Курс по математике для 10-11 классов

«По ступенькам успеха - к вершинам знаний»

ТЕМА: Выполнение арифметических действий.

ЦЕЛЬ: Повторить, закрепить, упрочить знания и умения по выполнению

арифметических действий над обыкновенными дробями,

десятичными дробями и периодической дробью.

Справочный материал:

1

. Свойства степени:

2



. Свойства квадратного корня:

3. Обращение бесконечной периодической дроби в обыкновенную дробь:

0,(а₁а₂…а_n) = в знаменателе девяток столько, сколько цифр в периоде, а нулей столько, сколько цифр после запятой до периода.

Решение упражнений:

1. Вычислить:

! нельзя представить в виде десятичной дроби, поэтому в 1 скобке переходим к

обыкновенным дробям

2. Вычислить:

3. Вычислить:

Ответ: 8.

4. Найти 150% от числа

Ответ: 0,15.

5. Найти х из пропорции:

Ответ: х=70.

6. Найдите значение выражения:

0,4(6)= и 0,41(6)=

Ответ:

ТЕСТ № 1.

Арифметические действия.

1. Вычислите: 175 + (1000 - 375) : 25

а) 200 б) 0,02 в) 0,2 г) 2 д) 2000

2. Вычислите:

а)1,3 б) 2,2 в) 1,9 г) 1,19 д) 0,9

3. Вычислите: 5(89,1 - 83,7 : 2,7)

а) 290,4 б) 337,8 в) 29,04 г) 1,2 д) 118,43

4. Вычислите: 2 (-0,8) - 3· 0,6

а) 4,7 б) -3,4 в) 1 г) -4,2 д) 0,2

5. Вычислите:

а) б) 0 в) г) 1,1 д)

6. Вычислите:

а) 3,2 б) 1 в) 2,5 г) 1,3 д) 1,5

7. Вычислите:

а) б) в) г) -3 д)

8. Вычислите:

а) б) в) г) д)

9. Вычислите:

а) 13,2 б) 1,32 в) 0,1 г) 0,305 д) 0,35

10. Вычислите:

а) 1,2 б) 3,8 в) 0,5 г) 1,002 д) 1,4

11. Вычислите: (6 - 4,5) : 0,003

а) 500 б) 50 в) 5 г) 0,5 д) 5000

12. Вычислите:

а) б) в) г) д)

13. Вычислите:

а) 3 б) 4 в) 7 г) д) 49

14. Вычислите:

а) 9 б) 8 в) 1 г) 6 д) 4

15. Вычислите:

а) 1,8 б) 4 в) 1 г) 5,8 д) 0

16. Вычислите:

а) 12 б) 18 в) 14 г) 16 д) 15

17. Вычислите:

а) б) в) г) д)

18. Вычислите:

а) 1,6 б) 2,6 в) 3,6 г) 0,6 д) 0,06

19. Вычислите:

а) б) в) г) д)

20. Вычислите:

а) 5 б) 50 в) 0,05 г) 500 д) 0,5

21. Вычислите:

а) б) в) г) д)

22. Вычислите:

а) 2,5 б) 1,25 в) 125 г) 12,5 д) 1,2

23. Вычислите:

а) б) в) г) д)

24. Вычислите: 3⁶ · 9^-2 · 5¹ - 9 ·

а) 10 б) 1 в) 4 г) 0 д) 2

25. Вычислите:

а) 1 б) 0,1 в) 0,01 г) 10 д) 100

26. Вычислите:

а) 17 б) 44 в) 24 г) 15 д)12

27. Вычислите:

а) б) 0,7 в) 0,5 г) 1,3 д) 1

28. Вычислите:

а) 11 б) 12,5 в) 0,6 г) 1,3 д) 1

29. Вычислите:

а) б) в) г) д)

30. Вычислите: (1,5)³ · (2,25)^-1,5 · (0,75)^-1 ·

а) 1,5 б) 8 в) 0,75 г) д) 1

Ключ к тесту «Арифметические действия»

1

а

11

а

21

а

2

в

12

г

22

б

3

а

13

д

23

в

4

б

14

д

24

г

5

в

15

г

25

д

6

д

16

г

26

в

7

а

17

в

27

г

8

д

18

б

28

а

9

д

19

в

29

б

10

в

20

д

30

б

ТЕМА: Упрощение выражений.

ЦЕЛЬ: Повторить, закрепить, обобщить знания, умения по теме, повторить

формулы сокращенного умножения, алгебраические преобразования:

сложение, вычитание, умножение, деление алгебраических дробей, свойства

корня п-ой степени, свойства степени с рациональным показателем и т.д.

Справочный материал:

1. Формулы сокращенного умножения:

2. Бином Ньютона:

3



. Свойство корня n-ой степени:

4

. Разложение на множители двучлена:

5. Разложение на множители трехчлена:

ax²+bx+c = a(x-x₁)(x-x₂), где х₁ и х₂ - корни квадратного трехчлена.

6. Формула сложных радикалов:

;

Решение упражнений.

1. Упростить:

Решение:

Ответ:

2. Упростить:

Решение: Преобразуем первую дробь:

Преобразуем вторую дробь:

3. Упростить выражение:

Решение: Имеем: Поскольку заданное выражение содержит слагаемое , то 2-х≥0, откуда находим, что х≤2. Значит, х-3<0, а потому Итак,

4. Упростить:

5. Вычислить:

Решение: Возведем вычисляемое выражение в квадрат:

Исходное выражение может быть равно 6 или -6; т.к. по свойству

неравенства , то разность этих выражений должна

быть отрицательной -6 Ответ: -6.

6. Вычислить: .

Решение: Воспользуемся формулой сложных радикалов:

и

= = = .

Ответ: .

ТЕСТ № 2

Упрощение выражений

1. Запишите в виде многочлена произведение: (3-b)(b²+3b+9)

a) (3-b) б) 3 в) 0 г) (27-b³) д) (3+b)

2. Упростите выражение: 3а - (а-1)+(2а-5)

а) (4а+4) б) (4а-4) в) (а-2) г) (2а-4) д) (2а+2)

3. Разложите на множители: 2ах + bх + 2ау - bу

а) (2b-a) б) (b + a)(х - у) в) (2а + b)(х - у) г) 2(а+b)(х-у) д) (х-у)²

4. Упростите выражение: 6ху-х²+3(х-у)²

а) (х²-у²) б) 3(х+у) в) (2х+3у)² г) (3х-у²) д) (2х²+3у²)

5. Найдите значение выражения:

а) б) в) а-1 г) а² д) 5+а²

6. Найдите значение выражения:

а) б) 9 в) 1 г) 0 д) 3

7. Упростите выражение: (2х-3)(4х²+6х+9)+(х+3)(х²-3х+9)

а) (х²-3) б) 9х³ в) 3х² г) 2х³ д) (х²+3)

8. Упростите выражение:

а) (а²+1) б) а¹⁵ в) а¹² г) а^-3 д) а

9. Упростите выражение:

а) (а+3)(а-1) б) (2а²-3) в) (а+3) г) (а+1) д) (2а+3)

10. Вычислите: при а =5; b = 2 c = 3 d = 5

а) б) в) 2 г) 1 д)

11. Упростите выражение:

а) б) в) г) д)

12. Упрости выражение:

а) б) а в) г) д)

13. Упростите выражение:

а) б) в) г) д)

14. Упростите выражение:

а) a²b² б) в) г) д) а²

15. Сократите дробь:

а) б) в) г) д)

16. Сократите дробь:

а) б) в) г)

17. Сократите дробь:

а) б) в) г) д) 3

18. Сократите дробь:

а) - б) в) г) - д)

19. Разложите на множители: х² - 7х + 7у - у²

а) 7х + у б) 7(х + у) (х - у) в) (х² - у²) г) (х² + у²) д) (х - у) (х + у - 7)

20. Разложите на множители: а³ - 5а² - 4а + 20

а) (а - 5) (а² - 4) б) а³ - 5 в) а (5а - 4) г) 4 (а² + 5) д) а - 4

21. Разложите на множители: х³ - 4х² - 9х + 36

а) х³ - х² б) (х - 4) (х² - 9) в) (х - 4) (х + 9) г) 4х² - 9 д) 4х + 36

22. Упростите выражение: -

а) б) в) г) д)

23. Упростите выражение:

а) б) в) г) д)

24. Зная, что , найдите значение выражения

а) 8 б) 2 в) 1 г) 0 д) - 2

25. Зная, что , найдите значение выражения

а) - 2 б) - 1 в) 1 г) 2 д) 0

26. Извлеките корень: и найдите его значение при а = 2, b = 3, с = 2

а) 16 б) 3 в) 5 г) 1 д) 10

27. Извлеките корень: и найдите его значение при а = 2, b = 2, с = 10

а) 1,2 б) 0,12 в) 120 г) 360 д) 100

28. Упростите выражение:

а) х² б) х⁴ в) х г) х^{- 1} д) х

29. Упростите выражение:

а) б) х - 2 в) 3х + 2 г) х² д) - 1

30. Исключите иррациональность в знаменателе:

а) б) в) г) д)

Ключ к тесту № 2 «Упрощение выражений»

1

г

11

в

21

б

2

б

12

б

22

в

3

в

13

г

23

а

4

д

14

д

24

б

5

а

15

а

25

г

6

д

16

в

26

д

7

б

17

б

27

в

8

в

18

г

28

г

9

г

19

д

29

а

10

а

20

а

30

д

ТЕМА: Решение уравнений и систем уравнений.

ЦЕЛЬ: Повторить, закрепить умения и навыки решения уравнений и их систем.

Повторить решение - линейных уравнений и их систем;

- квадратных уравнений и их систем;

- иррациональных уравнений;

- уравнений с модулем.

1. Линейные уравнения:

а) Решить уравнение:

б) Решить уравнение: (обе части умножаем на 3)

2 (х + 3 ) = 6 + 2х

2х + 6 = 6 + 2х

0х = 0 х - любое число

в) Решить систему уравнений: х + у - z = 2 (1)

2х - у + 4z = 1 (2)

х + 6у + z = 5 (3)

(1) уравнение умножаем на (-2) и складываем со вторым уравнением, получаем

- 3у + 6z = - 3 или у - 2z = 1

Складывая первое уравнение с третьим, получаем 7у = 7, или у = 1

х + у - z = 2

у - 2z = 1 у = 1, z = 0, х = 1

у = 1 Ответ: (1; 1; 0)

г) При каких значениях параметра а система уравнений 2х + ау = а + 2

(а + 1) х + 2ау = 2а + 4

имеет бесконечно много решений?

Из первого уравнения выражаем Х: х = - - подставляем во второе уравнение, получаем: (а+1) +2ау = 2а + 4 - умножим обе части на 2 и упростим его: (а + 1) (а + 2-ау) + 4ау = 4а + 8;

4ау - а (а + 1)у = 4 (а + 2) - (а + 1) (а + 2)

уа (4 - а - 1) = (а + 2) (4 - а - 1)

у · а (3 - а) = (а + 2) (3 - а), при а = 3 уравнение имеет вид:

0 · у = 0

Ответ : 3

2. Квадратные уравнения:

а) 2х² + 5х - 1 = 0 б) х³ - 5х² + 6х = 0

Д = 25 - 4 · 2 · (-1) = 33 > 0 х (х² - 5х + 6) = 0; х₁ = 0

х_{1 =} ; х₂ = ; х² - 5х + 6 = 0 по т.Виета: х₁ = 3; х₂ = 2

Ответ: х_{1 =} ; х₂ = ; Ответ: 0; 2; 3.

в) Решить уравнение:

Решение: вводим новую переменную: ; ; ;

у²- 4у + 3 = 0, у₁ = 1, у₂ = 3

у 0

и

х² - 5 = 0 х² - 2х - 5 = 0

х 0 х 0

х₁ = ; х₂ = - х₃ = 1 + , х₄ = 1 -

Ответ: - ; ; 1 - ; 1 + .

г) Решить систему: х + у + 2ху = 7 х + у = а а + 2b = 7

ху + 2 (х + у) = 8 ху = b b + 2а = 8,

откуда а = 3 х + у = 3

b = 3, получаем ху = 2, решая систему, имеем:

Ответ: (2; 1); (1; 2).

3. Иррациональные уравнения.

Одним из способов решения иррациональных уравнений является возведение обеих частей уравнения в степень, равную показателю степени корня. Если показатель степени чётный, то необходима проверка найденных решений.

Замечание: Если при решении уравнений или систем уравнений делается проверка, то область допустимых значений можно и не находить.

а) Решить уравнение: (х - 5) (х + 2) = 0

х - 5 = 0 х = 5

х + 2 = 0 х = - 2

х - 7 = 0 х = 7 => Ответ: 7

х - 7 ≥ 0 (ОДЗ) х ≥ 7

б) Решить уравнение: (х + 4) (х + 1) - 3 = 6

х² + 5х + 4 - 3 = 6

Замена: = у

Имеем: ² + 2 - 3 = 6

у² + 2 - 3у = 6

у² - 3у - 4 = 0 по т.Виета: у₁ = - 1; у₂ = 4

Исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений:

= - 1 и = 4

не имеет решений х² + 5х + 2 = 16

х² + 5х - 14 = 0

х₁ = 2; х₂ = - 7

Проверка: Ответ: 2 и - 7.

4. Уравнения с модулем.

Алгоритм решения уравнений с модулем:

1. находят критические точки, т.е. значение переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль;

2. разбивают область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак;

3. на каждом из найденных промежутков решают уравнение без знака модуля.

Совокупность (объединение) решений указанных промежутков и составляет все решения рассматриваемого уравнения.

Пример: Решить уравнение

Критические точки: (значения переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль)

х + 3 = 0; х = - 3.

- +

- 3

1) рассмотрим промежуток (-; -3) 2) рассмотрим промежуток (-3; )

Выражение под знаком модуля на данном Выражение под знаком модуля на данном

промежутке отрицательно, поэтому: промежутке положительно, поэтому:

- (х + 3) = 2х - 1 х + 3 = 2х - 1

- х - 3 = 2х - 1 - х = - 1 - 3

- х - 2х = - 1 + 3 - х = - 4

- 3х = 2 х = 4

х = - рассм.промежуток 4 [ - 3; ∞ )

( - ∞; - 3) Ответ: 4.

Пример: Решить уравнение: │х + 2│ + │х + 3│= х

Критические точки: х + 2 = 0 и х + 3 = 0

х = - 2 х = - 3

= ‡

- 3 - 2

1) - х - 2 - х - 3 = х 2) - х - 2 + х + 3 = х 3) х + 2 + х + 3 = х

- 2х - 5 = х х = 1 2х + 5 = х

- 3х = 5 1 [- 3; - 2) х = - 5

х = - - 5 [ - 2; ∞)

-1(- ∞; - 3) Ответ: решений нет Ø

Пример: Решить уравнение: │х + 5│ - │х - 3│ = 8

Критические точки: х + 5 = 0 и х - 3 = 0

х = - 5 х = 3

= ± ‡

- 5 3

1) - х - 5 + х - 3 = 8 2) х + 5 + х - 3 = 8 3) х + 5 - х + 3 = 8

- 8 = 8 ложно 2х + 2 = 8 8 = 8 верно

решений нет 2х = 6

х = 3 промеж.[ - 5; 3) => Ответ: [ 3; ∞)

ТЕСТ №3

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ.

1. Решить уравнение: 7-(3,1-0,1у) = 3-0,2у

А) 5 В) 3,2 С) 0,5 D) -3

2. Решить уравнение:

А) 2 В) 3 С) 5 D) 3

3. Решить уравнение: (х+8)(х-7) =0

А) 5 ; 0 В) 8 ; 7 С) -8 ; 7 D) -7; -8

4. Решить уравнение:

А) 5 В) 2 С) 0 D) -3

5. Решить уравнение: 6(х-1) = 9,4-1,7х

А) 5 В) 2 С) 0 D) -3

6. Решить уравнение: |2х-3|=1

А) 5 В) 2; -1 С) 2 ;1 D) -3 ; 0

7. Решить уравнение: 10+8х = 3х-5

А) 5 В) 2 С) 0 D) -3

8. Решить уравнение:

А) 3 ; -2 В) 2 С) 0 ; 3 D) -3 ; 2

9. Решить уравнение: |х-5| = 3

А) 2; 8 В) 2 С) 0 ; 3 D) -8 ; 2

10. Решить уравнение: || = 2

А) 3; 6 В) -6; 6 С) 6 ; 3 D) -8 ; 2

11. Решить уравнение: х²+х-6=0

А) -3; 6 В) -6; 0 С) 6 ; 1 D) -3 ; 2

12. Решить уравнение: х²-4х+3=0

А) -3; 6 В) -3; 0 С) 3 ; 1 D) 3 ; 2

13. Решить уравнение:

А) 2,5 В) 5; 0 С) 1 D) 3

14. Решить уравнение:

А) -2 В) 0 С) 1 D) 2

15. Решить уравнение:

А) 5 В) нет решений С) 1 D) -2

16. Решить уравнение:

А) 5 В) нет решений С) 1 D) -2

17. Решить уравнение:

А) 48 В) нет решений С) 3 D) 25

18. Решить уравнение:

А) 50 В) нет решений С) 6 D) 26

19. Решить уравнение:

А) -1,92 В) 0,62 С) -1,2 D) 1,84

20. Решить уравнение:

А) 0,92584 В) 6,2 С) 2,4 D) 0,05625

21. Решить уравнение: |5-2х|+|х+3|= 2-3х

А) -3 В) 0; -5 С) (-∞; ∞) D) (-∞; -3]

22. Решить уравнение: 4х²+12х+9=0

А) -1; 5 В) нет решений С) 0; 2 D) 5; 1

23. Решить уравнение:

А) 1; 5 В) нет решений С) -2; 2 D) -5; -1

24. Решить уравнение:

А) 0; 5 В) нет решений С) 1 ; 3 D) 6; 10

25. Решить уравнение:

А) 0 В) нет решений С) 1 D) 15

26. Решить уравнение: 3х³ - х² + 18х - 6 =0

А) В) нет решений С) D) 5,1

27. Решить уравнение: х³+х² = 9х+9

А) 0; -1; 3 В) нет решений С) 1; 2; 8 D) -1; 3; -3

28. Решить уравнение:

А) 0; -3; 3 В) нет решений С) 1; 5 D) -1

29.Решить уравнение: (х²-9)

А) -3; 2 В) нет решений С) -3; 3; 2 D) 3; 2

30. Сколько решений в интервале (-1,366 ; 0,365 ) имеет уравнение: (х²-7х+8)(2х²+2х-1)=0 , если

1,732<< 1,734 ?

А) 0 В) 1 С) 2 D) 3

Ключ к тесту № 3 «Решение уравнений»

1. D 11 D 21 D

2. А 12 С 22 А

3. С 13 А 23 В

4. В 14 D 24 С

5. В 15 А 25 С

6. С 16 В 26 А

7. D 17 В 27 D

8. А 18 С 28 D

9. А 19 А 29 А

10. В 20 D 30 В

ТЕМА: Показательные и логарифмические уравнения.

ЦЕЛЬ: Повторить, закрепить знания и умения учащихся по решению показатель-

ных и логарифмических уравнений;

Теоретический материал:

Логарифмичекие уравнения.

Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид: log₂ х = b, где а > 0, а ≠ 1

Множество его допустимых значений х > 0, и оно имеет решение: х = а^b.

Если 1) log_а f (х) = b, где а > 0, а ≠ 1, то

f (х) > 0

a^b = f (х)

2) log_af (x) = log_a (х) , то

f (х) > 0

 (х) > 0

f (х) =  (х)

1. Пример: Решить уравнение: log₅ (x + 1) + log₅ (x - 1) = 3 log₅ 2

Решение:

Представим левую часть уравнения в виде логарифма произведения, а правую сведем к логарифму по основанию 5:

log₅ (x + 1) (x - 1) = log₅ 2³ и ОДЗ: х + 1 >0 х > - 1

( х + 1) (х - 1) = 8 => х > 1

х² - 1 = 8 х - 1 > 0 х > 1

х² = 9

х = ± 3 - 3 ОДЗ Ответ : 3.

2. Пример: Решить уравнение: log₂² х - log₂x - 2 = 0

Решение: ОДЗ: х > 0

Уравнение квадратное, относительно log₂ х => log₂ х = у => у² - у - 2 = 0

по т.Виета у₁ = 2; у₂ = -1

log₂x = 2 и log₂ х = - 1

х = 4 х =

4 и ОДЗ, => Ответ: 4 и

3. Пример: Решить уравнение:

Решение: ОДЗ: х-2>0

x>0  x>2

Показательные уравнения:

Простейшее показательное уравнение имеет вид: а^х = b, где а > 0, b > 0, а ≠ 1,

имеет решение: х = loga^b

1. Пример: Решить уравнение: - приводим степень в правой части уравнения к основанию :

2. Пример: Решить уравнение: ⁴

Решение:

; ; => 9 - 6х = 3;

- 6х = - 6; х = 1 Ответ: 1.

3. Решить уравнение:

Решение:

; ; ;

9 · 3^-х = 9 · 3^2х; 3^-х = 3^2х; -х = 2х; -3х = 0; х = 0

Ответ: 0

4. Решить уравнение: 0,1^lgx ∙x^lgx = 1000x.

Решение:

(0,1х)^lgx = 1000x ;

Прологарифмируем обе части уравнения: lg(0,1x)^lgx = lg1000x

lgx ∙ (lg0,1+lgx) = lg1000 + lgx

lgx ∙ (-1 + lgx) = 3+lgx

lg²x - 2lgx - 3 = 0

lgx = a

a² - 2a - 3 = 0

a₁=3; a₂=-1

 lgx=3; x=1000; и lgx=-1; x=0,1. Ответ: 0,1 и 1000.

ТЕСТ № 4

Решение показательных и логарифмических уравнений.

1. Найдите х: а⁵ •а⁴ = а^х

А) 9 В) 0 С) 1 D) 10 E) 7

2. Найдите у:

А) 5 В) 6 С) 5/6 D) 1 E) 12

3. Чему равно выражение log₅log₄log₃ 81?

А) 5 В) 6 С) 81 D) 0 E) 1

4. Вычислите значение выражения 10^х , при х = lg2 +

А) 5 В) 6 С) 2 D) 0 E) 1

5.Чему равно выражение log₂log₂log₂16 ?

А) 5 В) 6 С) 2 D) 0 E) 1

6. Чему равно выражение? log₃2•log₄3•log₅4•log₆5?

А) log₂6 В) log₃5 С) 2 D) 0 E) log₆2

7. Найдите значение выражения: log₄log₁₄196 + log₅

А) 2⁶ В) 5 С) 2 D) 1 E) log₆2

8. Найдите значение выражения: х=

А) 2⁶ В) 0,25 С) 243 D) 3⁸E) log₆2

9. Найдите область определения функции: f(x) = log₄(4-5x).

А) (-∞; 0,8) В) (4; 5) С) (0,8 ; 5) D) (-∞; ∞) E) (4/5; ∞)

10. Решите уравнение: =8

А) 2³ В) ±4 С) 24 D) 3²E) 1

11.Решите уравнение: log₆x=1-log₆(х-1)

А) 2 В) 4 С) 10 D) 3 E) 13

12. Решите уравнение: log_x(х²+5х -5) =2

А) 0 В) ±5 С) 12 D) 32 E) нет корней

13. Решите уравнение: 4^х+1 + 2^х+1=72

А) 2 В) ±7 С) 1 D) 3 E) нет корней

14. Решите уравнение:

А) 10 В) ±4 С) 25 D) 0 E) нет корней

15. Решите уравнение: 5^х+1+2•5^х=175

А) 5 В) 4 С) 2 D) 0 E) ½

16. Решите уравнение: 3^2-х - 6•3^2х=3^2х+1

А) 1,5 В) 1/4 С) 2 D) 0 E) ½

17. Решите уравнение: х=

А) ±3 В) 3 С) 0,2 D) 0,1 E) 5

18. Решите уравнение: 10^х=20

А) 0,1 В) 1+lg2 С) 0,2 D) 1/3 E) lg10

19. Решите уравнение:

А) 4 В) lg2 С) 2 D) 1/2 E) lg20

20. Решите уравнение: ln(x²-6x+9) = ln3 + ln(x+3)

А) 4 В) ln2 С) 2 и5 D) 0 и 9 E) нет корней

21. Решите уравнение: 4^х-10•2^х-1-24=0

А) 3 В) 1и4 С) 2 и3 D) 0 и 1 E) 101

22. Решите уравнение: 2•log_x27- 3•log₂₇X =1

А) 1/9 и 27 В) 1и3 С) 9 и1/27 D) 0 и 9 E) 10 и 1

23. Решите уравнение:

А) 12 В) 13 С) 10 D) 3; 5 E) 11

24. Решите уравнение: log₄X∙log₂X + log₂log₄X =2

А) 1,2 В) 16 С) 100 D) 5и10 E) 1,1

25. Решите уравнение:

А) 4 В) 16 С) 10и2 D) 5 E) 2

26. Решите уравнение:

А) 4 В) 2 С) 1и2 D) 2,5 E) 9

27. Решите уравнение: lg cosX = 1

А) 1/4 В) 1/2 С) 1и2 D) 2,5 E) решений нет

28. Решите уравнение: 2^х-4•3^х-3 =3

А) 10 В) 1,2 С) 4 D) 25 E) решений нет

29. Решите уравнение:

А) 10 В) 1,2 С) 4 D) 25 E) решений нет

30. Вычислить:

А) 14 В) 18 С) 49 D) 7 E) 9

Ключ к тесту № 4

«Решение показательных и логарифмических уравнений»

1. А 11 Д 21 А

2. С 12 Е 22 С

3. Д 13 А 23 Е

4. В 14 С 24 В

5. Е 15 С 25 А

6. Е 16 Д 26 Д

7. Д 17 В 27 Е

8. С 18 В 28 С

9. А 19 А 29 Е

10. В 20 Д 30 В

ТЕМА: Решение неравенств.

ЦЕЛЬ: Повторить решение всех видов неравенств: линейных, рациональных,

иррациональных, неравенств с модулем.

1. Решение линейных неравенств.

Пример:

2. Решение рациональных неравенств.

Пример 1: (х-1)(х+1) ≤ 0

а) находим нули функции

(х-1)(х+1)=0

х-1=0 х+1=0

х=1 х= -1

+ - +

б) • •

-1 1

в) Ответ: f(х)≤0 при

Пример 2: Разложим на множители:

х²-2х+4; Д<0, х²-2х+4>0

+ - +

• •

-2 0 f(х)≤0, при х

3. Системы неравенств:

Решаем каждое неравенство отдельно:

+ - + + - +

● ● ● ●

∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ -1 3 \ \ \ \ \ \ \ -4 \ \ \ \ \ \ \ 4

Общее решение

∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕

● ○ ○ ●

∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ -4 ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕-1 3\ \ \ \ \ \4 \ \ \ \ \

4. Неравенства с модулем.

Пример 1: - +

Находим критические точки: х+4=0 х= -4 ○

-4

1) рассмотрим промежуток х<-4

-х - 4 ≥1

-х ≥ 5

х ≤ -5 решение входит в промежуток х< -4

2) х >-4 х + 4≥1

х ≥ -3 решение входит в рассматриваемый промежуток

Ответ: х ≤-5 и х ≥-3.

Пример 2: Решить неравенство - +

Находим критические точки: х - 3 = 0 х = 3 ●

3

1) х < 3; -х + 3 < 1

-х < -2

х > 2 решением является промежутком (2;3).

2) х ≥ 3; х - 3 < 1

х < 4 решением является промежуток

Общее решение:

5. Иррациональные неравенства.

Пример 1:

1) ДДЗ: х - 5 ≥ 0 х ≥ 5

2) Возведем обе части в квадрат, имеем х - 5 <1

х < 6 ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ 6

3) Находим пересечение полученного множества и ОДЗ:

∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕

● ●

∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ 5 ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ 6

Ответ: [5; 6)

Пример 2: Решить неравенство: > - 2

ОДЗ: х ≥ 0 => всегда ≥ 0, => Ответ: [0; ∞).

Пример 3: < х,

ОДЗ: 9х - 20 ≥ 0

9х ≥ 20

х ≥ при х ≥ 2правая часть неравенства неотрицательная =>

возводим в квадрат обе части неравенства:

( 9х - 20) < х²

х² - 9х + 20 > 0

х² - 9х + 20 = 0

х₁ = 5, х₂ = 4 ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕

Общее решение: ● ○ ○

∕ ∕ ∕ ∕2 ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ 4 5 \ \ \ \ \ \ \ [; 4) (5; ∞)

6. Логарифмические неравенства:

Пример 1: Найти наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенству:

log₃ (2х + 1) - log₃5<0

Решение: log₃ (2х + 1) < log₃5, т.к. основание 3>1, то функция является

возрастающей, по свойству возрастающей функции имеем: 2х + 1 < 5

2х < 4

х < 2

Учтем ОДЗ: 2х + 1 > 0

2х > -1

х > -

Ответ:

Пример 2: Найти наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенству

log_х+0,5(3 - х)>1

Решение: Логарифмическое неравенство подобно совокупности двух систем:

и

Решая первую систему имеем:

Решая вторую систему имеем: Ø

Общее решение: , наибольшее целое х из того промежутка х = 1.

Ответ: х = 1.

7. Показательные неравенства:

Пример 1: Найти наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенству: .

Решение: , функция возрастающая 3 > 1, => < 2; => х < 4 - наибольшее значение : 3. Ответ: 3

Пример 2: Найти наибольшее целое Х, удовлетворяющее неравенству

< 0

Решение: Обозначим = = у => исходное неравенство принимает вид:

Зу - 28 + < 0 (у всегда положительный )

3у ∙ у - 28 ∙ у + ∙ у < 0 => 3у² -28у + 9 < 0

3у² - 28у + 9 = 0

у_1/2 = и 9 у > и у < 9

Вернёмся к обозначению:

> и < 9 х + 1 < 4 х < 3

> < 3² => =>

> - 1 < 2 х + 1 > 0 х > - 1

Ответ: х ( - 1; 3) наибольшее целое зн-ие х = 2.

Пример 3: Найдите все такие t, что 25^t+495^2t > 9^t+173^2t.

Решение: 25^t+4925^t > 9^t+179^t

Вынесем за скобки общий множитель: 25^t(1+49) > 9^t(1+17)

25^t50 > 9^t18

Преобразуем к виду:

Ответ: (-1; )

ТЕСТ № 5

Решение неравенств.

1. Решить неравенство методом интервалов: (х-1)(х-2)(х+4)≥0

А) -4≤х≤1 ; х≥2 В) (-∞; ∞) С) (-1;4) D) [-4;-1] E) [2;∞)

2. Решить неравенство: (18х-36)(х-7)>0

А) (-∞; 2) В) (-∞; 7) С) (2;7) D) (-∞; 2)(7;∞) E) [7;18]

3. Решить неравенство:

А) (-∞; 21) В) (-∞; -7) С) (-21;7) D) (-∞; -21)(7;∞) E) (-7; 21)

4. Решить неравенство:

А) (-∞; 2] В) (-∞; -4) С) (2;4] D) (-∞; -2)(4;∞) E) [-4; 2)

5. Решить неравенство:

А) (-∞; -3] В) (-∞; 17) С) (-4;4) D) (-∞; ∞) E) [-14; 2)

6. Решить неравенство: 2х²-18<0

А) (-3; 3) В) (-∞; 18) С) (-3;9) D) (-∞; -3)(3;∞) E) [-9;18]

7. Решить неравенство: х²-5х-50<0

А) (-5; 30) В) (-∞;0,5) С) (-5;10) D) (-∞; -5)(10;∞) E) [-5;10]

8. Найдите наибольшее целое решение неравенства: -3х²+6х+9>0

А) 30 В) 0,5 С) 10 D) 2 E) -5

9. Найдите наименьшее целое решение неравенства: -3х²+3х+18>0

А) -1 В) -5 С) 1 D) 22 E) -6

10. Решить неравенство:

А) (-3; 2) В) (-∞; -3) С) (-3;5) D) [1;2](3;∞) E) [-1;2]

11.Решить неравенство: log₂(х-3)(х+2)>log₂(х+2)

А) (1;2)(3;∞) В) (-∞; -3) С) (-3;4) D) (3;∞) E) (4;∞)

12. Решить неравенство: log_0,2()>0

А) (12;14)(15;∞) В) (-∞; -6) С) (-6;4) D) (6;∞) E) (12;14)

13. Решить неравенство:

А) (-3; 2) В) (0;∞) С) (-3;3) D) [1;2] E) [-1;2]

14. Решить неравенство: 9^х-3^х-6>0

А) х>1 В) х<0,5 С) 9< х<10 D)х> 2 E) (-5; 1)

15. Решите неравенство: 4^х-10∙2^х+16<0

А) (-3; 10) В) (-∞; 3) С) (1; 3) D) [1;3](5;∞) E) [-10;2]

16. Найдите наибольшее целое положительное решение неравенства:

А) 1 В) 5 С) 12 D) 2 E) 6

17. Решите неравенство:

А) (-3; 0) В) (0; 3] С) [1; 3] D) [1;3](5;6) E) (-10;2]

18. Решить неравенство: log₉(2+х) >0,5

А) (1; ∞) В) (0; 1] С) [1; 2] D) (0,5;6) E) (-10;5]

19. Решить неравенство: log_0,3(2,3-2х)<1

А) (1; ∞) В) (0; 1] С) (-∞; 1) D) (0,3;1) E) (-10; 0,3)

20. Сколько целых решений имеет неравенство:

А) 19 В) 45 С) 12 D) 21 E) 47

21. Сколько целых чисел имеет неравенство:

А) 19 В) нет решения С) 20 D) 17 E) 27

22. Решите неравенство: |х+5|≥2х-4

А) (1; 9) В) (0; 1] С) (-∞; 9] D) (3;1) E) (-∞; ∞)

23. Решите неравенство:

А) (1; 4) В) (-1; 1] С) (4; 9] D) (-4;1) E) (-∞; 0)

24. Решите неравенство:

А) (1,5; 5) В) (-1; 1,2] С) (-∞; ∞) D) (-4; 0,2) E) нет решений

25. Решите неравенство: х²+2|х|≤ 63

А) (2; 9) В) [-7; 7] С) (7; 9] D) (-7;1) E) (-∞; 63)

26. Решите систему неравенств:

А) (-2; 7) В) [1,3; 2,5] С) (-7; 2] D) (-3;1,5) E) (-∞; ∞)

27. Решить систему неравенств: 3х-4<8х+6

2х-1>5х-4

11х-9≤15х+3

А) (2; 15) В) [1,3; 2,5] С) (-7; 2](5; 11) D) (-3;5) E) (-2; 1)

28. Решить систему неравенств: 21х²+39х-6<0

х>0

А) (2; 21) В) [3; 5] С) (0; ) D) (-3;6) E) (; ∞)

29. Решите систему неравенств:

х²<36

А) (2; 6) В) [-1; 6] С) (0;∞) D) (1;6) E) (-7; ∞)

30. Решите неравенство:

А) (1/2; 2) В) [-1,5; 0,5) С) [1/3;1/2) D) (1,2;3,6) E) (0; ∞)

Ключ к тесту №5 «Решение неравенств»

1. А 11 Е 21 D

2. D 12 Е 22 С

3. Е 13 В 23 А

4. С 14 А 24 Е

5. В 15 С 25 В

6. А 16 D 26 А

7. С 17 В 27 Е

8. D 18 А 28 С

9. А 19 С 29 D

10. D 20 Е 30 С

ТЕМА: Тождественные преобразования тригонометрических выражений.

ЦЕЛЬ: Повторить формулы тригонометрии, обобщить, систематизировать знания по упрощению тригонометрических выражений.

Справочный материал:

1. С
   
   
   
   оотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента:

2. Формулы сложения и вычитания аргументов:

3. Формулы двойного угла: 4. Формулы понижения степени:

5

.Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение:

6. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму:

7. Преобразование выражения

Например: 3sin2t + 4cos2t = 5sin(2t+), где sin=4/5, cos=3/5, tg=4/3.

8. Преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Примеры решения упражнений:

1. Вычислить cos 840° = cos (2 ∙ 360 + 120° ) = cos 120° = cos (180° - 60° ) = cos 60° = - 0.5

2. Вычислить: tg a, если sin a = и π < α < π α - ІІІ четверть

tg α = ; cos² α = 1 -

cos α = ±

tg α = -

3. Вычислить arccos (cos (-) = arccos (cos ) = arccos => arccos (cos α) = α

4. Упростить:

5. Упростить:

6. Вычислить: cos15° - sin15° = cos15° - sin (90° - 75°) = cos15° - cos75° = - 2 sin

∙ sin

7. Вычислить: 2 sin

=

8. Вычислить:

arccos (-α) = π - arccos α

arcsin (-α) = - arcsin α =

arctg (-α) = - arctg α =

9. Вычислить tg α, если cos 2α = и α (π; ) - III четв.

cos 2α = ; 13 - 13 tg² α = - 5 - 5 tg² α

- 13 tg²α + 5 tg²α = - 5 - 13

- 8 tg²α = - 18

tg²α = tg α = (III четв. +)

10. Вычислить: , если tg α =

11. Вычислить sin α, если sin

Возведём обе части в квадрат: (sin

1 - sin α = 1.96

1 - 1.96 = sin α sin α = - 0.96

12. Вычислить:

=

13. Вычислить: sin (2arccos); arccos = α

sin 2α = 2 sin α ∙ cos α = 2 sin (arccos) ∙ cos (arccos ) = 2 ∙ ∙ sin (arccos ) = ∙ sin α;

sin α = ;

ТЕСТ№6

УПРОЩЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ.

1. Найдите значение выражения: sin∙cos³ + sin³∙cos

А) В) sin∙cos С) 0 D)1 Е)

2. Упростите выражение:

А) sin+cos B) sin∙cos C) cos2 D) 1 E) 2

3. Чему равен cos, если sin= ,

А) В) С) -D) Е) -

4. Упростите выражение: cos(+) + cos(- )

A) cos+sin B) cos C) sin D) 1 E) 0,5

5. Упростите: sin()∙sin() - cos()∙cos()

A) B) ½ C) sin2 D) 0 E) cos2

6. Вычислить:

А)3/4 В) С) 1 D) 3/2 E)

7. Упростить:

А) ctg B) sin C) cos D) tg E) 1

8. Упростите выражение:

А) tg² B) ctg² C) cos² D) 1 E)

9. Вычислить: sin7∙cos23 + sin23∙cos7

A) 1 B) 3/2 C) 2 D) ½ E) 0

10. Упростите выражение:

А) ¼ В) C) cos40 D) cos50 E) sin80

11. Упростить выражение: tg² - sin² - tg² ∙sin²

A) tg B) sin C) cos²2 D) 1 E) 0

12. Упростить выражение: (1-cosx)∙(1+cosx)

A) 1 B) cos²x C) sin²x D) 0 E) 2cos2x

13. Упростить выражение: tg²x - sin²x∙tg²x

A) 1 B) cos²x C) sin²x D) 0 E) 2cos2x

14. Найдите числовое значение выражения:

А) 1 B) cos²45 C) sin²22 D)tg1 E) 2ctg22

15. Вычислить: arctg(-)

A) 15 B) 60 C) 30 D) -60 E) -30

16. Вычислить arctg(-1)

A) 45 B) -45 C) -30 D) -60 E) -90

17. Вычислить: cos105+cos75

A) 1 B) 2cos15 C) ½ D) -1/2 E) 0

18. Вычислить: cos105- cos75

A) 1 B) 2 C) ½ D) -1/2 E) -2sin15

19. Вычислите: sin(- arcsin)

A) 0 B) ¼ C) ¾ D) -1/2 E) -1

20. Вычислить: tg600

A) 3 B) C) D) -3/4 E) 1,5

21. Вычислить: lgtg45

A) 0 B) ¼ C) ¾ D) -1/2 E) -1

22. Вычислить cos2, если ctg=-2

A) 1/5 B) 3/5 C) ½ D) -2 E) 2/7

23. Вычислите: tg+ctg² - 2cos2 , если sin=,

A) 1/5 B) 3/5 C) ½ D) 3 E) 2/7

24. Упростите: cosx - sinx∙ctgx

A) 1 B) 2cosx C) ½ D) -1/2 E) 0

25.Упростите:

А) tg²х B) ctg²х C) cos² х D) 1 E)

26. Упростите:

A) 1 B) cos²x C) ctgx D) 0 E) 2cos2x

27. Вычислите tg, если cos=,

A) 1/5 B) 3/4 C) ½ D) -2 E) 2/7

28. Найдите значение выражения: cos⁴-sin⁴

A)cos2 B) ½ C) sin2 D) 0 E) cos4

29. Найдите значение выражения: 4sin∙cos∙cos2

A)cos ²2 B) ¼ C) sin4 D) 0,5 E) cos4

30.Вычислить sin(arccos)

А) В) С) D) Е) -

Ключ к тесту №6

«Преобразование тригонометрических выражений»

1B 11E 21A

2A 12C 22B

3C 13C 23D

4B 14A 24E

5D 15D 25E

6E 16B 26C

7C 17E 27B

8A 18E 28A

9D 19C 29C

10B 20A 30D

ТЕМА: Решение тригонометрических уравнений.

ЦЕЛЬ: Повторить формулы корней тригонометрических уравнений в общем и частных случаях, повторить способы решения уравнений.

Теоретический материал

1. Формулы корней простейших тригонометрических уравнений.

cos x = α

sin x = α

tg x = α

x = ± arcos α + 2πn, n  z

x = ( -1)ⁿarcsin α + πn, n  z

x = arctg α + πn, n  z

Ч А С Т Н Ы Е С Л У Ч А И:

1) cos x = 1; x = 2πn, n  z

1) sin x = 1; x =+2πn, n  z

1) tg x = 0; x = πn, n  z

2) cos x = 0; x = +πn, n  z

2) sin x = 0; x = πn

3) cos x = -1;x = π +2πn,n z

3)sin x = -1; x = +2π z

Примеры решения уравнений:

Решить уравнения:

1) sin (15° + x) + sin (45° - x) = 1 sin α + sin  = 2 sin

2 sin

2 sin 30° ∙ cos (x - 15°) = 1

2 ∙ ∙ cos (x - 15) = 1

cos (x - 15) = 1

x - 15 = 2πn, n  z

x = 15° + 2πn, n  z Ответ: 15° + 2πтб т  z

2) 1 - sin 3x = (sin )²

Решение:

1 - sin 3x = sin²sin x = 0 или cos 2x = 0

1 - sin 3x = 1 - sin x, x₁ = πn, n z или 2x = + π n

sin x - sin 3x = 0 x =

2 sin

- 2 sin x ∙ cos 2x = 0 Ответ: х₁ = πn, n  z

=> x₂ = n  z

3) sin 3x + sin x = sin 2x

Решение:

2 sin 2x ∙ cos x = sin 2x

2 sin 2x ∙ cos x - sin 2x = 0

sin 2x (2 cos x - 1) = 0

sin 2x = 0 или 2 cos x - 1 = 0

2x = πn, n  z cos x₂ =

x_{1 =} , n  z x₂ = ± arccos + 2πk, k  z

x₂ = ± +2πk, k  z

Ответ: x_{1 = ,} n  z x₂ = ± +2πk, k  z

4) Решить уравнение sin 4x = cos (180° - 2x) и указать его решения, входящие в

[-30°; 0°]

Решение:

Воспользуемся формулой приведения: sin 4x = - cos 2x

sin 4x + cos 2x = 0 или 2 sin 2x ∙ cos 2x + cos 2x = 0

cos 2x (2 sin 2x + 1) = 0

cos 2x = 0 2 sin 2x + 1 = 0

2x = , n  z sin 2x = -

x₁ = , n  z 2x = (-1)ⁿ arcsin () + πn, n  z

x₂ = (-1)ⁿ⁺¹ ∙ , k  z

Найдём значения х₁ и х₂при n = 0, ± 1 и k = 0, ± 1

n = 0, x₁ = = 45° k = 0; x₂ = - 15°

n = 1, x₁ = 135° k = 1; x₂ = 105°

n = - 1, x₁ = - 45° k = - 1; x₂ = -75°

На промежутке [ - 30; 0 ] имеется лишь один корень: - 15°

Ответ: - 15°

5) Решить уравнение:

Решение: Исходное уравнение эквивалентно системе.

при n = 2k, получаем πn = 2πk

таким образом, подходят только n = 2k + 1;

x = π + 2πk, k  z

6) Решить уравнение: sin² 2x + sin² 3x + sin²4x + sin²5x = 2

Решение:

1 - cos 4x + 1 - cos 6x + 1-cos 8x + 1 - cos 10x = 4

cos 4x + cos 6x + cos 8x + cos 10x = 0

2 cos

2 cos 5x ∙ cos x + 2 cos 9x ∙ cos x = 0

2 cos x (cos 5x + cos 9x) = 0

2 cos x = 0 или cos 5x + cos 9x = 0

x₁ = 2 cos 7x ∙ cos 2x = 0

cos 7x = 0 или cos 2x = 0

7x₂ = + πk 2x₃ = + πl , l  z

x₂ = x₃ = , l  z

Ответ: x₁ = n  z

x₂ = , k  z

x₃ =

7) Решить уравнение:

Решение: Применим формулу

Решая квадратное уравнение, получим а₁=3; а₂=- (не подходит)

tg²х=3 Имеем 2 решения:

tg х₁= и tg х₂ = -

х₁ = х₂=-

Ответ: х₁ = х₂=-

ТЕСТ№7

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

1. Решить уравнение:

2. Решить уравнение: 2sinxcosx - cos²x=sin²x

3. Решить уравнение: cos²(x/3)=1/4

4. Решите уравнение:

A)

B)

C)

D)

E)

5. Решить уравнение: (cos+1)(sin²+2)=0

6. Решить уравнение: (tgx-1)(2sin²x+3)=0

7. Решить уравнение: sin3x+0,5=0

8. Решить уравнение: 2cos2x=

A) B) C) D) E)

9. Решить уравнение: 3sin(5x-)+3=0

10. Решить уравнение: 7cos(4x+)=0

11. Решите уравнение: cos3xcosx - sin3xsinx = -1

12. Решить уравнение: sin²2x=1/2

13. Решить уравнение:

14. Решить уравнение: 5sin3x- 2cos3x=0

A) B) C) D) E)

15. Решите уравнение: cos2x+cos4x=2cos3x

16. Найдите решение уравнения sin-12cos=0 в интервале (17; 25).

А) 20 В) 18 С) 25 D)22 Е) нет решения.

17. Найдите наименьшее решение уравнения sinx =1/2 в интервале [500; 760]

А) 510 В) 600 С) 720 D) 730 Е) решений нет.

18. Решить уравнение: cos²2x - cos²3x = 4cos²(x/2)

19. Решить уравнение: cos⁴x+sin⁴x=cos4x

20. Решить уравнение: sin³x ∙cosx+cos³x∙sinx=1/4

Ключ к тесту № 7

«Решение тригонометрических уравнений».

1. А 11. А

2. Е 12. D

3. В 13. В

4. С 14. Е

5. D 15. С

6. А 16. А

7. В 17. А

8. Е 18. В

9. С 19. D

10. D 20. D

ТЕМА: Арифметическая, геометрическая прогрессии.

ЦЕЛЬ: Повторить определения арифметической и геометрической прогрессии,формулы, соответствующие данным прогрессиям.

Справочный материал

Арифметическая прогрессия

* Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.

а₁; а₂; а₃; а₄; ……

d = а₂ - а₁ - разность арифмет. прогресс.

а_п = а₁+(п-1)d - ф-ла п-го чл.ар.пр.

Геометрическая прогрессия

* Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, называется геометрической прогрессией.

в₁; в₂; в₃; в₄; ……

q =

в_п=в₁ ∙ q^п-1

Примеры решения задач:

1) Сумма а₃ + а₉ = 8. Найти сумму первых 11 членов этой прогрессии.

Решение:

а₃ + а₉ = 8 выразим через а₁ = d: а₁ + 2d + а₁ + 8d = 8 2а₁+ 10d = 8

Ответ: 44.

2) Первый и четвертый члены арифметической прогрессии соответственно равны 1,2 и 1,8. Найти сумму первых шести ее членов.

Решение: а₁ = 1,2 а₄ = 1,8 Выразим а₄ через а₁ и d; а₄ = а₁ + 3d

1,8 = а₁ + 3d 1,8 = 1,2 + 3d; 3d = 0,6; d = 0,2

Ответ: 10,2

3) Вычислить: 7,5 + 9,8 + 12,1 + … + 53,5

Решение: Данная прогрессия является арифметической, т.к.

Выясним номер члена 53,5: 53,5 = 7,5 + (п - 1) ∙ 2,3; п = 21

Ответ: 640,5

4) Определить, при каких х₃ три числа а₁; а₂; а₃; взятые в указанной последовательности, образуют арифметическую прогрессию, если а₁=lg2 a₂=lg(3^х - 3)

a₃ = lg (3^х+9)

Решение: Если числа образуют арифметическую прогрессию, то выполняется следующее равенство:

lg (3^х - 3) = lg (3^x - 3)² = lg 2∙ (3^x + 9),

по свойству log имеем: (3^x - 3)² = 2 ∙ (3^x + 9), раскрываем скобки:

(3^x)² - 6 ∙ 3^x + 9 = 2 ∙ 3^x + 18; (3^x)² - 8 ∙ 3^x - 9 = 0; (3^x) = y

y^{2 -} 8y - 9 = 0

по т. Виета:

у₁ = 9; у₂ = -1 =>

3^х = 3² и 3^х = - 1 (нет решения)

х = 2

Ответ: х = 2

5) Знаменатель геометрической прогрессии равен - 2, сумма её первых пяти членов равна 5,5. Найти пятый член этой прогрессии.

Решение.

S₅ = 5.5 S₅ = 5.5 = b₁ = 0.5

q = - 2 b₅ = b₁ ∙ q⁴; b₅ = 0.5 ∙ (-2)⁴ = 8

b₅ - ? Ответ: 8.

6) Найти третий член ∞ убывающей геометрической прогрессии, сумма которой = 1,6, а второй член равен - 0,5.

Решение:

S = 1.6; b₂ = - 0.5. Перепишем, используя в₁ и q:

(2 ур. разд. на 1 ур.) => q (1 - q) = - => q² - q - = 0

b₁q = - 0.5 b₁q = - 0.5 q₁ = (не подх)

q₂ = - => b₁ = 2

b₃ = b₁q² => 2 ∙

Ответ: 0,125

ТЕСТ№8.

«ПРОГРЕССИИ»

1. Чему равна сумма всех двузначных натуральных чисел ?

А) 4905 В) 4856 С) 5122 D) 2896 E) 1288

2. Чему равна сумма всех трехзначных чисел, кратных 5?

А) 555 В) 98000 С) 98550 D) 99865 E) 125520

3. Чему равна периодическая дробь 0,58(3) ?

А) 8/9 В) 7/12 С) 5/7 D) 4/11 E) 3/17

4. Найдите сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии, для которой а₁=6; а₁₀=33.

А) 400 В) 236 С) 352 D) 405 E) 128

5. Найдите сумму первых шести членов арифметической прогрессии, если а₁=7, а₈=42.

А) 126 В) 265 С) 198 D) 306 Е)117

6. Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, если а₁₁=23, а₂₁=43.

А) 120 В) 432 С)326 D) 180 E) 228

7. Найдите пятидесятый член арифметической прогрессии, если а₁₁=23, а₂₁=43.

А) 100 В) 98 С) 53 D) 101 E) 76

8. Найдите сумму первых семи членов арифметической прогрессии, если а₁=3, а₂=7.

А) 102 В) 100 С) 101 D) 107 Е) 109

9. Для арифметической прогрессии разность d=30, S₈=1800. Найдите первый член этой прогрессии.

А) 180 В) 20 С) 24 D) 102 Е)120

10.При каком значении х число 2х-3 определяет четвертый член арифметической прогрессии?

А) 10 В) 11 С) 13 D) 12 E) 15

11. В геометрической прогрессии b₃=18, b₅=162. Найдите b₆.

А) ±486 В) 256 С) ±512 D) 170 E) ±321

12. Первый член геометрической прогрессии b₁=4, а знаменатель геометрической прогрессии q=3. Найдите сумму первых пяти членов прогрессии.

А) 312 B) 486 C) 658 D)484 E) 132

13. При каких значениях х три числа lg(5^x - 4), lg3 и lg(5^x+4) образуют арифметическую прогрессию?

А) 2 В) 0 С) 1 D) 5 E) 10

14. При каких значениях х три числа lg(2^x - 1), lg31 и lg(2^x + 1) образуют арифметическую прогрессию?

А) 2 В) 3 С) 1,5 D) 3,5 Е) 2,5

15. Найдите шестой член арифметической прогрессии: 18, 15, …

А) 5 В)3 С) 6 D) 12 E) 1

16. Найдите последний член арифметической прогрессии, если а₁=10; d=4; n=11.

А) 50 В) 30 С)60 D) 120 E) 110

17. Первый член геометрической прогрессии b₁=2, а знаменатель q=-3. Найдите сумму первых пяти членов прогрессии.

А) 120 В) 216 С) 182 D) 221 Е) 122

18. Три положительных числа, первое из которых равно 4, составляет геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 8, то прогрессия станет арифметической. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

А) 4 В)5 С) ½ D) ±2 Е)3

19. Найдите b₅ геометрической прогрессии, если b₄=25 и b₆=16.

А) 18 В) 21 С)±22 D)±20 Е) 20,5

20. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если b₂=-18, b₅=144.

А) ±2 В) 3 С) ±3 D) -2 E) ½

21. Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии, в которой а₁=4, d=2.

А) 152 В) 236 С) 180 D) 206 Е) 192

22. Найдите сумму 75 членов последовательности с общим членом а_n= 3n - 19.

A) 7125 B) 6938 C) 4998 D) 8566 E) 546

23. Геометрическая прогрессия состоит из 6 членов. Найдите её знаменатель, зная, что сумма трёх

первых членов в 8 раз меньше сумы трех последних членов.

А) ±2 В) 2 С)-2 D) ±3 E) 1/3

24. Решите уравнение: 2+5+8+…+х=155.

А) 20 В) 16 С) 98 D) 29 E) 45

25. Решите уравнение: 1-5-11-…-х= - 207.

А) 47 В) 23 С) 52 D) 69 E) 45

26. Найдите сумму:

А) -2 В) 1 С) ½ D) 1/3 E) 2/3

27. Произведение первых семи членов геометрической прогрессии делится на шестую степень первого члена той же прогрессии, тогда получится…

А) 22 член прогрессии, В) 18член С) 20член D) 31член Е) 2член

28. От суммы первых девяти членов арифметической прогрессии вычитаем восемь раз первый член той же прогрессии, то получим …

А) 35 член прогрессии В) 37член С) 42член D) 5член Е) 28член

29. Разность между вторым и первым членами геометрической прогрессии равна 18, а разность между четвертым и третьим 162. Составить прогрессию. (найти b₁ и q).

А) b₁=9, q=1/3 B) b₁=3, q=1/2 C) b₁=9, q=3 D)b₁=6, q=±1/3 E) b₁=2, q=±3

30. Арифметическая прогрессия 6, 8, 10, … и геометрическая прогрессия 1, 2, 4, … имеют по 61 члену. Сколько одинаковых членов в обеих прогрессиях?

А) 12 членов В) 5 членов С) 8 членов D) 4 члена Е) нет общих членов.

Ключ к тесту № 8 «Прогрессии»

1. А 9 Е 17 Е 25 А

2. С 10 В 18 Е 26 Е

3. В 11 А 19 D 27 А

4. D 12 D 20 D 28 В

5. Е 13 С 21 С 29 С

6. А 14 Е 22 А 30 D

7. D 15 В 23 В

8. С 16 А 24 D

ТЕМА: Производная функции, её применение.

ЦЕЛЬ: Повторить таблицу производных, правила вычисления производных, ур-ие касательной, обобщить материал, систематизировать, выработать прочные умения и навыки при решении упражнений по данной теме.

Теоретический материал

Пример 1. Найти f(х), если f (х)=5х⁷.

Решение: (5х⁷)^=5∙7∙х⁶=35х⁶.

Пример 2. Вычислить значение производной функции f (х)= при х=1.

Решение: f(х)= =

=

f(1)=

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции f (х)=

на отрезке [-1; 2].

Решение: Найдем значение функции на концах отрезка:

f (-1)=

f (2)=

Найдем производную функции и приравняем её к нулю, находим критические точки функции:

f(х)=

f(х)=0

2х³-2=0; х³=1; х=1. 1[-1; 2]

Найдем значения функции в точке х=1.

f (1) =

f (-1)=4;

f (-2)=; => f_max=; f_min=0

f (1)=0.

Пример 4. Составить уравнение касательной к графику функции f(x)= в точке его пересечения с осью ординат.

Решение: Так как касательная к графику функции проходит, т.е. касается его в точке пересечения с осью ординат, то х₀=0,

f(x₀)= => точка касания (0; -2).

Найдем производную и её значение в точке х₀=0.

f(х)=()^==

Найдем f(0)=-2.

Составим уравнение касательной: у=f(x₀)+ f(х₀)(x-x₀)

у=-2+(-2)(х-0)=-2-2х =-2х-2.

Ответ: у=-2х-2.

Пример 5: Число 86 представлено в виде суммы двух слагаемых так, что их произведение максимально. Найдите эти слагаемые.

Решение: Пусть заданное число представлено в виде суммы двух слагаемых х и у , то есть 86=х+у, х-первое число, у=(86-х) - второе число.

f(x)=х∙(86-х),

теперь найдем значение х, при котором функция достигает максимума.

f(x) = 86х-х²;

f (x)=(86х-х²) = 86-2х;

86-2х=0

х=43;

у= 86-43=43

Ответ: 43 и 43.

Пример 6:

В некоторых случаях при исследовании свойств функций, удобно пользоваться графиком функции. Например, при указании промежутков возрастания и убывания квадратичной функции, целесообразней найти вершину параболы (m=b/2a), а не определять эти промежутки через производную.

ТЕСТ№9

«ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ЕЁ ПРИМЕНЕНИЕ»

1. Найти производную: у=3х²+5х+6.

А)3х²+1 В) 6х С) 3х+5 D) 6x+5 E) 6x+6

2. Найти производную функции: у= sin3x+ cos5x

A) 3sin3x+5cos5x B) 3cos3x-5sin5x C) 3cos3x+5sin5x D) 3sin3x-5cos5x E) 15sinxcosx

3. Дана функция f(x)=5x³. Найдите f ^′(2).

A) 60 B) 30 C) 40 D) 17 E) 125

4. Дана функция f(x)=4sin3x. Найдите f ′(x).

А) 4sinx B) 4cos3x C) 12cos3x D) -12sin3x E) cos3x

5. Дана функция у=х⁷-4х⁵+2х-1. Найдите у′.

А)7х-20х+2х В) 7х⁶-20х⁴ С) х⁷-4х⁵+2х D) -1 Е)7х⁶-20х⁴+2

6. Найдите производную функции: у=х³+4х-5.

А) 3х²+4 В) 3х²+4х-1 С) х³+4х-1 D) 4x-5 E) 3x²-4

7. Дано: f(x)=(3-5x)⁵. Найти f ′(x).

А) 5(3-5х)⁴ В) 25(3-5х)⁴ С) -25(3-5х)⁴D) -25(5x-3)⁴E) 5(3-5x)⁵

8. Дано: у=cos²x; найти f ′(x).

A) 2cosx B) 2sinx C) sin2x D) -sin2x E) -2cos2x

9. Дано: f(x)=2cos, найти f ′(x).

A) sin B) -sin C) cosx D) 2cos2x E) 2sin

10. Дано: f(x)=х³+; найти f ′(x).

A) 3x²+ B) 3x²+x C) 3x²-2 D) E) 3x²+

11. Дано: f(x)=tgx, найти f ′(x).

A) ctgx B) tg²x C) D) - E)

12. Дано: f(x)=tg3x , найти f ′(x).

A) B) C) D) - E) 3ctg3x

13. Дано: f(x)=x-; найти f ′().

A) ½ B) -1/2 C) -3/2 D) 3/2 E) 2,5

14. Найти производную функции: у=.

А) - В) -15х²+1 С) -D) E)

15. Найти производную функции: f(x)=

A) B) - C) - D) E)

16. Напишите уравнение касательной к графику функции у=cos4x - 1 в точке М₀(.

А) у=2х-3 В) у=-4х+1 С) у=-2 D) у=-2х+4 Е) у=4х-1

17. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у(х)=2х²-9х+10 на отрезке

[0; 2].

А) у_max=0; y_min=-10 B) у_max=20; y_min=10 C) у_max=10; y_min= -10

D) у_max=2; y_min=0 E) у_max=10; y_min=0

18. Найти производную функции: f(x)=ln(sinx).

A) cosx B) C) 2tgx D) ctgx E) -ln(cosx)

19. Найти производную функции: f(x)=.

A) 3е^х В) 3х²е³ С) ех³D) 3x²E) 3

20. Для функции у=х²-2х-8, определите:

а) нули функции, б) промежутки возрастания, в) промежутки убывания функции.

А) -2; 4 (1; ∞) (-∞; 1)

В) -2; 0; 4 (-∞; -1) (-1; ∞)

С) нет (-∞; 0) (0; ∞)

D) -4; 2 нет (-∞; ∞)

Е) нет (-∞; ∞) нет

21. Для функции У=, определите:

а) нули функции, б)промежутки возрастания, в)промежутки убывания функции.

А) -4; 4 (1; ∞) (-∞; 1)

В) -4; 4 (-∞; 0), (0; ∞) нет

С) нет (-∞; 0) (0; ∞)

D) нет (-∞; ∞) нет

E) -4; 0; 4 (-∞; 0), (0; ∞) нет

22. Для функции У= определите:

а) нули функции, б)промежутки возрастания, в)промежутки убывания функции.

А) -4; 4 (1; ∞) (-∞; 1)

В) -4;0; 4 (-∞; 0), (0; ∞) нет

С) нет (-∞; 0) (0; ∞)

D) нет (-∞; ∞) нет

E) -4; 4 нет (-∞; 0), (0; ∞)

23. Для функции У= - найдите:

а) все критические точки, б) точки min и точки max.

A) a) x₁=-4, x₂=0, x₃=4 б) x_min=-4, x_max=4

B) a) x₁=-4, x₂=4 б) x_min=-4, x_max=4

C) a) x₁=-2, x₂=2 б) x_min=-2, x_max=2

D) a) x₁=-2, x₂=0, x₃=2 б) x_min=-2, x_max=2

E) a) x₁=-6, x₂=6 б) x_min=-6, x_max=6

24. Материальная точка движется по прямой линии по закону S(t)=3t²+4cos(0,5t). Найдите скорость материальной точки в момент времени t=2c.

A) 10м/с В) 12м/с С) 6м/с D) 8,5м/с Е) 9,8м/с

25. Какой угол с осью Ох образует касательная к графику функции у=cos2x в точке с абсциссой х=-.

А) В) С) 90 D) 45 E)

Ключ к тесту №9.

«Производная функции, её применение»

1Д 11Е 21В

2В 12С 22Е

3А 13Д 23С

4С 14А 24В

5Е 15В 25А

6А 16С

7С 17Е

8Д 18Д

9В 19Д

10А 20А

ТЕМА: Первообразная. Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции.

ЦЕЛЬ: Повторить таблицу первообразных, формулы для нахождения площади криволинейной трапеции и формулу для нахождения объема тела.

Справочный материал.

Функция - f(x)

Первообразная - F(x)

Формула для вычисления площади криволинейной трапеции:

Формула для вычисления объема тела: .

Формула замены переменной:

ТЕСТ №10

«Первообразная. Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции».

1. Найти все первообразные функции: f(x)=4х²-3х

А)

В)

С)

D)

Е)

2. Найти все первообразные функции: f(x)=e^x-sinx

A) F(x)=xe^x+cosx +C

B) F(x)= e^x+ cosx +C

C) F(x)= e^x- cosx +C

D) F(x)= e^x+ cosx

E) F(x)= e^x+C

3. Найти все первообразные функции: f(x)=(x-2)²

A) F(x)=(x-2)³+C

B) F(x)=2(x-2)²+C

C) F(x)=

D) F(x)=(x-2)²+C

E) F(x)=(x-2)³

4. Найти первообразную для функции f(x)=2x+3, график которой проходит через

точку М(1;2):

А) F(x)=x²+3x-2

B) F(x)=x²+3x+2

C) F(x)=x²-2

D) F(x)=x²+3x

E) F(x)=2x²+3x-2

5. Найти первообразную для функции f(x)=sin2x, график которой проходит через

точку М(;5):

A)

B)

C)

D)

E)

6. Вычислить интеграл:

А)4 В)3/2 С)0 D) E)2,5

7. Вычислить интеграл:

А)0,4 В)36 С)10 D) E)2,75

8. Вычислить интеграл:

А)4 В)3 С)1 D) E)0

9 Вычислить интеграл:

А) В) С)2 D)1 E)0,5

10. Вычислить интеграл:

А)625/8 В)78 С)624 D) 0, E)0

11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у=х², х=1, у=0.

А)4,2 В)3,6 С)1,5 D) E)1/3

12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у=х³, х=1.

А)1/4 В)6 С)1,55 D)E)1/3

13. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у=2х-х², у=0.

А)5/4 В)6/7 С)D)E)1/5

14. Найти общий вид первообразных для функции: f(x)= 1+ ctg²x/2

15. Найти общий вид первообразных для функции f(x) = sin⁴x

С)

Ключ к тесту №10 «Первообразная. Интеграл».

1 D 6 D 11E

2 B 7 C 12 A

3 C 8 D 13 C

4 A 9 A 14 D

5 E 10 B 15 C

ТЕМА: Решение геометрических задач.

ЦЕЛЬ: Повторить способы решения геометрических задач, основные формулы планиметрии, стереометрии.

Справочный материал:

При решении геометрических задач полезно помнить некоторые формулы:

"Пифагоровы тройки»

a

b

c

P

h

r

R

S

3

4

5

12

2.4

1

2.5

6

5

12

13

30

4.62

2

6.5

30

6

8

10

24

4.8

2

5

24

7

24

25

56

6.72

3

12.5

84

8

15

17

40

7.06

3

8.5

60

9

40

41

90

8.78

4

20.5

180

10

24

26

60

9.23

4

13

120

12

16

20

48

9.6

4

10

96

12

35

37

84

11.35

5

18.5

210

15

20

25

60

12

5

12.5

150

Медианы треугольника можно найти по формулам:

m_a = ; m_b=; m_c=

Биссектрисы треугольника:

или

Высоты треугольника:

= ; ; .

Сторона и площадь правильного n-угольника:

; ; ; .

Деление отрезка в данном отношении:

Условие перпендикулярности двух прямых у=k₁x+b₁ и у=k₂x+b₂ : k₁ k₂ = -1

Расстояние между точкой и прямой: d=, где (х₁; у₁) - координаты точки, Ах+Ву+С=0 - уравнение прямой.

Примеры решения задач:

Задача1: В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5см и 12см. Найдите катеты треугольника.

Решение:

А В треугольнике АВС угол С прямой, АD=5см,

DB=12см, Е и F-точки касания вписанной

Д окружности и соответствующих катетов.

F АD=AF; BD=BE, FC=EC по свойству

касательных к окружности, проведенной из

одной точки.

С В Пусть ЕС = х, тогда по теореме Пифагора для

E тр-ка АВС можно записать:

(5+х)²+(12+х)²=(5+12)², х₁=3; х₂=-20 (не подходит)

• АС=5+3 =8(см), ВС=12+3=15(см).

Ответ: 8 и 15.

Задача2: Средняя линия равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна 68см.

Определите радиус этого круга, если нижнее основание трапеции больше верхнего на

64 см..

Решение: Заметим, что средняя линия не является диаметром.

По свойству ср. линии трапеции :

По условию задачи АD-BC=64, получаем систему:

В С BC+AD=136

AD-BC=64 => 2AD=200, AD=100(см),

BC=36(см).

По свойству описанного четырехугольника

AB+CD=BC+AD,

так как AB=CD, то AB=, или АВ=68.

А E D Рассмотрим прямоугольный треугольник АВЕ (ВЕ AD),

так как трапеция равнобокая, то АЕ==32, то по

теореме Пифагора для тр-ка АВЕ имеем: АВ²=АЕ²+ВЕ², откуда ВЕ= зная, что ВЕ=2R, имеем: R=30.

Ответ: 30см.

Задача3: Найти длину основания равнобедренного треугольника, площадь которого равна 25см², а углы  при основании таковы, что tg=4.

Решение:

В В АВС ВDАС, АВ=ВС. По свойству равнобедр.

треугольника AD=DC. Обозначим ВD=h, AD=a, тогда

tg=; S_ABC= Получим систему уравнений:

=4,

a∙h=25. h=4a, 4a²=25, a=2,5 или а=-2,5 

в АВС основание АС=2а=5см.

А С Ответ: 5см.

D

Задача4: В круговой сектор, дуга которого содержит 60^, вписан круг. Найти отношение площади сектора к площади этого круга.

Решение:

О₁А - радиус круга, проведенного в точку касания, поэтому

О О₁АОА. Аналогично, О₁ВОВ.

ОВО₁=ОАО₁(прямоугольные тр-ки с общей гипотенузой

и равными катетами О₁А=О₁В) О₁ОА = АОВ, т.е.

О₁ОА=30, отсюда О₁А=ОО₁∙sin30= 0,5∙ОО₁;OC=OO₁+O₁C

Если обозначить радиус круга r, а радиус кругового сектора

А О₁ В R, то R=3r. Площадь круга S=R², площадь сектора

S=R²=(3r)²=r².

С Ответ: 1,5.

Задача5: Объём шара = 12. Найти объём другого шара, у которого площадь поверхности в 9 раз больше, чем у данного шара.

Решение: Все шары подобны друг другу. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, а объёмов - кубу коэффициента подобия.

S/S=k²=9. Отсюда k=3,  V/V=k³=27, получаем V=27∙V=27∙12=324.

Ответ: 324.

Задача6: В конус, осевое сечение которого есть равносторонний треугольник, вписан шар. Найдите объём конуса, если объём шара равен 32/3.

Решение: Изобразим осевое сечение конуса.

Сечение шара на этом рисунке является

вписанным кругом, r= , где а- сторона тр-ка.

Радиус основания конуса R=.

а а Высота конуса H=. Объём конуса:

r V=H∙R²=,

R Объём шара:V=.

Так как , то V_конуса=

, V_к= 2,25∙V_ш=2,25∙=24.

Ответ: 24ед³.

ТЕСТ№11.

«ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ»

1. Найдите площадь треугольника по трем сторонам: 13см, 14см, 15см.

А) 104см² В) 98см² С)42см²D)96см²E) 84см²

2. Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами: 17см, 65см, 80см.

А) 8см В) 2,7см С) 10см D) 9,8см Е) 7,2см

3. Найдите площадь треугольника, если ВС=7см, АС=14см, С=30.

А) 48см² В) 35см² С) 84,5см²D) 24,5см² Е) 25см²

4. Найдите площадь треугольника, если ВС=3см, АВ=18√2см, В=45.

А) 46см² В) 30√2 см² С) 84см²D) 27см² Е) 26см²

5. Стороны треугольника равны 0,8см, 1,6см, 2см. Найдите стороны подобного ему треугольника,

периметр которого равен 5,5см.

А) 1; 2; 2,5 В)2; 2; 1,5 С) 1,2; 2,2; 2,1 D) 0,5; 2; 3 Е) 4,4; 0,1; 1

6. Найдите углы при основании равнобедренного треугольника, если угол между боковыми сторонами

равен 80.

А) 60; 40 В) 30; 70 С) 50;50 D) 10; 90 Е) 20;80

7. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20см. Найдите его катеты, если один из них

на 4см больше другого.

А) 10см; 14см В) 8см; 12см С) 12см; 16см D) 11cм; 15см Е) 9см; 13см.

8. Чему равен угол треугольника со сторонами 5см, 12см, 13см, противолежащий стороне 13см?

А) 45 В) 60 С) 30 D) 90 E) 180

9. Дан треугольник АВС, у которого АВ=4см, С=30, В=45.Найдите сторону АС.

А) 4см В) 5,2см С) 3,8см D) 3√3см Е) 4√2см.

10. В прямоугольном треугольнике катеты равны 5см и 12см. Найдите длину медианы, проведенной к

гипотенузе.

А) 6,5см В) 13см С) 6см D) 8,5см Е) 7см

11. Вычислите периметр ромба, длина меньшей диагонали которого 8см, а один из углов равен 60.

А) 32см В) 16см С) 24см D) 48см Е) 28см

12. В равнобокой трапеции большее основание равно 2,7м, боковая сторона равна 1м, угол

между ними 60. Найдите меньшее основание.

А) 1,5 В) 1,7 С) 1,9 D) 2 E)2,5

13. Периметр прямоугольника равен 26см, а его площадь равна 42см². Найдите стороны прямоугольника.

А) 13 и 4 В) 6 и 7 С) 21 и 2 D) 20 и 22 Е) 20 и 6

14. Диагональ квадрата равна 2√2. Найдите площадь квадрата.

А) 3√6 В) 4 С) 4√2 D) 3√2 E) 6√2

15. Вычислите длину окружности, если радиус равен 10см.

А) 10 см² В) 40 см² С) 15см²D) 31,4 см²E) 20 см²

16. Найдите уравнение окружности с центром в точке А(3; 1) и проходящей через точку В(6; 5).

А) (х-3)²+(у-1)²=25, В) х²+у²=15, С) (х-6)²+(у-5)²=25, D) (х-1)²+(у-3)²=25, Е) (х+3)²+(у+1)²=25.

17. Стороны треугольника 8см, 15см, 17см. Найдите радиус описанной окружности.

А) 6,5см В) 13см С) 6см D) 8,5см Е) 7см

18. , а угол между ними равен 135. Вычислите скалярное произведение векторов.

А) 2,5 В) 2√2 С) -3√2 D) -2√3 E) 6

19. Сумма всех углов правильного многоугольника равна 1080. Найдите число сторон многоугольника.

А) 5 В) 6 С) 12 D) 4 E) 8

20. В прямоугольном треугольнике катеты равны √3 и √2 соответственно. Найдите длины отрезков, на которые делит гипотенузу биссектриса прямого угла.

А) В) С) D) Е) 3 и 2

21. Три линейных размера прямоугольного параллелепипеда равны 2см, 3см, 6см.

Найдите длину диагонали.

А) 7см В) 4см С) 10см D) 8см Е) 5,5см

22. Площадь основания правильной четырехугольной призмы 144см², а высота 14см.

Определите объём призмы.

А) 2000см³ В) 1986см³ С) 2016см³D) 158см³ Е) 1580см³

23. Линия пересечения двух сфер есть:

А) парабола В) эллипс С) окружность D) окружность или эллипс Е) любая из перечисленных линий

24. Высота конуса равна радиусу основания. Объём конуса равен 9 см³. Найдите образующую конуса.

А) 3см В) 4,2см С) 5√2см D) 3√2см E) 3,5см

25. Площадь поверхности сферы 324 м². Найдите радиус сферы.

А) 13см В) 12см С) 10см D) 8см Е) 9см.

26. Основание пирамиды прямоугольник со сторонами 6см и 8см. Каждое боковое ребро 13см. Определите высоту пирамиды.

А) 10см В) 12см С) 9см D) 5см Е) 14см.

27. В пирамиде плоскость сечения, параллельная основанию, делит высоту в отношении 1:1. Найдите площадь основания, если площадь сечения равна 2м².

А) 10см² В) 8см² С)4см²D)9см²E) 18см²

28. Из центра круга, описанного около прямоугольного треугольника с острым углом в 30, восстановлен к его плоскости перпендикуляр, длина которого 6см. Конец перпендикуляра, лежащий вне плоскости треугольника, удален от большего катета на 10см. Найти гипотенузу треугольника.

А) 32 см В) 12см С) 29см D) 15см Е) 24см.

29. Два равнобедренных треугольника АВС и АСД имеют общее основание АС, двугранный угол при АС равен 60, а угол, образованный стороной ВС с плоскостью АСД равен 45. Найдите площадь треугольника АВС, если ВС=6см.

А) 46см² В) 12√2 см² С) 8,4см²D) 25см² Е) 26см²

30. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 80см, сторона основания 120см. Вычислить площадь сечения, проходящего через центр основания параллельно боковой грани пирамиды.

А) 2080см³ В) 3986см³ С) 2016см³D) 4500см³ Е) 2580см³

Ключ к тесту №11 «Геометрические задачи».

1. Е 11. A 21. A

2. Е 12. B 22. C

3. D 13. B 23. C

4. D 14.B 24. D

5. A 15.E 25. E

6. C 16. A 26. B

7. C 17. D 27. B

8. D 18. C 28. A

9. E 19. E 29. B

10. A 20. C 30. D

ТЕМА: Решение текстовых задач.

ЦЕЛЬ: Повторить, закрепить знания, умения, навыки решения текстовых задач:

на движение, на «работу», на концентрацию, на проценты и т.д.

Умение решать задачи зависит от многих факторов. Однако, прежде всего необходимо научиться различать основные типы задач и уметь решать простейшие из них.

Все текстовые задачи можно условно разбить на следующие типы задач:

1. задачи «на движение»

2. задачи «на совместную работу»

3. задачи «на планирование»

4. задачи «на зависимость между компонентами»

5. задачи «на проценты»

6. задачи «на смеси»

7. задачи «на разбавление»

8. задачи «на оптимальное решение» (нахождение экстремума функции)

9. другие виды задач.

Рассмотрим решение некоторых из них:

Задача: Пассажир поезда знает, что на данном участке пути скорость этого поезда 40км/ч. Как только мимо окна начал проходить встречный поезд, пассажир пустил секундомер и заметил, что встречный поезд проходил мимо окна в течение 3с. Определить скорость встречного поезда, если известно, что его длина 75м.

Решение:

1. Пусть скорость встречного поезда х м/с. Скорость поезда, в котором ехал пассажир,

40 км/ч=м/с.

2. Встречный поезд за 3 с прошел 3х м, а поезд с пассажиром - м.

3. Всего оба поезда прошли по условию 75 м, следовательно, +3х=75,

х=13м/с=км/ч.

Ответ: 50км/ч.

Задача: По окружности длиной 60м равномерно и в одном направлении движутся 2 точки. Одна из них делает полный оборот на 5 с скорее другой. При этом совпадения точек происходят каждый раз через 1 мин. Определить скорости точек.

Решение:

1. Пусть первая точка проходит полный оборот за х с, а вторая точка - за у с. Тогда

2. Будем полагать, что х<y, тогда из условия задачи следует уравнение у-х=5.

3. Так как точки встречаются каждую минуту и первая движется быстрее, то она должна за 1 мин пройти полный круг 60м и еще столько, сколько успеет пройти за 1 мин вторая точка, т.е.

4. Отсюда имеем второе уравнение:

5. Составим систему и решим её:

у-х=5, у=х+5, х=15,

; ; у=20.

Тогда

Ответ: 4м/с; 3м/с.

Задача: Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать заданный участок шоссейной дороги за 18 дней. В действительности же получилось так, что сначала работала только одна первая бригада, а заканчивала ремонт участка дороги одна вторая бригада, производительность труда которой более высокая, чем первой бригады. В результате ремонт заданного участка дороги продолжался 40 дней, причем первая бригада в свое рабочее время выполнила 2/3 всей работы. За сколько дней был бы отремонтирован участок дороги каждой бригадой отдельно?

Решение:

1. Пусть вся работа может быть выполнена первой бригадой за х дней, а второй бригадой за у дней.

2. Принимая всю работу за 1, имеем:

- производительность первой бригады,

- производительность второй бригады,

- часть работы, которую могла выполнить первая бригада за 18 дней,

- часть работы, которую могла выполнить вторая бригада за 18 дней.

3. Составляем уравнения:

Так как обе бригады, работая совместно, могли выполнить всю работу за 18 дней, то на основании этого имеем:

4. Далее из условия задачи следует, что первая бригада выполнила 2/3 всей работы, следовательно, она затратила на это дней, а вторая бригада выполнила всей работы, следовательно, она затратила на это дней.

5. Так как всего было затрачено 40 дней, то можно составить второе уравнение:

6. Составим систему уравнений и решим её:

Имеем: х₁=24, х₂=45, у₁=72, у₂=30.

7. Так как производительность второй бригады была выше, чем первой, то условию задачи удовлетворяют х=45 и у=30.

Ответ: 45 дней, 30 дней.

Задача: Свежие грибы содержат по массе 90%, а сухие 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

Решение: Найдем, сколько % по массе абсолютно сухих грибов в 22 кг сырых.

100% - 90% = 10%. Найдем, сколько кг абсолютно сухих грибов в 22 кг сырых.

(22*10):100 = 2,2 кг; на самом деле грибы недосушенные будут содержать 12% воды. Тогда 100% - 12% = 88% что составляет 2,2 кг; (2,2 *100):88 = 2,5 кг.

Ответ: из 22 кг сырых грибов можно получить 2,5кг сухих, содержащих 12% воды.

Задача: Руда содержит 40% примесей, а выплавленный из нее металл содержит 4% примесей. Сколько получится металла из 24 тонн руды?

Решение: Найдем, сколько тонн содержит руда химически чистого металла.

100% - 40% = 60%, найдем 60% от 24 тонн. (24*60):100 = 14,4 т.

В выплавленном металле с 4% примесей, чистый металл составляет 100%-4%=96%.

Что составляет 14,4 т. Найдем число по величине его процента: (14,4*100):96=15(т)

Ответ: 15 тонн.

Задача: Среднее пропорциональное двух чисел на 12 больше меньшего из этих чисел, а среднее арифметическое тех же чисел на 24 меньше большего из них. Найти эти числа.

Решение: Пусть первое число х, второе у; (х>у); среднее пропорциональное ,

среднее арифметическое .

- у =12 = 12 +у ()²=(12+у)²

Система уравнений:  

+ 24 = х; х+у+48=2х 48=х-у

(48+у)*у=144+24у+у²

48у+у²=144+24у+у²

48у-24у=144

24у=144

У=6

Х=48+6=54.

Ответ: 54 и 6.

Некоторые задачи на «смеси, сплавы, растворы» удобно решать с помощью формулы:

масса

1 смеси

массовая доля чистого вещества в

1 смеси

масса

2 смеси

массовая доля чистого вещества во

2 смеси

массовая доля чистого вещества в общей смеси

решение

m₁

p₁

m₂

p₂

p

№1. Смешали некоторое количество 11% раствора некоторого вещества с таким же количеством 19% раствора этого же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора. Ответ:15%

11%

19%

p%

=, значит p=

№2. Сколько килограммов 20%-ного раствора соли нужно добавить к 1 кг 10%-ного раствора, чтобы получить 12%-ный раствор соли? Ответ:0,25 кг

20%

1

10%

12%

;

кг

№3. Сколько граммов 75%-ного раствора кислоты надо добавить к 30 г 15%-ного раствора кислоты, чтобы получить 50%-ный раствор кислоты? Ответ:42г

75%

30

15%

50%

;

№4. Сколько воды нужно добавить к 0,5 л раствора спирта в воде, чтобы объемное содержание спирта в растворе уменьшилось с 60% до 40%? Ответ:0,25л

0,5

60%

0%

40%

;

=0,25л

№5. Слиток сплава меди и цинка массой 36кг содержал 45% меди. Какую массу меди надо добавить к этому куску, чтобы полученный сплав содержал 60% меди? Ответ:13,5л

36

45%

100%

60%

;

=13,5л

Тест №12

«Текстовые задачи»

1. Теплоход должен был пройти 72 км с определенной скоростью. Фактически первую половину пути он шел со скоростью на 3 км/ч меньше и вторую половину пути со скоростью на 3 км/ч больше, чем полагалось. На весь путь теплоход потратил 5 часов. На сколько минут опоздал теплоход?

A)12 B)15 C)20 D)25 Е)30

2. Бригада рабочих должна была изготовить 360 деталей. Изготовляя ежедневно на 4 детали больше, чем предполагалось по плану, бригада выполнила задание на день раньше срока. Сколько дней затратила бригада на выполнение задания?

A)10 B)5 C)9 D)18 Е)36

3. Лыжнику необходимо было пробежать расстояние в 30 км. Начав бег на 3 мин позже назначенного срока, лыжник бежал со скоростью, больше предполагавшейся на 1км/ч и прибежал к месту назначения вовремя. Определите скорость, с которой бежал лыжник.

A)30 B)25 C)18 D)20 Е)21

4. Клумба, имеющая форму прямоугольника со сторонами 2м и 4м, окружена дорожкой, имеющей везде одинаковую ширину. Определите ширину этой дорожки, если её площадь в девять раз больше площади клумбы.

A)1 B)2 C)3 D)4 Е)5

5. Скорость вертолета на 85км/ч больше скорости автомобиля, а отношение их скоростей равно 35:18 Определите скорости вертолета и автомобиля.

A)90 и 75 B)85 и 170 C)95 и 185 D)100 и 185 Е)150 и 65

6. Моторная лодка прошла вниз по течению реки 14 км, а затем 9км против течения, затратив на весь путь 5 часов. Найдите скорость течения реки, если скорость моторной лодки в стоячей воде равна 5км/ч

A)1 B)3 C)5 D)2 Е)4

7. Одно натуральное число больше другого на 3, а их произведение равно 180. Найдите эти натуральные числа.

A)5 и 8 B)12 и 9 C)15 и 12 D)19 и 16 Е)21 и 18

8. Одно натуральное число меньше другого на 4, а их произведение равно 192. Найдите эти числа.

A)16 и 12 B)18 и 14 C)20 и 16 D)10 и 6 Е)12 и 8

9. Тракторная бригада вспахала за день 24 га земли, что составило 15% всего поля. Какова площадь поля?

A)120га B)125га C)150га D)158га Е)160га

10. В середине года 1 кг масла стоил 80 тенге, через год оно уже стоило 360 тенге. На сколько процентов удорожало масло?

A)180% B)100% C)250% D)300% Е)350%

11. Ученики класса поровну собрали 172 тенге 73 тиына на общие мероприятия. Сколько учеников было в классе?

A)15 B)20 C)23 D)25 Е)30

12. После того как рабочий истратил 11% зарплаты, у него осталось 7120тенге. Какую зарплату получил рабочий?

A)10000тг B)10500тг C)9000тг D)8000тг Е)8200тг

13. Цену товара снизили на 20%, затем новую цену снизили еще на 25%. На сколько % снизили первоначальную цену товара?

A)40% B)45% C)50% D)35% Е)25%

14. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 15 л морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?

A)15л B)20л C)25л D)30л Е)35л

15. Велосипедисту надо было проехать 15 км. Выехав на 15 минут позже назначенного срока, велосипедист ехал со скоростью на 2 км/ч больше, чем предполагал, и прибыл своевременно на место. С какой скоростью ехал велосипедист?

A)15км/ч B)20км/ч C)12км/ч D)13км/ч Е)25км/ч

16. От листа жести, имеющего форму квадрата, отрезают полосу шириной 3 см, после чего площадь оставшейся части листа стала равной 10см². Определите первоначальные размеры листа жести.

A)5см B)6см C)7см D)8см Е)9см

17. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если цифры этого числа переставить, то получится число, больше искомого на 18. Найдите это число.

A)18 B)30 C)45 D)57 Е)55

18. Высота прямоугольника составляет 75% его основания. Найти периметр этого прямоугольника, зная, что площадь его равна 48м².

A)23 B)25 C)28 D)29 Е)30

19. Реактивный самолет за 0,5 часа пролетел на 2оо км больше, чем моторный самолет пролетел за 1 час. Найти скорость каждого самолета, если скорость реактивного самолета в 3 раза больше скорости моторного.

A)1200км/ч B)1500км/ч C)2000км/ч D)2200км/ч Е)2500км/ч

20. На птицефабрике было гусей в 2 раза больше, чем уток. Через некоторое время число гусей увеличилось на 20%, число уток - на 30%. При этом оказалось, что число гусей и уток увеличилось всего на 8400 голов. Узнайте, сколько стало на ферме гусей и уток.

A)20500гус; B)28800гус; C)34700гус; D)18400гус; Е)10000гус;

13000ут. 15600ут. 26700ут. 10300ут. 8400ут.

21. Один трактор может вспахать поле на 1 день скорее, чем второй. Оба трактора совместно работали 2 дня, а затем оставшуюся часть поля второй трактор вспахал за 0,5 дня. За сколько дней может вспахать поле каждый трактор, работая отдельно?

A)1день B)2дня C)3дня D)4дня Е)5дней

22. В четырех ящиках поровну лежит чай. Когда из каждого ящика вынули по 9 кг, то во всех вместе осталось столько же, сколько было в каждом. Сколько чаю было в каждом ящике?

A)12кг B)13кг C)14кг D)15кг Е)16кг

23. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна из сторон которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определите длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200м².

A)120м B)125м C)130м D)140м Е)145м

24. Длина прямоугольника вдвое больше его ширины. Когда ширину прямоугольника увеличили на 3м, то его площадь увеличилась на 24м². Определите длину и ширину прямоугольника.

A)7м B)8м C)9м D)10м Е)11м

25. Бассейн наполняется двумя трубами за 6 часов. Одна первая труба заполняет его на 5 часов скорее, чем одна вторая. За сколько времени каждая труба, действуя отдельно, может наполнить бассейн?

A)15 и 10 B)10 и 5 C)20 и 15 D)25 и 20 Е)30 и 25

26. Лодка спускается вниз по течению реки из пункта А в пункт В, находящийся в 10 км от А, а затем возвращается в А. Если собственная скорость лодки 3км/ч, то путь из А в В занимает на 2часа 30мин меньше, чем из В в А. Какой должна быть собственная скорость лодки, чтобы поездка из А в В заняла 2 часа?

A)2км/ч B)3км/ч C)4км/ч D)5км/ч Е)6км/ч

27. Первое число больше второго на 4. Разность между квадратами первого и второго чисел равна 56. Найдите эти числа.

A)5 и 1 B)8 и 4 C)10 и 6 D)9 и 5 Е)20 и 16

28. Морская вода содержит по весу 5% соли. Сколько кг пресной воды нужно прибавить к 80 кг морской, чтобы содержание соли в последней составило 2%.

A)100кг B)110кг C)120кг D)130кг Е)140кг

29. Имеются два слитка сплавов меди и олова. Первый содержит 40% меди, второй - 32% меди. Какого веса должны быть эти слитки, чтобы после их совместной переплавки получить 8 кг сплава, содержащего 35% меди?

A)1кг, 3кг. B)2кг, 4кг. C)3кг, 5кг. D)4кг, 6кг. Е)5кг, 7кг.

30. Мясо теряет при варке около 35% своего веса. Сколько нужно сырого мяса, чтобы получить 520 г вареного?

A)800г B)700г C)750г D)850г Е)900г

Ключ к тесту №12 «Текстовые задачи»

1A 11C 21E

2C 12D 22A

3B 13A 23D

4C 14E 24B

5A 15C 25A

6D 16A 26C

7C 17D 27D

8A 18D 28C

9E 19A 29C

10E 20B 30A

73