функцию могут появиться посторонние решения, ими могут оказаться нули самой этой функции. Поэтому предлагаемый метод требует обязательного исследования получающихся значений. [6]

Пример 19. Решить уравнение .

Решение. Умножим обе части уравнения на одну и ту же функцию . Выражение называется сопряженным для выражения

В результате этого умножения и очевидных преобразований приходим к уравнению

,

которое равносильно совокупности уравнений

Уединив первый радикал второго уравнения совокупности, возведем его в квадрат и получим

Если внимательно посмотреть на неравенства последней системы, можно заметить, что пересечение множеств и пусто. Следовательно, уравнение решений не имеет. Значит, уравнение имеет единственный корень .

Подстановка в исходное уравнение показывает, что - корень.

Ответ: .

Впрочем, здесь можно было обойтись и без подстановки: функция нигде в нуль не обращается, и поэтому умножение обеих частей уравнения на эту функцию не приводит к появлению посторонних решений.

Пример 20. Решить уравнение . [9]

Решение. Умножим обе части уравнения на функцию . После преобразований получим уравнение

.

Оно имеет два корня: . Проверка показывает, что - посторонний корень (нетрудно видеть, - корень функции ). Таким образом, уравнение имеет единственный корень .

Ответ: .

2.2.6. Решение иррациональных уравнений с использованием свойств входящих в них функций

В школьном курсе математики изучаются свойства многих элементарных функций. Их иногда с успехом можно применять и при решении иррациональных уравнений. Рассмотрим несколько примеров.

Использование монотонности функции.

Если уравнение имеет вид

где возрастает (убывает), или

где и «встречно монотонны», т.е. возрастает, а убывает и наоборот, то такое уравнение имеет не более одного корня. Если удается заметить это или привести уравнение к такому виду и при этом нетрудно угадать корень, то он и будет решением данного уравнения. [9]

Пример 21. .

Решение. Это уравнение можно попытаться решить возведением в квадрат (трижды!). Однако при этом получится уравнение четвертой степени. Попробуем угадать корень. Это сделать нетрудно: . Теперь заметим, что левая часть уравнения - возрастающая функция, а правая - убывающая. Но это значит, что больше одного корня такое уравнение иметь не может. Итак, - единственный корень.

Ответ: .

Пример 22. Решить уравнение .

Решение. Традиционный метод решения уравнений такого вида хорошо известен. Впрочем, легко заметить, что - корень. Левая часть уравнения задает возрастающую функцию, правая - константу. Следовательно, данное уравнение может иметь не более одного корня. Итак, - единственный корень.

Ответ: .

Пример 23. Решить уравнение .

Решение. Опять-таки имеем стандартное иррациональное уравнение. Тем не менее, не будем спешить возводить в квадрат. Так, , , значит (функция возрастающая), и левая часть исходного уравнения не меньше 2. Следовательно, данное уравнение корней не имеет.

Ответ. Корней нет.

Пример 24. Решить уравнение .

Решение. Поскольку и функция возрастающая, то . Следовательно, левая часть данного неравенства области определения принимает только отрицательные значения, то есть исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: Корней нет.

Пример 25. Решить уравнение .

Решение. Как и в предыдущих примерах, несложно обнаружить, что - корень. ОДЗ исходного уравнения - промежуток . Но теперь уже, в отличие от ранее рассмотренных задач, левая часть уравнения не задает монотонную функцию. Однако снова легко заметить, что на указанная функция возрастает, причем корень принадлежит этому промежутку. Значит, на данное уравнение имеет единственный корень. Осталось исследовать поведение функции на отрезке . Очевидно, что при , а . Следовательно, на исходное уравнение корней не имеет.

Ответ. .

Использование ОДЗ

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.

Пример 26. Решить уравнение .

Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех , одновременно удовлетворяющих условиям и , то есть ОДЗ есть пустое множество. Этим решение уравнения завершается, так как установлено, что ни одно число не может являться решением, то есть уравнение не имеет корней.

Ответ: Корней нет.

Пример 27. Решить уравнение .

Решение. Конечно, это иррациональное уравнение можно решить путем традиционного возведения обеих частей в квадрат. Однако, найдя ОДЗ этого уравнения, приходим к выводу, что ОДЗ исходного уравнения - одноэлементное множество {2}. Подставив в данное уравнение, приходим к выводу, что - корень исходного уравнения.

Ответ: .

Использование графиков функций

При решении уравнений или неравенств иногда полезно рассмотреть эскиз графиков их правой и левой частей в одной и той же системе координат. Тогда этот эскиз графиков поможет выяснить, на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из них решение уравнения (или неравенства) было очевидно.

Обратим внимание, что эскиз графика лишь помогает найти решение, но писать, что из графика следует ответ, нельзя, ответ еще надо обосновать.

Пример 28. Решить уравнение .

Решение. ОДЗ данного уравнения есть все из промежутка . Эскизы графиков функций и представлены на рисунке 1.

Проведем прямую . Из рисунка следует, что график функции лежит не ниже этой прямой, а график функции не выше. При этом эти графики касаются прямой в разных точках. Следовательно, уравнение не имеет решений. Докажем это. Для каждого имеем , а. При этом только для , а только для . Это означает, что исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: Корней нет.

Пример 29. Решить уравнение .

Решение. Эскизы графиков функций и представлены на рисунке 2.

Легко проверяется, что точка является точкой пересечения графиков функций и , то есть - решение уравнения. Проведем прямую. Из рисунка следует, что она расположена между графиками функций и . Это наблюдение и помогает доказать, что других решений данное уравнение не имеет.

Для этого докажем, что для из промежутка справедливы неравенства

, а для промежутка справедливы неравенства и . Очевидно, что неравенство справедливо для , а неравенство для . Решим неравенство . Это неравенство равносильно неравенству , которое можно переписать в виде . Решениями этого неравенства являются все . Точно также показывается, что решениями неравенства являются все .

Следовательно, требуемое утверждение доказано, и исходное уравнение имеет единственный корень .

Ответ: .

Кроме рассмотренных типов иррациональных уравнений существуют еще и уравнения смешанного типа. К этой группе относятся иррациональные уравнения, содержащие кроме знака радикала и другие выражения (логарифмическое, показательное, тригонометрическое), а также знак модуля и параметр. Уравнения данного типа также чаще всего включаются в задания ЕГЭ и программу вступительных экзаменов в ВУЗы.

Со всеми учащимися на уроке такие уравнения разбирать не нужно, но они могут быть рассмотрены в рамках факультативных или кружковых занятий по математике с учащимися, повышенный интерес к математике. Примеры решения уравнений смешанного типа помещены в приложении А.

3. Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений

При решении иррациональных уравнений и неравенств часто приходится применять тождественные преобразования, связанные с использованием известных формул. К сожалению, эти действия иногда столь же небезопасны, как уже рассмотренное возведение в четную степень, - могут приобретаться или теряться решения. [17]

Рассмотрим несколько ситуаций, в которых эти проблемы наступают, и научимся их распознать и предотвращать.

I. Пример 30. Решить уравнение .

Решение. При первом же взгляде на это уравнение возникает мысль избавиться от корня с помощью «преобразования» . Но это неверно, так как при отрицательных значениях x оказывалось бы, что . Здесь необходимо применить формулу . Уравнение теперь легко решается

.

Ответ. .

Рассмотрим «обратное» преобразование.

Пример 31. Решить уравнение .

Решение. Здесь применима формула

.

Только необходимо задуматься о безопасности ее применения. Нетрудно видеть, что ее левая и правая части имеют разные области определения и что это равенство верно лишь при условии . Поэтому исходное уравнение равносильно системе

Решая уравнение этой системы, получим корни и . Второй корень не удовлетворяет совокупности неравенств системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения.

Ответ. .

II. Следующее опасное преобразование при решении иррациональных уравнений, определяется формулой

.

Если пользоваться этой формулой слева направо, расширяется ОДЗ и можно приобрести посторонние решения. Действительно, в левой части обе функции и должны быть неотрицательны; а в правой неотрицательным должно быть их произведение. [17]

Пример 32. Решить уравнение .

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат и произведем приведение подобных членов, перенос слагаемых из одной части равенства в другую и умножение обеих частей на . В результате получим уравнение

,

являющееся следствием исходного. Снова возведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение

,

которое приводится к виду

.

Это уравнение (также являющееся следствием исходного) имеет корни , . Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ. , .

Замечание. При возведении уравнения в квадрат учащиеся нередко в уравнении типа из Примера 32 производят перемножение подкоренных выражений, то есть вместо такого уравнения пишут уравнение

.

Такое «склеивание» не приводит к ошибкам, поскольку такое уравнение является следствием уравнения . Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае такое перемножение подкоренных выражений дает неравносильные уравнения. Поэтому в рассмотренном выше примере можно было сначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения, то есть уединить один радикал. Тогда в левой части уравнения останется один радикал, и после возведения обеих частей уравнения в квадрат в левой части уравнения получится рациональное выражение. [3]

Рассмотрим пример, где реализуется проблема с использованием формулы .

Пример 33. Решить уравнение .

Решение. Попробуем решить это уравнение разложением на множители

.

Заметим, что при этом действии оказалось потерянным решение , так как оно подходит к исходному уравнению и уже не подходит к полученному: не имеет смысла при . Поэтому это уравнение лучше решать обычным возведением в квадрат

Решая уравнение этой системы, получим корни и . Оба корня удовлетворяют неравенству системы

Ответ. , .

Вывод. Есть два пути. Или аккуратно возводить уравнение в квадрат, или безошибочно определять, какие решения могли быть потеряны, и проверить, не случилось ли этого на самом деле.

III. Существует еще более опасное действие - сокращение на общий множитель. [17]

Пример 34. Решить уравнение .

Неверное рассуждение: Сократим обе части уравнения на , получим

.

Нет ничего более опасного и неправильного, чем это действие. Во-первых, подходящее решение исходного уравнения было потеряно; во-вторых, было приобретено два посторонних решения . Получается, что новое уравнение не имеет ничего общего с исходным! Приведем правильное решение.

Решение. Перенесем все члены в левую часть уравнения и разложим ее на множители

.

Это уравнение равносильно системе

которая имеет единственное решение .

Ответ. .

§ 3. Методика решения иррациональных неравенств

Иррациональные неравенства - довольно сложный раздел школьного курса математики, а если учесть, что на его изучение отведено крайне мало времени, то становится ясно, что учащиеся как правило это раздел не усваивают. Даже у тех учащихся, что успешно решают иррациональные уравнения, часто возникают проблемы при решении иррациональных неравенств. Решение иррациональных неравенств осложняется тем обстоятельством, что здесь, как правило, исключена возможность проверки, поэтому надо стараться делать все преобразования равносильными.

3.1. Теоретические основы решения иррациональных неравенств

Если в любом иррациональном уравнении заменить знак равенства на один из знаков неравенства: >, , <, , то получим иррациональное неравенство. [19] Поэтому под иррациональным неравенством будем понимать неравенство, в котором неизвестные величины находятся под знаком корня. [16]

Способ решения таких неравенств состоит в преобразовании их к рациональным неравенствам путем возведения обеих частей неравенства в степень.

Чтобы избежать ошибок при решении иррациональных неравенств, следует рассматривать только те значения переменной, при которых все входящие в неравенство функции определены, то есть найти ОДЗ этого неравенства, а затем обоснованно осуществлять равносильный переход на всей ОДЗ или ее частях.

При решении иррациональных неравенств следует запомнить правило: при возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается неравенство, равносильное данному неравенству. [16]

Но если при решении уравнений в результате возведения четную степень мы могли получить посторонние корни (которые, как правило легко проверить) и не могли потерять корни, то корни неравенства при бездумном возведении в четную степень могут одновременно и теряться, и приобретаться. [8]

Например, возведя в квадрат:

верное неравенство , мы получим верное неравенство ;

верное неравенство , мы получим неверное неравенство ;

неверное неравенство , мы получим верное неравенство ;

неверное неравенство , мы получим неверное неравенство .

Вы видите, что возможны все комбинации верных и неверных неравенств.

Однако верно основное используемое здесь утверждение: если обе части неравенства возводят в четную степень, то получится неравенство, равносильное исходному только в том случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны. [16]

3.2. Методы решения иррациональных неравенств

3.2.1. Метод сведения к эквивалентной системе или совокупности рациональных неравенств

Основным методом решения иррациональных неравенств является сведение исходного неравенства к равносильной системе или совокупности систем рациональных неравенств. [17]

Наиболее простые иррациональные неравенства имеют вид:

или ;

или ;

или .

Иррациональное неравенство или равносильно системе неравенств

или

результатом возведения исходного неравенства в степень, второе неравенство представляет собой условие существования корня в исходном неравенстве, а третье неравенство системы выражает условие, при котором это неравенство можно возводить в квадрат.

Иррациональное неравенство или равносильно совокупности двух систем неравенств

или . (2)

Обратимся к первой системе схемы (2). Первое неравенство этой системы является результатом возведения исходного неравенства в квадрат, второе - условие, при котором это можно делать.

Вторая система схемы (2) соответствует случаю, когда правая часть отрицательна, и возводить в квадрат нельзя. Но в этом и нет необходимости: левая часть исходного неравенства - арифметический корень - неотрицательна при всех x, при которых она определена. Поэтому исходное неравенство выполняется при всех x, при которых существует левая часть. Первое неравенство второй системы и есть условие существования левой части.

Иррациональное неравенство или равносильно системе неравенств

или . (3)

Поскольку обе части исходного неравенства неотрицательны при всех x, при которых они определены, поэтому его можно возвести в квадрат. Первое неравенство в системе (3) является результатом возведения исходного неравенства в степень. Второе неравенство представляет собой условие существования корня в исходном неравенстве, понятно, что неравенство выполняется при этом автоматически.

Схемы (1)-(3) - наш основной инструмент при решении иррациональных неравенств, к ним сводится решение практически любой задачи. Разберем несколько примеров. [8]

Пример 1. Решить неравенство .

Решение. Заметим, что правая часто этого неравенства отрицательна, в то время как левая часть неотрицательна при всех значениях x, при которых она определена. Поэтому неравенство решений не имеет.

Ответ. Решений нет.

Пример 2. Решить неравенство .

Решение. Как и в предыдущем примере, заметим, что правая часть данного неравенства отрицательна, а левая часть исходного неравенства неотрицательна при всех значениях x, при которых она определена. Это означает, что левая часть больше правой части при всех значениях x, удовлетворяющих условию .

Ответ. .

Пример 3. Решить неравенство .

Решение. В соответствии со схемой (1) решения неравенств этого типа, запишем равносильную ему систему рациональных неравенств

Условие выполнено при всех x, и нет необходимости добавлять его к выписанной системе.

Ответ. .

Пример 4. Решить неравенство .

Решение. Это неравенство решается при помощи схемы (2). В данном случае , поэтому можно сразу записать неравенство, равносильное исходному

.

Ответ. .

Пример 5. Решить неравенство .

Решение. Это неравенство может быть решено при помощи схемы (1). Система, равносильная исходному неравенству, имеет вид

.

Ответ. .

Пример 6. Решить неравенство .

Решение. Данное неравенство можно решать с помощью схемы (2). Оно равносильно совокупности двух систем

Ответ. .

Пример 7. Решить неравенство .

Решение. Согласно схеме (3), данное неравенство равносильно системе

Ответ.

Рассмотрим решение иррациональных неравенств следующего вида

.

Поскольку , , то должны выполнятся условия , , (соответственно ). На множестве, где эти условия выполняются, данное неравенство равносильно неравенству

(соответственно неравенству ), которое сводится к разобранным выше типам неравенств. [4]

Пример 8. Решить неравенство .

Решение. Данное неравенство равносильно следующей системе неравенств:

Решение исходного неравенства является общей частью решений всех неравенств системы, то есть имеет вид .

Ответ. .

Теперь перейдем к решению более сложных задач, стараясь свести их решение к стандартным ситуациям - к простейшим неравенствам, рассмотренным выше. Приемы сведения во многом аналогичны приемам, применяемым при решении иррациональных уравнений.

Если в неравенстве встречаются два квадратных радикала, обычно приходится неравенство возводить в квадрат дважды, обеспечивая при этом необходимые для этой операции условия.

Пример 9. Решить неравенство .

Решение. Перенесем второй радикал в правую часть, чтобы обе части неравенства стали неотрицательными, и его можно было возвести в квадрат:

Мы пришли к простейшему стандартному неравенству, которое согласно схеме (1) равносильно системе:

Ответ. .

Замечание. При получении неравенства мы не выписывали допустимые значения неизвестного, так как там фигурировал , который существует при , но при этих значениях существует и .

Пример 10. Решить неравенство .

Решение. Начнем с отыскания допустимых значений неизвестного:

Заметим, что для избавления от радикала достаточно возвести данное неравенство в квадрат. Но для этого необходимо, чтобы обе части его были неотрицательны, что выполняется лишь при выполнении условия (так как все остальные выражения, входящие в неравенство, неотрицательны). Но при этом условии можно умножить данное неравенство на положительное выражение .

Итак, если , данное неравенство преобразуется и решается так:

В том случае, когда , данное неравенство будет выполняться, так как его отрицательная левая часть станет меньше положительной правой.

Ответ: .

Замечание. При решении последней задачи мы фактически получили такие новые схемы, легко выводимые из схем (1) и (2):

(4)

(5)

Если в правой части подобного неравенства стоит не единица, а любое другое число кроме нуля, можно естественно, поделить на него обе части неравенства и, в зависимости от знака этого числа, перейти к неравенствам из схем (4) или (5).

3.2.2. Умножение обеих частей неравенства на функцию

Выражения и называются сопряженными друг другу. Заметим, что их произведение уже не содержит корней из и . Поэтому в ряде задач вместо возведения в квадрат, приводящего к слишком громоздким выражениям, разумнее умножить обе части неравенства на выражение, сопряженное одной из них.

Пример 11. Решить неравенство .

Решение. Найдем ОДЗ:

Умножим обе части данного неравенства на выражение, сопряженное его левой части и, очевидно, положительное в ОДЗ:

Дальнейшее решение зависит, очевидно, от знака общего множителя левой и правой частей полученного неравенства .

Если он меньше нуля, то есть , сократив на этот отрицательный множитель, переходим к неравенству:

,

из которого находим прямым возведением в квадрат (ведь обе части этого неравенства положительны)

Во втором случае, если общий множитель положителен (то есть при ), после сокращения на него получаем неравенство

,

из которого прямым возведением в квадрат (ведь обе части этого неравенства положительны) получаем, что оно справедливо при .

Осталось указать, что в третьем возможном случае - если общий множитель равен нулю, - неравенство не выполняется: мы получаем тогда , что неверно.

Ответ:

3.2.3. Метод введения новой переменной

Для решения иррациональных неравенств, так же как и для решения иррациональных уравнений, с успехом может применяться метод введения новой переменной.

Иногда удается иррациональную функцию, входящую в неравенство, заменить новой переменной таким образом, что относительно этой переменной неравенство становится рациональным. [24]

Пример 12. Решить неравенство .

Решение. Перепишем исходное уравнение .

Сделаем замену , . Тогда получим

Таким образом, для определения получаем совокупность неравенств

Ответ. .

Пример 13. Решить неравенство .

Решение. Введем новую переменную , .

Тогда и для переменной t получаем рациональное неравенство

.

Осталось сделать обратную замену и найти :

Ответ. .

3.2.4. Решение иррациональных неравенств с использованием свойств входящих в них функций

Использование монотонности функции

Пусть на промежутке задана возрастающая функция и требуется решить неравенство (или ). Если - корень уравнения, причем , то решения данного неравенства - весь промежуток (соответственно промежуток ). Единственность корня следует из монотонности . Понятно, что если требуется решить нестрогое неравенство, то при том же рассуждении в ответ войдет и число , а если функция задана на замкнутом или полуоткрытом промежутке, то в ответ войдут соответствующие концы промежутка. [26]

Пример 14. Решить неравенство .

Решение. Заметим, что левая часть данного неравенства - возрастающая функция (обозначим ее через ). При левая часть равна правой. Учтем ОДЗ исходного неравенства и рассмотрим его на промежутке . Имеем , то есть данное неравенство выполняется. При по той же причине (из-за возрастания функции ) , то есть данное неравенство не выполняется. Так как исследование проведено при всех допустимых значениях , решение закончено.

Ответ:

Использование ОДЗ

Пример 15. Решить неравенство .

Решение. ОДЗ этого неравенства есть все , удовлетворяющие условию . Ясно, что не является решением данного неравенства. Для из промежутка имеем , а . Следовательно, все из промежутка являются решениями данного неравенства.

Ответ: .

Пример 16. Решить неравенство .

Решение. ОДЗ этого неравенства есть все из промежутка . Разобьем это множество на два промежутка и .

Для из промежутка имеем , . Следовательно, на этом промежутке, и поэтому исходное неравенство не имеет решений на этом промежутке.

Пусть принадлежит промежутку , тогда и . Следовательно, для таких , и, значит, на этом промежутке исходное неравенство также не имеет решений.

Ответ: Корней нет.

Использование графиков функций

Пример 17. Решить неравенство .

Решение. ОДЗ этого неравенства есть все из промежутка . Эскизы графиков функций и представлены на рисунке 3. Из рисунка следует, что для все из ОДЗ данное неравенство справедливо.

Докажем это. Для каждого из промежутка имеем , а для каждого такого имеем . Значит, для каждого имеем . Следовательно, решениями исходного неравенства будут все из промежутка .

Ответ:

Список учебно - методической литературы

1. Алимов Ш. А. Алгебра и начала анализа [Текст]: учебник для 10-11 класса средней школы / Ш. А. Алимов - М.:Просвещение, 2011 - 254 с.

2. Денищева Л. О. Готовимся к единому государственному экзамену. Математика. [Текст] / Л. О. Денищева - М.: Дрофа, 2009. - 120 с.

3. Егоров А. Иррациональные неравенства [Текст] / А Егоров // Математика. Первое сентября. - 2002. - №15. - С. 13-14.

4. Егоров А. Иррациональные уравнения [Текст] / А Егоров // Математика. Первое сентября - 2002. - №5. - С. 9-13.

5. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс [Текст]: В двух частях. Ч.2: задачник для общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович - М.: Мнемозина, 2004. - 315 с.

6. Соболь Б. В. Пособие для подготовки к единому государственному экзамену и централизованному тестированию по математике [Текст] / Б. В. Соболь - Ростов на Дону: Феникс, 2003. - 352 с.

7. Черкасов О. Ю. Математика [Текст]: справочник для старшеклассников и поступающих в вузы /О. Ю. Черкасов - М.:АСТ-ПРЕСС, 2001.-576 с.

8. Шувалова Э. З. Повторим математику [Текст]: учебное пособие для поступающих в вузы / Э. З. Шувалова - М.: Высшая школа,1974.-519 с.

9. Егоров А. Иррациональные неравенства [Текст] / А Егоров // Математика. Первое сентября. - 2002. - №17. - С. 13-14.