- Преподавателю
- Математика
- Учебно-методическое пособие по математике по теме Введение в анализ
Учебно-методическое пособие по математике по теме Введение в анализ
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Валеев Р.Ф. |
Дата | 23.09.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Министерство здравоохранения Челябинской области
Государственное бюджетное образовательное учреждение
Среднего профессионального образования
«Саткинский медицинский техникум»
Учебно-методическое пособие
Для студентов медицинских техникумов и колледжей
по дисциплине:
«Математика»
Тема «Введение в анализ»
специальности 060101 «Лечебное дело», 060109 «Сестринское дело»
Сатка 2014
Рассмотрено на цикловой Утверждаю
методической комиссии зам. директора
«ОГСЭ, ОПД, ЕН» по учебной работе
_____________________ ________________
_____________________ ________________
Составитель преподаватель математики и физики ГБОУ СПО «Саткинский медицинский техникум» Валеев Руслан Фаилович
Содержание
Пояснительная записка………………………………………………………4
Методические указания………………………………………….…………..7
1. Функция………………………………...……………………...………….8
1.1 Способы задания функции…………………………………...………….8
1.2 Понятие функции………………………………………….…………..…8
1.3 Свойства функции…………………………………………………...…...8
1.4 Основные элементарные функции……………………….…………..…9
Вопросы для самоподготовки……………………….………..……………..9
Задания для самостоятельной работы…………………….……………….10
2. Предел функции………………………………..……………………….15
2.1 Определение предела функции………………………………….……..15
2.2 Односторонние пределы……………………………….………………15
2.3 Свойства пределов…………………………………..…………….……15
2.4 Замечательные пределы………………………….…………….………16
Вопросы для самоподготовки………………………..…………….………16
Задания для самостоятельной работы………………..………….………...16
Литература…………………………………………..…………….………...22
Пояснительная записка
Цель преподавания математики в ССУЗе - ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач; привить студентам умение самостоятельно изучать учебную литературу по математике и ее приложениям; развивать логическое мышление и формировать математическую культуру; выработать навыки математического исследования прикладных вопросов и умение перевести задачу на математический язык.
Данное пособие предназначено для студентов 2-го курса отделений «Сестринское дело» и «Лечебное дело» для самостоятельной подготовки по темам «Функциональная зависимость» и «Пределы».
В соответствии с государственным стандартом в области математики после изучения темы:
Вы должны иметь представление:
-
о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений реального мира;
-
о математических понятиях как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;
-
об основных понятиях математического анализа и их свойствах, владение умением характеризовать поведение функций, использование полученных знаний для описания и анализа реальных зависимостей;
Вы должны уметь:
-
решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности
Вы должны знать:
-
значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;
-
основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;
-
основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики;
-
основы интегрального и дифференциального исчисления.
Формируемые компетенции
OK 1-Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
OK 2-Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
OK 3-Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность
OK 4-Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения возложенных на него профессиональных задач, а также для своего профессионального и личностного развития.
OK 5-Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности
OK 8-Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать и осуществлять повышение своей квалификации.
OK 9-Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.
OK12-Организовывать рабочее место с соблюдением требований охраны труда, производственной санитарии, инфекционной и противопожарной безопасности.
OK 14-Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).
Методические указания
Уважаемые студенты вам предлагается поэтапное изучение темы «Введение в анализ».
В каждом разделе предлагаются контрольные вопросы и задания, приводятся решения некоторых примеров и задач, а также приводятся задачи и упражнения, предназначенные для самостоятельной работы.
Выбор варианта производится соответственно номеру студента в списке группы.
1. Функция.
1.1 Понятие функции.
Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств.
Допустим, дано два непустых множества X и Y.
Функция - это соответствие между множествами X и Y, при котором каждому элементу множества X соответствует единственный элемент множества Y.
т. е.
Множество X называется областью определения функции f и обозначается D(f). Множество Y называется множеством значений функции f и обозначается E(f).
Переменная x называется аргументом функции или независимой переменной, а y - функцией или зависимой переменной. Относительно самих величин x и y говорят, что они находятся в функциональной зависимости.
Числовое значение функции, соответствующее данному числовому аргумент, называется частным значением этой функции. Например, функция y=f(x) при x=a принимает значение y=f(a).
Чтобы задать функцию y=f(x) необходимо указать правило, позволяющее, зная x, находить соответствующее значение y.
1.2 Способы задания функции.
-
Аналитический - с помощью одной или нескольких формул или уравнений.
Например: y=x2+6.
-
Графический - с помощью графика.
График функции y=f(x) - множество всех точек плоскости Oxy, для каждой из которых x является значением аргумента, а y - соответствующим значением функции.
-
Табличный - с помощью таблицы.
1.3 Свойства функции.
-
Четность.
Функция f(x) называется четной если для любого выполняется равенство .
Функция f(x) называется нечетной если для любого выполняется равенство .
-
Монотонность.
Функция называется возрастающей если для любых таких что выполняется неравенство .
Функция называется неубывающей если для любых таких что выполняется неравенство .
Функция называется убывающей если для любых таких что выполняется неравенство .
Функция называется невозрастающей если для любых таких что выполняется неравенство .
-
Ограниченность.
Функция называется ограниченной если существует такое число M, что для каждого выполняется неравенство .
Если же точка М не существует, то функция называется неограниченной.
-
Периодичность.
Функция называется периодической, если существует число , такое, что для любого выполняется равенство .
Число Т называется периодом функции.
1.4 Основные элементарные функции.
-
Показательная функция ;
-
Степенная функция ;
-
Логарифмическая функция ;
-
Тригонометрические функции , , , ;
-
Обратные тригонометрические функции , , , .
Вопросы для самоподготовки
1. Что такое функция?
2. Перечислите основные свойства функций.
3. Перечислите способы задания функций.
4. Что такое область определения функции?
5. Что такое область значения функции?
6. Какие виды функции вы знаете?
7. На какие виды функции делятся по четности?
Задания для самостоятельной работы.
Постройте графики функции и перечислите их свойства.
1. ;
Решение
Графиком функции является парабола, ветви у нее направлены вверх, так как а=1>0.
a=1, b=0, c=-3.
Вершина параболы, где
;
Значит, вершина имеет координаты (0; -3).
Вычислим координаты контрольных точек и занесем их в таблицу.
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
6
1
-2
-3
-2
1
6
Свойства функции :
1. Здесь на x не накладывается никаких ограничений, поэтому функция определена на множестве R.
2. E(y)=[-3;∞).
3. График функции симметричен оси ординат, поэтому функция будет четной.
4. Функция убывает на отрезке и возрастает на отрезке ;
5. Функция ограничена снизу прямой y=-3, т. к. все точки графика лежат выше этой прямой.
6. Функция не периодическая.
2. ;
Решение
Вычислим координаты контрольных точек и занесем их в таблицу.
x
0
y
0
2,12
3
2,12
0
-3
2,12
Свойства функции :
1. ;
2. ;
3. Функция нечетная;
4. Функция убывает на отрезке и возрастает на отрезках ;
5. Функция ограничена: снизу прямой y=-3; сверху y=3;
6. Функция периодическая, период равен 2π.
3. Постройте графики функции и перечислите их свойства.
Вариант 1.
а) ;
б) , ;
в) , .
Вариант 4.
а) ;
б) ;
в) , .
Вариант 2.
а) ;
б) , ;
в) .
Вариант 5.
а) ;
б) , ;
в) , .
Вариант 3.
а) ;
б) , ;
в) , .
Вариант 6.
а) ;
б) , ;
в) .
Вариант 7.
а) ;
б) , ;
в) , .
Вариант 14.
а) ;
б) , ;
в) .
Вариант 8.
а) ;
б) , ;
в) , .
Вариант 15.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 9.
а) ;
б) , ;
в) , .
Вариант 16.
а) ;
б) , ;
в) .
Вариант 10.
а) ;
б) , ;
в) .
Вариант 17.
а) ;
б) , ;
в) , .
Вариант 11.
а) ;
б) , ;
в) .
Вариант 18.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 12.
а) ;
б) , ;
в) .
Вариант 19.
а) ;
б) , ;
в) .
Вариант 13.
а) ;
б) , ;
в) .
Вариант 20.
а) ;
б) , ;
в) .
Вариант 21.
а) ;
б) ;
в) , .
Вариант 28.
а) ;
б) , ;
в) , .
Вариант 22.
а) ;
б) ;
в) , .
Вариант 29.
а) ;
б) , ;
в) .
Вариант 23.
а) ;
б) , ;
в) , .
Вариант 30.
а) ;
б) ,;
в) , .
Вариант 24.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 31.
а) ;
б) , ;
в) , .
Вариант 25.
а) ;
б) , ;
в) , .
Вариант 32.
а) ;
б) ;
в) , .
Вариант 26.
а) ;
б) , ;
в) .
Вариант 33.
а) ;
б) , ;
в) , .
Вариант 27.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 34.
а) ;
б) , ;
в) , .
Вариант 35.
а) ;
б) , ;
в) , .
Вариант 38.
а) ;
б) , ;
в) .
Вариант 36.
а) ;
б) , ;
в) .
Вариант 39.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 37.
а) ;
б) , ;
в) .
Вариант 40.
а) ;
б) , ;
в)
2. Предел функции.
2.1 Определение предела функции
Число А называется пределом функции y=f(x) при x, стремящемся к a, если для любого числа ε>0 существует такое число σ>0, что для всех x≠a, удовлетворяющих условию |x-a|<σ, имеет место неравенство |f(x)-A|<ε.
Пример 1.
Вычислить предел.
Решение
2.2 Односторонние пределы
Число А1 называется пределом функции y=f(x) слева в точке х0, если для любого числа ε>0 существует число такое, что при выполняется неравенство .
Число А2 называется пределом функции y=f(x) справа в точке х0, если для любого числа ε>0 существует число такое, что при выполняется неравенство.
Пределы функции слева и справа называется односторонними пределами.
2.3 Свойства пределов
-
Если С - постоянная величина, то существует предел:
-
Предел суммы (разности) двух функции равен сумме (разности) их пределов:
-
Предел произведения двух функции равен произведению их пределов:
-
Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
-
Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:
-
Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
2.4 Замечательные пределы
При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел
называемый первым замечательным пределом. Читается: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю.
Второй замечательный предел:
Вопросы для самоподготовки
1. Дайте определение предела функции.
2. Перечислите основные свойства пределов функций.
3. Что означает односторонний предел?
4. Сформулируйте первый замечательный предел.
5. Сформулируйте второй замечательный предел.
6. Какие вам известны способы раскрытия неопределенности вида ?
7. Какие вам известны способы раскрытия неопределенности вида ?
Задания для самостоятельной работы
1. Вычислить предел.
Решение
2. Вычислить предел.
Решение
Здесь применить свойство о пределе дроби нельзя, т. к. предел знаменателя, при x → 3 равен 0. Кроме того, предел числителя равен 0. В таких случаях говорят, что имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь на x - 3 ≠ 0 ( x → 3 , но x ≠ 3 ):
3. Вычислить предел.
Решение
При x → ∞ числитель и знаменатель - величины бесконечно большие. Применяя свойство 5, получаем выражение , которое представляет собой неопределенность. Для нахождения предела данной дроби разделим числитель и знаменатель на наивысшую степень аргумента в знаменателе, т.е. на х3:
При x → ∞ имеем
и
Так как знаменатель величина ограниченная, то
4. Вычислите пределы.
Вариант 1.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 2.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 3.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 8.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 4.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 9.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 5.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 10.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 6.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 11.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 7.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 12.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 13.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 18.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 14.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 19.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 15.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 20.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 16.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 21.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 17.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 22.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 23.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 28.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 24.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 29.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 25.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 30.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 26.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 31.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 27.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 32.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 33.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 37.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 34.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 38.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 35.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 39.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 36.
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 40.
а) ;
б) ;
в) .
Литература
1. Афанасьев О.Н. Сборник задач по математике для техникумов на базе средней школы. - М.: Наука, 2008. - 520с.
2. Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа. М.: Дрофа, 2004.
3. Берман Г.В. Сборник задач по курсу математического анализа. -М., Наука, 1985.
4. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. М., Высшая школа, 2003.
5. Гилярова М. Г. Математика для медицинских колледжей. Р. - на Дону. «Феникс» 2013.
6. Краснов М.Л, Киселев А.И. Макаренко Г.И., Шикин Е.В., Заляпин В.И, Соболев С.К. Вся высшая математика. Т.1. -М.: Эдиториал УРСС, 2001.
7. Кудрявцев В.С. Курс высшей математики. - М.: Высшая школа, 1989.
8. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. М, Айрис-Пресс, 2009.
9. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: учебное пособие для вузов. -М.: Высшая школа, 2005.
10. Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа. Москва «Наука», 1988.