Методическая разработка «Применение метода достраивания тетраэдра в решении геометрических задач»

Учитель МБОУ гимназия № 9

города Воронежа

Хатунцева И.В.

Методическая разработка

«Применение метода достраивания тетраэдра в решении геометрических задач»

Один из красивых приемов, который может быть использован при решении геометрических задач, состоит в замене изучаемой геометрической фигуры другой, в каком-то смысле более удобной. Так в планиметрии если в условии задачи фигурирует треугольник, в котором проведена медиана, часто полезно достроить этот треугольник до параллелограмма, продолжая медиану на расстояние, равное ей самой. В своем выступлении я рассмотрю ряд задач с участием треугольной пирамиды - тетраэдра, которые оказывается возможным решить, достраивая тетраэдр до другого многогранника (как правило, параллелепипеда).

Первый способ достраивания пирамиды до параллелепипеда изображен на рисунке. Здесь AA₁BD - данная пирамида, а плоскости граней DCC₁D₁, CBB₁C₁ и A₁ B₁C₁ D₁ параллелепипеда проходят через одну вершину пирамиды и параллельны грани пирамиды, противолежащей этой вершине.

Другой часто встречающийся способ достраивания тетраэдра до параллелепипеда состоит в следующем. Проведем через каждое ребро тетраэдра плоскость, параллельную противоположному ребру. Эти плоскости ограничат некоторый параллелепипед диагоналями граней которого будут ребра исходного тетраэдра.

Первый из предложенных способов достраивания тетраэдра до параллелепипеда удобен, когда даны плоские углы при одной из вершин тетраэдра (особенно если все они прямые), второй используется в задачах, в которых фигурируют скрещивающиеся ребра тетраэдра.

Рассмотрим задачу на применение первого способа достраивания тетраэдра:

Задача 1: Дана треугольная пирамида AA₁BD, в которой ребра А A₁ и АВ и AD попарно перпендикулярны, а их длины равны соответственно а, b, с.

а) Доказать, что вершина А пирамиды, точка пересечения медиан грани A₁BD и центр описанного шара лежат на одной прямой.

б) Найти радиус шара, описанного около этой пирамиды.

Решение: Достроим пирамиду AA₁BD первым способом до прямоугольного параллелепипеда. Тогда шар, описанный около этой пирамиды, является одновременно описанным шаром и для всего параллелепипеда. Радиус этого шара равен половине диагонали параллелепипеда, а именно это является ответом на пункт б.

Для доказательства утверждения а, рассмотрим прямоугольник AA₁C₁С. Центр О шара находится на диагонали АС₁ и медиана A₁О₁ треугольника A₁BD пересекается с АC₁ в точке М, и если мы докажем, что то это будет означать, что М - точка пересечения медиан треугольника A₁BD; тем самым мы докажем утверждение пункта а. Из подобия треугольников А₁С₁М и АО₁М следует: , что и требовалось доказать.

Далее рассмотрим несколько задач на применение второго способа достраивания тетраэдра.

Задача 2: Доказать, что сумма квадратов длин ребер тетраэдра равна учетверенной сумме квадратов расстояний между серединами его противоположных ребер.

Решение: Воспользуемся вторым способом достраивания тетраэдра до параллелепипеда. Расстояния между серединами скрещивающихся ребер тетраэдра равны длинам ребер этого параллелепипеда. Воспользовавшись свойством о том, что если a и b - длины сторон параллелограмма, а d₁ и d₂ -длины его диагоналей, то d₁²+ d₂² =2(a² +b²), докажем необходимое равенство.

Задача 3: Пусть a и a_1, b и b_1, c и c₁ длины пар противоположных ребер тетраэдра; α, β и γ - соответственные углы между ними (α, β, γ ≤90⁰). Докажите что одно из трех чисел aa₁cos α, bb₁ cos β, cc₁ cos γ - сумма двух других.

Решение: Достроим тетраэдр до параллелепипеда вторым способом. Тогда a и a₁- диагонали двух противоположных граней параллелепипеда. Пусть m и n - стороны этих граней, причем m ≥n . По теореме косинусов 4m²= a² +a₁²+2a a₁ cos α и 4n²= a² +a₁²-2a a₁ поэтому a a₁ cos=m²-n². Записав такие равенства для чисел bb₁ cos β и cc₁cos γ, получим требуемое.

Задача 4: Найти радиус шара, касающегося всех ребер правильного тетраэдра, длина ребра которого равна а.

Решение: Построенный вторым способом параллелепипед будет кубом с ребром а, шар, вписанный в этот куб, будет искомым. Поэтому радиус этого шара легко можно найти из куба, он равен .

И наконец, рассмотрим задачу на нестандартный способ достраивания тетраэдра:

Задача 5: В тетраэдре площади двух граней равны S₁ и S₂, двугранный угол между ними равен α, площади двух других граней Q₁ и Q₂, угол между ними β. Доказать, что S₁²+S₂²-2 S₁ S₂cos α= Q₁²+Q₂²-2 Q₁Q₂cos β

Решение: Докажем сначала, что если площадь одной боковой грани треугольной призмы равна S, две другие грани имеют площади S₁ и S₂, а двугранный угол между ними α, то S₁²+S₂²-2 S₁ S₂cos α =S² . Пусть плоскость ABC перпендикулярна боковым ребрам призмы, BAC = α. Запишем теорему косинусов для треугольника ABC: BC²=AB²+AC²- AB * AC cos α. Осталось умножить равенство на l², где l - длина бокового рёбра призмы. Перейдем теперь к решению задачи. Пусть ABCD - данный тетраэдр, , , , , двугранный угол при ребре AD равен α, а при ребре ВС - β. Рассмотрим треугольную призму с основанием ABC, одно из боковых ребер которой - AD. Обозначим через S площадь параллелограмма BB₁C₁C, тогда по доказанной формуле S²= 4S₁²+4S₂²-8 S₁ S₂cos α , причем S можно найти по формуле: S=AD*BC sin φ. Если мы рассмотрим другую треугольную призму с основанием ACD и боковым ребром ВС, то получим S²= 4Q₁²+4Q₂²-8 Q₁Q₂cos β. Отсюда S₁²+S₂²-2 S₁S₂cos α= Q₁²+Q₂²-2 Q₁Q₂cos β, что и требовалось доказать.

Во все времена в математике наиболее ценными считались рациональные способы решения задач, применение которых значительно упрощает и ускоряет процесс решения. Как мы могли убедиться на рассмотренных примерах, методы достраивания тетраэдра позволяют существенно упростить некоторые сложные стереометрические задачи, решение которых стандартными способами является более громоздким и утомительным.