Внеклассное мероприятие по математике Задачи от писателей

Внеклассное мероприятие

«Задачи от писателей»

«

2013 -2014 уч год

Задачи от писателей

Можно ли в школе при обучении математике использовать произведения русских, советских и зарубежных писателей? Математические задачи ставят перед читателями авторы романов, повестей, рассказов, как правило - между делом, зачастую сами не обращая на это внимания. Любая книга откроет свои тайны тому человеку, кто умеет сам добывать знания и отвечать на интересующие его вопросы. Грамотное использование математических фактов делает художественное произведение достоверным и реальным.

Рассказ Л. Толстого «Много ли человеку земли нужно»

(о крестьянине Пахоме, покупавшем землю у башкирцев)

«- А цена, какая будет? - говорит Пахом.

- Цена у нас одна: 1000 рублей за день.

Не понял Пахом.

- Какая же это мера - день? Сколько в ней десятин будет?

- Мы этого, - говорит, - не умеем считать. А мы за день продаем; сколько обойдешь в день, то и твое, а цена дню 1000 рублей.

Удивился Пахом.

- Да ведь это, - говорит, - в день обойти, земли много будет.

- А мы станем на место, где ты облюбуешь, мы стоять будем, а ты иди, делай круг; а с собой скребку возьми и, где надобно, замечай, на углах ямки рой, дернички клади, потом с ямки на ямку плугом проедем. Какой хочешь круг забирай, только до захода солнца приходи к тому месту, с какого взялся. Что обойдешь, все твое».

Фигура, которая получилась у Пахома, имеет вид:

Решение. Найдем площадь участка. По теореме Пифагора х = 13 верст. Тогда кв. верст.

Так как 1 верста = 1,0668 км ≈ 1,1 км, 1 кв. верста = 1,138 км2, то 78 кв. верст ≈ 89 км 2 ≈ 8900 га ≈ 8900 десятин.

Ответ: ≈9000 десятин.

Рассказ А. Чехова «Каникулярные работы институтки Наденьки Н.»

«Три купца взнесли для одного торгового предприятия капитал, на который через год было получено 8000 руб. прибыли. Спрашивается: сколько получил каждый из них, если первый взнес 35 000 рублей, второй - 50 000 рублей, а третий - 70 000 рублей?»

Ответ: 1806 руб., 2580 руб., 3612 руб.

Повесть И. Тургенева «Муму»

С давних пор использовались мелкие единицы длины:

1 аршин = 4 четверти = 16 вершков;

1 аршин = 71,12 см; 1 четверть = 17,78 см;

1 вершок ≈ 4,4 см; 1 сажень ≈ 213 см.

«…Из числа всей ее челяди самым замечательным лицом был дворник Герасим, мужчина двенадцати вершков роста, сложенный богатырем и глухонемой от рождения».

Решение. Зная соотношения между старорусскими мерами длины и современными, вычислим рост Герасима: 12 · 4,4 см = 53 см. Рост младенца в среднем составляет 51-53 см. Какой же Герасим тогда богатырь? Но раньше указывали лишь число вершков, на которое он превышал два аршина. Проведем повторное вычисление:

1) 2 · 71 см = 142 см ≈ 2 аршина;

2) 142 + 53 = 195 см ≈ 2 аршина и 12 верш-

ков.

Ответ: рост Герасима был 1 м 95 см.

Поэма Н. Некрасова «Дедушка Мазай и зайцы»

«Вижу один островок небольшой -

Зайцы на нем собралися гурьбой.

С каждой минутой вода подбиралась

К бедным зверькам; уж под ними осталось

Меньше аршина земли в ширину,

Меньше сажени в длину».

Каковы же размеры островка в современных

единицах длины и площади?

Решение. Площадь участка можно вычислить по формуле S = аb, а = 1 аршин ≈ 71 см, b = 1

сажень ≈ 213 см. Тогда S ≈ 0,71 · 2,13 = 1,5123 м2.

Ответ: островок небольшой.

Повесть Л. Гераскиной «В стране невыученных уроков»

«Пять землекопов выкопали траншею в сто погонных метров за четыре дня. Сколько погонных метров выкопал каждый землекоп в течение двух дней при условии, что все землекопы выполнили одинаковый объем работ?»

Ответ: 10 м выкопал каждый землекоп в течение двух дней.

Задача Г. Остера «Зарядка для хвоста»

В известном мультфильме «38 попугаев» главные герои измеряли рост Удава. Оказалось, что он составляет 38 попугаев, 5 мартышек или 2 слоненка. А так ли это на самом деле? На самом деле средняя длина попугая равна 22 см, мартышки - 70 см, слона - 330 см, а длина удава около 10 м.

Выполнив ряд вычислений, получим, что длина удава равна 45 попугаям (1000 : 22 ≈ 45),

14 мартышкам (1000 : 70 ≈ 14) и 3 слонам (1000 : 330 ≈ 3).

Автор в этом произведении пренебрег точными данными.

Рассказ А. Аверченко «Экзаменационная задача»

«Два крестьянина вышли одновременно из пункта А в пункт Б, причем один из них делал в час четыре версты, а другой - пять. Спрашивается, на сколько один крестьянин придет раньше другого в пункт Б, если второй вышел позже первого на четверть часа, а от пункта А до пункта Б такое же расстояние в верстах, сколько получится, если два виноторговца продали третьему такое количество бочек вина, которое дало первому прибыли сто двадцать рублей, второму восемьдесят, а всего бочка вина приносит прибыли сорок рублей».

Решение. Вычислим расстояние от пункта А до пункта Б: (120 + 80) : 40 = 5 (бочек). Получим, что оно равно 5 верстам. Первый крестьянин пройдет это расстояние за 5 : 4 = 1,25 ч, а второй - за 4 : 4 = 1 ч, то есть затратит на этот путь на 0,25 ч меньше, чем первый. Поскольку второй крестьянин вышел на четверть часа позже второго, то они придут в пункт Б одновременно.

Роман М. Салтыкова-Щедрина

«Господа Головлевы»

Задача 1. Сын Порфирия Владимирыча Петя проиграл в карты казенные 3000 руб. и попросил у бабушки эту сумму взаймы. Он говорил: «Я бы хороший процент дал. Пять процентов в месяц хотите? Ну, через год капитал на капитал?» Какую сумму Петя обещал вернуть?

Решение. Видимо, Петя обещал вернуть удвоенную сумму, то есть около 6000 руб. О каких процентах говорит Петя: о простых или сложных? Рассмотрим оба варианта.

1) Простые проценты начисляются только на

начальный вклад и вычисляются по формуле

где Р - начальная сумма капитала, t - время, за которое начисляется процент р.

Получим руб.

2) Сложные проценты начисляются на наращенный капитал и вычисляются по формуле

100

Ответ: видимо, Петя имел в виду сложные проценты

Задача 2. «Порфирий Владимирыч сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает ворос: сколько было бы у него теперь денег, если бы маменька, Арина Петровна, подаренные ему при рождении дедушкой на зубок 100 руб., ассигнациями, не присвоила себе, а положила бы в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего 800 руб. ассигнациями!»Под какой фиксированный процент годовых надо было положить 100 рублей, подаренные Порфирию дедушкой, в банк, чтобы через t лет размер вклада увеличился в 8 раз? Решите задачу, считая возраст Порфирия Владимировича равным 50 годам.

Решение. На вклады с длительным сроком хранения банки обычно устанавливают сложные проценты. Вот и ломбард, взяв на хранение деньги (во времена описанных в романе событий он выполнял эту функцию банка), должен был начислять на них сложные проценты. Сложные проценты можно вычислить по формуле

Итак, согласно условию задачи Р = 100 руб., t = 50 и S = 800 руб. Тогда, решив уравнение

получим p = 4%.

Ответ: 4%.

Роман Ф. Достоевского

«Преступление и наказание»

Алена Ивановна, старуха-процентщица, предлагала Раскольникову деньги под заклад на весьма выгодных для себя условиях: «Вот-с, батюшка: коли по гривне в месяц с рубля, так за полтора рубля (в которые оценен заклад) причтется с вас пятнадцать копеек, за месяц вперед-с. Да за два прежних рубля (за старый заклад) с вас еще причитается по сему же счету вперед двадцать копеек. А всего, стало быть, тридцать пять. Приходится же вам теперь всего получить за часы ваши рубль пятнадцать копеек».

Повесть О. де Бальзака «Гобсек»

Господин Дервиль взял у ростовщика Гобсека сумму в 150 000 франков сроком на 10 лет под 15% годовых. Если бы он выплачивал сложные проценты от исходной суммы, то должен вернуть 150 000 · (1 + 0,01 · 15)10 ≈ 606 834 франка.

Если бы расчеты велись по формуле простых процентов, то сумма составила бы

150 000(1 + 0,01· 15 · 10) = 375 000 франков.

Разница составляет более 231 тысячи франков.

Сказки «Тысяча и одна ночь»

Мудрец задает юной деве задачу: «Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другие расположились под деревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят расположившимся внизу: "Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну". Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?»

Фантастическая повесть Дж. Свифта

«Путешествия Гулливера»

В стране лилипутов линейные размеры (высота, ширина, длина, толщина) всех вещей, людей, животных, растений в 12 раз меньше, чем у нас. А в стране великанов - 12 раз больше. Лилипуты установили для Гулливера следующую норму отпуска продуктов: «…Ему будет ежедневно выдаваться столько съестных припасов и напитков, сколько достаточно для прокормления 1724 подданных страны лилипутов». Из какого расчета получили лилипуты эти цифры, ведь Гулливер только лишь в 12 раз больше лилипута? Расчет сделан практически верно, если не считать маленькой арифметической ошибки. Не надо забывать, что лилипут - это уменьшенная точная копия обыкновенного человека и имеет нормальные пропорции частей тела. Значит, он не только в 12 раз ниже, но и в 12 раз уже и в 12 раз тоньше Гулливера. Получается, что объем тела Гулливера не в 12 раз, а в 12 · 12 · 12 = 1728 раз больше лилипута. Имен-но поэтому ему понадобится такое количество еды.

Повесть-сказка Л. Кэрролла

«Алиса в стране чудес»

В сказке происходит очень много превращений: «…Алиса откусила еще кусочек и вскоре съела весь пирожок.

- Я теперь, раздвигаюсь, словно подзорная труба. Прощайте, ноги! В эту минуту она как раз взглянула на ноги и увидела, как стремительно они уносятся вниз. Еще мгновение - и они скроются из виду.

- Бедные мои ножки! Кто же будет вас теперь обувать? Кто натянет на вас чулки и башмаки?

Мне же до вас теперь не достать». Почему Алиса так переживала? Части тела Алисы уменьшались и увеличивались согласно прямой пропорциональной зависимости. Увеличилась длина ног и рук в одинаковое количество раз. Переживания Алисы напрасны, она сама без труда смогла бы надеть и чулки, и башмаки.

Повесть Дж. Лондона

«Маленькая хозяйка большого дома»

«Посреди поля возвышался стальной шест, врытый глубоко в землю. С верхушки шеста к краю поля тянулся трос, прикрепленный к трактору. Механики нажали рычаг, и мотор заработал. Машина сама двинулась вперед, описывая окружность вокруг шеста, служившего его центром.

- Чтобы окончательно усовершенствовать машину, Грэхем, вам остается превратить окружность, которую она описывает, в квадрат.

- Да, на квадратном поле пропадает при такой системе очень много земли. Грэхем произвел некоторые вычисления, заем заметил:

- Теряем примерно три акра из каждых десяти. Не меньше».

Решение. Пусть, а - сторона квадрата. Площадь такого квадрата Sкв = а². Диаметр вписанного круга равен также а, а его площадь

Пропадающая часть квадратного участка составляет:

Расчеты оказались неточными. Необработанная часть квадратного поля составляет не 30%, а только 22%.

Рассказ А. Конан-Дойля

«Обряд дома Месгрейвов»

«Я связал вместе два удилища, что дало мне шесть футов, и мы с моим клиентом отправились обратно к тому месту, где рос (когда-то) вяз... Я воткнул свой шест в землю, отметил направление тени и измерил ее. В ней было девять футов. Дальнейшие мои вычисления были совсем уж несложны. Если палка высотой шесть футов отбрасывает тень в девять футов, то дерево (вяз) высотой (64 фута) отбросит тень в (96 футов), и направление той и другой, разумеется, будет совпадать».

Использованные интернет-ресурсы:

1. Барташевич Н. Математика в художественной литературе. URLug.ru/old/01.51/ps2.htm.

2. Карпушина Н.М. Любимые книги глазами математика. Занимательные задачи и познавательные истории для взрослых и детей. М.: АНО Редакция журнала «Наука и жизнь», 2011.

3. Латыпова С.В. Математические задачи в литературных произведениях URL: festival.1september.ru/articles/587649/.

4. Митрофанова Н.В., Шохалова Н.П. Мировоззрение и творчество А.С. Пушкина в свете математических законов. URL: festival.1september.ru/articles/211532/.

5. Балабанова В. Решение прикладных задач по теме «Наибольшее и наименьшее значения функции» // Математика, 2007, № 7.

6. Перельман Я.И. Занимательная геометрия. - М.: Л, ГТТИ, 1950 URL:ilib.mccme.ru/djvu/perelman/zanim-geom.htm.