ОГАПОУ

«Новооскольский колледж»

Рабочая тетрадь

по

ИНФОРМАТИКЕ

по теме

«СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ»

2015-2016 учебный год

Оглавление

Оглавление 2

Пояснительная записка 3

Понятия о системах счисления. Исторические сведения. 4

Перевод чисел в позиционных системах счисления 5

Самостоятельная работа № 1 по теме: «Перевод чисел в позиционных системах счисления» 5

Самостоятельная работа № 2 по теме: «Перевод чисел в позиционных системах счисления» 9

Сложение двоичных чисел 13

Вычитание двоичных чисел 14

Умножение в двоичной системе счисления 15

Деление в двоичной системе счисления 16

Самостоятельная работа № 4 21

Контрольная работа по теме «Системы счисления» 22

Дополнительный раздел: «Занимательно и интересно!» 23

Для любознательных 25

Пояснительная записка

В настоящее время трудно себе представить полноценное преподавание дисциплин без материалов с печатной основой. Данное пособие предназначено для организации собственной работы студентов с новым материалом на занятиях по информатике.

В данной рабочей тетради предоставлены теоретические материалы по теме «Системы счисления», разобраны решения типовых задач, предложены задания для самостоятельного изучения и закрепления новых знаний и умений. Эта тетрадь используется для стимулирования самостоятельного изучения нового материала. Теоретический материал и задания в рабочей тетради дополняют и углубляют сведения, имеющиеся в учебнике.

Тема «Системы счисления» вызывают у студентов затруднения потому, что при изучении не предусмотрена работа на компьютере и приходится выполнять много вычислений. Это не способствует эффективному усвоению материала, и у ребят пропадает интерес к обучению. Для того чтобы этого не произошло, предлагаются задания творческого характера в дополнительном разделе.

По теме «Системы счисления» предусмотрено выполнение контрольной работы. Работая с тетрадью, учащиеся выполняют четыре обязательных самостоятельных работы обучающего характера. Все самостоятельные работы составлены на 16 вариантов, что понижает возможность списывания до минимума. Понимая это, учащимся приходится вникать в тему и работать самим, чтобы избежать отрицательной отметки. Этим обуславливается хорошая подготовка к контрольной работе и твёрдые знания по теме.

После изучения темы «Системы счисления» учащиеся должны:

Знать

Уметь

Определение алфавита системы счисления.

Определение цифр. Определение системы счисления. Определение развёрнутой формы числа. Виды систем счислений (позиционные и непозиционные). Правила перевода чисел из двоичной системы счисления в десятичную

систему счисления и наоборот. Правила выполнения арифметических действий в двоичной системе счисления.

Представлять числа в развёрнутой форме.

Переводить числа в позиционных системах счисления (из 10-ой в 2-ую и наоборот).

Выполнять сложение, умножение, вычитание и деление в двоичной системе счисления.

Понятия о системах счисления. Исторические сведения.

Все есть число» - говорили пифагорейцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности.

Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов.

Например:

Задолго до нашей эры люди считали мешки с зерном, и за каждый мешок чертили черточку. Когда этих черточек становилось много, люди боялись ошибиться в счете, что напишут лишнюю или не допишут.

Люди вынуждены стали группировать, как вы это сейчас делаете, сотнями, десятками, единицами.

Древнеегипетская система счисления выглядела так:

 (335)

Египтяне записывали  - это были сотни,  - десятки, - единицы, вот так они группировали.

В Вавилонской 60- ричной системе счисления единицу обозначали - , десятку - .

В Римской СС в качестве «цифр» использовались следующие заглавные латинские буквы:

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Алфавит системы счисления - это множество всех символов (знаков), используемых для записи чисел в данной системе счисления.

Цифры - это любой символ (знак), входящий в алфавит данной системы счисления.

И для того, чтобы правильно читать и записывать числа были придуманы СС

Система счисления - это совокупность приемов и правил для обозначения и наименования чисел.

Виды систем счисления: позиционные и непозиционные.

Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления. В них величина, обозначаемая цифрой, зависит от позиции цифры в числе. Например число 555: цифра 5 встречается трижды, причём самая правая обозначает пять единиц, вторая - пять десятков и, наконец, третья - пять сотен.

Система счисления называется непозиционной - когда значения цифры не зависит от её положения в числе. Например, в римской системе счисления число XXX (30) цифра X встречается трижды, и в каждом случае обозначают одну и ту же величину - число 10, три раза по 10 в сумме дают 30. Величина в непозиционной СС определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа - прибавляется. Например: IV=4 (V-I), VI=6 (V+I).

Перевод чисел в позиционных системах счисления

Преобразование из 10- ой в двоичную систему счисления:

Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа и получаемых частных на 2 до тех пор пока частное от деления не окажется равным нулю. Получить искомое двоичное число, для чего записать полученные остатки в обратной последовательности. Например:

2

22

1 45

2

11

0

1

2

5

1

2

2

1

0

2

1

45= 101101

Преобразование из 2-й в 10-ую систему счисления:

Числа в двоичной системе в развёрнутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которого выступают цифры 0 или 1.

Например: 101,01= 1*2+0*2+1*2+0*2+1*2

Преобразование из двоичной системы счисления в десятичную выполняем по следующему правилу: записываем двоичное число в развёрнутой форме и вычисляем его значение.

Например: 10,11=1*2+0*2+1*2+1*2=1*2+0*1+1*0,5+1*0,25=2,75

Самостоятельная работа № 1 по теме: «Перевод чисел в позиционных системах счисления»

Вариант 1

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1000101₂ = _________ 1100111₂ = _________

1011110₂ = _________ 1111010₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

55₁₀ =__________ 78₁₀ = _________

65₁₀ =__________ 70₁₀ = _________

Вариант 2

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1101100₂ = _________ 1100101₂ = _________

1110000₂ = _________ 1010010₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

35₁₀ =__________ 32₁₀ =__________

49₁₀ = _________ 40₁₀ = _________

Вариант 3

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1100101₂ = _________ 1010100₂ = _________

1000111₂ = _________ 1101010₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

44₁₀ =__________ 31₁₀ =__________

99₁₀ = _________ 81₁₀ = _________

Вариант 4

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1100000₂ = _________ 1100100₂ = _________

1100000₂ = _________ 1011110₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

95₁₀ =__________ 72₁₀ =__________

60₁₀ = _________ 42₁₀ = _________

Вариант 5

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1110001₂ = _________ 1100101₂ = _________

1001110₂ = _________ 1001010₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

85₁₀ =__________ 45₁₀ =__________

72₁₀ = _________ 18₁₀ = _________

Вариант 6

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1111100₂ = _________ 1100111₂ = _________

1110101₂ = _________ 1010011₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

16₁₀ =__________ 64₁₀ =__________

51₁₀ = _________ 49₁₀ = _________

Вариант 7

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1001101₂ = _________ 1000110₂ = _________

1011010₂ = _________ 1011010₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

25₁₀ =__________ 15₁₀ =__________

50₁₀ = _________ 58₁₀ = _________

Вариант 8

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1110000₂ = _________ 1101100₂ = _________

1010010₂ = _________ 1000010₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

66₁₀ =__________ 92₁₀ =__________

19₁₀ = _________ 43₁₀ = _________

Вариант 9

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1000100₂ = _________ 1100100₂ = _________

1010010₂ = _________ 1011010₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

53₁₀ =__________ 72₁₀ =__________

93₁₀ = _________ 38₁₀ = _________

Вариант 10

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1001101₂ = _________ 1100111₂ = _________

1010011₂ = _________ 1010010₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

85₁₀ =__________ 43₁₀ = _________

62₁₀ =__________ 41₁₀ = _________

Вариант 11

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1000111₂ = _________ 1101111₂ = _________

1011010₂ = _________ 1001011₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

59₁₀ =__________ 69₁₀ =__________

77₁₀ = _________ 71₁₀ = _________

Вариант 12

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1100100₂ = _________ 1101101₂ = _________

1110001₂ = _________ 1010110₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

95₁₀ =__________ 38₁₀ =__________

81₁₀ = _________ 46₁₀ = _________

Вариант 13

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1001101₂ = _________ 1100110₂ = _________

1010111₂ = _________ 1001010₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

57₁₀ =__________ 68₁₀ =__________

50₁₀ = _________ 38₁₀ = _________

Вариант 14

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1001110₂ = _________ 1101111₂ = _________

1100010₂ = _________ 1011110₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

34₁₀ =__________ 48₁₀ =__________

69₁₀ = _________ 47₁₀ = _________

Вариант 15

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1000111₂ = _________ 1101111₂ = _________

1011010₂ = _________ 1001011₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

16₁₀ =__________ 64₁₀ =__________

51₁₀ = _________ 49₁₀ = _________

Вариант 16

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1100101₂ = _________ 1010100₂ = _________

1000111₂ = _________ 1101010₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

59₁₀ =__________ 69₁₀ =__________

77₁₀ = _________ 71₁₀ = _________

Самостоятельная работа № 2 по теме: «Перевод чисел в позиционных системах счисления»

КАРТОЧКА № 1

1. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 210, расшифруйте приведенное слово: 1101₂ 0100₂ 1010₂ 1011₂

Буква

А

В

Д

Е

Ж

И

К

Л

М

Н

О

П

Р

Ь

Ш

10-тичный код

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Ответ: _____________

2. Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: _____________

КАРТОЧКА № 2

1. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 210, расшифруйте приведенное слово: 1011₂ 1100₂ 0100₂ 1000₂ 1110₂

Буква

А

В

Д

Е

Ж

И

К

Л

М

Н

О

П

Р

Ь

Ш

10-тичный код

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Ответ: ___________

2. Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: ___________

КАРТОЧКА № 3

1. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 210, расшифруйте приведенное слово: 1100₂ 0100₂ 0101₂ 1011₂

Буква

А

В

Д

Е

Ж

И

К

Л

М

Н

О

П

Р

Ь

Ш

10-тичный код

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Ответ: ____________

2. Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: _____________

КАРТОЧКА № 4

1. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 210, расшифруйте приведенное слово: 0010₂ 1011₂ 1000₂ 1110₂ 0010₂ 1011₂

Буква

А

В

Д

Е

Ж

И

К

Л

М

Н

О

П

Р

Ь

Ш

10-тичный код

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Ответ: ______________

2. Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: ______________

КАРТОЧКА № 5

1. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 210, расшифруйте приведенное слово: 0011₂ 0110₂ 1011₂ 1101₂

Буква

А

В

Д

Е

Ж

И

К

Л

М

Н

О

П

Р

Ь

Ш

10-тичный код

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Ответ: ______________

2. Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: ______________

КАРТОЧКА № 6

1. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 210, расшифруйте приведенное слово: 1000₂ 1001₂ 1101₂ 0001₂ 1010₂

Буква

А

В

Д

Е

Ж

И

К

Л

М

Н

О

П

Р

Ь

Ш

10-тичный код

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Ответ: ______________

2. Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: ______________

КАРТОЧКА № 7

1. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 210, расшифруйте приведенное слово: 1111₂ 0001₂ 1010₂ 0100₂ 1000₂ 1110₂

Буква

А

В

Д

Е

Ж

И

К

Л

М

Н

О

П

Р

Ь

Ш

10-тичный код

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Ответ: ______________

2. Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: ______________

КАРТОЧКА № 8

1. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 210, расшифруйте приведенное слово: 0111₂ 1000₂ 0001₂ 0011₂

Буква

А

В

Д

Е

Ж

И

К

Л

М

Н

О

П

Р

Ь

Ш

10-тичный код

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Ответ: ______________

2. Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: ______________

Самостоятельная работа № 3 по теме: «Перевод чисел в позиционных системах счисления»

1.Переведите числа из 2-ой с/с в 10-ую с/с:

1. 00101110

2. 100000111

3. 11001011

4. 000111011

5. 1011001011

6. 110011001011

7. 110101

8. 100111

9. 1101100

10. 1011101

11. 11011101

12. 10010100

13. 111001010

14. 110001011

15. 1100011011

16. 1100010011

Ответ: ______________

2.Переведите числа из 10-ой с/с в 2-ую с/с:

1. 6910

2. 1981

3. 5412

4. 8493

5. 1274

6. 1955

7. 2896

8. 5130

9. 6001

10. 7202

11. 7310

12. 1131

13. 2031

14. 3511

15. 6912

16. 4561

Ответ: ______________

3. Переведите числа из 10-ой с/с в 2-ую с/с (до пяти знаков после запятой):

1. 69,10

2. 19,81

3. 54,12

4. 84,93

5. 12,74

6. 19,55

7. 28,96

8. 51,30

9. 60,01

10. 72,02

11. 73,10

12. 11,31

13. 20,31

14. 35,11

15. 69,12

16. 45,61

Ответ: ______________

Сложение двоичных чисел

Способ сложения столбиком в общем-то такой же как и для десятичного числа. То есть, сложение выполняется поразрядно, начиная с младшей цифры. Если при сложении двух цифр получается СУММА больше девяти, то записывается цифра=СУММА- 10, а ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ (СУММА /10), добавляется в старшему разряду. (Сложите пару чисел столбиком вспомните как это делается.) Так и с двоичным числом. Складываем поразрядно, начиная с младшей цифры. Если получается больше 1, то записывается 1 и 1 добавляется к старшему разряду (говорят "на ум пошло").

Выполним пример: 10011 + 10001.

1

0

0

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

Первый разряд: 1+1 = 2. Записываем 0 и 1 на ум пошло.

Второй разряд: 1+0+1(запомненная единица) =2. Записываем 0 и 1 на ум пошло.

Третий разряд: 0+0+1(запомненная единица) = 1. Записываем 1.

Четвертый разряд 0+0=0. Записываем 0.

Пятый разряд 1+1=2. Записываем 0 и добавляем к шестым разрядом 1.

Переведём все три числа в десятичную систему и проверим правильность сложения.

10011 = 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 16 + 2 + 1 =19

10001 = 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 16 + 1 = 17

100100 = 1*2⁵ + 0*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 0*2⁰ =32+4=36

17 + 19 = 36 верное равенство

Примеры для самостоятельного решения:

а) 11001 +101 = _______________

б) 11001 +11001 = _____________

в) 1001 + 111 = _________________

г) 10011 + 101 = _______________

д) 11011 + 1111 = ________________

е) 11111 + 10011 = _____________

Вычитание двоичных чисел

Вычитать числа, будем также столбиком и общее правило тоже, что и для десятичных чисел, вычитание выполняется поразрядно и если в разряде не хватает единицы, то она занимается в старшем. Решим следующий пример:

1

1

0

1

-

1

1

0

1

1

1

Первый разряд. 1 - 0 =1. Записываем 1.

Второй разряд 0 -1. Не хватает единицы. Занимаем её в старшем разряде. Единица из старшего разряда переходит в младший, как две единицы (потому что старший разряд представляется двойкой большей степени ) 2-1 =1. Записываем 1.

Третий разряд. Единицу этого разряда мы занимали, поэтому сейчас в разряде 0 и есть необходимость занять единицу старшего разряда. 2-1 =1. Записываем 1.

Проверим результат в десятичной системе:

1101 - 110 = 13 - 6 = 7 (111) Верное равенство.

Выполните вычитания.

а) 11001-1001 = ______________ б) 1011-110= ____________________

в) 10001-101=______________ г) 10101-11= _____________________

д) 101001-1111 = ___________ е) 111111-101010 = ___________

Умножение в двоичной системе счисления

Для начала рассмотрим следующий любопытный факт. Для того, чтобы умножить двоичное число на 2 (десятичная двойка это 10 в двоичной системе) достаточно к умножаемому числу слева приписать один ноль.

Пример. 10101 * 10 = 101010

Проверка.

10101 = 1*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 0*2¹ +1*2⁰ = 16 + 4 + 1 = 21

101010 =1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² +1*2¹ +0*2⁰ = 32 + 8 + 2 = 42

21 * 2 = 42

Если мы вспомним, что любое двоичное число разлагается по степеням двойки, то становится ясно, что умножение в двоичной системе счисления сводится к умножению на 10 (то есть на десятичную 2), а стало быть, умножение это ряд последовательных сдвигов. Общее правило таково: как и для десятичных чисел, умножение двоичных выполняется поразрядно. И для каждого разряда второго множителя к первому множителю добавляется один ноль справа. Пример (пока не столбиком):

1011 * 101 Это умножение можно свести к сумме трёх порязрядных умножений:

1011 * 1 + 1011 * 0 + 1011 * 100 = 1011 +101100 = 110111 В столбик это же самое можно записать так:

1

0

1

1

1

0

1

1

0

1

1

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1Примечание: Кстати таблица умножения в двоичной системе состоит только из одного пункта 1 * 1 = 1

Проверка:

101 = 5 (десятичное) 1011 = 11 (десятичное)

110111 = 55 (десятичное) 5*11 = 55 верное равенство

Решите самостоятельно:

а) 1101 * 1110 = _________________ б) 1010 * 110 = __________________

в) 1011 * 11 = _______________ г) 101011 * 1101 = _______________

д) 10010 * 1001 = __________________

Деление в двоичной системе счисления

Мы уже рассмотрели три действия и думаю уже понятно, что в общем-то действия над двоичными числами мало отличаются от действий над десятичными числами. Разница появляется только в том, что цифр две а не десять, но это только упрощает арифметические операции. Так же обстоит дело и с делением, но для лучшего понимания алгоритм деления разберём более подробно. Пусть нам необходимо разделить два десятичных числа, например 234 разделить на 7. Как мы это делаем.

2

3

4

7

Мы выделяем справа (от старшего разряда) такое количество цифр, чтобы получившееся число было как можно меньше и в то же время больше делителя. 2 - меньше делителя, следовательно, необходимое нам число 23. Затем делим полученное число на делитель с остатком. Получаем следующий результат:

2

3

4

7

-

2

1

3

2

4

Описанную операцию повторяем до тех пор, пока полученный остаток не окажется меньше делителя. Когда это случится, число полученное под чертой, это частное, а последний остаток - это остаток операции. Так вот операция деления двоичного числа выполняется точно также. Попробуем

Пример: 10010111 / 101

1

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

Ищем число, от старшего разряда которое первое было бы больше чем делитель. Это четырехразрядное число 1001. Оно выделено жирным шрифтом. Теперь необходимо подобрать делитель выделенному числу. И здесь мы опять выигрываем в сравнении в десятичной системой. Дело в том, что подбираемый делитель это обязательно цифра, а цифры у нас только две. Так как 1001 явно больше 101, то с делителем всё понятно это 1.

1

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

-

1

0

1

1

1

0

0

Итак, остаток от выполненной операции 100. Это меньше чем 101, поэтому чтобы выполнить второй шаг деления, необходимо добавить к 100 следующую цифру, это цифра 0. Теперь имеем следующее число:

1

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

-

1

0

1

1

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

1

1

0

1

-

1

0

1

1

1

1

0

0

0

-

1

0

1

1

1

0

1000 больше 101 поэтому на втором шаге мы опять допишем в частное цифру 1 и получим следующий результат (для экономии места сразу опустим следующую цифру).

Полученное число 110 больше 101, поэтому и на этом шаге мы запишем в частное 1. Получиться так:

1

0

0

1

0

0

1

1

1

0

1

-

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

-

1

0

1

1

1

0

-

1

0

1

1

1

Полученное число 11 меньше 101, поэтому записываем в частное цифру 0 и опускаем вниз следующую цифру. Получается так:

1

0

0

1

0

0

1

1

1

0

1

-

1

0

1

1

1

1

0

1

0

0

0

-

1

0

1

1

1

0

-

1

0

1

1

1

1

Полученное число больше 101, поэтому в частное записываем цифру 1 и опять выполняем действия. Получается такая картина:

1

0

0

1

0

0

1

1

1

0

1

-

1

0

1

1

1

1

0

1

1

0

0

0

-

1

0

1

1

1

0

-

1

0

1

1

1

1

-

1

0

1

1

0

Полученный остаток 10 меньше 101, но у нас закончились цифры в делимом, поэтому 10 это окончательный остаток, а 1110 это искомое частное.

Проверим в десятичных числах

10010011 = 147 101 = 5

10 = 2 11101 = 29

1

4

7

5

-

1

0

2

9

4

7

-

4

5

2

На этом мы заканчиваем описание простейших арифметических операций, которые необходимо знать, для того, чтобы пользоваться двоичной арифметикой, и теперь попробуем ответить на вопрос "Зачем нужна двоичная арифметика". Конечно, выше уже было показано, что запись числа в двоичной системе существенно упрощает арифметические операции, но в то же время сама запись становится значительно длиннее, что уменьшает ценность полученного упрощения, поэтому необходимо поискать такие задачи, решение которых существенно проще в двоичных числах.

Самостоятельная работа № 4

1. Выполните сложение, вычитание, умножение в двоичной системе счисления:

Ответ: __________________

2. Выполните деление в двоичной системе счисления:

1. 10100101: 1011=

2. 10100101:1111=

3. 110110:110=

4. 110110:1001=

5. 1000111111:11001=

6. 1000111111:10111=

7. 11110111:10011=

8. 11110111:1101=

9. 10101011: 10011=

10. 10101011: 1001=

11. 10100001:111=

12. 10100001:10111=

13. 10101111:111=

14. 10101111:11001=

15. 1001101:1011=

16. 1001101:111=

Ответ: __________________

Контрольная работа по теме «Системы счисления»

В-1.

№ 1.

Представьте в развернутой форме:

а) 4563; б) 100101;

№ 2.

Переведите число 75 из десятичной системы счисления в двоичную.

№ 3.

Выполните действия:

а) 11001101011 + 1110000101; б) 101011 - 10011; в) 1011 · 101.

В-2.

№ 1

Представьте в развернутой форме:

а) 1563; б) 100111;

№ 2.

Переведите число 67 из десятичной системы счисления в двоичную.

№ 3.

Выполните действия:

а) 11001101111 + 1110000101; б) 10111 - 10011; в) 1111 · 101.

В-3.

№ 1

Представьте в развернутой форме:

а) 2563; б) 110101;

№ 2.

Переведите число 59 из десятичной системы счисления в двоичную.

№ 3.

Выполните действия:

а) 11111101011 + 1110000111; б) 11111 - 10011; в) 10011 · 101.

В-4.

№ 1

Представьте в развернутой форме:

а) 2573; б) 1010101;

№ 2.

Переведите число 95 из десятичной системы счисления в двоичную.

№ 3.

Выполните действия:

а) 11111101001 + 1110000111; б) 11101 - 10011; в) 10111 · 101.

Дополнительный раздел: «Занимательно и интересно!»

а) Рисуем по точкам.

В таблице 1 приведены номер точки и ее координаты, записанные в двоичной системе счисления.
Для каждой точки выполните перевод ее координат в десятичную систему счисления и отметьте точку на координатной плоскости. Правильно сделав перевод и соединив последовательно все точки, вы получите некоторый рисунок. Рисунок изобразите в рабочей тетради.

Таблица 1

№ точки

Координаты точки

(X;Y)

X

Y

1

100₂

10₂

2

101₂

101₂

3

1₂

101₂

4

11₂

1010₂

5

100₂

1010₂

6

11₂

110₂

7

101₂

110₂

8

110₂

101₂ + 100₂

9

111₂

1001₂

10

110₂

110₂

11

100₂ * 10₂

110₂

12

1000₂

101₂

13

110₂

101₂

14

101₂

10₂

б) Рождение цветка.

Понаблюдаем за рождением цветка: сначала появился один листочек, затем второй … и вот распустился бутон. Постепенно подрастая, цветок показывает нам некоторое двоичное число. Если вы до конца проследите за ростом цветка, то узнаете, сколько дней ему понадобилось, чтобы вырасти.

Ответ: ______________

в) Русская поговорка.

Здесь зашифрована известная русская поговорка. Прочитайте ее, двигаясь с помощью двоичных цифр в определенной последовательности.

Ответ: ____________________________________________

Для любознательных

Ещё два способа преобразования чисел 10-й в 2-ую систему счисления:

I. Метод вычитания

С детства мы считать учились - раз, два, три, четыре, пять

Десятичной ту систему мы привыкли называть.

Были палочки и счеты, калькулятор, Пифагор,

А теперь перед глазами - серебристый монитор.

Эта умная машина сможет все нам сосчитать

Ну, а как она считает - предстоит нам разобрать.

Мы считаем в десятичной - два, двенадцать, сто один,

А компьютер лишь в двоичной - либо ноль, либо один.

Разберемся на примере: число будет - сорок пять

Наибольшую здесь степень нам придется сосчитать

Раз считаем мы в двоичной основанье всегда два

Показатель мы находим от начального числа.

И поскольку изначально наша цифра сорок пять,

М

45

32=2⁵ы подумаем и скажем показатель будет пять.

В

13 показателе пятерка в основанье цифра два

В

8=2³

5озведем мы двойку в степень и получим 32.

В

4=2²озвращаемся мы снова к нашей цифре 45

Н

1=2⁰ам теперь от этой цифры 32 нужно отнять.

Разность сосчитать нам просто мы уже не первый класс

Видим: циферка 13 получается у нас.

Теперь циферку 13 также как и 45

Вместе с вами нам придется разложить и посчитать

Снова в основанье двойка показатель будет три

Двойка в третьей будет восемь ну, а дальше сам смотри.

У 45-ти два в пятой умножаем на один

У 13 два в третьей тоже множим на один

Два в четвертой не встречалась, тут и нечего гадать

Значит, будем два в четвертой мы на нолик умножать.

Запись: 45₁₀ = 1*2⁵+0*2⁴+1*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰ =101101₂

Подводим итог: Необходимо разложить данное нам число по степеням «2». В том случае, если полная степень «2» присутствует при разложении, сомножителем будет единица, если степени «2» нет - сомножитель ноль. Важно! При записи числа в «2»-ой системе счисления нельзя пропускать ни одну степень.

II. Метод степеней

Разберем еще один пример: Перевести из «10»-ой системы счисления в «2»-ю число 23. Какие степени «2» представлены в этом числе?

1) Ищем максимальную степень «2» - это 2⁴ =16. Итак: 23-16=7

2) Для числа 7 подбираем максимальную степень это 2² =4. Вычитаем 7-4=3.

3) Для числа 3 подбираем максимальную степень это 2¹ =2. Вычитаем 3-2=1.

4) Для числа 1 остался единственный вариант это степень 2⁰ =1.

Теперь можем записать разложение числа 23 по степеням «2»:

Запись: 23₁₀ =1*2⁴ +0*2³ +1*2² +1*2¹ +1*2⁰

27