МБОУ « Мордовско-Паёвская СОШ» Инсарского района РМ

Выполнила: Пантилейкина Надежда,

ученица 11 класса

Руководитель: Кадышкина Н.В.,

учитель математики

Оглавление

Введение…………………………………………………………………………….

Глава I. О тригонометрических уравнениях…………………………………..…5

1) Основные типы тригонометрических уравнениях и методы их решения:

1. Уравнения, сводящиеся к простейшим. …………………………………..5

2. Уравнения, сводящиеся к квадратным…………………………………….5

3. Однородные уравнения acosx + b sin x = 0………………………………...6

4.Уравнения вида acosx + b sin x = c, с≠ 0…………………………………7

5. Уравнения, решаемые разложением на множители…………………...….7

6. Нестандартные уравнения………………………………………………….8

Глава II. Основные понятия и формулы тригонометрии…………………….8-10

Глава III. Уравнения предлагавшиеся на ЕГЭ прошлых лет…………...……10-14

Заключение………………………………………………………………………….14

Приложение……………………………………………..……………………….15-17

Литература…………………………………………………………………………..18

Введение

«Единственный путь, ведущий к знаниям - это деятельность...»

Бернард Шоу

Актуальность работы.

Через несколько месяцев я заканчиваю школу.

Чтобы не было проблем с дальнейшим выбором жизненного пути, необходимо получить школьный аттестат, а для того чтобы получить школьный аттестат, необходимо сдать два обязательных экзамена в форме ЕГЭ - и один из них математика. Что уж там говорить, выпускные экзамены - ответственный период в жизни любого школьника, от которого зависит не только итоговая оценка в аттестате, но и его профессиональное будущее, доход и карьера.

Единый Государственный Экзамен - это важный тест перед переходом в новую жизнь и поступлением в университет или колледж. Особенно важно сдать его на хорошие баллы. ЕГЭ по математике - серьезное испытание и без хорошей базы ученик не сможет претендовать на приличный результат.

Как не допустить провала на экзамене и получить хорошие баллы? Для этого необходимо хорошо решить задания. Я не претендую на максимальный балл, тем не менее старательно готовлюсь. И заметила, что даже на первом задании части С, а, именно, на решении тригонометрических уравнениях и их системах допускаю ошибки. На первый взгляд, задача С1 - это относительно несложное уравнение или система уравнений, которое может содержать тригонометрические функции, одним из основных подходов к решению которых состоит в их последовательном упрощении с целью сведения к одному или нескольким простейшим. Так почему я ошибаюсь?

Актуальность темы определяется тем, что учащиеся должны разбираться в тех или иных способах решения тригонометрических уравнений.

Поэтому, перед собой я поставила следующую цель:

Систематизировать, расширить знания и умения, связанные с применением методов решения тригонометрических уравнений.

Объектом исследования является изучение тригонометрических уравнений в заданиях ЕГЭ.

Предмет исследования - является решение тригонометрических уравнений

Таким образом, основной целью написания данной курсовой работы является изучение тригонометрических уравнений и их систем, способы их решения.

В соответствии с целями, объектом и предметом исследования определены следующие задачи:

1). Изучить все задания, связанные с решением тригонометрических уравнений, предлагавшиеся на ЕГЭ работ предыдущих лет и при выполнении диагностических работ;

2) Изучить методы решения тригонометрических уравнений.

3). Выявить основные возможные ошибки при решении таких уравнений;

4). Выяснить причину допущения таких ошибок.

5)Рассмотреть рекомендации по решению тригонометрических уравнений;

6). Сделать выводы.

В своей работе я решу несколько тригонометрических уравнений, покажу возможные ошибки при их решении и постараюсь ответить на следующие вопросы:

1). Можно ли избежать ошибок при выполнении заданий типаС1

2) Если я буду тренироваться в решении уравнений такого типа, то я смогу

ли безошибочно выполнять такие задания?

Для этой цели я изучила все демонстрационные и тренировочные задания, проводимые с нами, материалы ЕГЭ предыдущих лет;

изучила справочные источники;

самостоятельно решала задания из Интернета;

консультировалась со своим учителем в случае затруднения;

училась анализировать и правильно оформлять результаты.

Глава I. О тригонометрических уравнениях.

1) Определение 1. Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.

Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида sin x = a,

cos x=a, tg x=a, ctg x = a.

В таких уравнениях переменная находится под знаком тригонометрической функции, а - данное число.

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения.

2)Основные типы тригонометрических уравнений.

1. Уравнения, сводящиеся к простейшим.

Решить уравнение

Решение:

Ответ:

2. Уравнения, сводящиеся к квадратным.

1) Решить уравнение 2 sin ² x - cosx -1 = 0.

Ответ:

3. Однородные уравнения: asinx + bcosx = 0

a sin ² x + b sinxcosx + c cos ² x = 0.

Решить уравнение 2sinx - 3cosx = 0

Решение: Пусть cosx = 0, тогда 2sinx = 0 и sinx = 0 - противоречие с тем,

что sin ² x + cos ² x = 1. Значит cosx ≠ 0 и можно поделить уравнение на cosx.

Получим

Ответ:

4. Уравнения вида a sinx + b cosx = с, с ≠ 0.
   

Пример: Решить уравнение

Решение:

Ответ:

5. Уравнения, решаемые разложением на множители.

Припер: Решить уравнение sin2x - sinx = 0.

Решение: Используя формулу sin2x = 2sinxcosx, получим

2sinxcosx - sinx = 0,

sinx (2cosx - 1) = 0.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Ответ:

6. Нестандартные уравнения.

Решить уравнение cosx = х ² + 1.

Решение:

Рассмотрим функции

Глава II. Основные понятия и формулы тригонометрии.

Тригонометрические уравнения - обязательная тема любого экзамена по математике.

Ох, сколько мучений доставляет ученикам изучение тригонометрии.

Определенные сложности возникают даже в том случае, если рядом учитель по математике и объясняет каждую мелочь. Это и понятно, одних только базовых формул существует более двадцати. А уж если считать их производные … Ученик путается в вычислениях и никак не может запомнить механизмы, при помощи которых эти формулы позволяют найти, например, .

Вы знаете формулы - вам легко решать. Не знаете - не поймете, даже если дадут формулу.
Формулу нужно не просто тупо знать, а знать куда ее можно применить, как раскрыть и в чем суть формулы, а для этого вам нужно решать примеры именно для тех задач, которые даются с трудом.

Мне поначалу казалось, тригонометрия - это скучный набор формул и графиков. Однако, знакомясь с новыми понятиями тригонометрии и методами решения тригонометрических уравнений, каждый раз убеждалась, насколько интересен и увлекателен мир тригонометрии.

Во- первых, для успешного решения тригонометрических уравнений нужно хорошо знать тригонометрические формулы, причем не только основные, но и дополнительные (преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму, формулы понижения степени и другие), так как использование на ЕГЭ шпаргалок и мобильных телефонов запрещается

(Приложение1)

Во- вторых, мы должны четко знать стандартные формулы корней простейших тригонометрических уравнений (полезно помнить или уметь получать с помощью тригонометрической окружности упрощенные формулы для корней уравнений)

Каждое из таких уравнений решается по формулам, которые следует знать. Вот эти формулы:

а) Функция y=sin x. Функция ограниченная: находится в пределах [-1; 1]. Это значит, что при решении уравнений типа sinx=2 или sinx=-5 в ответе получается: нет корней. Формулы для функции у= sinx

1) sinx =a, x= (-1)ⁿarcsin a +n,nZ

2) sinx = - a, x= (-1)ⁿ⁺¹arcsin a +n,nZ

Также, нужно знать частные случаи: 1) sinx =- 1,

2) sinx =0,

3) sinx =a,

Также нужно уметь решение в виде двух серий корней

.

2. Функция y= cos x. Функция ограниченная: находится в пределах [-1; 1]. Это значит, что при решении уравнений типа cos x=2 или cos x=-5 в ответе получается: нет корней. Формулы для функции у= cos x:

1. cosx =a, X=± arccos a+2n,nZ

2. cos x=-a, X=±(  - arccos a)+2n,nZ

Частные случаи: 1. cosx =-1, X=  +2n,nZ

2. cosx =0,

3. cosx =1, X= 2n,nZ

3. Функция y= tg x.

Тут всего одна формула, без частных случаев: tg x =±a .

х= ± arctg a+n,nZ

В-третьих, надо знать значения тригонометрических функций;

( Приложение 2)

В- четвёртых, Если в уравнении тригонометрическая функция находится под знаком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррациональным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которыми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учитывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени).

V. Уравнения, предлагавшиеся на ЕГЭ прошлых лет.

«Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть - и впоследствии подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели».

Лейбниц

1. Уравнения, сводящиеся к квадратному.

С1. Решить уравнение:

Решение: Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, перепишем уравнение в виде

Заменой cos=t уравнение сводится к квадратному:2t²+ 9 t -5 =0, которое имеет корни t ₁= ½ и t₂ = -5. Возвращаясь к переменной х, получим ,

Второе уравнение корней не имеет так как |cosx|≥1, а из первого x=±+6k,kZ

Ответ: =±+6k,kZ

Вывод: вводя новую переменную, нужно учитывать, что значения sin x и cos x ограничены отрезком , а иначе появятся посторонние корни.

2. Уравнения, решаемые разложением на множители

Задание С1 ( 2011 г.)

а) Решить уравнение

б) Указать корни уравнения, принадлежащие отрезку

Решение: а) решаем разложением левой части на множители:

группируем и выносим общий множитель за скобки, получим

Уравнение 1) решений не имеет.

Второе уравнение однородное, решается делением почленно на cosx ≠0, получим , откуда

б)

Ответ: а) б)

Вывод:

1.При решении уравнения такого вида, во - первых, нужно знать, что |sinх|≤1 и |cosx|≤1, и уравнение sinx=-2 решений не имеет;

2.Во - вторых, обосновать деление на cosx≠о ( так как , если cosx=0,то sinх=0 , а это невозможно;

в- третьих, обоснованно произвести отбор корней, принадлежащие данному промежутку

3.Уравнение на применение формул приведения

С1 ( 2010 г.) Дано уравнение

а) решить уравнение;

б) Указать корни, принадлежащие отрезку

Решение: Используя формулы приведения, получим :

sin 2 x - cos x =0,

2 sinx cosx- cosx =0,

сosx (2 sinx -1 )=0, откуда cosx= 0 или sinx =½,

б) Найдем значения к, при которых корни будут принадлежать

указанному промежутку. Для того, чтобы выбрать корни. принадлежащие заданному промежутку, решение представим в виде :

б) Найдем значения к, при которых корни будут принадлежать указанному промежутку.

2)

Решая это неравенство, целого

значения к не получим.

3)

Ответ: а)

б)

Вывод:

При решении уравнения такого вида, необходимо знать формулы приведенного уравнения и правильно её применить; уметь представлять решениена две серии корней; правильно выбрать корни, принадлежащие заданному отрезку.

4. Системы тригонометрических уравнений

С1 (2010). Решить систему уравнений

Решение: О.Д.З

Дробь равна нулю, если числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.

Из уравнения 2sin²x - 3 sinx +1 =0, решая методом введения новой переменной, находим

или sin x=1.

1)Пусть , тогда и у = cos x = ›0 ( используя основное тригонометрическое тождество)

либо и - нет решения.

2) Пусть sinx = 1, тогда у = cos x = 0 - нет решения.

Ответ: и у =

Вывод: 1) нужно учитывать ограниченность тригонометрических

функций

2) Записывать и учитывать О.Д.З.

5. С1 ( ЕГЭ 2011 г.) Решить уравнение:

О.Д.З. - cos x ≥ 0, sin х ≤ 0.

4sin² x + 12 sinx + 5 = 0 или cos x =0

sinx = t

4 t² + 12 t + 5=0, откуда t₁=-½ , t₂ = -

sinx = -½ sinx =- - не имеет решения

х =

х =

с учётом О.Д.З. х =

Ответ: х =

Вывод: Ответ записать с учётом О.Д.З.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В проделанной мною работе были изучены решения тригонометрических уравнений, рассмотрены рекомендации по решению тригонометрических уравнений, методы решения тригонометрических уравнений и рассмотрены ошибки, которые возможны при их решении.

Я пришла к следующим выводам:

1. Задания типа С1 проверяют умение решать тригонометрические уравнения. Эти задания являются, действительно, несложными, что придаёт лишнюю самоуверенность и усыпляют внимательность. Единственной сложностью этих заданий является то, что, решив уравнение или систему уравнений, отбросить посторонние корни.

2. Задача С1 - это самая простая задача группы С. При ее решении не должны возникать громоздкие преобразования и сложные вычисления. Если же они появились - немедленно нужно остановиться, проверить решение и попробовать понять, что же здесь не так.

3. В конечном итоге, главное требование - решение должно быть математически грамотным, из него должен быть понятен ход рассуждений. Нужно постараться записать свое решение кратко и понятно, но главное - правильно!

4. И самое главное - чтобы научиться без ошибок решать уравнения , надо их решать! Ведь, как говорил Пойа, « Если хотите научиться плавать, то смело ныряйте в воду, а если хотите научиться решать задачи, надо их решать!»

Приложение 1 ( основные формулы тригонометрии)

1) основное тригонометрическое тождество sin²α +cos² α= 1,

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем

2)формулы двойного аргумента sin2α =2 sinα cos α,

cos 2α = cos² α - sin²α,

cos 2α = 1- 2sin²α,

3)формулы понижения степени:

4) формулы суммы и разности двух аргументов:

sin(α+β)=sinα cos β +cos α sin β

sin(α-β)=sinα cos β -cos α sin β

cos(α+β)=cosα cos β +sin α sin β

cos(α-β)=sinα cos β +sinα sin β

5)Формулы приведения

Формулами приведения называются формулы следующего вида:

Суммы суммы и разности тригонометрических уравнений

Чётность

Косинус- чётная, синус, тангенс и котангенс- нечётные, то есть:

Непрерывность

Синус и косинус - непрерывные функции. Тангенс и имеет точки разрыва

,котангенс 0; ±π; ±2π;…

Периодичность

Функции y = cos x, y = sin x - периодические с периодом 2π,

функции y = tg x и y = ctg x - c периодом π.

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Приложение 2(Таблица значений тригонометрических функций некоторых углов)

ЛИТЕРАТУРА

1. Гилемханов Р.Г. О преподавании тригонометрии в 10 классе по курсу В //Математика в школе. 2001-№ 6 -с. 26-28.

2. Глазков Ю. А. Математика. ЕГЭ: сборник заданий и методических рекомендаций/ Ю. А. Глазков, И. К. Варшавский, М. Я. Гаиашвили. - М.: Издательство «Экзамен», 2008-2010

3. Крамор В.С. Тригонометрические функции. - М.: Просвещение, 1979.

4. Синакевич С.В. Тригонометрические уравнения - М.: Учпедгиз, 1959.

5. Цукарь А.Я. Упражнения практического характера по тригонометрии //Математика в школе. 1993-№3- с 12-15.

6. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - М.: Наука, 1978.

7. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. Москва, «Просвещение», 1994.

8. Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа 10-11. Учебник - М.: Просвещение, 2001.

9. ЕГЭ. Контрольно-измерительные материалы. М: Просвещение, 2002-2011г.

10.ucheniki.hut2.ru/sprav/sprav_mathem/sprav_mathem_text/trigonom/sprav_mathem_znashen.php

11. webmath.ru/poleznoe/trig_formules.php

18