Методическая работа Дұрыс көпжақтар (10 класс)

Дұрыс көпжақ ұғымы

Кәрібаева Сәуле Шешкенқызы - Қарақол орта мектеп-бақшасының математика пәнінің мұғалімі

Дұрыс көпжақ ұғымы Евклидтің ХІІІ кітабында жазылған. Евклид осындай

көпжақтың бар екенін тағайындап, оларға іштей сфераны қалай сызуға болатынын көрсетеді. Дұрыс көпжақтың 5 түрі бар:

1. Тетраэдр (грек сөзі «тетра» - төрт және «едра» - жақ); 4 жақ, 4 төбе, 6 қыр;

2. Гексаэдр (куб) («гекса» - алты); 6 жақ, 8 төбе, 12 қыр;

3. Октаэдр («окто» - сегіз); 8 жақ, 6 төбе, 12 қыр;

4. Додекаэдр («додека» - он екі); 12 жақ, 20 төбе, 30 қыр;

5. Икосаэдр («эйкоси» - жиырма); 20 жақ, 12 төбе, 30 қыр.

Евклид ХІІІ кітабында осы бес денеден басқа дұрыс көпжақтың жоқ екенін дәлелдеген.

Егер дөңес көпжактың барлық жақтары тең дүрыс көпбұрыштар болса, сонымен қатар оның әрбір төбесінде саны бірдей қырлар тоғысатын болса, ондай дөңес көпжақ дұрыс көпжақ деп аталады. Мысалы, куб дүрыс көпжак болып табылады. Оның барлық жақтары тең квадраттар жөне әр төбесінде үш қыр тоғысады.

Дүрыс көпжақтың барлық қырлары бір-біріне тең екені көрініп тұр. Қыры ортақ екі жақты қамтитын барлық екіжақты бұрыштар да тең екенін дөлелдеуге болады. Шынында да, n-бұрыштың n≥6 болғанда бұрышы 120⁰-тан кіші болмайды.

Екінші жагынан, көпжақтың әрбір төбесінде үштен кем жазык бұрыш болмауы тиіс, Сондықтан, егер жақтары n≥6 болғанда дүрыс n-бұрыш болатын дүрыс көпжақ бар болса, онда мұндай көпжактың әрбір төбесіндегі жазық бұрыштарының қосындысы 120^{0 .} 3 = 360 -тан кіші болмас еді. Бірақ бұл мүмкін емес, өйткені дөңес көпжактың өрбір төбесіндегі барлық жазык бұрыштардың қосындысы 360⁰-тан кіші. Осы себепті дүрыс көпжактың әрбір төбесі үш, төрт немесе бес тең қабырғалы үшбұрыштардың, не үш квадраттың, не үш дүрыс бесбұрыштың төбесі болуы мүмкін. Басқа мүмкін жағдай жоқ.

Осыған сөйкес мынадай дүрыс көпжақтар аламыз:

Дұрыс тетраздр (1-сурет) (біз дұрыс тетраэдр мен дұрыс үшбұрышты пирамиданы ажыратып айтамыз.

Барлық қырлары тең дұрыс тетраэдрден дұрыс үшбұрышты пирамиданың өзгешелігі оның бүйір қырлары бір-біріне тен болғанмен, олар табанының кабырғаларына тең болмауы мүмкін.) төрт теңқабырғалы үшбұрыштан тұрады. Оның әрбір төбесі үш үшбұрыштың төбесі болып табылады. Демек, әрбір төбедегі жазық бұрыштардың қосындысы 180°-қа тең.

Дұрыс октаэдр (2-сурет) сегіз теңқабырғалы үшбұрыштан құралған. Октаэдрдің әрбір төбесі төрт үшбұрыштың төбесі болып табылады. Демек, әрбір төбедегі жазык бұрыштардың қосындысы 240⁰-ка тең.

Дұрыс икосаэдр (3-сурет) жиырма тең қабырғалы үшбұрыштан құралған. Икосаэдрдің әрбір төбесі бес үшбұрыштың төбесі болып табылады. Ендеше, әрбір төбедегі жазық бұрыштардың қосындысы 300⁰-қа тең.

Куб (гексаэдр) (4-сурет) алты квадраттан құралған. Кубтың әрбір төбесі үш квадраттың төбесі болып табылады, Ендеше, өрбір төбедегі жазық бұрыштардың қосындысы 270°-қа тең.

Дұрыс додекаэдр (5-сурет) он екі дұрыс бесбұрыштан күралған. Додекаэдрдің әрбір төбесі үш дүрыс бесбұрыштың төбесі болып табылады, Ендеше, өрбір төбедегі жазық бұрыштардың қосындысы 324⁰-қа тең.

Дұрыс көпжақтардың осы аталып өткен бес түрінен басқа түрлері жоқ.

Дүрыс көпжактардың симметрия элементтерін карастырайық.
Дұрыс тетраэдрдің (6-сурет) симметрия центрі жок. Қарама-қарсы қырларының орталары арқылы өтетін түзу оның симметрия осі болып табылады.

6-суретАВСD дүрыс тетраэдрінің АВ қыры арқылы және қарама-қарсы жатқан СD қырына перпендикуляр өтетін α жазықтығы симметрия жазықтығы болып табылады (2-сурет). Дұрыс тетраэдрдің үш симметрия осі және алты симметрия жазықтығы бар.
Сырттай сызылған сфера радиусы:

Іштей сызылған сфера радиусы:

Бет ауданы:

Тетраэдр көлемі:

7-суретКуб диагональдарының қиылысу нүктесі - оның жалғыз ғана симметрия центрі болып табылады. Қарама-қарсы жатқан жақтардың центрлері және бір жақта жатпайтын қарама-қарсы екі қырдың орталары арқылы өтетін а жөне b түзулері оның симметрия осьтері болып табылады (7-сурет).

Кубтың тоғыз симметрия осі бар. Барлық симметрия осьтері симметрия центрі арқылы өтеді. Кубтың кез келген екі симметрия осі арқылы өтетін жазықтық оның симметрия жазықтығы болып табылады. Кубтың тоғыз симметрия жазықтығы бар.
Сырттай сызылған сфера радиусы:

Іштей сызылған сфера радиусы:

Бет ауданы:

Көлемі:

Дұрыс октаэдрдің (8-суретті кара), дұрыс икосаэдрдің (3-суретті қара) және дұрыс додекаэдрдің (5-суретті қара) симметрия центрі мен бірнеше симметрия осі және жазықтықтары бар.

8-сурет
Дұрыс октаэдрдің симметрия элементтері:

Октаэдрдің симметрия центрі - октаэдрдің центрі, 9 симметрия осі және 9 симметрия жазықтығы бар.

Сырттай сызылған сфера радиусы:

Іштей сызылған сфера радиусы:

Бет ауданы:

Көлемі:

Дұрыс икосаэдрдің симметрия элементтері:

Икосаэдрдің симметрия центрі - икосаэдрдің центрі, 15 симметрия осі және 15 симметрия жазықтығы бар.

Сырттай сызылған сфера радиусы:

Іштей сызылған сфера радиусы:

Бет ауданы:

Көлемі:

Дұрыс додекаэдрдің симметрия элементтері:

Додекаэдрдің симметрия центрі- додекаэдрдің центрі, 15 симметрия осі және 15 симметрия жазықтығы бар.

Сырттай сызылған сфера радиусы:

Іштей сызылған сфера радиусы:

Бет ауданы:

Көлемі:

Шығыс Қазақстан облысы

Үржар ауданы

Тел: 7(72230)55551, 87756214578