Лекция по информатике для 1 курса СПО и НПО «Основные законы формальной логики. Логические элементы и логические устройства компьютера»

Дисциплина «Информатика и ИКТ» Преподаватель - Терехова У.И.

Тема: «Основные законы формальной логики. Логические элементы и логические

устройства компьютера».

План:

1. Построение таблиц истинности.

2. Основные законы формальной логики.

3. Упрощение логических выражений.

4. Решение логических задач.

5. Логические элементы и логические устройства компьютера.

1. Построение таблиц истинности.

На прошлом занятии, мы познакомились с основными понятиями математической логики, разобрались, чем отличаются логические выражения от выражений русского языка.

Теперь попробуем перевести логические выражения, записанные на русском языке, на язык формальной логики, выполнив упражнение 1.

Упражнение 1. Запишите следующие высказывания в виде логических выражений.

1. Число 17 нечетное и двузначное.

2. Неверно, что корова - хищное животное.

3. На уроке физики ученики выполняли лабораторную работу и сообщали результаты исследований учителю.

4. На уроке информатики необходимо соблюдать особые правила поведения.

5. При замерзании воды выделяется тепло.

6. Если компьютер включен, то можно на нем работать.

7. Водительские права можно получить тогда и только тогда, когда тебе исполнилось 18 лет.

8. Компьютер выполняет вычисления, если он включен.

9. Ты можешь купить в магазине продукты, если у тебя есть деньги.

10. Тише едешь - дальше будешь.

Упражнение 2. Определите, в каком порядке необходимо вычислять значение логического выражения:

1. ¬A&¬B

2. A&(B&C)

3. (A&B)٧(C&¬D)

4. A٧¬D٧B

5. A→(B↔¬A)

Логическая функция - это функция, в которой переменные принимают только два значения: логическая единица или логический ноль. Истинность или ложность сложных суждений представляет собой функцию истинности или ложности простых. Эту функцию называют булевой функцией суждений f (a, b).

Любая логическая функция может быть задана с помощью таблицы истинности, в левой части которой записывается набор аргументов, а в правой части - соответствующие значения логической функции.

Количество строк = 2ⁿ + две строки для заголовка (n - количество простых высказываний)

Количество столбцов = количество переменных + количество логических операций

При построении таблицы надо учитывать все возможные сочетания логических значений 0 и 1 исходных выражений. Затем - определить порядок действий и составить таблицу с учетом таблиц истинности основных логических операций.

Упражнение 3. Постройте таблицы истинности для следующих логических выражений.

Определим количество столбцов и строк.

Количество строк = 2²(2 переменных)+1(заголовки столбцов)=5

Количество столбцов = 2 логические переменные (А,В) и 5 логических операций = 7

Определим количество столбцов и строк.

Количество строк = 2³(3 переменных)+1(заголовки столбцов)=9

Количество столбцов = 3 логические переменные (X,Y,Z) и 3 логических операций = 6

2. Основные законы формальной логики.

Если логическое выражение содержит большое количество операций, то составлять для него таблицу истинности достаточно сложно, так как приходится перебирать большое число вариантов. В таких случаях формулы удобно привести к нормальной форме.

Для приведения формулы к нормальной форме используются законы логики (Таблица 1) и правила логических преобразований.

Таблица 1. Основные законы формальной логики.

Название закона

Формулировка

Переместительный закон (коммутативность)

Сочетательный закон (ассоциативность)

Распределительный закон (дистрибутивность)

Закон противоречия (высказывание не может быть одновременно истинным и ложным)

Закон исключения третьего (либо высказывание,

либо его отрицание должно быть истинным)

Закон двойного отрицания

Закон де Моргана

Выражение импликации через отрицание и

логическое сложение

3. Упрощение логических выражений.

Упражнение 4. Используя основные законы формальной логики, упростите предложенные выражения:

1. ;

2. ;

3. .

Решение:

4. Решение логических задач.

Разнообразие логических задач очень велико. Способов их решения тоже немало. Но наибольшее распространение получили следующие три способа решения логических задач:

• с помощью рассуждений;

• табличный;

• средствами алгебры логики.

Решение рассуждением.

Задача 1. Куры-несушки.

Три курицы за три дня несут три яйца. Сколько яиц несут 12 таких кур за 12 дней?

Решение:

Одна курица несет одно яйцо за три дня. За 12 дней одна курица снесет 4 яйца, следовательно, 12 кур - 48 яиц.

Табличный способ решения задач.

Задача 2. В кафе встретились три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов. "Замечательно, что один из нас имеет белые, один черные и один рыжие волосы, но ни у одного из нас нет волос того цвета, на который указывает его фамилия", - заметил черноволосый. "Ты прав", - сказал Белов. Какой цвет волос у художника?

Задача 3. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке - не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. Куда налита каждая жидкость?

Решение задач с помощью алгебры логики.

Задача 4. В школьном первенстве по настольному теннису в четверку лучших вошли девушки: Наташа, Маша, Люда и Рита. Самые горячие болельщики высказали свои предположения о распределении мест в дальнейших состязаниях. Один считает, что первой будет Наташа, а Маша будет второй. Другой болельщик на второе место прочит Люду, а Рита, по его мнению, займет четвертое место. Третий любитель тенниса с ними не согласился. Он считает, что Рита займет третье место, а Наташа будет второй. Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Какое место на чемпионате заняли Наташа, Маша, Люда, Рита?

Решение:

=

Ответ: Наташа -1 место, Люда - 2 место, Рита - 3 место, Маша - 4 место

5. Логические элементы и логические устройства компьютера.

С

1839-1914 1886 года американский логик Чарльз Сандерс Пирс (в его честь названа логическая операция - «стрелка Пирса») работает над модификацией и расширением булевой алгебры. Пирс первый осознал, что бинарная логика имеет сходство с работой электрических переключательных схем. Электрический переключатель либо пропускает ток (истина), либо не пропускает (ложь). Пирс даже придумал простую электрическую логическую схему, но так и не собрал её.

А

1916-2001мериканец Клод Шеннон - основоположник теории информации, разработчик теоретических основ вычислительной техники, математик и специалист по электронике раскрыл связи между двоичным кодированием, алгеброй логики и электрическими схемами.

Принципы работы вычислительных машин в своей основе просты. Работа ЭВМ состоит в операциях над числами и символами, закодированными двумя цифрами - 0 и 1, и пересылке этой информации по линиям связи. А работа всех устройств ЭВМ заключается в операциях над этими последовательностями из 0 и 1.

Средством обработки двоичных сигналов в ЭВМ являются логические элементы. Для реализации любых логических операций над двоичными сигналами достаточно элементов трех типов - элементов, реализующих три основные логические операции: и, или, не.

Логические элементы - это электронные схемы с одним или несколькими входами и одним выходом, через которые проходят электрические сигналы, представляющие цифры 0 и 1.

Основные логические элементы:

1. Элементы НЕ (инвертор) Функция: Таблица истинности: Схема:

А

0

1

1

0

У инвертора один вход и один выход. Сигнал на выходе F появится тогда, когда на выходе его нет, и наоборот.

Лампочка горит, если выключатель не выключен.

2. Элементы И (конъюнктор) Функция: Таблица истинности: Схема:

X1

X2

X1 и X2

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

Элемент И имеет не менее двух входов и один выход. Х1,Х2 - входные сигналы, F - выходной сигнал.

Логика элемента И заключается в том, что на его выходе F будет сформирован сигнал 1 тогда и только тогда, когда на каждом из его входов будет сигнал 1.

Лампочка горит тогда и только тогда, когда включены обы выключателя.

3. Элементы ИЛИ (дизъюнктор) Функция: Таблица истинности: Схема:

X1

X2

X1 или X2

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

Имеет не менее двух входов и один выход. Сигнал 0 на выходе F элемента ИЛИ появится только в том случае, если сигнал 1 не поступил ни на один из входов.

Лампочка горит, если включен, хотя бы один выключатель.

С помощью логических элементов НЕ, И, ИЛИ можно реализовать (собрать как из конструктора) типовые функциональные узлы (блоки) ЭВМ:

• Триггеры

• Сумматоры

• Шифраторы

• Регистраторы

• Счетчики

• Дешифраторы

Триггер (trigger - защёлка, спусковой крючок ) - запоминающее устройство (хранит 1 бит информации).

Триггер имеет два входа:

S (set - установка) и

R (reset - сброс) и

два выхода

Q (прямой) и

НЕ Q (инверсный)

В обычном состоянии на входы триггера подан сигнал «0» и триггер хранит «0». Для записи «1» на вход S (set - установочный) подается сигнал «1». При последовательном рассмотрении прохождения сигнала по схеме видно, что триггер переходит в это состояние и будет устойчиво находиться в нем и после того, как сигнал на входе S исчезнет. Триггер запомнил «1», т.е. с выхода триггера Q можно считывать «1».

Входы

Состояние

Q

S

R

0

0

Q

1

0

1

0

1

0

1

1

НедопустимоЧтобы сбросить информацию и подготовиться к приему новой, на вход R (сброс) подается сигнал «1», после чего триггер возвратиться к исходному «нулевому» состоянию.

Регистр - устройство, состоящее из последовательности триггеров. Предназначен для хранения многоразрядного двоичного числового кода, которым может быть представлять и адрес, и команду, и данные.

Число триггеров в регистре называется разрядностью компьютера, которая может быть равна 8, 16, 32, 64.

Сумматор - устройство для сложения двоичных чисел. Сумматор - основа микропроцессора, т.к все операции в микропроцессоре сводятся к сложению.

Полусумматор - реализует суммирование одноразрядных двоичных чисел без учета переноса из младшего разряда.

Слагаемые

Перенос

Сумма

А

В

P

S

0

0

0

0

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

Значения S будут соответствовать сумме, если результат логического сложения умножить на инверсный перенос. Тогда

А

В

AvB

A&B

0

0

0

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

Схема полусумматора двоичных чисел:

Вопросы для контроля:

Домашнее задание: прочитать записи в тетради, выполнить упражнения 1-3.

Упражнение 1. Запишите следующие высказывания в виде логических выражений.

а) Зимой холодно и морозно, а также дует ветер.

б) Если идет дождь, а у меня нет зонта, то я промокну.

в) Неверно, что если погода пасмурная, то идёт дождь тогда и только тогда, когда не дует ветер.

Упражнение 2. Используя основные законы формальной логики, упростите предложенные выражения:

а) ; б) ; в) ; г) ; д)

Упражнение 3. Три школьника, Миша (М), Коля (К) и Сергей (С), остававшиеся в классе на перемене, были вызваны к директору по поводу разбитого в это время окна в кабинете. На вопрос директора о том, кто это сделал, мальчики ответили следующее:

Миша: "Я не бил окно, и Коля тоже..."

Коля: "Миша не разбивал окно, это Сергей разбил футбольным мячом!"

Сергей: "Я не делал этого, стекло разбил Миша".

Стало известно, что один из ребят сказал чистую правду, второй в одной части заявления соврал, а другое его высказывание истинно, а третий оба факта исказил. Зная это, директор смог докопаться до истины. Кто разбил стекло в классе?

1. Компьютер как исполнитель команд. Программный принцип работы компьютера. Классификация моделей. Компьютерные модели. Основные этапы моделирования.

2

1

1

1

2 нед

2. Основные информационные процессы и их реализация с помощью компьютеров.

6

4

4

2

1. Хранение информации. Хранение информационных объектов различных видов на различных цифровых носителях. Определение объемов различных носителей информации. Архив информации.

2

2

2

2-3 нед

2. Поиск информации. Поиск информации с использованием компьютера. Программные поисковые сервисы. Использование ключевых слов, фраз для поиска информации. Комбинации условия поиска. Примеры поиска информации на государственных образовательных порталах.

2

1

1

1

3 нед

9