Комплекс заданий по темам Треугольники, Четырехугольники, Окружность

Комплекс заданий направленный на организацию самостоятельной деятельности учащихся на этапе обобщения знаний по темам «Треугольники», «Четырехугольники», «Окружность»

Для организации самостоятельной деятельности учащихся на этапе обобщения знаний по теме: «Треугольники» необходимо использовать следующие формы организации учебной деятельности.

1) Самостоятельная работа с учебной литературой, со справочниками, пособиями по математике. Обязательными являются следующие вопросы:

1. Определение треугольника. Виды треугольников.

2. Признаки равенства треугольников.

3. Равнобедренный треугольник и его свойство.

4. Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника.

5. Прямоугольный треугольник, его элементы. Признаки равенства прямоугольных треугольников.

6. Средняя линия треугольника.

7. Теорема Пифагора. Теорема синусов. Теорема косинусов.

8. Площадь треугольника. Правильный треугольник и его площадь.

9. Признаки подобия треугольников.

Цель: работа с литературой и самостоятельное конспектирование, обязательное наличие программы работы по литературному источнику.

По итогам работы учащиеся проводят сравнительный анализ, как освящены те или иные вопросы в разных источниках.

2) Подготовка докладов.

Темы докладов:

1. Задачи на построение (на плоскости).

2. Замечательные точки и линии треугольника.

3. Теорема Пифагора и ее следствия.

3) Использование формы деятельности как урок - семинар.

Цель:

- обобщить и систематизировать все сведения о треугольнике, изучаемые в курсе планиметрии:

- способствовать развитию умственных способностей и самостоятельности учащихся.

Класс делится на подгруппы, каждая из которых отвечает на один из вопросов. Один ученик от группы «защищает» ответ перед классом.

Вопросы к уроку - семинару могут быть следующими:

1. Методы решения задач на построение:

а) метод геометрических мест;

б) алгебраический метод;

в) метод преобразований.

2. Свойства высот, медиан и биссектрис треугольника.

3. Подобие треугольников.

4. Формулы нахождения площади треугольника:

а) формула Герона;

б) через радиус вписанной и описанной окружности;

в) правило треугольника.

Урок - семинар дает возможность обратить внимание учащихся на основные теоремы темы, часто используемые при решении задач, выделить главное, подготовить учащихся к решению более сложных задач.

4) Составить кроссворд по теме: «Треугольники» (не менее 20 вопросов).

5) Задачи для самостоятельного решения:

1) В равнобедренном треугольнике АВС, АВ = ВС, медиана АD, перпендикулярна биссектрисе СЕ. Определить величину угла АСВ.

2) В треугольнике АВС медиана АМ перпендикулярна медиане ВN. Найдите площадь треугольника АВС, если АМ = m, ВN = n.

3) Найдите площадь треугольника АВС, если АВ = 3 см, ВС = 7 см, длина медианы ВМ равна 4 см.

4) В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С прямого угла проведена высота СD. Точка D находится на расстояниях m и n от катетов АС и ВС соответственно. Найдите длины катетов.

5) Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме другого катета и гипотенузы.

6) Постройте треугольник, если заданы сторона, принадлежащий к ней угол и разность двух других сторон.

7) Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Найти гипотенузу, высоту, проведенную из вершины прямого угла, и проекции катетов на гипотенузу.

8) Доказать, что биссектриса треугольника дели его противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

9) Даны две стороны треугольника и его площадь S = 2/5вс. Найти третью сторону.

Активность и самостоятельность учащихся в процессе фронтальной работы по анализу задач позволяют учителю диагностировать степень усвоения темы.

6) Домашнее задание.

Составить опорную таблицу по теме: «Треугольники».

Для организации самостоятельной деятельности учащихся на этапе обобщения знаний по теме: «Четырехугольники, их площадь» необходимо использовать следующие формы организации учебной деятельности.

1) Работа по опорной таблице «Четырехугольники» (Рис. 1).

Цель: самостоятельно дополнить определения и выяснить взаимозависимость между четырехугольниками.

параллелограмм

трапеция

Выпуклый четыреху-гольник

Прямоугольная Равнобедренная Квадрат Прямоугольник Ромб

трапеция трапеция

Рис. 1

Трапецией называется четырехугольник, у которого …

Трапеция называется …, если ее боковые стороны равны.

Трапеция называется прямоугольной, если …

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого …

Квадрат - это четырехугольник, …

Квадрат - это …, у которого противоположные стороны равны и все углы прямые.

Прямоугольник - это …, у которого противоположные углы прямые.

Прямоугольник - это …, у которого четыре стороны и углы прямые.

Ромб - это параллелограмм, у которого …

2) Цель: сформулировать новые признаки четырехугольников в ходе решения задач или применить известные в неожиданных ситуациях.

1. Для параллелограмма.

Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

2. Для прямоугольника.

В параллелограмме из вершин тупых углов на противолежащие стороны опущены перпендикуляры. Докажите, что полученный четырехугольник - прямоугольник.

Докажите, что если у параллелограмма все углы равны, то он - прямоугольник.

3. Для ромба.

Докажите, что четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.

4. Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Какого вида должен быть данный четырехугольник, чтобы параллелограмм являлся: а) прямоугольником; б) ромбом; в) квадратом?

3) Домашнее задание.

Составить тестовые задания по теме «Четырехугольники» (при условии, что виды тестовых заданий им уже знакомы) - 10 вопросов.

4) Работа с литературой и составление кроссворда по теме «Четырехугольники».

Результат работы по развитию представлений учащихся о площади и выделению свойств площадей могут быть оформлены в виде таблицы, используемой в дальнейшем в качестве опорного материала для работы по решению задач.

1. Самостоятельно заполнить правый столбец по аналогии с левым (для отрезка).

Таблица 1.

Основные свойства длин отрезков.

Основные свойства площадей многоугольников

При выбранной единице измерения длина каждого отрезка выражается положительным числом.

Единица измерения - отрезок, длина которого равна 1.

1 см = 10 мм

1 дм = 10 см = 100 мм

1 м = 10 дм = 100 см

1 км = 1000 м

Равные отрезки имеют равные длины.

Если точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих отрезков.

При выбранной единице измерения площадь каждого многоугольника выражается положительным числом.

Единица измерения - квадрат со стороной, равной 1.

1 см = 10мм

1 дм = 10см = 100мм

1 м = 10дм = 100см

1 км = 1000м

Равные многоугольники имеют равные площади.

Если многоугольник составлении из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Решение задач по готовым чертежам предназначено для закрепления свойств площадей четырехугольников. Учащимся демонстрируются только чертежи, текст же читается учителем. В случае затруднений учащихся может быть использована подсказка в виде этого же чертежа, но с дополнительными построениями (выделенными штриховкой), которые позволяют сразу увидеть решение. Такой чертеж - подсказку удобно выполнить как раздаточный материал (индивидуальный).

2. Самостоятельная работа с готовыми чертежами.

Таблица 2.

Чертеж

Вспомогательный чертеж

Текст задачи

Изображена трапеция. Будут ли площади заштрихованных фигур равны между собой?

Стороны прямоугольника равны а и в. Точки М и Р - середины сторон. Чему равна площадь заштрихованного четырехугольника?

АВСD - параллелограмм, сравните площади треугольников АОD и DОС.

В трапеции проведены диагонали. Укажите все пары равновеликих треугольников.

Учащиеся оценивают свою работу в результате анализа задач совместно с учителем.

Критерии оценивания.

Таблица 3

Кол-во подсказок

Кол-во неверных ответов

Отметка

0

1

0

1

2

0

1

2

3

0

0

0

1

1

0

2

2

1

0

3

5

4

4

3

3

3

2

2

2

2

7) Устный математический диктант.

1. Будут ли равновелики прямоугольники, если сторонами одного из них служат катеты прямоугольного треугольника, а сторонами другого - гипотенуза этого треугольника и опущенная на нее высота?

2. Две стороны треугольника имеют длины 15 см и 20 см, а высота, проведенная к первой стороне, равна 8 см. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

3. Треугольник и параллелограмм имеют равные площади и равные основания. Как относятся их высоты?

4. Площадь ромба равна 348 кв. ед. Одна из диагоналей его равна 24 ед. Найдите другую диагональ.

5. Могут ли два параллелограмма с равными диагоналями иметь неравные площади?

6. Всегда ли два ромба, имеющие равные площади, имеют равные периметры?

7. Можно ли из двух равных трапеций сложить параллелограмм?

Одним из видов самостоятельной деятельности учащихся является деловая игра.

Рассматривая деловую игру как модель процесса принятия решений в реальной ситуации с четко выраженной структурой, отметим, что ее ценность состоит, прежде всего, в том, что при создании производственной играющему необходимо найти правильную линию поведения, оптимальное решение проблемы, соответствующее реальным обстоятельствам производства, имитированным в игре. В ходе игры каждому участнику необходимо максимально мобилизовать свои знания, опыт, воображение. Особенно ценно то, что деятельность учеников не сводится лишь к механическому использованию программного материала. В процессе игры вырабатывается умение маслить системно, продуктивно, пробуждается стремление к поиску новых идей.

8) Деловая игра «Строитель».

Цель: диагностика уровня усвоения учащимися формул для вычисления площадей параллелограмма, треугольника, трапеции и сформированности умений применять полученные знания при решении практических задач.

I этап. В начале урока учитель знакомит учащихся с распространенной профессией столяра. Профессия требует умение читать чертежи, развитого пространственного воображения, хорошего глазомера, знания геометрии, рисования, черчения.

Постановка задания. Учитель объявляет, что сегодня все ученики будут выступать в роли строителей.

Требуется выполнить работу по настилке полов строящегося детского сада. Предлагается произвести настилку паркетного пола в игровом зале размером 5,7 x 8 м.

Паркетные плитки имеют форму прямоугольных треугольников, параллелограммов и равнобедренных трапеций.

Правила игры: учащиеся объединяются в три бригады. Избираются бригадиры.

Первая бригада - столяры. Им нужно изготовить паркетные плитки указанных размеров в таком количестве, чтобы после настилки пола не осталось лишних плиток и число треугольных плиток было минимальным, а плиток в форме параллелограммов и трапеций - одинаковое количество.

Вторая бригада - поставщики. Им нужно доставить необходимое количество плиток на строительную площадку. Они рассчитывают это количество.

Третья бригада - паркетчики. Чтобы проконтролировать доставку, надо заранее знать, сколько и каких паркетных плиток понадобиться для покрытия пола.

Побеждает в игре команда, которая первой выполнит правильный расчет. Для этого надо знать формулы для вычисления площадей вышеуказанных фигур. Учитель записывает на доске, какой материал следует повторить. Во время повторения внутри каждой команды разрешаются взаимоконсультации, при необходимости консультацию дает учитель.

После повторения и записи (или проверки) формул в справочном разделе тетради проводится проверка готовности бригад. С этой целью каждой команде предлагается по два - три вопроса. Ответы оцениваются, например, очками и счет записывается на доске.

II этап. Каждая команда приступает к практическим вычислениям.

Паркет укладывается в ряд так, что параллелограммы и трапеции чередуются, а треугольников в одном ряду - два. Подсчеты показывают, что в одном ряду по ширине укладывается по два треугольника и по восемь параллелограммов т трапеций.

Действительно, площадь одной полосы шириной 20 см и длиной 575 см составляет 11500 см. Если площадь двух треугольников 300 см, а площадь параллелограмма или трапеции 700 см, то в одной полосе по ширине игрового зала поместится по 8 параллелограммов и трапеций.

Проверкой устанавливается: площадь игрового зала равна 575 x 800 = 460000 см, площадь полосы - 575 x 20 = 11500 см, а таких полос 40, поэтому площадь паркетного пола равна 11500 x 40 = 460000 см.

В конце второго этапа бригады объясняют, как они вычислили нужное количество паркетных плиток.

И хотя при этом основное обсуждение посвящено математическому содержанию работы, идет специальный разговор об экономии материала. Таким образом, происходит полноценный процесс применения знаний на практике. На этом этапе игры бригадиры получают определенное число очков, а ученики, активно участвовавшие в обсуждении - отметки в журнал.

На заключительном этапе учитель проверяет насколько глубоко ученики усвоили материал. Для этого им предлагается, например, следующие контрольные опросы:

1. Сформулируйте определение площади фигуры.

2. Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

3. По какому принципу укладывали паркетные плитки в ряд?

4. Как проводились вычисления площади одного ряда плиток?

5. Выполните чертеж пола с уложенным паркетом.

В заключении игры подводятся итоги, в частности, определяются другие аспекты практической значимости изученного материала, объявляются результаты работы бригад, комментируются выставленные отметки.

9) После обобщающего повторения в качестве домашнего задания предлагается решить не менее трех задач из предъявляемого набора задач.

1. В трапеции АВСD (АD ׀׀ СВ) диагонали пересекаются в точке О. Доказать, что а) S = S; б) S = a, S = b. Найти площадь трапеции.

2. В равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции, если а) известна высота трапеции; б) сумм оснований трапеции .

3. Найти площадь трапеции, если известны все ее стороны.

4. В четырехугольнике проведены диагонали. Известны площади трех составляющих треугольников. Найти площадь всего четырехугольника.

5. В треугольнике АВС медианы ВМ и СК пересекаются в точке О. Доказать, что S = S.

6. Зная медианы треугольника, найти его площадь.

7. На сторонах АВ и СD параллелограмма АВСD, площадь которого известна, взяты точки Р и Q таким образом, сто АР : РВ = 2:1, АQ : QD = 1:2. Найти S.

На уроке - консультации обсуждаются результаты выполнения домашнего задания. Наблюдение за работой школьников при обсуждении решения задач в ходе урока - консультации позволяет учителю провести диагностику сформированности обобщения у учащихся умения самостоятельно решать задачи.

Для организации самостоятельной деятельности учащихся на этапе обобщения знаний по теме: «Окружность» необходимо использовать следующие формы организации учебной деятельности.

1) Самостоятельная работа с учебной литературой, со справочниками, пособиями по математике. Основными являются следующие сведения:

а) Измерение углов, связанных с окружностью.

1) Величина центрального угла равна величине дуги, на которую он опирается.

2) Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается.

3) Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

4) Величина угла, образованного касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине угловой величины дуги, заключенной между его сторонами.

5) Величина угла с вершиной внутри круга равна полусумме угловых величин дуг, заключенных между его сторонами и их продолжениями.

6) Величина угла с вершиной вне круга равна полуразности угловых величин большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.

б) Свойства хорд, секущих и касательных.

1) Радиус, проведенный в точку касания касательной, перпендикулярен ей.

2) Отрезки касательных, проведенных из общей точки к окружности, равны.

3) Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

4) Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит ее пополам.

5) Квадрат касательной, проведенной из данной точки к окружности, равен произведению секущей, проведенной из этой же точки на ее внешнюю часть.

6) Произведение отрезков хорд, проходящих через данную точку внутри круга, есть величина постоянная.

в) Свойства линий в касающихся и пересекающихся окружностях.

1) Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку касания.

2) Расстояние между центрами двух касающихся окружностей равно сумме их радиусов (внешнее касание) или их разности (внутреннее касание).

3) Общая внутренняя касательная двух окружностей, касающихся извне, перпендикулярна их линии центров.

4) Общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их линии центров и делится точкой их пересечения пополам.

5) Необходимое и достаточное условие касания извне двух окружностей радиусов R и г: длина отрезка общей касательной, заключенной между точками касания с окружностями, равна 2.

2) Устные задачи на готовых чертежах.

Таблица 4

3) Задачи для письменного решения в классе.

1) Окружность с центром О касается сторон АВ, ВС, СА треугольника АВС в точках Р, К, Т соответственно. Найдите РТ, РКТ и АТР, если ВАС = 95.

2) Через точки Р и Q пересечения двух окружностей проведены их общие секущие АА и ВВ. Докажите, что АВ и АВ параллельны.

3) Точка К делит хорду АР на отрезки 12 и 14 см. Найдите радиус окружности, если расстояние от центра окружности до точки К равно 11 см.

4) К окружности радиуса r из одной точки проведены секущая, проходящая через центр окружности, и касательная, равная половине секущей. Найдите отрезок касательной.

5) Окружность проходит через вершины В, С и D трапеции АВСD и касается стороны АВ в точке В. Найдите длину диагонали ВD, если длины оснований трапеции равны а и в.

6) В угол вписаны две окружности, одна из которых касается сторон угла в точках К и К, а другая - в точках L и L. Докажите, что прямая КL высекает на этих окружностях равные хорды.

4) Задачи для решения дома.

1) Окружность с центром О касается сторон МК, КТ и ТМ треугольника МКТ в точках А, В и С соответственно. Найдите углы треугольника АВС, если МКТ = 42, КМТ = 82.

2) Две хорды, длины которых 8 и 6 см, пересекаются. Найдите отрезки первой хорды, если вторая делится на отрезки длиной 2 и 4 см.

3) Радиус окружности равен 7 см. Из точки, удаленной от центра на 9 см, проведена секущая так, что она делится окружностью пополам. Определите длину секущей.