Конспект урока по информатике на тему Законы и тождества алгебры логики (11 класс)

Тема урока: «Логические законы и правила преобразования (упрощения) логических выражений»

Тип урока:

1. закрепление пройденного материала (1-ый час)

2. усвоение новых знаний (2-ой час)

Цели урока:

1. закрепить навыки построения таблиц истинности;

2. изучить основные законы логики;

3. научиться преобразовывать логические выражения, используя логические законы.

План урока:

1. Организационный момент (1 мин)

2. Проверка домашнего задания (2 мин)

3. Актуализация опорных знаний (7мин)

4. Решение задач на построение таблиц истинности (25мин)

5. Изучение нового материала.(10 мин)

6. Решение задач на преобразование логических выражений(20 мин)

7. Подведение итогов урока(2мин)

8. Постановка домашнего задания(2 мин)

Ход урока:

Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Время

1.Организационный момент

Предварительная организация класса (проверка отсутствующих, внешнего состояния помещения, рабочих мест, организация внимания);

Здравствуйте! На сегодняшнем занятии мы продолжаем изучать основы алгебры логики. На первом часе мы повторим материал прошлого урока, ещё раз поупражняемся в построении таблиц истинности. А на втором часе перейдём к изучению новой темы.

3мин

2. Проверка домашнего задания

Проверить прошлое Д/З у тех кто не выполнил.

И также проверить Д/З прошлого урока.

Говорят, доказали или нет тождество в первом задании. А во втором задании называют логическое выра-жение которое они получили с помощью табли-цы истинности, сравнивают ответы.

5 мин

3. Актуализ-ация опорных знаний. (беседа)

-Задание на соответствие: Даны 2 столбца: «Определения» и «Понятия» Установите между ними соответствие.

(Слайд 2)

- Повторение алгоритма построения таблицы истинности:

Восстановить порядок построения таблицы истинности.

- Решим одну устную задачку:

Записать в символической форме (формализовать) и найти значения истинности следующего высказывания: "Не продается вдохновенье, но можно рукопись продать".

(Слайд 4)

устно отвечают на вопросы.

7мин

4. Решение задач на пост-роение таблиц истинности

Открываем тетради, пишем число и тему урока: «Решение задач на построение таблиц истинности»

(слайд 5)

На прошлом занятии мы решали задачи на вычисление истинности сложных высказываний, строили для этого таблицы истинности. Оказывается таблицы истинности применяются не только для такого типа задач.

Давайте запишем, для чего применяются таблицы истинности.

Таблицы истинности применяются для:

• вычисления истинности сложных высказываний

• установления эквивалентности высказываний

• определения тавтологии

(Слайд 6)

Пример1: (слайд 7) Установите истинность высказывания

Решение:

А

В

С

неВ

не(А v неВ)

не(А v неВ)&C

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

0

1

0

1

1

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

Высказывание истинно при А=0, В=1, С=1. Во всех остальных случаях оно ложно.

Пример2: Проверьте, эквивалентны ли два высказывания AvB&C и (AvB) & (AvC)

(Слайд 7)

Высказывания называются эквивалентными, если соответствующие значения каждого из них совпадают в таблице истинности.

Решение:

А

В

С

В&C

AvB&C

AvB

AvC

(AvB)&(AvC)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Сравниваем 5-ую и 8-ую колонки, убеждаемся, что все значения, получаемые по формуле AvB&C, совпадают со значениями, получаемые по формуле (AvB) & (AvC), т.е. высказывания эквивалентны (равносильны).

Эквивалентные высказывания соединяются знаком «=», т.е. AvB&C=(AvB) & (AvC)

Чем отличается эквивалентность от эквиваленции?

Эквиваленция - это логическая операция, позволяющая по двум заданным высказываниям А и В построить новое А↔В.

Эквивалентность же является отношением между двумя сложными высказываниями, состоящими в том, что их значения истинности всегда одни и те же.

(Слайд 8)

Пример3: Пусть дано высказывание , необходимо построить таблицу истинности.

(Слайд 9)

A

неA

A & неА

0

1

0

1

0

0

Рассмотрим высказывание В v

B

неB

B v неB

0

1

1

1

0

1

Что вы заметили?

Замечаем, что первое высказывание всегда принимает значение 0, при любых значениях переменных, а второе высказывание всегда будет истинным.

Так вот, запишите, что высказывания, истинность которых постоянна и не зависит от истинности входящих в них простых высказываний, а определяется только их структурой, называются тождественными или тавтологиями. (Слайд 10)

Различают тождественно-истинные и тождественно-ложные высказывания. (Слайд 10)

В формулах каждое тождественно-истинное высказывание заменяется 1, а тождественно-ложное - 0.

= 0

В v = 1

Пример4: Докажите тавтологию (X&Y)→(XvY)

Х

Y

X&Y

XvY

(X&Y)→(XvY)

0

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

(X&Y)→(XvY) = 1

записывают тему урока

основное записывают в тетрадь

Решают самостоятельно у доски.

Записывают в тетрадь и решают задачу.

Записывают в тетрадь после решения задачи.

Строят самостоятельно в тетрадях таблицы истинности.

Делают выводы.

Решают самостоятельно у доски.

25 мин

5. Изучение нового материала.

Записываем тему урока: «Логические законы и правила преобразования (упрощения) логических выражений». (Слайд 11)

В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные (тождественные) преобразования логических выражений.

Равносильности формул логики высказываний часто называют законами логики. Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств. Нарушения этих законов приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям.

Перечислим наиболее важные законы логики:

(слайд 12)

Закон

Для конъюнкции «И»

Для дизъюнкции «ИЛИ»

тождества

А=А

двойного отрицания

=А

исключение третьего

коммутативности

ассоциативности

дистрибутивности

законы де Моргана

поглощения

операции с константами

A&1=A

A&0=0

AV0=A

AV1=1

склеивания

=B

=B

1-й закон сформулирован древнегреческим философом Аристотелем. Закон тождества утверждает, что мысль, заключенная в некотором высказывании, остается неизменной на протяжении всего рассуждения, в котором это высказывание фигурирует.

Закон противоречия говорит о том, что никакое предложение не может быть истинно одновременно со своим отрицанием. "Это яблоко спелое" и "Это яблоко не спелое".

Закон исключенного третьего говорит о том, что для каждого высказывания имеются лишь две возможности: это высказывание либо истинно либо ложно. Третьего не дано. "Сегодня я получу 5 либо не получу". Истинно либо суждение, либо его отрицание.

Закон двойного отрицания. Отрицать отрицание какого-нибудь высказывания - то же, что утверждать это высказывание.

" Неверно, что 2*2<>4"

Законы идемпотентности. В алгебре логики нет показателей степеней и коэффициентов. Конъюнкция одинаковых "сомножителей" равносильна одному из них.

Законы коммутативности и ассоциативности. Конъюнкция и дизъюнкция аналогичны одноименным знакам умножения и сложения чисел.

В отличие от сложения и умножения чисел логическое сложение и умножение равноправны по отношению к дистрибутивности: не только конъюнкция дистрибутивна относительно дизъюнкции, но и дизъюнкция дистрибутивна относительно конъюнкции.

Смысл законов де Моргана (Август де Морган (1806-1871) - шотландский математик и логик) можно выразить в кратких словесных формулировках:

- отрицание логического произведения эквивалентно логической сумме отрицаний множителей.- отрицание логической суммы эквивалентно логическому произведению отрицаний слагаемых.

Записывают тему урока.

Таблицу ученики получают на листочках готовую.

6.решение задач.

Пример 1. Упростить формулу (А+В)· (А+С)

Решение.

1. Раскроем скобки ( A + B ) * ( A + C )A * A + A * C + B * A + B * C

2. По закону идемпотентности A*AA , следовательно, A*A + A*C + B*A + B*CA + A*C + B*A + B*C

3. В высказываниях А и А*C вынесем за скобки А и используя свойство А+11, получим А+А*С+ B*A + B*CA*( 1 + С) + B*A + B*СA + B*A + B*С

4. Аналогично пункту 3. вынесем за скобки высказывание А.
   A + B*A + B*СA ( 1 + B ) + B СA + B*С
   Таким образом, мы доказали закон дистрибутивности.

Пример 2. Упростить выражение А+ A*B

Решение. A+A*BA ( 1 + B )A - поглощение

Пример 3. Упростить выражение A*B+A*

Решение. A*B + A* A ( B + )A - склеивание

Пример 4. Преобразовать формулу так, чтобы не было отрицаний сложных высказываний.

Решение.

1. Воспользуемся формулой де Моргана, получим:

2. Для выражения применим еще раз формулу де Моргана, получим:
   

Пример 5. Преобразовать формулу так, чтобы в ней не использовались знаки логического сложения.

Решение. Воспользуемся законом двойного отрицания, а затем формулой де Моргана.

Пример 6. Преобразовать формулутак, чтобы в ней не использовались знаки логического умножения.

Решение. Используя формулы де Моргана и закон двойного отрицания получим:

До сих пор мы занимались равносильными преобразованиями формул, не содержащих знаков импликации и эквиваленции " " и " ". Сейчас покажем, что всякую формулу, содержащую или , можно заменить равносильной ей формулой, не содержащей этих знаков.

Имеют место следующие равносильности:

XYY (1)
XY(2)

XY(XY)*(XY) (3)
Из (3) и (1) получаем
XY(Y)*( X)*Y**XX*Y= *X*Y (4)

Эта равносильность выражает эквиваленцию через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. Из равносильностей (3) и (2) получаем равносильность

XY= U , (5) выражающую эквиваленцию через конъюнкцию и отрицание.

Вывод: В алгебре логики всякую логическую функцию можно выразить через другие логические функции, но их должно быть по меньшей мере 2 операции, при этом одной из них обязательно должно быть отрицание.

Все операции можно выразить через конъюнкцию и отрицание, дизъюнкцию и отрицание, импликацию и отрицание. Через эквиваленцию и отрицание остальные операции выразить нельзя.

Пример 7. Упростить:

7.домашнее задание.

1. Формулы данных высказываний преобразовать в эквивалентные, исключив логическое сложение:

;

;

.

2. Формулы данных высказываний преобразовать в эквивалентные, исключить логическое умножение.

;

;

.

3. Упростить:

;

Записывают Д/З в дневниках(основные определения+таблица+3 задачи)

Закон

Для конъюнкции «И»

Для дизъюнкции «ИЛИ»

тождества

А=А

двойного отрицания

=А

исключение третьего

коммутативности

ассоциативности

дистрибутивности

законы де Моргана

поглощения

операции с константами

A&1=A

A&0=0

AV0=A

AV1=1

склеивания

=B

=B