21

Информация и её кодирование

Рыжикова Н.Б.

1.1. Виды и свойства информации, количество информации, кодирование информации. Информатика и её место в современном обществе.

Информатика - наука, изучающая свойства информации, а также способы представления, накопления, обработки и передачи информации с помощью технических средств. В информатике выделяют три основных направления: теоретическое, практическое и техническое. Они изучают: теоретические вопросы информатики, связанные с теорией информации, теорией алгоритмов, математической логикой и комбинаторным анализом; практические вопросы информатики, связанные с программированием и использованием прикладных программ; проектирование, разработку и использование технических средств обработки информации.

С информацией мы постоянно сталкиваемся в реальной жизни, она, наряду с такими понятиями, как вещество и энергия, является одним из основных понятий науки.

Информация - это сведения, знания и сообщения, получаемые человеком из различных источников.

Информацию можно рассматривать и как свойство материи. Она создает представление о ее природе и структуре, упорядоченности, разнообразии и т.д. Она не может существовать вне материи, а значит, она существовала и будет существовать вечно, ее можно накапливать хранить перерабатывать.

Информация должна быть достоверной, понятной, актуальной, полной и полезной

Все многообразие окружающей нас информации можно сгруппировать по различным признакам:

- по области возникновения - информация, отражающая процессы, явления неодушевленной природы называется элементарной или механической, процессы животного и растительного мира - биологической, человеческого общества - социальной .

- по способу передачи и восприятия. Информацию, передаваемую видимыми образами и символами, называют визуальной, звуками - аудиальной, ощущениями - тактильной, запахами и вкусами - органолептической, информацию, выдаваемую и воспринимаемую средствами вычислительной техники, - машинной.

- по общественному назначению информацию можно разбить на три вида: личная, массовая и специальная.

1.2. Информационные процессы. Информационные основы процессов управления.

Все действия, связанные с получением, передачей, хранением и переработкой информации называются информационными процессами.

Процесс передачи информации от человека к человеку двусторонний: есть источник, и есть приемник информации. В настоящее время информация может быть передана с помощью технических средств связи, таких как телефон, радио, телевидение, Интернет. Эти технические средства называются каналами передачи информации. Количество информации, передаваемое за единицу времени по информационному каналу, называется скоростью передачи информации, или скоростью информационного потока.

Процесс хранения информации заключается в том, что человек запоминает информацию в собственной памяти, либо заносит её на внешний носитель информации.

Процессом обработки информации называется ее преобразование по каким-либо правилам или законам.

Основной и постоянной функцией мозга и нервной системы человека или животного является преобразование информации о состоянии окружающей среды и выбор наиболее целесообразного поведения. Процесс преобразования исходной информации в информацию, отражающую результат решения какой-либо задачи - это и есть решение задачи, поставленной перед человеком в любом виде его деятельности. Процессов управления в любой области, основа выбора метода решения и является преобразование, анализ информации.

1.3. Информационная деятельность человека. Основные характерные черты ин­формационного общества.

В результате научно-технического прогресса человечество создавало все новые средства и способы сбора, хранения, передачи информации. Но важнейшее в информационных процессах - обработка, целенаправленное преобразование информации осуществлялось до недавнего времени исключительно человеком. Вместе с тем постоянное совершенствование техники, производства привело к резкому возрастанию объема информации, с которой приходится оперировать человеку в процессе его профессиональной деятельности.

Развитие науки, образования обусловило быстрый рост объема информации, знаний человека. Если в начале прошлого века общая сумма человеческих знаний удваивалась приблизительно каждые пятьдесят лет, то в последующие годы - каждые пять лет.

Информатика и компьютеры уже проникли практически во все сферы деятельности человека. Появилась необходимость в формировании новой информационной технологии деятельности человека. Согласно определению, принятому ЮНЕСКО, информационная технология - это комплекс взаимосвязанных, научных, технологических и инженерных дисциплин, изучающих методы эффективной организации труда людей, занятых обработкой и хранением информации; вычислительную технику и методы организации и взаимодействия с людьми и производственным оборудованием. Их практические приложения, а также связанные со всем этим социальные, экономические и культурные проблемы. Сами информационные технологии требуют сложной подготовки, больших первоначальных затрат и наукоемкой техники.

В настоящее время человечество завершает переход к информационному обществу, в котором можно эффективно и оптимально строить любую деятельность на основе овладения информацией о самых различных процессах и явлениях. В информационном обществе повышается качество не только потребления, но и производства, труд человека становится творческим и интеллектуальным, если он использует новые информационные технологии, значительно улучшаются условия труда.

1.4. Вероятностный подход к определе­нию количества информации; единицы измерения количест­ва информации.

Количество информации зависит от новизны сведений об интересном для получателя информации явлении, другими словами, получая информацию, мы уменьшаем неполноту знаний, т.е. неопределенность. Если в результате полученного сообщения неопределенность полностью исчезнет, то есть будет достигнута полная ясность, то говорят, что полученная информация была исчерпывающей, полной.

Существует формула, связывающая между собой количество возможных событий (N) и количество информации (I):

N=2 ^I

Воспользовавшись этой формулой можно определить и количество информации по заданному количеству событий.

Большой вклад в теорию информации внес К. Шеннон. В частности, он ввел количественную оценку информации, как меру снятой неопределенности. Для понимания формулы количества информации необходимо ознакомиться с понятием случайных процессов как математической модели сигналов, с понятием энтропии и неопределенности.

Концепция К. Шеннона, отражая количественно-информационный подход, определяет информацию как меру неопределенности (энтропию) события. Количество информации в том или ином случае зависит от вероятности его получения: чем более вероятным является сообщение, тем меньше информации содержится в нем. Этот подход оказался весьма полезным в технике связи и вычислительной технике и послужил основой для измерения информации и оптимального кодирования сообщений. Кроме того, он представляется удобным для иллюстрации такого важного свойства информации, как новизна, неожиданность сообщений. При таком понимании информация - это снятая неопределенность, или результат выбора из набора возможных альтернатив.

Шеннон вывел формулу для вычисления количества информации в случае различных вероятностей событий:

N

I= -∑p_I log₂ p_I

_i=1

Где I - количество информации,

N- количество возможных событий,

p_I- вероятность i-гособытия.

Обмен информацией происходит при помощи сигналов. Сигналы, передаваемые по радио и телевидению, а также используемое в магнитной записи имеют форму непрерывных быстро изменяющихся во времени кривых линий. Такие сигналы называются непрерывными или аналоговыми сигналами. В противоположность этому в телеграфии и вычислительной технике сигналы имеют импульсную форму и именуются дискретными сигналами. Другими словами, информация передается в двух формах: дискретной и аналоговой.

Для определения количества любой информации, как символьной, так и текстовой или графической, нужно найти способ представить ее в едином, стандартном, виде. Таким видом стала двоичная форма представления информации - записи любой информации в виде последовательности только двух символов, например: цифрами 0 или 1,буквами А или Б; словами ДА, НЕТ. Однако ради простоты записи применяют цифры 1 и 0. В компьютере эти сигналы рассматриваются как наличие или отсутствие напряжения..

Можно пояснить принцип информации в двоичной форме, проведя следующую игру. Нам нужно получить интересующую нас информацию у собеседника, задавая любые вопросы, но получая в ответ ДА либо НЕТ.

Для получения двоичной формы информации необходимо перечисление всех возможных событий. Например, задаем один вопрос: "Вы сегодня обедали?". С одинаковой вероятностью следует ожидать ответ: "ДА" или "НЕТ", причем любой из этих ответов несет самое малое количество информации. Эта минимальная единица измерения информации называют БИТОМ. Благодаря введению понятия единицы информации появилась возможность определения размера любой информации в битах.

Единицы измерения информации.

Минимальной единицей информации в компьютере является один бит, то есть двоичный разряд, который может принимать значение 0 или 1. Как правило, компьютер работает не с отдельными битами, а с восемью битами сразу. Восемь последовательных битов составляют байт. В одном байте можно закодировать значение одного символа из 256 возможных (256 = 2⁸). Байт записывается в памяти машины, читается и обрабатывается обычно как единое целое. Наряду с битами и байтами для измерения количества информации используются и более крупные единицы:

1 Килобайт (Кбайт, Кб) = 1024 или 2¹⁰ байт;

1 Мегабайт (Мбайт, Мб) = 1048576 или 2²⁰ байт, или 1024 Кбайт;

1 Гигабайт (Гбайт, Гб) = 1099511627776 или 2³⁰ байт, или 1024 Мбайт.

1 Терабайт (Тбайт, Тб) = 1099511627776 или 1024 Гбайт.

Кстати, 1 байт - это количество информации об одном символе (букве, цифре, знаке).

На одну дискету размером 3,5 дюйма можно записать 1,44 Мбайт информации.

1.5. Двоичное кодирование информации.

Компьютер может обрабатывать информацию, представленную только в виде двоичных чисел, но из опыта мы знаем, что он может обрабатывать числовую, текстовую, графическую видео- и звуковую информацию. Так каким же образом компьютер обрабатывает столь различающиеся по восприятию человеком виды информации? Эта информация (звуки, изображения и т.п.) для обработки на компьютере должна быть сначала преобразована в числовую форму, то есть информация кодируются в последовательности нулей и единиц. Такое кодирование информации в компьютере называется двоичным кодированием, а логические последовательности нулей и единиц - машинным языком.

Двоичное кодирование текстовой информации.. Для кодирования одного символа требуется один байт (8 бит) информации, с помощью 1 байта можно закодировать 256 различных символов. (2⁸=256). Принцип кодирования заключается в том, что каждому символу ставиться в соответствие уникальный двоичный код от 00000000 до 11111111. Соответствие символу определенного кода регулируется специальным соглашением, которое фиксируется кодовой таблицей, которая называется таблицей кодировки. Специальная программа, которая называется драйвер клавиатуры и экрана, по кодовой таблице определяет символ и изображает его на экране.

Двоичное кодирование графической информации. В последнее время стала очень широко использоваться компьютерная графика: в компьютерном моделировании, в научных исследованиях, компьютерных тренажерах, компьютерной анимации, деловой графике, играх и т. д. Изображения по способу кодирования можно разделить на растровые и векторные.

На экране дисплея растровая графика представляется в виде изображения, состоящего из точек (пикселей).

Для черно-белого (двухцветного) изображения информационный объем одной точки равен одному биту (либо черная-1, либо белая - 0).

Количество точек на экране дисплея (разрешающая способность), а также количество цветов зависит от видеоадаптера и в современных компьютерах может меняться программно.

Цветные изображения имеют различные режимы, например: 16 цветов, 256 цветов, 65 536 цветов (High Color), 16 777 216 цветов (True Color).

В памяти компьютера хранится битовая карта, являющаяся двоичным кодом изображения, отсюда она считывается процессором (не реже 50 раз в секунду) и отображается на экране монитора.

В последние годы, в связи с резким ростом аппаратных возможностей персональных компьютеров, пользователи получили возможность обрабатывать и видеоинформацию.

Двоичное кодирование звуковой информации. Звук - волна с непрерывно изменяющейся амплитудой и частотой. Чем больше амплитуда, тем он громче для человека, чем больше частота, тем выше тон.
Каждый компьютер со звуковой платой, может сохранять и воспроизводить звуковую информацию. Уже созданы программы распознавания речи, и управлять компьютером возможно голосом.

При двоичном кодировании аналогового звукового сигнала непрерывный сигнал заменяется серией его отдельных выборок - отсчетов. Качество двоичного кодирования зависит от двух параметров: количества распознаваемых дискретных уровней сигнала и количества выборок в секунду.

1.6. Решение задач на определение количества информации.

1. Считая, что каждый символ кодируется одним байтом, оцените информационный объем следующего предложения:

«Мой дядя самых честных правил»

Решение. Нужно посчитать количество символов в сообщении. Следует помнить, что пробел и знаки препинания являются символами. В предложенной фразе 29 символов, 1 символ = 1 байту, 1 байт = 8 бит, следовательно, информационный объем предложения равен 29*8=232 бита.

2. Шахматная доска состоит из 64 полей: 8 столбцов на 8 строк. Какое
минимальное количество бит потребуется для кодирования координат одного шахматного поля?

Решение. Номера 8 (от 0 до 7) столбцов или строк можно закодировать 3 битами (7₁₀=111₂). Следовательно, для кодирования координат одного шахматного поля потребуется 6 бит. ( Иначе- 64= 2⁶).

3. Получено сообщение, информационный объём которого равен 32 битам. Чему равен этот объём в байтах?

Решение. 1 байт = 8 бит, 32:8=4. Ответ: 4 байта.

1.7. Системы счисления; перевод чисел из одной системы счисления в другую

Системой счисления называется совокупность символов (цифр) и правил их использования для представления чисел.

Существует два вида систем счисления:

Непозиционные системы счисления. Примером этой системы счисления является Римская система, в которой в качестве цифр используются некоторые буквы: I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000). Значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в числе XXX цифра X встречается трижды, и в каждом случае обозначает одну и ту же величину 10, а в сумме XXX- 30.

Позиционные системы счисления. В позиционной системе счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе. Позиция цифры называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево.

В позиционной системе счисления основание системы равно количеству цифр, используемых ею, и определяет, во сколько раз различаются значения цифр соседних разрядов чисел.

Любое число, записанное в позиционной системе счисления с произвольным основанием можно записать в виде полинома (многочлена):

А_(S)=a_nSⁿ+ a_n-1S^n-1+…+ a₁S¹+ a₀S⁰ + a_-1S^-1 +…+ a_-mS^m

где S - основание системы счисления, а степень соответствует разряду цифры a в числе А_(S).

Приведем пример записи числа в десятичной системе счисления:

345₁₀ = 3*10²+4*10¹+5*10⁰

459₁₀ = 400 + 50 + 9 = 4*10²+5*10¹+9*10⁰

Если число имеет дробную часть, то добавляется сумма оснований 10 с отрицательными степенями. Например:

321,409₁₀ = 3*10²+2*10¹+1*10⁰+4*10^-1+0*10^-2+9*10^-3

Перевод чисел в десятичную систему из системы счисления с произвольным основанием.

Для того, чтобы перевести число в десятичную систему счисления, запишем его в виде известного нам полинома:

А_(S)=a_nSⁿ+ a_n-1S^n-1+…+ a₁S¹+ a₀S⁰ + a_-1S^-1 +…+ a_-mS^m

и вычислим его значение.

Например: переведем двоичное число 111101₂ в десятичную систему счисления:

111101₂ = 1*2⁵ + 1*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ +1*2⁰ =

= 32 + 16 + 8 + 4 +1= 61₁₀

Аналогично можно осуществить перевод и троичного числа 221₃ в десятичную систему счисления:

221₃= 2*3² + 2*3¹ + 1*3⁰ =18+6+1=25₁₀

Перевод из десятичной системы счисления в систему счисления с произвольным основанием.

Существует несколько способов перевода чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с произвольным основанием.

Рассмотрим первый способ.

Для перевода нужно представить исходное число в виде полинома

А_(S)=a_nSⁿ+ a_n-1S^n-1+…+ a₁S¹+ a₀S⁰ + a_-1S^-1 +…+ a_-mS^m , взяв в качестве S основание той системы счисления, в которую данное число нужно перевести. Затем выпишем коэффициенты a_n - a_-m , которые и составят нужную цифру.

Например: переведем число 13₁₀ в систему счисления с основанием 2. Для этого представим 13 как сумму степеней числа 2:

13₁₀ = 8 + 4 + 1

Воспользуемся формулой А_(S)=a_nSⁿ+ a_n-1S^n-1+…+ a₁S¹+ a₀S⁰

и запишем число 13 в виде полинома 13₁₀= 1*2³ + 1*2² +0*2¹ +1*2⁰

Теперь выпишем все коэффициентыa_n- a₀: 1101

Таким образом, десятичное число 13₁₀ в двоичной системе счисления будет записано как 1101₂.

Аналогично можно осуществить перевод этого числа и в другую, например, в троичную систему счисления:

13₁₀ = 9 + 3 + 1= 1*3² +1*3¹ +1*3⁰= 111₃

Можно воспользоваться и другим способом:

Будем делить число 13 последовательно на 2 нацело, и записывать остатки, не забывая нулевые:

13 : 2 = 6 остаток 1

6 : 2 = 3 0

3 : 2 = 1 1

Результат последнего деления на 2 уже не делится, и эта цифра будет старшей цифрой нашего числа.

Выписав все остатки, начиная с последнего, получим двоичное представление числа:

13₁₀ = 1101₂

Обычно этот способ используют для представления больших чисел.

Например, нужно перевести в двоичную систему счисления число 234₁₀.

234 : 2 = 117 остаток 0

117 : 2 = 57 1

58 : 2 = 29 0

29 : 2 = 14 1

14 : 2 = 7 0

7 : 2 = 3 1

3 : 2 = 1 1

Выписываем остатки, начиная с результата последнего деления:

234₁₀ = 11101010₂

Аналогичным образом можно любое десятичное число перевести в систему с любым основанием.

Например, переведем десятичное число 25 в систему счисления с основанием 3:

25 : 3 = 8 остаток 1

8 : 3 = 2 остаток 2

Перевод правильных десятичных дробей в систему счисления с произвольным основанием выполняют по следующему правилу: дробь умножить на число, равное основанию системы счисления в которую переводим число, и отделить целую часть. Умножение нужно производить до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю.

Например: переведем число 0,25₁₀ в двоичную систему счисления:

0,25 * 2 = 0,5 целая часть равна 0

0,5 * 2 = 1

0,25₁₀ =0,01₂

Арифметические операции в двоичной системе счисления

Сложение двоичных чисел, как и в любой позиционной системе, осуществляется вычислением суммы значений одноименных разрядов и единицы переноса из предыдущего разряда, если она есть. Перенос производится, если эта сумма не меньше, чем основание системы счисления, т. е. число 2.

Сложение двоичных чисел производится в соответствии со следующими правилами:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10 (0 и единица переноса в следующий, старший разряд).

Например:

Сложим самые простые числа 1₂ и 1₂.

0001

+ 0001

0010

Теперь сложим 7₂ и 4₂

111

+100

1011

Сложим 9₂ и 3₂

1001

+0011

1100

Вычитать двоичные числа можно также поразрядно по следующим правилам:

0 - 0 = 0

10 - 1 = 1

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0

Выполняя вычитание из ноля единицы, следует занять единицу из старшего значащего разряда.

100

- 001

011

Можно рассматривать вычитание как сложение положительного числа с отрицательным числом. В компьютере для представления отрицательных чисел используется дополнительный код. Дополнительный код двоичного числа получается путем инверсии (замены единицы нулем, а нуля - единицей) всех разрядов числа и последующего прибавления единицы к младшему разряду. В памяти компьютера числа записываются в ячейке памяти по 8 двоичных знаков, поэтому число, например 2 будет записано как 00000010. Чтобы получить из числа 2 число минус 2, нужно выполнить следующие преобразования

1. 00000010 - число 2;

2. 11111101 - заменив нули единицами, а единицы нулями получим инвертированное число 2;

3. 11111101 ⁺00000001 - прибавим к инверсному коду числа единицу;

4. 11111110 - получим дополнительный код двоичного числа минус 2.

Сложив полученный дополнительный код числа с уменьшаемым, можно получить разность двоичных чисел. Кстати, если найти дополнительный код отрицательного числа, то получим противоположное ему положительное число.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Основной недостаток двоичной системы состоит в том, что, для записи даже не очень больших чисел приходится использовать много знаков, поскольку основание системы счисления мало. Поэтому в современных компьютерах помимо двоичной системы счисления применяют и другие, более компактные по длине чисел системы, такие, как восьмеричная и шестнадцатеричная.

В восьмеричной системе 8 цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, число восемь обозначается 10 (один и ноль), 64₁₀- не что иное, как 100₈.

Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в десятичную и обратно можно осуществить по уже известным правилам.

Например:

Переведем число 611₈ в десятичную систему:

611_{8 =} 6*8² + 1*8¹ + 1*8⁰ = 6*64₁₀ + 1*8₁₀ +1 = 393₁₀

Теперь переведем число 611₈ в двоичную систему. Для этого нужно замените каждую цифру восьмеричного числа группой из трех двоичных цифр.

В нашем числе 611₈заменим цифру 6 группой 110, 1 - 001 и получим: 611₈ = 110 001 001₂

Для того, чтобы перевести в восьмеричную систему счисления многозначное двоичное число, его нужно разбить на группы по три цифры справа налево (если количество цифр в числе не кратно трем, то впереди надо дописать нужное количество нулей) и заменить каждую группу соответствующей восьмеричной цифрой.

Например:

1 111 101 001₂ = 011 111 101 001₂ = 3751₈.

Запись числа еще компактнее в 16-ричной системе. Так как цифр мы знаем всего десять, то для записи шестнадцатеричных цифр больших 9 используют первые буквы латинского алфавита. Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную и обратно аналогичен переводу из восьмеричную и обратно. Разница только в том, что шестнадцатеричные цифры заменяются группами по четыре двоичные цифры.

Например:

А0F₁₆= 1010 0000 1111₂

11 1110 1001₂ = 0011 1110 1001₂ = 3E9₁₆.

1.8. Решение задач на перевод из одной системы счисления в другую; определение количества информации

1. Перевести число 71,5₍₁₀₎ в системы счисления с основаниями 2, 8 и 16.

Решение. Перевод смешанного числа, то есть числа, у которого есть и целая и дробная часть осуществляется поэтапно: сначала переводим целую, а затем дробную часть числа.

1) перевод в двоичную систему счисления

Сначала переведем целую часть нашего числа методом последовательного деления:

71 : 2 = 35 остаток 1

35 : 2 = 17 остаток 1

17 : 2 = 8 остаток 1

8 : 2 = 4 остаток 0

4: 2 = 2 остаток 0

2 : 2 =1 остаток 0

Получили, что число 71₍₁₀₎= 1000111₍₂₎

Теперь в двоичную систему счисления переведем дробную часть методом последовательного умножения:

0,5 х2=1,0

Получили, что 0,5₍₁₀₎= 0,1₍₂₎

Ответ: 71,5₍₁₀₎= 1000111,1₍₂₎

2) перевод в восьмеричную систему счисления:

Целая часть:

71:8=8 остаток 7

8:8=1 остаток 0

Получили, что число 71₍₁₀₎= 107₍₈₎

Дробная часть:

0,5 х 8 = 4,0

Получили, что 0,5₍₁₀₎= 0,4₍₈₎

Ответ: 71,5₍₁₀₎= 107,4₍₈₎

3) перевод в шестнадцатеричную систему счисления

Целая часть:

71 : 16 = 4 остаток 7

Значит, 71₍₁₀₎= 47₍₁₆₎

Дробная часть:

0,5 х 16 = 8,0

Получили, что 0,5₍₁₀₎= 0,8₍₁₆₎

Ответ: 71,5₍₁₀₎= 47,8₍₁₆₎

2. Перевести десятичные числа 464, 380,1875 и 115,94 в двоичную систему счисления.

Ответ: 464₍₁₀₎ = 111010000₍₂₎;
380,1875₍₁₀₎ = 101111100,0011₍₂₎;
115,94₍₁₀₎ = 1110011,11110₍₂₎

3. Перевести числа 1000001₍₂₎, 1001,01₍₂₎, 1,01₍₂₎, 1000011111,0101₍₂₎. 1216,04₍₈₎ , 1234,56₍₈₎, 29A,5_(16), 1А2,3С₍₁₆₎ в десятичную систему счисления.

Решение. При переводе чисел из системы счисления с произвольным основанием в десятичную систему счисления, необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и в дробной части, начиная с разряда сразу после запятой слева направо (начальный номер -1). Затем записать число в виде многочлена (полинома), представляющего собой сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряда. Если в каком-либо разряде стоит ноль, то соответствующее слагаемое можно опускать. Вычислим сумму - это и есть представление исходного числа в десятичной системе счисления.

Осуществим перевод, представив исходные числа в виде полинома и вычислив его значение:

1. 1000001₍₂₎ = 1*2⁶ + 0*2⁵ + 0*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 64 + 1 =65₍₁₀₎

2. 1001,01₍₂₎ = 1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ + 0*2^-1 + 1*2^-1 =

=8+1+0,25= 9,25₍₁₀₎

3) 1,01₍₂₎ = 1*2⁰ + 0*2^-1 + 0*2^-2=1+0,25= 1,25₍₁₀₎

4) 1000011111,0101₍₂₎ = 1*2⁹ + 1*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ +1*2^-2 + 1*2^-4 = 512 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0,25 +

0,0625 = 543,3125₍₁₀₎.

5) 1216,04₍₈₎ = 1*8³ + 2*8² + 1*8¹ + 6*8⁰ + 4*8^-2 = 512 + 128 + 8 + 6 + 0,0625 = 654,0625₍₁₀₎.

6) 1234,56₍₈₎ = 1*8³ + 2*8² + 3*8¹ + 4*8⁰ + 5*8^-1 + 6*8^-2 = =668,71875₍₁₀₎.

7) 29A,5₍₁₆₎ = 2*16² + 9*16¹ + 10*16⁰ + 5*16^-1 = 512 + 144 + 10 + +0,3125 = 656,3125₍₁₀₎

8) 1А2,3С₍₁₆₎ = 1*16² + 10*16¹ + 2*16⁰ + 3*16^-1 + 12*16^-2 = =418,234375₍₁₀₎

4. Перевести число 1000111,1₍₂₎ в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Решение.

1) перевод в восьмеричную систему счисления двоичного числа осуществляется путем разбиения этого числа на группы по три цифры и замены каждой группы соответствующей ей восьмеричной цифрой:

1000111,1₍₂₎ = 001 000 111, 100 = 107,4₍₈₎

2) перевод в шестнадцатеричную систему счисления двоичного числа осуществляется путем разбиения этого числа на группы по четыре цифры и замены каждой группы соответствующей ей шестнадцатеричной цифрой:

1000111,1₍₂₎ = 0100 0111, 1000 = 47,8₍₁₆₎

5. Перевести из двоичной системы в шестнадцатеричную число 1111010101,11(2).

Ответ: 0011 1101 0101,1100₍₂₎ = 3D5,C₍₁₆₎.

6. Перевести числа 1234,56₍₈₎ и 1А2,3С₍₁₆₎ в двоичную систему счисления.

Решение.

1) каждую цифру восьмеричного числа заменим соответствующей ей группе из трех двоичный цифр, затем перепишем это число, убрав незначащие нули:

1234,56₍₈₎ = 001 010 011 100, 101 110₍₂₎ = 1010011100,10111₍₂₎

2) аналогично, каждую цифру шестнадцатеричного числа заменим соответствующей ей группе из четырех двоичный цифр, затем перепишем это число, убрав незначащие нули:

1А2,3С₍₁₆₎ = 0001 1010 0010, 0011 1100₍₂₎ = 110100010,001111₍₂₎

7. Сложить два двоичных числа 101101₂ и 110011₂; 110100010,001111₍₂₎ и 1010011100,10111₍₂₎

Решение.

Сложение двоичных чисел производится по тем же правилам, что и в десятичной системе, то есть вычисляется сумма значений одноименных разрядов и переноса из предыдущего разряда. Вычисления производятся в столбик.

1) 101101₍₂₎ + 110011₍₂₎ = 1100000₍₂₎

101101

+110011

1100000

2. 110100010,001111₍₂₎ + 1010011100,10111₍₂₎ =

=10000111110,111101₍₂₎

110100010,001111

+1010011100,101110

10000111110,111101

8. Вычесть поразрядно двоичные числа: 100110₍₂₎ - 1010₍₂₎; 100110,101₍₂₎-110,11₍₂₎

Решение. При вычитании двоичных чисел в столбик необходимо помнить, что выполняя вычитание из ноля единицы, следует занять единицу из старшего значащего разряда.

1. 100110₍₂₎ - 1010₍₂₎ = 11100₍₂₎

100110

- 1010

11100

2) 100110,101₍₂₎-110,11₍₂₎ =11111,111₍₂₎

100110,101

- 110,110

11111,111

9. Вычесть двоичные числа 100110₍₂₎ - 1010₍₂₎, рассматривая вычитание как сложение положительного числа с отрицательным числом.

Решение.

1. 100110₍₂₎ - 1010₍₂₎ =11100₍₂₎

а) запишем числа в виде восьмиразрядных, то есть так, как они записываются в ячейки памяти компьютера:

00100110₍₂₎ - 00001010₍₂₎

б) получим дополнительный код вычитаемого 1010

5. 00001010 - прямой код;

6. 11110101 -инверсный код;

7. 11110101

⁺00000001 - прибавим к инверсному коду числа единицу;

8. 11110110 - дополнительный код.

в) найдем разность сложив полученный дополнительный код числа с уменьшаемым и отбросив старший разряд полученного числа:

00100110

+ 11110110

100011100

1.9. Тренировочные тестовые задания по теме «Информация и её кодирование».

Проверке знаний и умений по этому разделу содержания курса информатики посвящено 7 заданий, из которых пять - с выбором ответа и два - с кратким ответом. Пять заданий относятся к базовому уровню сложности, два - к повышенному. Легче всех оказались задания на двоичное кодирование и двоичное кодирование кириллицы - с этими заданиями справилось более 80% выпускников 2006 года. Наиболее сложными оказались задания, в которых требовалось произвести арифметические операции в двоичной системе счисления, также значительные затруднения вызвали задания на знание математических основ позиционных систем счисления и на определение пропускной способности канала связи. (Аналитический отчет «Результаты единого государственного экзамена 2006 года» размещенный на сайте ФИПИ)

Итак, проверьте себя, выполнив 30 заданий различного уровня сложности:

1. Считая, что каждый символ кодируется одним байтом, оцените информационный объем следующего предложения:

Я памятник себе воздвиг нерукотворный!

1)

304 бит

2)

504 бит

3)

304 байт

4)

504 байт

2. Считая, что каждый символ кодируется двумя байтами, оцените информационный объем следующего предложения в кодировке Unicode:

Один пуд - около 16 килограмм.

1)

32 Кбайта

2)

448 бит

3)

64 бита

4)

32 байта

3. Считая, что каждый символ кодируется 16-ю битами, оцените информационный объем следующей фразы в кодировке Unicode:

Римские цифры - пример непозиционной системы счисления.

1)

84 бита

2)

848 бит

3)

848 байта

4)

84 байта

4. В двоичной системе счисления можно кодировать различные символы, комбинируя нули и единицы. Сколько различных символов можно закодировать, используя двоичный код длиной не менее пяти и не более шести сигналов (нули и единицы)?

1)

80

2)

120

3)

112

4)

96

5. Какое наименьшее количество нулей и единиц нужно для того, чтобы передать 50 различных сигналов?

1)

5

2)

6

3)

25

4)

50

6. Специальные датчики отслеживают качество продукции. Результатом одного измерения является целое число от 0 до 100 процентов, которое записывается при помощи минимально возможного количества бит. Было сделано 80 измерений. Определите информационный объем результатов наблюдений.

1)

80 бит

2)

70 байт

3)

80 байт

4)

560 байт

7. Сколько существует различных последовательностей из символов «ноль» и «единица», длиной ровно в пять символов?

1)

64

2)

50

3)

32

4)

20

8. Шахматная доска состоит из 64 полей: 8 столбцов на 8 строк. Какое
минимальное количество бит потребуется для кодирования координат одного шахматного поля?

1)

4

2)

5

3)

6

4)

7

9. Обычный дорожный светофор без дополнительных секций подает шесть видов сигналов (непрерывные красный, желтый и зеленый, мигающие желтый и зеленый, красный и желтый одновременно). Электронное устройство управления светофором последовательно воспроизводит записанные сигналы. Подряд записано 100 сигналов светофора. В байтах данный информационный объем составляет:

1)

37

2)

38

3)

50

4)

100

10. Получено сообщение, информационный объём которого равен 64 битам. Чему равен этот объём в байтах?

1)

5

2)

2

3)

3

4)

5

11. Сколько мегабайт информации содержит сообщение объемом 2²³ бит?

1)

1

2)

8

3)

3

4)

32

12. Сколько единиц в двоичной записи числа 195?

1)

5

2)

2

3)

3

4)

4

13. Количество значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 126 равно

1)

1

2)

2

3)

3

4)

0

14. Как представлено число 25₁₀ в двоичной системе счисления?

1)

1001₂

2)

11001₂

3)

10011₂

4)

11010₂

15. Как представлено число 83₁₀ в двоичной системе счисления?

1)

1001011₂

2)

1100101₂

3)

1010011₂

4)

101001₂

16. Значение выражения 10₁₆ + 10₈ · 10₂ в двоичной системе счисления равно

1)

1010

2)

11010

3)

100000

4)

110000

17. Вычислите сумму чисел x и y, при x = 1D₁₆, y = 72₈.

Результат представьте в двоичной системе счисления.

1)

10001111₂

2)

1100101₂

3)

101011₂

4)

1010111₂

18. Вычислите сумму двоичных чисел x и y, если

x=1010101₂

y=1010011₂

1)

10100010₂

2)

10101000₂

3)

10100100₂

4)

10111000₂

19. Вычислите значение суммы 10₂ + 10₈ +10₁₆ в двоичной системе счисления.

1)

10100010

2)

11110

3)

11010

4)

10100

20. Для 5 букв латинского алфавита заданы их двоичные коды (для некоторых букв - из двух бит, для некоторых - из трех). Эти коды представлены в таблице:

A

b

c

d

e

000

110

01

001

10

Определите, какой набор букв закодирован двоичной строкой

1100000100110

1)

bacde

2)

badde

3)

baade

4)

bacdb

21. Для кодирования букв А, Б, В, Г решили использовать двухразрядные последовательные двоичные числа (от 00 до 11 соответственно). Если таким способом закодировать последовательность символов ГБВА и записать результат шестнадцатеричным кодом, то получится:

1)

138

2)

D8

3)

DBCA

4)

3120

22. Для 5 букв русского алфавита заданы их двоичные коды (для некоторых букв из двух бит, для некоторых - из трех). Эти коды представлены в таблице:

В

К

А

Р

Д

000

11

01

001

10

Из четырех полученных сообщений в этой кодировке, только одно прошло без ошибки и может быть корректно декодировано. Найдите его:

1)

110100000100110011

2)

111010000010010011

3)

110100001001100111

4)

110110000100110010

23. Для 5 букв латинского алфавита заданы их двоичные коды (для некоторых букв из двух бит, для некоторых - из трех). Эти коды представлены в таблице:

A

C

D

E

000

01

100

10

011

Определить, какой набор букв закодирован двоичной строкой 0110100011000

1)

EBCEA

2)

BDDEA

3)

BDCEA

4)

EBAEA

24. В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается в виде 110. Укажите это основание.

1)

2

2)

3

3)

4

4)

5

25. В системе счисления с некоторым основанием число 17 записывается в виде 101. Укажите это основание.

1)

4

2)

5

3)

6

4)

7

26. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4.

1)

6,11,18

2)

9,11,18

3)

6,9,18

4)

6,12,18

27. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.

1)

5,11,13

2)

3,7,21

3)

3,9,21

4)

3,9,27

28. Сколько секунд потребуется модему, передающему сообщения со скоростью 28800 бит/с, чтобы передать цветное растровое изображение размером 640х480 пикселей, при условии, что цвет каждого пикселя кодируется тремя байтами?

1)

512

2)

128

3)

1024

4)

256

29. Известно, что длительность непрерывного подключения к сети Интернет с помощью модема для некоторых АТС не превышает 10 минут. Определите максимальный размер файла (в Килобайтах), который может быть передан за время такого подключения, если модем передает информацию в среднем со скоростью 32 Килобит/с?

1)

1200

2)

2200

3)

2400

4)

2600

30. Скорость передачи данных через ADSL-соединение равна 256000 бит/c. Передача файла через это соединение заняла 2 минуты. Определите размер файла в килобайтах.

1)

3750

2)

1290

3)

2720

4)

4000

Ответы к тесту по теме: ««Информация и её кодирование»