Изучение машины Поста в школьном курсе информатики

Одним из центральных понятий информатики является понятие алгоритма. В 1936 году американский математик и логик Эмиль Леон Пост (1897-1954) предложил абстрактную вычислительную конструкцию, позволяющую формально определить алгоритм и названную впоследствии машиной Поста. При разработке вычислительной конструкции Пост руководствовался принципом создания максимально простой абстракции: минимумом операций при обработке информации, входная информация должна быть закодирована с использованием минимального набора символов.

Несмотря на "примитивность" машины Поста, любой существующий алгоритм может быть записан в виде программы для машины Поста. В теории алгоритмов существует так называемый "тезис Поста": "Всякий алгоритм представим в форме машины Поста". Этот тезис одновременно является формальным определением алгоритма. Алгоритм (по Посту) - программа для машины Поста, приводящая к решению поставленной задачи.

Тезис Поста является гипотезой. Его невозможно строго доказать (так же, как и тезис Тьюринга), потому что в нем фигурируют, с одной стороны, интуитивное понятие "всякий алгоритм", а с другой стороны - точное понятие "машина Поста". Для того чтобы опровергнуть гипотезу Поста, необходимо придумать алгоритм, который невозможно записать в виде программы для машины Поста. На сегодняшний день такого алгоритма не существует.

Машина Поста - это абстрактная (т.е. не существующая в арсенале действующей техники), но очень простая вычислительная машина. Она способна выполнять лишь самые элементарные действия, и потому ее описание и составление простейших программ может быть доступно ученикам начальной школы. Тем не менее на машине Поста можно запрограммировать - в известном смысле - любые алгоритмы. Изучение машины Поста можно рассматривать как начальный этап обучения теории алгоритмов и программированию. Разработка программ для машин Поста - достаточно эффективный этап в обучении алгоритмизации, т.к. в процессе написания этих программ учащиеся учатся разбивать интуитивно понятные вычислительные процедуры на элементарные действия. Изучение машины Поста полезно как школьникам, интересующимся информатикой и математикой, так и студентам младших курсов, обучающимся по специальности "прикладная математика и информатика". При этом теоретический материал доступен даже школьникам младших классов, но требует в этом случае некоторых методических поправок.

Теоретическая часть. Состав машины Поста

Машина Поста состоит из ленты и каретки (называемой также считывающей и записывающей головкой). Лента бесконечна и разделена на секции одинакового размера - ячейки.

Рис. 1. В каждый момент времени каретка указывает на одну из ячеек

В каждой ячейке ленты может быть либо ничего не записано, либо стоять метка V. Информация о том, какие ячейки пусты, а какие содержат метки, образует состояние ленты. Иными словами, состояние ленты - это распределение меток по ячейкам. Состояние ленты меняется в процессе работы машины. Заметим, что наличие метки в ячейке можно интерпретировать как "1", а отсутствие - "0". Такое двоичное представление информации подобно представлению, используемому практически во всех современных ЭВМ.

Каретка может передвигаться вдоль ленты влево и вправо. Когда она неподвижна, она стоит против ровно одной ячейки ленты; говорят, что каретка обозревает одну ячейку. За единицу времени каретка может совершить одно из трех действий: стереть метку, поставить метку, совершить движение на соседнюю ячейку. Состояние машины Поста складывается из состояния ленты и положения каретки.

Действия каретки подчинены программе, состоящей из перенумерованного набора команд (команды можно представлять как строки программы). Команды бывают шести типов:

1. записать 1 (метку), перейти к i-й строке программы;

2. записать 0 (стереть метку), перейти к i-й строке программы;

3. сдвиг влево, перейти к i-й строке программы;

4. сдвиг вправо, перейти к i-й строке программы;

5. останов;

6. если 0, то перейти к i, иначе перейти к j.

Приведем список недопустимых действий, ведущих к аварийной остановке машины:

• попытка записать 1 (метку) в заполненную ячейку;

• попытка стереть метку в пустой ячейке;

• бесконечное выполнение (вообще говоря, это трудно назвать аварийным остановом, но бессмысленное повторение одних и тех же действий - зацикливание - ничуть не лучше вышеперечисленного).

Машина Поста, несмотря на внешнюю простоту, может производить различные вычисления, для чего надо задать начальное состояние каретки и программу, которая эти вычисления сделает. Машиной эта математическая конструкция названа потому, что при ее построении используются некоторые понятия реальных машин (ячейка памяти, команда и др.). Условимся каждый шаг программы обозначать номером. Команды машины будем обозначать следующим образом:

Будем говорить, что мы можем применить программу к текущему состоянию машины Поста, если выполнение программы не приведет к зацикливанию, т.е. рано или поздно мы выполним команду останов.

Пример программы, которая не применима ни к одному состоянию машины Поста:

Рассмотрим задачу для машины Поста и ее решение.

Задача. На ленте проставлена метка в одной-единственной ячейке. Каретка стоит на некотором расстоянии левее этой ячейки. Необходимо подвести каретку к ячейке, стереть метку и остановить каретку слева от этой ячейки.

Решение. Сначала попробуем описать алгоритм обычным языком. Поскольку нам известно, что каретка стоит напротив пустой ячейки, но неизвестно, сколько шагов нужно совершить до пустой ячейки, мы можем сразу сделать шаг вправо; проверить, заполнена ли ячейка; если она пустая, то повторять эти действия до тех пор, пока не наткнемся на заполненную ячейку. Как только мы ее найдем, мы выполним операцию стирания, после чего нужно будет лишь сместить каретку влево и остановить выполнение программы.

Программа для машины Поста:

Начинать знакомство с машиной Поста рекомендуется с первой темы "Применимость программ. Определение результата выполнения программ".

Пояснения к условиям задач

1) В задачах под массивом понимается последовательность подряд идущих меток, ограниченная пустыми ячейками.

2) Если в задаче говорится, что на ленте задано число в унарной системе, то имеется в виду, что натуральное число n закодировано с помощью массива длины n.

3) В задачах при описании начального состояния ленты будем указывать то, что записано начиная с самой левой непустой ячейки и заканчивая самой правой непустой ячейкой. При этом будем использовать следующие обозначения: n подряд идущих меток будем обозначать 1n, а m пустых ячеек - 0m. При обозначении одной заполненной или пустой ячейки будем писать просто 1 или 0, соответственно.

К примеру, запись "12012" будет соответствовать записи "11011" на ленте.

4) Если не сказано ничего о местонахождении каретки в начальный момент времени, то будем считать, что каретка обозревает ячейку с самой левой меткой.

1. Применимость программ. Определение результата выполнения программ

1. Выяснить, применимы ли программы к заданным состояниям машины Поста, указать результат работы машины Поста для каждого состояния.

Ответы:

a) 1) 1110011000

2) зацикливание

3) 1001011000

b) 1) зацикливание

2) 010011

3) 01010110

c) 1) зацикливание (…111)

2) зацикливание (…1111001)

3) зацикливание (1010111…)

2. Определить состояние, в котором окажется машина Поста в результате выполнения программы при заданном начальном состоянии ленты.

Пояснение: выделенная цифра, например 1, означает, что эту ячейку каретка обозревает в начальный момент времени.

Решение. Выделенная цифра показывает, на какой ячейке остановится машина.

a) 1) 110000001

2) 11000001

b) 1) 1100101

2) 10001

3) 111111

3. Написать программы для машины Поста, которые обладают следующими свойствами:

• программа применима к любому состоянию машины Поста;

• программа не применима ни к какому состоянию машины Поста, и зона работы для любого начального состояния - бесконечная;

• программа не применима ни к какому состоянию машины Поста, и зона работы для любого начального состояния ограничена одним и тем же числом ячеек, не зависящим от выбранного начального состояния ленты;

• программа применима к состояниям 1³ⁿ (n 1) и не применима к состояниям 1^3n+a, где a = 1, 2 и n 1;

• программа применима к состояниям 1^a01^a, где a 1, и не применима к 1^a01^b, a b (a и b1).

Решение

• программа, применимая к любому состоянию машины Поста:

! 1

• программа, не применимая ни к какому состоянию машины Поста, и зона работы для любого начального состояния бесконечна:

-> 1

• машина, не применимая ни к какому состоянию машины Поста, и зона работы для любого начального состояния ограничена одним и тем же числом ячеек, не зависящим от выбранного начального состояния ленты:

1. -> 2

2. <- 1

• программа, применимая к состояниям 1³ⁿ, и не применимая к состояниям 1^3n+a, где a = 1, 2 и n 1:

• программа применима к состояниям 1^a01^a, где a 1, и не применима к 1^a01^b, a b (a 1 и b 1):

в качестве примера такой программы может быть взята программа, удаляющая последовательно по одному элементу из каждого из двух массивов меток и уходящая на бесконечность в случае, если остались элементы в одном из массивов.

2. Арифметические задачи

Программы для решения всех задач этого раздела могут быть интерпретированы как выполнение элементарных арифметических операций. Важно показать, как с помощью простейших операций, которыми располагает машина Поста, можно выполнять арифметические операции - основу любого современного процессора.

4. На ленте задан массив меток. Увеличить длину массива на 2 метки. Каретка находится либо слева от массива, либо над одной из ячеек самого массива.

Решение.

1. ? 2; 3 (команды 1 и 2 - передвигаем каретку к массиву)

2. -> 1

3. -> 4 (команды 3 и 4 - передвигаем каретку к концу массива)

4. ? 5; 3

5. V 6 (команды 5-7 - ставим 2 метки в конце массива)

6. -> 7

7. V 8

8. !

5. Даны два массива меток, которые находятся на некотором расстоянии друг от друга. Требуется соединить их в один массив. Каретка находится над крайней левой меткой первого массива.

Решение.