Учебно-исследовательская работа по информатике и математике на тему Круги Эйлера и теория графов в решении задач по математике и информатике

Приложение 1

Решение задач, применяя круги Эйлера

Рассмотрим несколько задач, которые могут быть решены с применением кругов Эйлера на уроках математики или информатики.

Задачи

1. В классе 25 учащихся. Из них 5 человек не умеют играть ни в шашки, ни в шахматы. 18 учащихся умеют играть в шашки, 20 - в шахматы. Сколько учащихся класса играют и в шашки, и в шахматы?

2. Каждый из 35 пятиклассников является читателем, по крайней мере, одной из двух библиотек: школьной и районной. Из них 25 учащихся берут книги в школьной библиотеке, 20 - в районной. Сколько из пятиклассников:

а) не являются читателями школьной библиотеки;

б) не являются читателями районной библиотеки;

в) являются читателями только школьной библиотеки;

г) являются читателями только районной библиотеки;

д) являются читателями обеих библиотек?

3. Каждый ученик в классе изучает либо английский, либо французский язык, либо оба этих языка. Английский язык изучают 25 человек, французский - 27 человек, а тот и другой -18 человек. Сколько всего учеников в классе?

4. На листе бумаги начертили круг площадью 78 см2 и квадрат площадью 55 см2. Площадь пересечения круга и квадрата равна 30 см2. Не занятая кругом и квадратом часть листа имеет площадь 150 см2. Найдите площадь листа.

5. В детском саду 52 ребенка. Каждый из них любит либо пирожное, либо мороженое, либо и то, и другое. Половина детей любит пирожное, а 20 человек - пирожное и мороженое. Сколько детей любит мороженое?

6. В ученической производственной бригаде 86 старшеклассников. 8 из них не умеют работать ни на тракторе, ни на комбайне. 54 ученика хорошо овладели трактором, 62 - комбайном. Сколько человек из этой бригады могут работать и на тракторе, и на комбайне?

7. В классе 36 учеников. Многие из них посещают кружки: физический (14 человек), математический (18 человек), химический (10 человек). Кроме того, известно, что 2 человека посещают все три кружка; из тех, кто посещает два кружка, 8 человек занимаются в математическом и физическом кружках, 5 - в математическом и химическом, 3 - в физическом и химическом. Сколько человек не посещают никаких кружков?

8. 100 шестиклассников нашей школы участвовали в опросе, в ходе которого выяснялось, какие компьютерные игры им нравятся больше: симуляторы, квесты или стратегии. В результате 20 опрошенных назвали симуляторы, 28 - квесты, 12 - стратегии. Выяснилось, что 13 школьников отдают одинаковое предпочтение симуляторам и квестам, 6 учеников - симуляторам и стратегиям, 4 ученика - квестам и стратегиям, а 9 ребят совершенно равнодушны к названным компьютерным играм. Некоторые из школьников ответили, что одинаково увлекаются и симуляторами, и квестами, и стратегиями. Сколько таких ребят?

9. В классе 25 учащихся. Из них 5 человек не умеют играть ни в шашки, ни в шахматы. 18 учащихся умеют играть в шашки, 20 - в шахматы. Сколько учащихся класса играют и в шашки, и в шахматы?

10. Каждый из 35 пятиклассников является читателем по крайней мере одной из двух библиотек: школьной и районной. Из них 25 учащихся берут книги в школьной библиотеке, 20 - в районной. Сколько из пятиклассников: а) не являются читателями школьной библиотеки;

б) не являются читателями районной библиотеки;

в) являются читателями только школьной библиотеки;

г) являются читателями только районной библиотеки;

д) являются читателями обеих библиотек?

11. В одном множестве 40 элементов, а в другом 30. Сколько элементов может быть в их:

а) пересечении;

б) объединении?

12. Каждый ученик в классе изучает либо английский, либо французский язык, либо оба этих языка. Английский язык изучают 25 человек, французский - 27 человек, а тот и другой - 18 человек. Сколько всего учеников в классе?

13. Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек - фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?

14. Из 90 туристов, отправляющихся в путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским - 28, французским - 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским -10 , немецким и французским - 5, всеми тремя языками - 3. Сколько туристов не влвдеют ни одним языком?

15. В ясельной группе 11 деток любят манную кашу, 13 - гречневую и

7 малышей - перловую. Четверо любят и манную, и гречневую 3 - манную и перловую, 6- гречневую и перловую, а двое любят все три вида каши.

Сколько детей в этой группе, если в ней нет ни одного ребёнка, вовсе не любящего кашу?

16. В городе живёт многодетная семья. 7 детей любят капусту, 6 - морковь, 5 - горох, 4 - капусту и морковь, 3 - капусту и горох, 2 - морковь и горох, 1 - и капусту, и морковь, и горох. Сколько детей было в семье?

17. В детском лагере отдыхало 70 ребят. Из них 20 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов, а 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты спортом?

18. Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции, 10 - в Италии, 6 - в Англии. В Англии и Италии - пятеро, в Англии и Франции - 6, во всех трёх странах - 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работает 19 человек, и каждый их них побывал хотя бы в одной из названных стран?

19. Домашние любимцы. У всех моих подруг есть домашние питомцы. Шестеро из них любят и держат кошек, а пятеро - собак. И только у двоих есть и те и другте. Угадайте, сколько у меня подруг?

20. Библиотеки. В классе 30 учеников. Все они являются читателями школьной и районной библиотек. Из них 20 ребят берут книги в школьной библиотеке, 15 - в районной. Сколько учеников не являются читателями школьной библиотеки?

21. Любимые мультфильмы. Среди школьников пятого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: "Белоснежка и семь гномов", "Винни Пух", "Микки Маус". Всего в классе 28 человек. "Белоснежку и семь гномов" выбрали 16 учеников, среди которых трое назвали еще "Микки Маус", шестеро - "Винни Пух", а один написал все три мультфильма. Мультфильм "Микки Маус" назвали 9 ребят, среди которых пятеро выбрали по два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм "Винни Пух"?

22. Хобби. Из 24 учеников 5 класса музыкальную школу посещают 10 человек, художественную школу - 8 человек, спортивную школу - 12 человек, музыкальную и художественную школу- 3, художественную и спортивную школу - 2, музыкальную и спортивную школу - 2, все три школы посещает 1 человек. Сколько учеников посещают только одну школу? Сколько учащихся ни в чем себя не развивают?

23. О головоломках. На полке стояло 26 различных математических игр - головоломок. В 4 из них поиграл и Гриша, и Саша. Игорь попробовал проиграть 7 игр, которых не касались ни Гриша, ни Саша, и две головоломки, в которые играл Гриша. Всего Гриша играл в 11 математических игр - головоломок. Во сколько головоломок сыграл Саша?

24. Спорт для всех. В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 - в хоккей, 18 - в футбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и хоккеем - четверо, баскетболом и футболом - трое, футболом и хоккеем - пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни футболом. Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта? Сколько ребят увлекается лишь одним из этих видов спорта?

25. Спортивный класс. В классе 35 учеников. 24 из них играют в футбол, 18 - в волейбол, 12 - в баскетбол. 10 учеников одновременно играют в футбол и волейбол, 8 - в футбол и баскетбол, а 5 - в волейбол и баскетбол. Сколько учеников играют и в футбол, и в волейбол, и в баскетбол одновременно?

26. Часть жителей нашего города умеет говорить только по-русски, часть - только по-башкирски и часть умеет говорить на обоих языках. По-башкирски говорят 85%, по-русски 75%. Сколько процентов жителей говорят на обоих языках?

27. Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь растения. Шестеро из них разводят кактусы, а пятеро - фиалки. И только у двоих есть и кактусы и фиалки. Угадайте, сколько у меня подруг?

28. В футбольной команде «Спартак» 30 игроков, среди них 18 нападающих. 11 полузащитников, 17 защитников и вратари. Известно, что трое могут быть нападающими и защитниками, 10 защитниками и полузащитниками, 6 нападающими и защитниками, а 1 и нападающим, и защитником, и полузащитником. Вратари не заменимы. Сколько в команде «Спартак» вратарей?

29. В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 - автобусом, 23 - троллейбусом, 10 - и метро, и троллейбусом, 12 - и метро, и автобусом, 9 - и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта?

30. В восьмом классе учится 40 человек. Каждый из них изучает не менее одного иностранного языка: английский, немецкий, французский. 34 человека изучают хотя бы один из двух языков: английский, немецкий. 25 человек - хотя бы один из языков: немецкий, французский. 6 человек только немецкий. Одновременно два языка - английский и немецкий - изучают на 3 человека больше, чем французский и немецкий языки. Сколько человек изучает каждый из языков и сколько изучает одновременно каждую пару языков?

31. В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и

холодильник и микроволновку, 19 - и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

32. В футбольной команде «Спартак» 30 игроков: 18 нападающих, 11 полузащитников, 17 защитников. Вратари. 3 могут быть нападающими и защитниками, 10 защитниками и полузащитниками, 6 нападающими и защитниками 1 и нападающим, и защитником, и полузащитником.

Вратари не заменимы. Сколько в команде «Спартак» вратарей?

33. В большой дружной семье много детей. Семеро из них любят яблоки, пятеро - груши, шестеро - персики, четверо - яблоки и персики, трое - яблоки и груши, двое - персики и груши, а один - и яблоки, и груши, и персики.

Сколько детей было в этой семье?

34. Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро - «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?

35. В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили новый диск певицы Максим, 11 - диск Земфиры, 10 человек не купили ни одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры?

36. На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?

37. В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

38. Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде - 28, на роликах - 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах - 10, на сноуборде и на роликах - 5, а на всех трех - 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

39. Сколько учащихся в 10 А классе, если 8 из них посещают только факультатив по физике, 10- только по математике, 4 -оба
факультатива, и «бездельников» нет.

40. Задача №18 из демо-версии ГИА 2013

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Для каждого запроса указан его код - соответствующая буква от А до Г. Расположите коды запросов слева направо в порядке убывания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.

41. Задача В12 из демо-версии ЕГЭ-2013.

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросуЭсминец?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

42. В классе 36 человек. Ученики этого класса посещают математический, физический и химический кружки, причем математический кружок посещают 18 человек, физический - 14 человек, химический - 10. Кроме того, известно, что 2 человека посещают все три кружка, 8 человек - и математический и физический, 5 и математический и химический, 3 - и физический и химический. Сколько учеников класса не посещают никаких кружков?

43. После зимних каникул классный руководитель спросил, кто из ребят ходил в театр, кино или цирк. Оказалось, что из 36 учеников класса двое не были ни в кино. ни в театре, ни в цирке. В кино побывало 25 человек, в театре - 11, в цирке 17 человек; и в кино, и в театре - 6; и в кино и в цирке - 10; и в театре и в цирке - 4. Сколько человек побывало и в кино, и в театре, и в цирке?

44. На листе бумаги начертили круг площадью 78 и квадрат площадью 55. Площадь пересечения круга и квадрата равна 30 . Не занятая кругом и квадратом часть листа имеет площадь 150 . Найдите площадь листа.

45. В бригаде полеводов 25 человек. Среди них 20 человек моложе 30 лет и 15 человек старше 20 лет. Может ли так быть?

46. Сколько в классе учащихся, если известно, что лыжным спортом увлекаются 28 человек, отличников в классе - 12, причем отличников-спортсменов, увлекающихся лыжами, - 10?

47. 37 школьников из ученической производственной бригады изъявили желание летом работать на уборке зерновых. Каждый из них имеет права для работы на тракторе или на комбайне, а некоторые могут работать и на тракторе, и на комбайне. Сколько школьников могут работать и на тракторе. И на комбайне, если известно. Что трактором овладели 23 человека, а комбайном - 31 человек?

48. В ученической производственной бригаде 86 старшеклассников, 8 из них не умеют работать ни на тракторе.ю ни на комбайне. 54 ученика хорошо овладели трактором. 62 - комбайном. Сколько человек из этой бригады могут работать и на тракторе. И на комбайне?

49. В классе 35 учеников. Каждый из которых любит футбол. волейбол или баскетбол. А некоторые - два или даже три из этих видов спорта. 24 ученика любят футбол, 18 - волейбол, 12 - баскетбол. При этом 10 учеников одновременно любят футбол и волейбол, 8 - футбол и баскетбол. А 5 - волейбол и баскетбол. Сколько учеников этого класса любят все три вида спорта?

50. В классе 36 учеников. из них посещают кружки: физический (14 человек), математический (18 человек), химический (10 человек). Кроме того, известно. Что 2 человека посещают все три кружка; из тех, кто посещает два кружка, 8 человек занимаются в математическом и физическом кружках, 5 - в математическом и химическом, 3 - в физическом и химическом. Сколько человек не посещают никаких кружков?

51. 100 шестиклассников нашей школы участвовали в опросе, в ходе которого выяснилось, какие компьютерные игры им нравятся больше: симуляторы, квесты или стратегии. В результате 20 опрошенных назвали симуляторы, 28 - квесты, 12 - стратегии. Выяснилось, что 13 школьников отдают одинаковое предпочтение симуляторам и квестам, 6 учеников - симуляторам и стратегиям. 4 ученика - квестам и стратегиям, а 9 ребят совершенно равнодушны к названным компьютерным играм. Некоторые из школьников ответили, что одинаково увлекаются и симуляторами, и квестами, и стратегиями. Сколько таких ребят?

52. Изобразить с помощью кругов Эйлера отношения между понятиями:

• Четырехугольник

• Трапеция

• Параллелограмм

53. Изобразить с помощью кругов Эйлера отношения между понятиями:

• Параллелограмм

• Ромб

• Прямоугольник

• Квадрат

54. Изобразить с помощью кругов Эйлера отношения между понятиями:

• Натуральные числа

• Целые числа

• Рациональные числа

• Действительные числа

55. Тождественны ли следующие понятия? Изобразите их с помощью кругов Эйлера.

«Луна», «Спутник Земли».

56. Подберите понятия, отношения между которыми можно изобразить кругами Эйлера.

57. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между объемами понятий a и b, если: 1) а - «треугольник», b - «прямоугольный треугольник»; 2) а - «прямая», b - «отрезок»; 3) а - «равнобедренный треугольник», b - «тупоугольный треугольник».

58. А - множество натуральных чисел, меньших 20, а В, С и D - его подмножества, причем В состоит из чисел, кратных 3, С - из чисел, кратных 4, D - из четных чисел. Какие числа являются элементами множеств:

1) (А В) С; 2) А (В С ); 3) А (В С );

4) (А В) С; 5) А В С; 6) А (В С ).

59. Х - множество двузначных чисел, Y - множество четных чисел, Р - множество чисел, кратных 4. Каковы характеристические свойства элементов множеств А = Х Y Р и В = (Х Y) Р? Изобразите множества Х , Y, Р, А и В при помощи кругов Эйлера. Назовите три числа, принадлежащие множеству А, и три числа, принадлежащие множеству В.

60. Найдите пересечение множеств А и В, если:

A = {a, b, c, d, e, f}; B = {b, e, f, k, l};

61. В группе из 100 туристов 70 человек знают английский язык, 45 знают французский язык и 23 человека знают оба языка. Сколько туристов в группе не знают ни английского, ни французского языка?

Ответы

1.

А - шахматы 25-5=20 - чел. умеют играть

В - шашки 20+18-20=18 - чел играют и в шашки, и в шахматы

2. Ш - множество посетителей школьной библиотеки

Р - множество посетителей районной библиотеки

25+20-35=10

а) 10;

б) 15;

в) 15;

г)10;

д) 10.

3. 34. А - английский, Ф - французский

25-18=7 - только английский

27-18=9 - только французский

7+18+9=34 - чел. в классе

4. 253. Sкр=78; Sкв=55; Sсумм=150; Sлиста=78+55-30+150=253

5. 46. П - пирожное, М - мороженое

52-26-20=6 - детей любят пирожное

6. 38. Т - трактор, К - комбайн

54+62-(86-8)=38 - умеют работать и на тракторе и на комбайне

7. Способ 1. Выясним, сколько ребят посещают только математический кружок: 18-8-5-2 = 3; только физический: 14-8-3-2 = 1; только химический: 10-5-3-2 = 0. Таким образом, три кружка посещают 2 ученика; два кружка - 16 учеников (8 + 3 + 5); один кружок - 4 ученика (3 + 1 + 0). Всего посещают кружки 2 + 16 + 4 = 22 ученика. Следовательно, кружки не посещают 36 - 22 = 14 ученика.

Способ 2. Представим множества учащихся, посещающих математический, физический и химический кружки, в виде кругов, вырезанных из плотной бумаги. Будем считать, что площадь каждого из этих кругов равна числу учащихся, посещающих соответствующий кружок. Наложим круги друг на друга так, чтобы было понятно, что есть учащиеся, посещающие один, два или три кружка. Вычислим площадь получившейся плоской фигуры: 14 + 18 + 10 - (8 + 5 + 3) - 2 - 2 = 22 - это и есть число учеников, посещающих кружки. Следовательно, кружки не посещают 36 - 22 = 14 учеников.

8. Пусть X - искомое число учеников, увлекающихся всеми видами компьютерных игр. Тогда: 20 + 28 + 12 + 13 + 6 + 4 + 9 + Х = 100, Х = 6.