Проект Музыка и число

2.

Введение.

Математика и музыка требуют

единого мыслительного процесса.

(А.Энштейн)

Математика имеет множество великолепных приложений к различным, казалось бы, самым неожиданным аспектам человеческой деятельности.

Вопрос о связи музыки и математики волнует человечество с древнейших времен до наших дней. Где есть музыка, обязательно появляется математика, а там где есть математика, обязательно образуется гармония чисел и их соотношений. Именно в музыке впервые была обнаружена таинственная направляющая роль чисел в природе и искусстве. А математика в свою очередь помогла построить фундамент ладов, гаммы, интервалов.

Моё знакомство с цифрами в музыке состоялось тогда, когда я восемь лет назад пошла в музыкальную школу: музыкальный метр (чередование сильных и слабых долей), ритм (чередование длинных и коротких звуков), сочетания нескольких звуков по высоте, даже порядок пальцев на инструменте - выражается цифрами в нотном тексте.

Меня очень заинтересовала постоянная связь музыки и чисел, таким образом, появилась эта работа, где были проведены исследования в распространении теории чисел в основы музыки. Для этого я поставила себе следующие задачи:

1. Исследовать литературу по данной теме.

2. Найти связь между математикой и современными основами музыки.

Проследить историю возникновения и развитие теории чисел в музыке.

3.Исследовать распространение музыкальной системы Пифагора на другие области науки.

3.

Глава I.

Консонансы. Связь математики и музыки.

Музыка в природе существовала всегда, все живые существа музицируют, не осознавая этого. Долгое время человек полагал, что музыка- дар богов. Не случайно создание лиры- главного музыкального инструмента Древней Греции, приписывают богу Гермесу. Первым владельцем лиры был Аполлон, а легендарному музыканту Орфею поклонялись сами боги. Его умение создавать музыку казалось им непостижимым и таинственным.

Первым человеком, обнаружившим, что музыка имеет свои законы, был Пифагор.

Отцом Пифагора был Мнесарх - резчик по драгоценным камням. Предполагается, что он назвал сына Пифагором в честь дельфийской прорицательницы Пифии. Другое предположение, что Пифагор - это не имя, а прозвище, поскольку мудрый учитель высказывал истину так же точно, как прорицатель.

Пифагор был убеждён в познаваемости природы и уверен том, что ключом к тайнам мироздания является математика. На основе математики им были выстроены музыкальные лады, выявлен тон, как ладообразующая ступень, найдены консонирующие интервалы. Напомню, что музыкальный интервал - это созвучие двух звуков, а консонанс- это стройное «согласное» звучание двух и более звуков. Момент обнаружения Пифагором консонанса окружен красивой легендой, а может быть является историческим фактом.

Философ Боэций так описывает этот случай: Проходя мимо кузницы, Пифагор слышал, что удары молотков из различных звуков образуют некое единое звучание. Тогда он решил, что различие звуков

обусловлено силой ударов и велел кузнецам поменяться молотками. Выяснилось, что высота звука зависит от молотка. Тогда Пифагор исследовал

4.

вес молотков. Один из них был в два раза больше, и их созвучие образовывало октаву.

По легенде, придя, домой, Пифагор продолжил опыты со струнами. Он обнаружил, что консонансы получаются лишь в том случае, когда длины струн относятся как целые числа первой четвёрки, то есть: как 1:2 (октава), 2:3 (квинта), 3:4 (кварта).

Пифагор для опытов со звуками изобрёл музыкальный инструмент «монохорд». Моно - одна. Хорд - струна. Он поместил эту струну в деревянный ящик, который служил резонатором. Резонатор - это коробочка или иной предмет с одной открытой стороной. В нём отражается звук и звучит более звонко. Со временем количество струн в резонансном ящике возросло, сами струны были поделены шкалой. Таким образом, монохорд Пифагора является предком всех струнных и клавишных инструментов в плоть до рояля- «короля» инструментов.

На монохорде было впервые обнаружено, что струна, которая вдвое короче данной звучит на октаву выше, т.е. соотносится как 1:2. Другие консонансы образуются в соотношении 2:3 и 3:4.

Сегодня мы знаем, что высота звука зависит от скорости движения струны, то есть скорости ударения струны по частичкам воздуха. Звук имеет волновую природу. Представим, что мы бросили камень в спокойную воду. Что мы наблюдаем при этом? Вокруг места падения начинают разбегаться симметричные круги. Нечто подобное происходит и в воздушной среде. Колебания воздушных волн могут быть равномерными периодическими и неравномерными непериодическими. В первом случае мы имеем дело с музыкальным тоном, а во втором- с шумом. Ясность в этот вопрос внёс Архит (4 в. до н. эр.). Он установил, что высота тона обратно пропорциональна длине струны:

W= A : L, где

5.

A- Коэффициент, характеризующий физические свойства струны,

L- Длина струны.

Интервал образуется отношением частоты колебания верхнего тона к частоте нижнего. W₂ : W₁.

Удивительно, что совершенные консонансы образуются только в том случае, когда соотношение W₂ : W₁ выражено целыми числами.

W₂ : W₁= 2:1 (октава),

W₂ : W₁= 3:2 (квинта),

W₂ : W₁= 4:3 (кварта).

Четверка чисел 1,2,3,4, лежащая в основе закона консонансов, получила название «тетрада». Пифагорейцы считали, что тетрада наделена магическими свойствами, так как сумма чисел 1+2+3+4 = 10.

Священная десятка олицетворяла всю Вселенную. Пифагор отвергал оценку музыки, основанную на чувствах, и утверждал, что достоинства ее должны восприниматься умом. Он судил о музыке не по слуху, а на основании математической гармонии.

В основу музыкальной шкалы- гаммы Пифагорейцы положили интервал октавы- самого широкого консонанса. Далее октаву предстояло разделить на другие благозвучные части: на квинту и кварту. В результате сопоставления квинты и кварты был найден тон- интервал, который и был принят Пифагорейцами (Архитом) за ладообразующую ступень гаммы.

Впоследствии все 7 ступеней гаммы получили «имена» ДО-РЕ-МИ-ФА-СОЛЬ-ЛЯ-СИ и снова До. Этот ряд - звукоряд - позже стал называться Пифагоровым строем, или Пифагоровым звукорядом.

• Две звучащие струны дают консонанс лишь тогда, когда их длины относятся как целые числа 1 : 2, 2 : 3, 3 : 4

• Пифагор обнаружил приятные слуху созвучия: квинта - пятая ступень, кварта - четвертая, октава - восьмая. Основа всей музыки -

аккорд совершенных консонансов до - фа - соль - до.

6.

Глава II.

Музыка сфер.

Открытие Пифагора было первым примером установления числовых связей в природе. Пифагорейцы объявили «Всё есть число» и распространили закон целочисленных музыкальных отношений повсюду, в том числе и на строение Вселенной.

Пифагорейская система знаний состояла из 4-х разделов: арифметики, геометрии, музыки и астрономии. Эти науки рассматривались как родственные, преподавались в школах Греции в совокупности. Эта система образования пережила тысячелетия, падение Римской империи и в эпоху средневековья называлась «квадривиум» (буквально - пересечение 4-х дорог).

Пифагор предполагал, что Мироздание, космос устроены по законам музыкальных соотношений на основе тетрады. Согласно Пифагору, Солнце, Луна и планеты располагались на небесных сферах и совершали вместе с ними круговое вращение. Как и все движущиеся тела, вследствие трения об эфир (по их мнению, это было то, чем заполнен космос), они издавали звуки. Рассмотрим опыт, который поможет нам понять это явление.

На леске или струне привязан груз. Его вращают с определённой скоростью. Вследствие мы получаем определённый звук. Если уменьшить длину струны, то мы получим звук более низкого тона. Так, по мнению Пифагора, небесные тела при вращении издавали «музыку сфер», которую человек слышал не ухом, а душой. Пифагор считал, что без этой музыки мир распадётся на части, а земная музыка - главная из искусств является отражением «мировой музыки». Пифагор полагал, что в центре Вселенной

Земля. Он думал, что звучание небесных тел образуют совершенные консонансы,

7.

то есть сфера Луны соотносится к сфере Земли, как 4:3 (кварта),

сфера Солнца и Земли - как 3:2 (квинта),

сфера Звезд и Земли - 2:1(октава).

В дальнейшем, идея того, что в основе Мироздания лежат простые числовые соотношения, развивалась в работах Платона, создавшего теорию небесного гептатахорда («семиструнника»).

Пифагорейское учение о музыке сфер просуществовало без изменений всю античную эпоху, средневековья, эпоху Возрождения, вплоть да ХVII века.

Глава III.

Последователи Пифагора.

В 1619 году поискам гармонических отношений в космосе была посвящена одна из глав книги И. Кеплера «Гармония мира».

Проделав огромную вычислительную работу, Кеплер установил, что соотношения скоростей движения некоторых планет близки к гармоническим. Его вывод: «небесные движения есть не что иное, как ни на миг не прекращающаяся многоголосная музыка».

Много позже в XYIII веке музыканты-ученые Веркхмейстер и Нейдхардт немного подправили Пифагоров звукоряд. Они чуть повысили

одни звуки, понизили другие, получив тем самым темперированный строй, т.е. разделили октаву на 12 полутонов. Темперированный строй был сразу принят великим немецким композитором Иоганном Себастьяном Бахом. Он понял огромные возможности нового строя для развития музыкального языка и первым продемонстрировал достоинства темперированного строя. Бах сочинил 24 прелюдий и фуг во всех возможных тональностях, помещенных в два сборника, которые называются «Хорошо темперированный клавир»

(клавир - старинное название клавесина). Это произведение - великий звучащий памятник слиянию математики и музыки.

8.

Выводы.

В данной работе рассмотрены только отношения звуков по высоте, не затронут вопрос исчисления «музыкального» времени: построения такта, периода, музыкальной формы. Эту тему я надеюсь исследовать в следующем учебном году.

Основным выводом данной работы я считаю доказательство того красота звучания (консонанс) подтверждена математическим расчётом. Идея Пифагора, что гармония Вселенной основана на гармонии «божественной» тетрады живёт и сегодня. Музыка и математика едины на пути познания мира.

Приложение I.

Приложение II.

Список используемой литературы:

1. А.В. Волошинов «Пифагор». - Москва «Просвещение» 1993.

2. Г. Виноградов, Е. Красовская «Занимательная теория музыки». - Москва «Советский композитор» 1991.

3. М.И. Кюне «История построения музыкальной гаммы». - Фестиваль

« Открытый урок» 2006.

4. А.В. Волошин «Математика и искусство». - М. «Просвещение» 1992.

5. Данилов Ю. «Две вариации на тему Пифагор (самоподобие)».- М.,

Знание-сила, №12/1995, с. 97

6. «Чем был знаменит Пифагор, кроме своей теоремы?»- М., Юный

техник, №1/ 1994, с. 78.