• Преподавателю
  • Информатика
  • Автор Л. П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Автор Л. П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Раздел Информатика
Класс 10 класс
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины ИнформатикаАвтор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины ИнформатикаДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования города Москвы

ПИЩЕВОЙ КОЛЛЕДЖ № 33





Методические указания

для выполнения заданий по теме

«Арифметические основы работы компьютеров»

в рамках изучения дисциплины «Информатика»





















Москва, 2016













Автор-составитель - Л. П. Бойченко

Данные методические указания подготовлены для выполнения заданий по теме «Арифметические основы работы компьютеров» в рамках изучения дисциплины «Информатика».

Они могут быть использованы также при изучении курсов «Информатика и ИКТ», «Компьютерные сети», «Компьютерные технологии», «Системы управления базами данных», «Информационные технологии в профессиональной деятельности», «Электроника».

Полезно использовать для студентов СПО, обучающихся в колледжах.

В данных методических указаниях изложена информация, представляющая собой специально подобранный и сгруппированный материал по арифметическим основам работы компьютеров.










Оглавление


Введение 5

Арифметические основы работы компьютеров 6

1. Что такое система счисления? 6

2. Как порождаются целые числа в позиционных системах
счисления? 7

3. Какие системы счисления используют специалисты
для общения с компьютером? 7

4. Почему люди пользуются десятичной системой,
а компьютеры - двоичной? 8

5. Почему в компьютерах используются также восьмеричная
и шестнадцатеричная системы счисления? 9

6. Как перевести целое число из десятичной системы в любую
другую позиционную систему счисления? 10

7. Как перевести правильную десятичную дробь в любую другую
позиционную систему счисления? 10

8. Как перевести число из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную систему? 11

9. Сводная таблица переводов целых чисел из одной системы
счисления в другую 11

10. Как производятся арифметические операции в позиционных системах счисления? 13

11. Как представляются в компьютере целые числа? 19

12. Как компьютер выполняет арифметические действия
над целыми числами? 21

13. Как представляются в компьютере вещественные числа? 25

14. Как компьютер выполняет арифметические действия
над нормализованными числами? 27



Введение

В данных методических указаниях рассматривается материал по теме «Арифметические основы работы компьютеров». Учебный материал включает в себя 14 пунктов по изучаемой теме.

В теме «Арифметические основы работы компьютеров» представлены ответы на вопросы о том, какие системы счислений используют специалисты для общения с компьютером, почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры - двоичной, почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Здесь же показан перевод целых и дробных чисел из десятичной системы счисления в р-ичную и наоборот. В этой же главе показано, как представляются целые и вещественные числа в компьютере, а также выполнение арифметических операций над целыми и вещественными числами, представленными в позиционных системах счисления. Кроме этого, показано, как компьютер выполняет арифметические действия над нормализованными числами.

Арифметические основы компьютеров

1. Что такое система счисления?

Система счисления - это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от её позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семёрка означает 7 сотен, вторая - 7 единиц, а третья - 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращённую запись выражения

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

За основание системы можно принять любое натуральное число - два, три, четыре и т. д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т. д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращённую запись выражения

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика,

где Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика - цифры системы счисления; и Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика - число целых и дробных разрядов соответственно.

Например:

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

2. Как порождаются целые числа в позиционных системах
счисления?

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т. д.

Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.

Продвинуть цифру 1, значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2, значит заменить её на 3 и т. д. Продвижение старшей цифры (например цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры - 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 - замену её на 0.

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счёта:

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел


  • в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

  • в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

  • в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

  • восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

3. Какие системы счисления используют специалисты для общения
с компьютером?

Кроме десятичной, широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

  • двоичная (используются цифры 0, 1);

  • восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7);

  • шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел - от десяти до пятнадцати - в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел (табл. 1.1).

Таблица 1.1

10-я

2-я

8-я

16-я

0

0

0

0

1

1

1

1

2

10

2

2

3

11

3

3

4

100

4

4

5

101

5

5

6

110

6

6

7

111

7

7

8

1000

10

8

9

1001

11

9

10

1010

12

A

11

1011

13

B

12

1100

14

C

13

1101

15

D

14

1110

16

E

15

1111

17

F

16

10000

20

10

17

10001

21

11

18

10010

22

12

19

10011

23

13

Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления.

4. Почему люди пользуются десятичной системой,
а компьютеры - двоичной?

Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления.

А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

  • для её реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток - нет тока, намагничен - не намагничен и т. п.), а не, например, с десятью, как в десятичной;

  • представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

  • возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

  • двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы - быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

5. Почему в компьютерах используются также восьмеричная
и шестнадцатеричная системы счисления?

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за её громоздкости и непривычной записи.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют, соответственно, в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 - соответственно, третья и четвёртая степени числа 2).

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четвёркой цифр).

Например:

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Например:

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика


6. Как перевести целое число из десятичной системы
в любую другую позиционную систему счисления?

При переводе целого десятичного числа в систему с основанием q его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q-1. Число в системе с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.

Пример: Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Ответ: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16.


7. Как перевести правильную десятичную дробь
в любую другую позиционную систему счисления?

При переводе правильной десятичной дроби в систему счисления с основанием q необходимо сначала саму дробь, а затем дробные части всех последующих произведений последовательно умножать на q, отделяя после каждого умножения целую часть произведения. Число в новой системе счисления записывается как последовательность полученных целых частей произведения.

Умножение производится до тех поp, пока дpобная часть пpоизведения не станет pавной нулю. Это значит, что сделан точный пеpевод. В пpотивном случае пеpевод осуществляется до заданной точности. Достаточно того количества цифp в pезультате, котоpое поместится в ячейку.

Пример: Перевести число 0,35 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Ответ: Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

8. Как пеpевести число из двоичной

(восьмеpичной, шестнадцатеpичной) системы в десятичную?

При переводе числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.

Примеpы:

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика


9. Сводная таблица переводов целых чисел
из одной системы счисления в другую

Рассмотрим только те системы счисления, которые применяются в компьютерах - десятичную, двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную.

Для определённости возьмём произвольное десятичное число, например 46, и для него выполним все возможные последовательные переводы из одной системы счисления в другую (табл. 1.2).

Таблица 1.2

Сводная таблица переводов целых чисел

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины ИнформатикаАвтор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика


Порядок переводов определим в соответствии с рисунком (рис. 1.1):

На этом рисунке использованы следующие обозначения:

  • в кружках записаны основания систем счисления;

  • стрелки указывают направление перевода;

  • номер рядом со стрелкой означает порядковый номер соответствующего примера в сводной таблице 1.2.

Например: 2

16

6

означает перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную, имеющий в таблице порядковый номер 6.

10

16

8

2

4

10

6

3

2

8



16

9

2

16

10

11

12

8

10

2

10

1

8

7

5



Рисунок 1

10. Как производятся арифметические операции
в позиционных системах счисления?

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны - это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

Сложение

Таблицы сложения легко составить, используя Правило счёта.

Таблица 1.3

Сложение в двоичной системе

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Таблица 1.4

Сложение в восьмеричной системе

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Таблица 1.5

Сложение в шестнадцатеричной системе

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Шестнадцатеричная: F16+616

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Ответ: 15 + 6 = 2110 = 101012 = 258 = 1516.

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
101012 = 24 + 22 + 20 = 16 + 4 + 1 =21;
258 = 2  81 + 5  80 = 16 + 5 = 21;
1516 = 1  161 + 5  160 = 16 + 5 = 21.

Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика


Шестнадцатеричная:

F16 + 716 + 316

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Ответ: 5 + 7 + 3 = 2510 = 110012 = 318 = 1916.

Проверка:
110012 = 24 + 23 + 20 = 16 + 8 + 1 = 25;
318 = 3  81 + 1  80 = 24 + 1 = 25;
1916 = 1  161 + 9  160 = 16 + 9 = 25.

Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика


Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика


Ответ: Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика .

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

11001001,012 = 27 + 26 + 23 + 20 + 2-2 = 201,25;

311,28 = 3  82 + 1  81 + 1  80 + 2  8-1 = 201,25;

C9,416 = 12  161 + 9  160 + 4  16-1 = 201,25.

Вычитание

Пример 4. Вычтем единицу из чисел 102, 108 и 1016.

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Пример 5. Вычтем единицу из чисел 1002, 1008 и 10016.

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика


Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Ответ: 201,2510 - 59,7510 = 141,510 = 10001101,12 = 215,48 = 8D,816.

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:

10001101,12 = 27 + 23 + 22 + 20 + 2-1 = 141,5;
215,48 = 2*82 + 1*81 + 5*80 + 4*8-1 = 141,5;
8D,816 = 8*161 + D*160 + 8*16-1 = 141,5.

Умножение

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Таблица 1.6

Умножение в двоичной системе

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Таблица 1.7

Умножение в восьмеричной системе

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Пример 7. Перемножим числа 5 и 6.

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика


Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Ответ: 5  6 = 3010 = 111102 = 368.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

11102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30;

368 = 3  81 + 6  80 = 30.


Пример 8. Перемножим числа 115 и 51.

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика


Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика


Ответ: 115  51 = 586510 = 10110111010012 = 133518.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865;

133518 = 1  84 + 3  83 + 3  82 + 5  81 + 1  80 = 5865.


Деление

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулём или единицей.

Пример 9. Разделим число 30 на число 6.

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Ответ: 30 : 6 = 510 = 1012 = 58.

Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.

Восьмеричная: 133518 :1638

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Ответ: 5865 : 115 = 5110 = 1100112 = 638.

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

1100112 = 25 + 24 + 21 + 20 = 51; 638 = 6  81 + 3  80 = 51.

Пример 11. Разделим число 35 на число 14.

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Восьмеричная: 438 : 168

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Ответ: 35 : 14 = 2,510 = 10,12 = 2,48.

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

10,12 = 21 + 2 -1 = 2,5;

2,48 = 2  80 + 4  8-1 = 2,5.


11. Как представляются в компьютере целые числа?

Целые числа могут представляться в компьютере со знаком или без знака.

Целые числа без знака обычно занимают в памяти один или два байта и принимают в однобайтовом формате значения от 000000002 до 111111112, а в двубайтовом формате - от 00000000 000000002 до 11111111 111111112.








Таблица 1.8

Диапазоны значений целых чисел без знака

Формат числа
в байтах

Диапазон

запись с порядком

обычная запись

1

0 ... 28-1

0 ... 255

2

0 ... 216-1

0 ... 65535

Примеры:

а) число 7210 = 10010002 в однобайтовом формате:

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

б) это же число в двубайтовом формате:

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

в) число 65535 в двубайтовом формате:

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Целые числа со знаком обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа. Знак "плюс" кодируется нулём, а "минус" - единицей.

Таблица 1.9

Диапазоны значений целых чисел со знаком

Формат числа
в байтах

Диапазон

запись с порядком

обычная запись

1

-27 ... 27-1

-128 ... 127

2

-215 ... 215-1

-32768 ... 32767

4

-231... 231-1

-2147483648 ... 2147483647

Рассмотрим особенности записи целых чисел со знаком на примере однобайтового формата, при котором для знака отводится один разряд, а для цифр абсолютной величины - семь разрядов.

В компьютерной технике применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код, обратный код, дополнительный код.

Последние две формы применяются особенно широко, так как позволяют упростить конструкцию арифметико-логического устройства компьютера путём замены разнообразных арифметических операций операцией cложения.

Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково - двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде. Например:

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика



Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение.

1. Прямой код. В знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа - двоичный код его абсолютной величины. Например:

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

2. Обратный код. Получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы - нулями. Например:

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

3. Дополнительный код. Получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду. Например:

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Обычно отрицательные десятичные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся, перемещаются и участвуют в операциях. При выводе таких чисел из машины происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа.

12. Как компьютер выполняет арифметические действия
над целыми числами?

Сложение и вычитание

В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо неё производится сложение уменьшаемого с обратным или дополнительным кодом вычитаемого. Это позволяет существенно упростить конструкцию АЛУ.

При сложении обратных кодов чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:

  1. А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. Например:

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Получен правильный результат.

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Получен правильный результат в обратном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются: 10000111 = - 710.

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

4. А и В отрицательные. Например:

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа -1110 вместо обратного кода числа -1010) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: 1 0001010 = -1010.

При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведённой для него области памяти. Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа. Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства. Ниже приведены два возможных случая переполнения.

5. А и В положительные, сумма А+В больше либо равна 2n-1, где n - количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата n = 8, 2n-1 = 27 = 128). Например:

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (16210 = 101000102), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых, что является свидетельством переполнения разрядной сетки.

6. А и В отрицательные, сумма абсолютных величин А и В больше либо равна 2n-1. Например:

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Здесь знак суммы тоже не совпадает со знаками слагаемых, что свидетельствует о переполнении разрядной сетки.

Все эти случаи имеют место и при сложении дополнительных кодов чисел:

1. А и В положительные. Здесь нет отличий от случая 1, рассмотренного для обратного кода.

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Получен правильный результат в дополнительном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица: 1 0000110 + 1 = 1 0000111 = -710.

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

4. А и В отрицательные. Например:

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Получен правильный результат в дополнительном коде. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов.

Сравнение рассмотренных форм кодирования целых чисел со знаком показывает:

  • на преобразование отрицательного числа в обратный код компьютер затрачивает меньше времени, чем на преобразование в дополнительный код, так как последнее состоит из двух шагов - образования обратного кода и прибавления единицы к его младшему разряду;

  • время выполнения сложения для дополнительных кодов чисел меньше, чем для их обратных кодов, потому что в таком сложении нет переноса единицы из знакового разряда в младший разряд результата.

Умножение и деление

Во многих компьютерах умножение производится как последовательность сложений и сдвигов. Для этого в АЛУ имеется регистр, называемый накапливающим сумматором, который до начала выполнения операции содержит число ноль. В процессе выполнения операции в нём поочередно размещаются множимое и результаты промежуточных сложений, а по завершении операции - окончательный результат.

Другой регистр АЛУ, участвующий в выполнении этой операции, вначале содержит множитель. Затем по мере выполнения сложений содержащееся в нём число уменьшается, пока не достигнет нулевого значения.

Для иллюстрации умножим 1100112 на 1011012.

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Деление для компьютера является трудной операцией. Обычно оно реализуется путём многократного прибавления к делимому дополнительного кода делителя.


13. Как представляются в компьютере вещественные числа?

Вещественными числами (в отличие от целых) в компьютерной технике называются числа, имеющие дробную часть.

При их написании вместо запятой принято писать точку. Так, например, число 5 - целое, а числа 5,1 и 5,0 - вещественные.

Для удобства отображения чисел, принимающих значения из достаточно широкого диапазона (то есть как очень маленьких, так и очень больших), используется форма записи чисел с порядком основания системы счисления. Например, десятичное число 1,25 можно в этой форме представить так:

1,25  100 = 0,125  101 = 0,0125  102 = ... ,

или так:

12,5  10-1 = 125,0  10-2 = 1250,0  10-3 = ... .

Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде N = M  qp, где M называется мантиссой числа, а p - порядком. Такой способ записи чисел называется представлением с плавающей точкой.

Если "плавающая" точка расположена в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов, отведённых под мантиссу, обеспечивается запись максимального количества значащих цифр числа, то есть максимальная точность представления числа в машине. Из этого следует: мантисса должна быть правильной дробью, первая цифра которой отлична от нуля: M из [0.1, 1).

Такое, наиболее выгодное для компьютера, представление вещественных чисел называется нормализованным.

Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание - в десятичной системе.

Примеры нормализованного представления:

Десятичная система Двоичная система

753,15 = 0,75315  103; -101,01 = -0,10101  211 (порядок 112 = 310);

-0,000034 = -0,34  10-4; -0,000011 = 0,11  2-100 (порядок -1002 = -410).

Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются по-разному. При этом компьютер обычно предоставляет программисту возможность выбора из нескольких числовых форматов наиболее подходящего для конкретной задачи - с использованием четырёх, шести, восьми или десяти байтов.

В качестве примера приведём характеристики форматов вещественных чисел, используемых IBM-совместимыми персональными компьютерами (табл. 1.10):



Таблица 1.10

Форматы
вещественных чисел

Размер в байтах

Примерный
диапазон
абсолютных
значений

Количество
значащих
десятичных цифр

Одинарный

4

10-45... 1038

7 или 8

Вещественный

6

10-39... 1038

11 или 12

Двойной

8

10-324... 10308

15 или 16

Расширенный

10

10-4932... 104932

19 или 20

Из этой таблицы видно, что форма представления чисел с плавающей точкой позволяет записывать числа с высокой точностью и из весьма широкого диапазона.

При хранении числа с плавающей точкой отводятся разряды для мантиссы, порядка, знака числа и знака порядка:

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Рисунок 2

  • чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа;

  • чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего отличного от нуля числа до наибольшего числа, представимого в машине при заданном формате.

Покажем на примерах, как записываются некоторые числа в нормализованном виде в четырёхбайтовом формате с семью разрядами для записи порядка.

1. Число 6,2510 = 110,012 = 0,11001  211:

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Рис. 1.3



2. Число -0,12510 = -0,0012 = -0,1  2-10 (отрицательный порядок записан в дополнительном коде):

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика

Рисунок 4

14. Как компьютер выполняет арифметические действия
над нормализованными числами?

К началу выполнения арифметического действия операнды операции помещаются в соответствующие регистры АЛУ.

Сложение и вычитание

При сложении и вычитании сначала производится подготовительная операция, называемая выравниванием порядков.

В процессе выравнивания порядков мантисса числа с меньшим порядком сдвигается в своём регистре вправо на количество разрядов, равное разности порядков операндов. После каждого сдвига порядок увеличивается на единицу.

В результате выравнивания порядков одноимённые разряды чисел оказываются расположенными в соответствующих разрядах обоих регистров, после чего мантиссы складываются или вычитаются.

В случае необходимости полученный результат нормализуется путём сдвига мантиссы результата влево. После каждого сдвига влево порядок результата уменьшается на единицу.

Пример 1. Сложить двоичные нормализованные числа 0,10111  2-1 и 0,11011  210. Разность порядков слагаемых здесь равна трём, поэтому перед сложением мантисса первого числа сдвигается на три разряда вправо:

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика



Пример 2. Выполнить вычитание двоичных нормализованных чисел 0,10101  210 и 0,11101  21. Разность порядков уменьшаемого и вычитаемого здесь равна единице, поэтому перед вычитанием мантисса второго числа сдвигается на один разряд вправо:

Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика



Результат получился ненормализованным, поэтому его мантисса сдвигается влево на два разряда с соответствующим уменьшением порядка на две единицы: 0,1101  20.

Умножение

При умножении двух нормализованных чисел их порядки складываются, а мантиссы перемножаются.

Пример 3. Выполнить умножение двоичных нормализованных чисел:
(0,11101  2101)  (0,1001  211) = (0,11101  0,1001)  2(101+11) = 0,100000101  21000.


Деление

При делении двух нормализованных чисел из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя. Затем в случае необходимости полученный результат нормализуется.

Пример 4. Выполнить деление двоичных нормализованных чисел:
0,1111  2100 : 0,101  211 = (0,1111 : 0,101)  2(100-11) = 1,1  21 = 0,11  210.

Использование представления чисел с плавающей точкой существенно усложняет схему арифметико-логического устройства.


© 2010-2022