19

Урок 4.2 (13) "Системы счисления. Перевод чисел из системы счисления с основанием 2 в систему счисления с основанием 2ⁿ и обратно"

Ведет Кузнецова Надежда Владимировна, преподаватель информатики высшей категории Тамбовского железнодорожного техникума - филиал МИИТ г. Тамбова.

Информатика - это наука, которая занимается вопросами представления и обработки информации.

Манфред Брой, профессор, лауреат премии Лейбница в области информатики.

Цели урока:

Обучающие:

1. Ввести правила перевода чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления и обратно;

2. Сформировать умения и навыки перевода чисел в ручную и с помощью электронного калькулятора NumLock Calculator;

3. Обобщить знания понятий в позиционных системах счисления.

Развивающие:

1. Развитие познавательного интереса к предмету путём демонстрации многообразия решения задач, а так же прослеживанием связи с будущей профессиональной деятельностью;

2. Развитие умения воспринимать и конспектировать информацию.

Воспитательные:

1. Воспитание умения длительно концентрировать внимание на большом объёме информации;

2. Воспитание информационной культуры обучающихся, внимательности, аккуратности, дисциплинированности, усидчивости;

3. Обеспечить в ходе урока этические нормы поведения, а так же создать спокойную и дружелюбную атмосферу общения преподавателя и студентов.

Оборудование:

1. Доска, мел;

2. Персональный компьютер;

3. Кодоскоп;

4 Раздаточный материал:

1) Опорный конспект: «Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления и обратно»;

2) Справочный материал «Системы счисления, реализованные в компьютере»;

3) Текст задач.

Литература:

1. "Архитектура ЭВМ и вычислительные системы", Максимов Н. В., Попов И. И., Партыка Т. П., Москва, 2008 г

2. ."Информатика и информационные технологии 10-11", Угринович Н., Москва, 2006 год.

3. "Информатика ", Шауцкова Л. З., Москва, 2002 г.

4. "Методика преподавания информатики", Бочкин А. И., Минск, 1998 год.

5. "Теория и методика обучения", Кукушин В. С., «Феникс», Ростов-на-Дону, 2005 г.

Тип урока: Комбинированный

Межпредметные связи:

1. Передача сигналов электросвязи, темы: "Кодирование информации", "Модуляция сигнала".

2. Цифровая схемотехника, темы: "(Все темы и разделы дисциплины включают понятия двоичной системы счисления) "

3. Математика, раздел арифметики: "Преобразование числа ".

Внутри предметные связи:

1. "Арифметические основы ЭВМ";

2. "Перевод чисел из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в десятичную систему счисления и обратно ";

3. "Кодирование информации в компьютере ".

Мотивация деятельности:

1. Преподавателя:

Создание целостного представления о теме данного урока во взаимосвязи с ранее изученным и последующим материалами

1. Обучаемых:

   • Восприятие, осмысление основного содержания темы, её практической значимости.

Актуализация:

1. Преподавателя:

• Систематизация опорных знаний, установление связи с ранее изученным материалом;

• Знакомство с требованиями к знаниям и умениям, планом последующего урока.

1. Обучаемые:

• Воспроизведение знаний в предложенном порядке, осознание их связи с вновь приобретаемыми знаниями и навыками, осмысление требований к знаниям и умениям, способа работы на следующем уроке.

План урока:

(1 мин). I. Организационный момент.

(1 мин) II. Объяснение хода урока. Мотивация.

(3 мин) III. Актуализация знаний.

(13 мин) IV. Контрольный тест.

(15 мин) V. Ввод нового материала.

(9 мин) VI. Практическая часть.

(1 мин) VII. Домашнее задание.

(1 мин) VIII. Вопросы студентов.

(1 мин) IX. Итог 1-го урока..

(35 мин) X. Закрепление знаний и навыков.

(5 мин) XI. Вопросы студентов.

(5 мин) XII. Подведение итогов занятия.

Ход урока:

I. Организационный момент.

1. Приветствие студентов.

2. Техника безопасности.

3. Проверка присутствующих.

II. Объяснение хода урока. Мотивация.

Сегодня мы продолжаем изучать тему «Арифметические основы ЭВМ» и тема нашего урока "Системы счисления. Перевод чисел из системы счисления с основанием 2 в систему счисления с основанием 2ⁿ и обратно". Мы повторим, обобщим пройденный материал, научимся переводить числа из одной системы счисления в другую и обратно. Приведем в систему изученный материал по данный теме. Ваша задача показать теоретические знания основных понятий, правил перевода чисел и приобрести практические навыки работы на компьютере.(на доске демонстрируется слайд, на котором представлен план урока в следующем виде):

План урока:

1. Повторение пройденного материала.

2. Самостоятельная работа.

3. Изучение нового материала.

4. Упражнения по усвоению нового материала.

5. Знакомство с программой калькулятор.

6. Выполнение практической работы.

7. Итоги занятия.

Материал, данный темы имеет логическое продолжение в других дисциплинах, которые вы будете изучать на старших курсах. К таким дисциплинам относятся: Передачи сигналов электросвязи, Цифровая схемотехника, СПДИ. В дисциплине Информатика знания, полученные на данном уроке, найдут применение в темах: «Кодирование информации» и «Логические основы компьютера». Для понимания и восприятия новой информации нам необходимы знания предыдущего урока, поэтому я вам задаю вопросы, а вы даёте мне ответы.

III. Актуализация знаний. Фронтальный опрос.

1. Что такое система счисления?

Ответ. Система счисления - это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

2.На какие две большие группы подразделяются системы счисления?

Ответ. Позиционные и непозиционные.

3.Чем отличаются позиционные системы счисления от непозиционных?

Ответ. В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от её позиции в числе.

4. Количество цифр, используемых в системе счисления для записи чисел, называется…….

Ответ. ее основанием

5. Алфавит системы состоит из 16 цифр. Какому числу равно основание?

Ответ. 16.

6. Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 721, 333, 111?

Ответ. Основание восемь.

7. Какое количество цифр используется q-ичной системе счисления?

Ответ. Q

8. В какой форме записаны следующие числа:

1010111_2, 777_8, 1D_16, 453_10.?

Ответ. Свёрнутая форма записи числа.

9. Запишите число 999₁₀ в развёрнутой форме.

10. При переводе чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления какое используется арифметическое действие?

Ответ. Деление числа на основании соответствующей системы счисления.

Для закрепления теоретических знаний выполним самостоятельную работу по индивидуальным карточкам.

IV. Самостоятельная работа - Перевод чисел из одной системы счисления в другую. (Повторение учащимися основных понятий позиционных систем счисления.)

(Использую карточки задания по вариантам. Количество заданий соответствует количеству присутствующих.)

Ваша цель записать одно и то же целое число в различных системах счисления. Задание выполняется в течении 13 минут.

Для студента Большакова Евгения подготовлено более сложное задание, и он его выполнит на доске.

Задание^*. В саду 100_q фруктовых деревьев, из них 33_q яблони, 22_q груши, 16_q слив и 5_q вишен. В какой системе счисления посчитаны деревья?

Решение:

Запишем числа в развёрнутой форме и составим уравнение:

1∙ q² = 3∙q¹+3∙q⁰ + 2∙q¹+2∙q⁰+1∙q¹+6∙q⁰+5∙q⁰, преобразуем

q² + 3q - 16 = 0, решим квадратное уравнение. Ответ: q = 8.

Отложили в левую сторону свои карточки и послушаем объяснения решения задачи Большакова Евгения.

С заданием справились успешно. Переходим к теме нашего урока.

V. Ввод нового материала.

И так вся информация, которою обработывает компьютер, должна быть представлена двоичным кодом с помощью двух цифр - 0 и 1.

Эти два символа 0 и 1 принято называть битами (от англ. binary digit - двоичный знак).

Из всего сказанного выше вы видите, что для записи двоичных чисел используются 2 цифры, то есть каждый разряд двоичного числа содержит 1 бит информации.

Для записи восьмеричных чисел используются восемь цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 8 вариантов записи. Решаем показательное уравнение: 8 = 2^I. Так как 8 = 2^3., то I = 3 бита.

Каждый разряд восьмеричного числа содержит 3 бита информации.

Воспользуемся правилом сложения двоичных чисел для представления восьмеричных чисел в виде двоичных триад.

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10

Дополним слева нулями, где меньше трёх цифр и получим следующую таблицу преобразования двоичных триад в восьмеричные цифры:

Таблица 1 - Преобразование двоичных триад в восьмеричные цифры

Двоичные триады

000

001

010

011

100

101

110

111

Восьмеричные цифры

0

1

2

3

4

5

6

7

Возьмём число в двоичной системе счисления и переведём его в восьмеричную систему счисления.

Для перевода воспользуемся следующим алгоритмом:

1. Двоичное число разбить справа налево на группы по n цифр в каждой.

2. Если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов.

3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2ⁿ

Пример 1.Число 101100001000110010₂ переведем в восьмеричную систему счисления.

Разбиваем число справа налево на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:

101

100

0 01

0 0 0

110

0 10

5

4

1

0

6

2

Получаем восьмеричное представление исходного числа: 541062_8.

Переведём дробное двоичное число в восьмеричную систему счисления. Воспользуемся алгоритмом.

Перевод дробных чисел. Для того, что бы дробное двоичное число записать в системе исчисления с основанием q=2ⁿнужно:

1. Двоичное число разбить слева направо на группы по n чисел в каждой.

2. Если в последней правой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов.

3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2ⁿ

Пример 2. Число 0,10110001₂ в восьмеричную систему счисления разбивая число слева направо на триады и под каждой из них соответствующую восьмеричную цифру:

0,

101

100

010

0,

5

4

2

Получаем восьмеричное представление исходного числа 0,542_8.

Переведём двоичные числа в шестнадцатеричную систему счисления.

Решим следующее показательное уравнение:

16 = 2^I. Так как 16 = 2^4., то I = 4 бита

Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита информации.

Воспользуемся правилом сложения двоичных чисел для преставления шестнадцатеричных чисел в виде тетрад.

Дополним слева нулями, где меньше четырёх цифр и получим следующую таблицу преобразования двоичных тетрад в шестнадцатеричные цифры:

Таблица 2 - Преобразование двоичных тетрад в шестнадцатеричные цифры

Двоичные тетрады

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

Шестнадцатеричные цифры

0

1

2

3

4

5

6

7

Двоичные тетрады

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

Шестнадцатеричное цифры

8

9

А

(10)

(11)

C

(12)

D

(13)

E

(14)

F

(15)

Пример 3.Число 1000000000111110000111₂ переведем в шестнадцатеричную систему счисления.

Разбиваем число справа налево на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:

10

0 0 0 0

0 0 0 0

1111

1000

0 111

2

0

0

F

8

7

Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 200F87₁₆.

Пример 4. Число 0,100000000011₂ переведём в шестнадцатеричную систему счисления. Разбиваем число слева на право на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру.

0,

1000

0000

0011

0,

8

0

3

Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа:0,803₁₆.

Перевод произвольных чисел. Для того, что бы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2ⁿ, нужно:

1. Целую часть данного двоичного числа разбить справа налево, а дробную - слева направо на группы по n цифр в каждой.

2. Если в последней левой и/или правой группах окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить слева и/или справа нулями до нужного числа разрядов.

3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2ⁿ

Пример 5. Число 111100101,0111₂ переведем в восьмеричную систему счисления. Разбиваем целую и дробную части числа на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:

111

100

101

11

100

7

4

5

3

4

Получаем восьмеричное представление исходного числа: 745,34₈.

Пример 6. Число 11101001000,11010010₂ переведем в шестнадцатеричную систему счисления. Разбиваем целую и дробную части числа на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:

111

100

1000

1101

10

7

4

8

D

2

Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 748,D2₁₆.

VI. Практическая часть. Закрепление нового материала.

Задача.

В процессе дискретизации сигнала были получены следующие отсчёты: 14, 4, 20, 19, 15, 40, 29, 23, 9, 18. Преобразовать данные отсчёты в двоичный код, а затем перевести полученные результаты в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Полученные ответы записать в таблицу.

Таблица - Результаты решения задачи

Отсчёты

Двоичный код

N₈

N₁₆

14

4

20

19

15

40………

VII. Домашнее задание.

Составить конспект, по теме нашего урока пользуясь опорным конспектом.

VIII. Вопросы студентов.

Задавайте вопросы, если у вас возникли сомнения и непонимания нового материала.

IX. Итог 1-го урока.

X. Закрепление знаний и навыков.

Продолжаем изучать с вами тему нашего урока. На компьютере откроем папку рабочий стол "Информатика ". Выбираем программу калькулятор и запускаем её.

На экране появляется изображение калькулятора

С помощью данной программы проверим, правильно ли вы перевели целые числа из одной системы счисления в другую. Правильные ответы отмечаем знаком +, неправильные помечаем знаком -.

Сдали все карточки задания.

Переходим к выполнению практической работы

Инструктаж по выполнению практической работы.

Ответы студентов на вопросы практической работы

XI. Вопросы студентов.

Студенты задают вопросы, а преподаватель отвечает.

XII. Заключительный этап.

1. Подведение итогов занятия.

2. Оценка урока учащимися.

3. Объявление оценок за ответы на уроке и их обоснование.

4. Сообщить историческую справку

Историческая справка:

Начиная со студенческих лет и до конца жизни великий европеец, немецкий ученый Вильгельм Готфрид Лейбниц (1646-1716), занимался исследованием свойств двоичной системы счисления, ставшей в дальнейшем основной при создании компьютеров. Он придавал ей некий мистический смысл и считал, что на ее базе можно создать универсальный язык для объяснения явлений мира и использования во всех науках, в том числе в философии. Сохранилось изображение медали, нарисованное В. Лейбницем в 1697 г., и поясняющее соотношение между двоичной и десятичной системами исчисления:

На ней была изображена табличка из двух столбцов, в одном числа от 0 до 17 в десятичной системе, а в другом - те же числа в двоичной системе счисления. Вверху была надпись: «2,3,4,5 и т.д. Для получения их всех из нуля достаточно единицы». Внизу же гласила надпись: «Картина создания. Изобрёл ГГЛ. МDС XCYII».

Большое спасибо за сотрудничество на уроке. Выключите компьютеры, наведите порядок на столе, поставьте на место стулья. Урок окончен.

До свидания!

Справочный материал

Справочный материал

Арифметические

Основы ЭВМ

Позиционные системы счисления

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

_{6 5 4 3 2 1 0}

1101101₂ - свёрнутая форма записи числа;

1∙ 2⁶ +1∙ 2⁵+ 0 ∙ 2⁴ + 1 ∙ 2³ + 1 ∙ 2² + 0 ∙ 2¹ + 1 ∙ 2⁰ - развёрнутая форма записи числа.

_{2 1 0 -1-2-3}

247,127₈- свёрнутая форма записи числа;

2 ∙ 8² + 4 ∙ 8¹ + 7 ∙ 8⁰ + 1 ∙ 8^-1 + 2 ∙ 8^-2 + 7 ∙ 8^-3 - развёрнутая форма записи числа.

_{1 0 -1 -2}

9А,F1₁₆ - свёрнутая форма записи числа;

9 ∙ 16¹ + А ∙ 16⁰ + F ∙ 16^-1 + 1 ∙ 16^-2 - развёрнутая форма записи числа.

Степени числа 2

• ^

• 

• ^

• 

• ^

• ^

• ^

• ^

• ^

• ^

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• ^

• ^

• ^

• ^

• ^

• 

• 

• 

• 

• 

Опорный конспект

Опорный конспект

Пишите правильно!

Пе

Правило сложения двоичных чисел

0+0=0 10 + 1= 11 (3), 11 + 1= 100 (4), 100+1=101 (5)

0+1=1 101+1=110 (6), 110+1=111(7).

1+0=1

1+1=10 (2)

Таблица 1 - Преобразование двоичных триад в восьмеричные цифры

Двоичные триады

000

001

010

011

100

101

110

111

Восьмеричные цифры

0

1

2

3

4

5

6

7

Пример 1.Число 11101101111₂переведем в восьмеричную систему счисления.

Разбиваем число справа налево на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:

11101101111₂=11^יִ101^יִ101^יִ111₂=011^יִ101^יִ101^יִ111₂ =3557₈

3 5 5 7

Пример 2. Число 0,10110001₂переведём в восьмеричную систему счисления, разбивая число слева направо на триады, и под каждой из них подписываем соответствующую восьмеричную цифру:

0,

101

100

010

0,

5

4

2

Получаем восьмеричное представление исходного числа 0,542_8.

Таблица 2- Преобразование двоичных тетрад в шестнадцатеричные цифры

Двоичные тетрады

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

Шестнадцатерич-ные цифры

0

1

2

3

4

5

6

7

Двоичные тетрады

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

Шестнадцатерич-ные цифры

8

9

А

(10)

(11)

C

(12)

D

(13)

E

(14)

F

(15)

Пример 3.Число 10^יִ0000^יִ0000^יִ1111^יִ1000^יִ0111₂переведем в шестнадцатеричную систему счисления.

Разбиваем число справа налево на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:

0010

0 0 0 0

0 0 0 0

1111

1000

0 111

2

0

0

F

8

7

Пример 4. Число 0,100000000011₂ переведём в шестнадцатеричную систему счисления. Разбиваем число слева на право на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру.

0,

1000

0000

0011

0,

8

0

3

Пример 5. Число 111100101,0111₂ переведем в восьмеричную систему счисления. Разбиваем целую и дробную части числа на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:

111

100

101

11

100

7

4

5

3

4

Получаем восьмеричное представление исходного числа: 745,34₈.

Пример 6. Число 11101001000,11010010₂ переведем в шестнадцатеричную систему счисления. Разбиваем целую и дробную части числа на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:

111

100

1000

1101

10

7

4

8

D

2

Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 748,D2₁₆.

16 10 8 2