Статья: Геометрические преобразования в курсе математики старшей школы

Геометрические преобразования в курсе математики старшей школы

Аннотация

В статье раскрываются особенности использования термина "геометрические преобразования" и методики решения задач с применением геометрических преобразований. Рассматриваются конкретные примеры.

Ключевые слова

Геометрические преобразования, движение, симметрия, параллельный перенос.

За последние десятилетия много говорилось о соответствующей терминологии. Это происходило потому, что для указанных преобразований есть три примерно одинаковых термина: «движение», «перемещение» и «изометрия». Традиционно в математической литературе и большинстве школьных учебников используется термин «движение». Академик А.Н. Колмогоров не разделял эту точку зрения и писал: «...изометрию на физическом языке более естественно называть перемещением, а не движением (движение есть процесс, а перемещение - его результат)». Вместе с тем термин «перемещение» оказался неудачным - он занят в курсе физики. Отметим, что понятие «изометрия» используют в пособиях В.А. Гусев, Крыгловская, Е.Д. Куланин и др. В своей методике мы используем термин «движение», а в элективном курсе мы знакомим учащихся с его синонимами. Определение движения едино для плоскости и пространства.

Существуют преобразования, для которых не выполняется условие о сохранении расстояний. Так, надувая мыльный пузырь, тоже осуществляется геометрическое преобразование, при этом расстояния между точками изменяются, значит, такое преобразование не является движением.

Дана произвольная точка пространства - О. Зададим преобразование, по которому, каждой точке А поставлена в соответствие точка А1, такая что А1 лежит на луче АО, причем точка О - средина отрезка АА1. Точка О переходит в себя при преобразовании. Будет ли заданное преобразование движением? Да, будет. Это преобразование является движением, так как оно является преобразованием пространства, и сохраняет расстояния между соответствующими точками, так как ОА1 = О А.

Свойства движений в учебниках изложены в разном объеме. У А.В. Погорелов в курсе планиметрии доказаны основные свойства, а в курсе стереометрии представлено одно свойство движения - переводить плоскость в плоскость. По-другому поступают И.М. Смирнова и В.А. Смирнов и в курсе планиметрии приводят следующие свойства: движение переводит прямые в прямые, лучи в лучи и отрезки в отрезки, при движении сохраняются углы, а в пространстве свойства не описывают. Более подробно свойства представлены в учебниках, где еще добавлены такие свойства как: треугольник движением переводится в треугольник; при движении образом полуплоскости является полуплоскость; при движении образом тетраэдра является тетраэдр; движение обратимо и другие.

Вопрос методики решения задач с использованием геометрических преобразований пространства является недостаточно изученным, несмотря на то, что использование преобразований является одним из эффективных способов решения геометрических задач.

Термин «геометрические преобразования», в большинстве своем, вводится в курсе планиметрии. В курсе стереометрии на его определение либо ссылаются, либо заново формулируют.

После введения определения геометрического преобразования следует предложить специально подобранные задачи на образование данного понятия у учащихся. Возможно использование задачного материала из учебно-методических пособий.

Определение движения вводится на плоскости и в пространстве аналогично.

Свойства движений являются общими для всех видов движений, которые в последствие будут изучаться учащимися. Для плоскости и пространства перечень свойств одинаков с той разницей, что в старшей школе добавляется еще одно свойство - переводить при движении плоскость в плоскость. Четко сформулировав и познакомив с доказательствами общих свойств движений в курсе планиметрии позволяет при изучении стереометрии вместе с учащимися вспомнить ранее изученный материал, что позволит сэкономить учебное время на обучение свойствам движений в пространстве. Дополнительные свойства движений можно выносить в заданный материал или на самостоятельное изучение и доказательство, например, свойства движений переводить параллельные прямые в параллельные, перпендикулярные прямые - в перпендикулярные и другие. Во- первых, учащиеся познакомятся с этими свойствами в основной школе, а, во- вторых, отнесение их к задачам поможет эффективнее расходовать учебные часы, выделяемые на данную тему.

В учебно-методических пособиях введение и изучение каждого вида движения (центральная симметрия, осевая симметрия, поворот вокруг точки и параллельный перенос) начинается с самого определения, что не верно. Для образования понятий каждого вида движения до введения самого определения задается соответствие между точками по определенному правилу (для каждого преобразования свое правило) - это помогает более логичному построению изучаемого материала, с одной стороны, а, с другой, связывает введенное ранее понятие «геометрические преобразования» с каждым конкретным преобразованием. Аналогичным образом поступаем при обучении движениям плоскости, что позволить оптимизировать изучаемое содержание.

Центральная симметрия и параллельный перенос на плоскости и в пространстве описываются и изучаются одинаково. Разница состоит в том, что в курсе старшей школы учащиеся будут изучать дополнительные свойства данных движений в пространстве.

Изучение осевой симметрии и повороту вокруг точки на плоскости и аналогичных тем в пространстве имеет свои особенности. Например, осевая симметрия на плоскости и в пространстве изображается на рисунке по-разному, так как мы с учащимися учитываем, что в пространстве при изображении фигур не сохраняются величины углов. В пространстве изучаем не поворот вокруг точки, а вращение вокруг оси, что также создает свои трудности у учащихся в проведении аналогии и сравнения между этими объектами. Свойства, выносимые на изучение, также различны: вместо взаимосвязи центральной симметрии и поворота вокруг точки на плоскости имеем взаимосвязь осевой симметрии и вращения вокруг оси в пространстве. Поэтому учащимся в старшей школе нужно будет заново изучать эти два преобразования, а также ранее не встречающееся преобразование - зеркальная симметрия.

При обучении каждому виду движения на плоскости и в пространстве следует выстраивать следующую последовательность: на основе задания соответствия между точками по определенному правилу вводить определение конкретного вида преобразования; после определения вида преобразования познакомить с сокращенной записью преобразования; сформулировать и обосновать с помощью, каких элементов (точек, прямых, плоскостей и др.) задается каждое конкретное преобразование; доказать, что каждое из рассматриваемых преобразований является движением (изометрией); выделить неподвижные элементы для каждого вида движения; указать характерный признак каждого движения; сформулировать свойства для каждого вида движения; решение разнообразных задач на закрепление изученного материала.

После обучения видам движений плоскости учащимся показывается применение преобразований плоскости к решению геометрических задач - это позволит указать на еще один из возможных методов решения задач в геометрии. Достаточно много различных по сложности задач представлено в пособиях, однако, для пространства таких задач, решаемых с применением преобразований пространства, очень мало.

Задача. В правильной треугольной пирамиде АВСD (рис.1)ребро АВ перпендикулярно ребру СD, угол АСВ равен углу АDВ, площадь сечения, проходящего через ребро АВ и середину ребра DС, равна S, DС = а. Найдите

объем пирамиды АВСD.

Решение:

1. Дана АВСD - правильная треугольная пирамида, АВ┴СD, DМ = МС, ˂ АСВ= ˂ АDВ, S_АВМ = S, DC=а.

2. Построим сечение АВМ, что V_АВСD = V_АВМС + V_АВМD.

3. В основании правильной треугольной пирамиды АВСD лежит правильный ∆ВСD. ВМ -медианой ΔВСD ВМ высота ΔВСD.4. Так как АВ┴СD, ˂ АСВ= ˂ АDВ ,СD┴ВМ СD┴АМ (по теореме о трех перпендикулярах) СD┴ АМ ∩ ВМ СD ┴(АВМ) (по при-

знаку перпендикулярности прямой и плоскости) С и D симметричны отно-

сительно (АВМ).

5. Точки А и В лежат в плоскости (АВМ) и являются неподвижными точками

при преобразовании (АВМ) -плоскость симметрии пирамиды АВСD, а именно S_АВМ(С) = D, S_АВМ(А) = А, S_АВМ(В) = В.

6. (АВМ) разбивает треугольную пирамиду АВСD на две равные треугольные пирамиды АВMD и АВМС, у которых равны объемы.

Литература

1.Методика обучения геометрии : учеб. пособие для бакалавриата высш. учеб. заведений по направлению "Педагогическое образование" (профиль "Математика") / Г. И. Саранцев. - Казань : Центр инновационных технологий, 2011. - 220 с.

2. Потоскуев Е. В., Звавич Л. И. Геометрия 11 класс: учеб. Для общеобразоват. учреждений с углубл. и профильным изучением математики. М.: Дрофа, 2013. 368 с.

3.Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. 7-9 кл. Учебник для общеобразоват. учреждений. - М.: Мнемозина, 2007. - 376 с.

4.Смирнова И.М., Смирнов В.А. Изображение пространственных фигур: Элективный курс: 10-11 классы: Учебное пособие для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2012. - 64 с.