Исследовательская работа Числа Фибоначчи

МОУ Таловская СОШ

Выполнили учащиеся 9 «в» класса

Руководитель Данкова Валентина Анатольевна

2015 год

Последовательность чисел Фибоначчи

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

ФИБОНАЧЧИ (Леонардо из Пизы)
Fibonacci (Leonardo of Pisa), ок. 1175-1250

Итальянский математик. Родился в Пизе, стал первым великим математиком Европы позднего Средневековья. В математику его привела практическая потребности установить деловые контакты. Он издавал свои книги по арифметике, алгебре и другим математическим дисциплинам. От мусульманских математиков он узнал о системе цифр, придуманной в Индии и уже принятой в арабском мире, и уверился в ее превосходстве (эти цифры были предшественниками современных арабских цифр).

Итальянский купец Леонардо из Пизы(1180-1240), более известный под прозвищем Фибоначчи был, безусловно, самым значительным математиком средневековья. Роль его книг в развитии математики и распространении в Европе математических знаний трудно переоценить.

В век Фибоначчи возрождение было еще далеко, однако история даровала Италии краткий промежуток времени, который вполне можно было назвать репетицией надвигающейся эпохи Ренессанса. Этой репетицией руководил Фридрих II, император(с 1220 года) Священной Римской империи. Воспитанный в традициях южной Италии Фридрих II был внутренне глубоко далек от европейского христианского рыцарства.

Столь любимые его дедом рыцарские турниры Фридрих II совсем не признавал. Вместо этого он культивировал гораздо менее кровавые математические соревнования, на которых противники обменивались не ударами, а задачами.

На таких турнирах и заблистал талант Леонардо Фибоначчи. Этому способствовало хорошее образование, которое дал сыну купец Боначчи, взявший его с собой на Восток и приставивший к нему арабских учителей.

Покровительство Фридриха и стимулировало выпуск научных трактатов Фибоначчи:

Покровительство Фридриха и стимулировало выпуск научных трактатов Фибоначчи:

Книга абака (Liber Abaci), написанная в 1202 году, но дошедшая до нас во втором своем варианте, который относится к 1228 г.

Практики геометрии"( 1220г.)

Книга квадратов(1225г.)

По этим книгам, превосходящим по своему уровню арабские и средневековые европейские сочинения, учили математику чуть ли не до времен Декарта( XVII в.).

Как указано в документах 1240 года, восхищенные граждане Пизы говорили, что он был "рассудительный и эрудированный человек", а не так давно Жозеф Гиз (Joseph Gies), главный редактор Британской Энциклопедии заявил, что будущие ученые во все времена "будут отдавать свой долг Леонардо Пизанскому, как одному из величайших интеллектуальных первопроходцев мира". Его работы после долгих лет только сейчас переводятся с латинского языка на английский. Для тех, кто интересуется - книга, названная Ленардо Пизанский и новая математика Средних веков Жозефа и Франца Гиз (Joseph and Frances Gies) является прекрасным трактатом по веку Фибоначчи и его работам.

Наибольший интерес представляет для нас сочинение "Kнига абака" ("Liber Abaci"). Эта книга представляет собой объемный труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший значительную роль в развитии математики в Западной Европе в течении нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими (арабскими) цифрами.

В "Liber Abaci" Фибоначчи приводит свою последовательность чисел как решение математической задачи - нахождение формулы размножения кроликов. Числовая последовательность такова: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 (далее до бесконечности).

На стр. 123- 124 данной рукописи, Фибоначчи поместил следующую задачу: "Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет др. пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения."

На рисунке отрезок АВ разделен точкой С так, что АС : АВ = СВ : АС.

что составляет приблизительно 1,618... Таким образом, отношение большей части отрезка к меньшей и всей длины отрезка к большей его части (Ф) равно приблизительно 1,618... Обратная величина - отношение меньшей части отрезка к большей и большей части к всему отрезку - составляет примерно 0,618... Этот факт заложен в самом уравнении для числа Ф (**).

Если разделить любой отрезок на две части так, чтобы отношение большей части отрезка к целому было равно отношению меньшей части к большей, получим сечение, которое называют золотым.

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.). На рисунках виден целый ряд закономерностей, связанных с золотым сечением. Пропорции здания можно выразить через различные степени числа Ф=0,618...

На плане пола Парфенона также можно заметить "золотые прямоугольники":

Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании собора Парижской Богоматери (Нотрдам де Пари)

Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Переходя к примерам "золотого сечения" в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Посмотрим внимательно на картину "Джоконда". Композиция портрета построена на"золотых треугольниках".

ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ - числовая последовательность, где каждый последующий член

ряда равен сумме двух предыдущих, то есть: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,

55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711,

28657, 46368,.. 75025,.. 3478759200, 5628750625,.. 260993908980000,..

422297015649625,.. 19581068021641812000,.. Изучением сложных и удивительных свойств чисел ряда Фибоначчи занимались самые различные профессиональные ученые и любители математики.

В 1997 году несколько странных особенностей ряда описал исследователь

Владимир МИХАЙЛОВ. [Компьютерный вестник РИА-Новости "Терра-Инкогнита" ]

32(209) от 08.08.1997]. Михайлов убежден, что Природа (в том числе и

Человек) развивается по законам, которые заложены в этой числовой

последовательности. В сосновой шишке, если посмотреть на нее со стороны

черенка, можно обнаружить две спирали, одна закручена против другая по

часовой стрелке. Число этих спиралей 8 и 13.

В подсолнухах встречаются пары спиралей: 13 и 21, 21 и 34, 34 и 55, 55 и 89. И отклонений от этих пар не бывает!..

Приглядимся внимательно к побегу цикория . Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции - длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. Можно заметить золотые пропорции, если внимательно посмотреть на яйцо птицы.

У Человека в наборе хромосом соматической клетки (их 23 пары), источником наследственных болезней являются 8, 13 и 21 пары хромосом...Возможно, все это свидетельствует о том, что ряд чисел Фибоначчи представляет собой некий зашифрованный закон природы.

Из истории астрономии известно, что И.Тициус, немецкий астроном XVIII в., с помощью этого ряда нашел закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы.
Однако один случай, который, казалось бы, противоречил закону: между Марсом и Юпитером не было планеты. Cосредоточенное наблюдение за этим участком неба привело к открытию пояса астероидов. Произошло это после смерти Тициуса в начале XIX в. Pяд Фибоначчи используют широко: с его помощью представляют архитектонику и живых существ, и рукотворных сооружений, и строение Галактик. Эти факты - свидетельства независимости числового ряда от условий его проявления, что является одним из признаков его универсальности.

Ральф Hельсон Эллиотт будучи простым инженером. После сеpьезной болезни в начале 1930-х г.г. занялся анализом биржевых цен. Направляя все свое внимание на изучение поведения фондового рынка. Это интересовало и интересует многих. Исследуя особенности ценовых моделей, После ряда успешных предсказаний он пришел к выводу о том что "Любой человеческой деятельности присущи три отличительных особенности: форма, время и отношение, - и все они подчиняются суммарной последовательности Фибоначчи".

Ральф Нельсон Эллиотт

Согласно исследования историков можно утверждать : хронология и периодизация, исторического развития с помощью ряда Фибоначчи разделена на 18 временных ступеней, имеющих планетарный характер. События, хронология которых оказывается за пределами ряда, имеют региональный характер, т.е местный, подвижные границы. Хронологические границы археологических эпох и периодов, найденные с помощью ряда Фибоначчи, жесткие. В них нет соглашения: они либо приемлемы, либо - нет. Это потому, что в основе такого выбора лежит научное мировоззрение, которое всегда строго определенно.

Исследование свойств

МОУ Таловская СОШ

Конспект интегрированного урока

по информатике и математике

Подготовил учитель

информатики и математики

Данкова Валентина Анатольевна

2009 год

Ход урока:

1. Орг.момент.

Приветствие. Определение отсутствующих. Проверка готовности учащихся к уроку.

2. Итоги исследовательской работы

Учитель: Запишем тему урока в тетрадь: "Последовательность чисел Фибоначчи".

А кто он был этот человек? Ученый ? Писатель? Математик? Почему последовательность чисел, носящая название «числа Фибоначчи до сих пор не дает покоя ученым, философам и даже нам с вами?

Готовясь к сегодняшнему уроку, вы кроме решения задач провели исследовательскую работу. И я думаю, что вам не составит особого труда ответить на вопрос: Что особенного в числах Фибоначчи и почему их связывают с золотым сечением, и что общего между этими числами и природой? Какое отношение данная последовательность имеет к нашей истории?

Прошу вас изложить суть вашего исследования и кратко записать в тетрадь особенности чисел Фибоначчи. …

Демонстрируется презентация, сопровождающая рассказом учащихся.

• Историческая справка жизни Фибоначчи.

• Числа Фибоначчи в природе

• Числа Фибоначчи в живописи, архитектуре.

• Математическая основа чисел Фибоначчи

Подводя итог сказанному, ответьте где проявила себя данная последовательность?

С какими науками она связана?

В каких областях человеческого познания она себя проявила?

О чем это свидетельствует?

Эти факты - свидетельства независимости числового ряда от условий его проявления, что является одним из признаков его универсальности.

Проведя исследование данной темы какие особенности данной последовательности вы заметили?

Все ли числа, записанные на доске четные ? на каких местах они стоят?

Но можно ли утверждать, что на 27 месте тоже будет стоять четное число, а на 28 не четное

Что можно сказать о числах 5 и 8 они какие? А 13 и 21? А если взять числа стоящие на 37 и 38 месте?

Каждое пятнадцатое число оканчивается нулем

Итак, нам сегодня на уроке предстоит провести исследование некоторых свойств чисел

• каждое третье число Фибоначчи четное,

• каждое пятнадцатое оканчивается нулем,

• два соседних числа Фибоначчи взаимно просты и др.

Нам с вами очевидны только первое и третье свойство для первых 12 чисел Фибоначчи, второе свойство нам необходимо выяснить экспериментальным путем. Вы сейчас в своих тетрадях составите программы утверждающие данные свойства или наоборот отрицающие их. Т.е мы с вами проведем исследование данных свойств чисел Фибоначчи с помощью языка программирования ПАСКАЛЯ. (Первая группа работает за компьютерами, вторая группа работает в тетрадях, один ученик за учительским компьютером осуществляет набор данной программы.) . По окончании работы, осуществляется само-проверка.

Задание для первой группы

№1. Заполнить массив A(N) элементами последовательности Фибоначчи. Проверим четность каждого числа стоящего на местах кратных 3.

Задание для второй группы

№1. Заполнить массив A(N) элементами последовательности Фибоначчи. Проверить являются ли рядом стоящие числа Фибоначчи простыми

• Домашнее задание

• №1. Заполнить массив A(N) элементами последовательности Фибоначчи. Проверить будет ли каждое пятнадцатое число из последовательности оканчиваться нулем,

Итог урока: Готовясь к сегодняшнему уроку, я тоже нашла интересные сведения о последовательности чисел Фибоначчи с которыми я хочу поделиться с вами.

Согласно исследования историков можно утверждать : хронология и периодизация, исторического развития с помощью ряда Фибоначчи разделена на 18 временных ступеней, имеющих планетарный характер. События, хронология которых оказывается за пределами ряда, имеют региональный характер, т.е местный, подвижные границы. Хронологические границы археологических эпох и периодов, найденные с помощью ряда Фибоначчи, жесткие. В них нет соглашения: они либо приемлемы, либо - нет. Это потому, что в основе такого выбора лежит научное мировоззрение, которое всегда строго определенно.

Ральф Hельсон Эллиотт будучи простым инженером. После сеpьезной болезни в начале 1930-х г.г. занялся анализом биржевых цен. Направляя все свое внимание на изучение поведения фондового рынка. Это интересовало и интересует многих. Исследуя особенности ценовых моделей, После ряда успешных предсказаний он пришел к выводу о том что "Любой человеческой деятельности присущи три отличительных особенности: форма, время и отношение, и все они подчиняются суммарной последовательности Фибоначчи".

Анализ урока

Тип урока: интегрированный (математика и информатика)

Вид урока: Исследовательская работа.

Цели урока.

Образовательные:

• Создать условия для понимания термина "Последовательность чисел Фибоначчи";

• Способствовать применению последовательности этих чисел при решении задач на заполнение и обработку одномерных массивов;

• Помочь в отработке имеющихся знаний по темам "Массив", "Заполнение элементов массива при помощи формул" и навыков работы в среде ПАСКАЛЬ;

• Способствовать осуществлению межпредметных связей на уроке информатики.

• Развивать исследовательскую работу на уроке информатики.

Развивающие:

• Содействовать развитию познавательного интереса и творческой активности учащихся;

• Способствовать развитию логического мышления и умения моделировать задачу.

Воспитательные:

• Способствовать формированию познавательного интереса как компонента учебной мотивации;

• Способствовать повышению у учащихся интереса к историческим событиям, связанным с числами последовательности Фибоначчи;

• Способствовать развитию навыков сознательного и рационального использования ЭВМ в своей учебной, а затем профессиональной деятельности.

Методы и приемы обучения: объяснительно-иллюстративный; частично-поисковый; словесный (фронтальная беседа); наглядный (демонстрация компьютерной презентации); практический, метод исследования.

Средства обучения: авторская мультимедиа презентация интегрированная с программой ПАСКАЛЬ; технические (ЭВМ, мультимедиа проектор с экраном), доска, маркер. Компьютерное программное обеспечение: программы PowerPoint и ПАСКАЛЬ.

1. Каждый третий четный

program n1;

var i,w,f,k: longint;

a:array [1..10000]of integer;

begin

a[1]:=1; a[2]:=1;

for i:=3 to 40 do

a[i]:=a[i-1]+a[i-2];

for i:=1 to 40 do

write(a[i],' ');

for i:=1 to 40 do begin

if (a[i] mod 2<>0)and (i mod 3=0) then begin w:=1; k:=i; end;

if (a[i] mod 2=0) and ( i mod 3<>0) then f:=1;

end; writeln;

if w=0 then writeln ('каждый третий четный')else writeln (k);

if f=0 then writeln (' если инденс не кратен 3 то число нечетное');

readln;

end.

2. Каждый пятнадцатый оканчивается нулем

program n2;

var i,w,f,k: longint;

a:array [1..10000]of integer;

begin

a[1]:=1; a[2]:=1;

for i:=3 to 40 do

a[i]:=a[i-1]+a[i-2];

for i:=1 to 40 do

write(a[i],' ');

for i:=1 to 40 do begin

if (a[i] mod 10<>0)and (i mod 15=0) then begin w:=1; k:=i; end;

if (a[i] mod 10=0) and ( i mod 15<>0) then f:=1;

end; writeln;

if w=0 then writeln (' только пятнадцатый оканчивается нулем')else writeln (k);

if f=0 then writeln (' каждый пятнадцатый оканчивается нулем');

readln;

end.

3. Соседние элементы взаимно просты.

program n3;

var x,y,i,w,f,k: longint;

a:array [1..10000]of integer;

begin

a[1]:=1; a[2]:=1;

for i:=3 to 40 do

a[i]:=a[i-1]+a[i-2];

for i:=1 to 40 do

write(a[i],' ');

for i:=2 to 40 do begin

x:=a[i]; y:=a[i+1];

repeat

if x>y then x:=x mod y else y:=y mod x;

until (x=0) or (y=0);

if x+y<>1 then f:=1;

end; writeln;

if f=0 then writeln (' соседние элементы взаимно просты');

readln;

end.

4. Вывести все числа Фибоначчи не превышающие 50.

program n4;

var i,w,f,k,l: longint;

a:array [1..10000]of longint;

begin

a[1]:=1; a[2]:=1; i:=3;

While a[i]<50 do begin

a[i]:=a[i-1]+a[i-2];

i:=i+1;

end;

l:= i-1;

for i:=1 to l do

write(a[i],' ');

readln;

end.

Задачи по теме:

«Последовательность чисел Фибоначчи».

1. Заполнить массив A(N) элементами последовательности Фибоначчи.

2. Заполнить массив A(N) так: первые K элементов заполнить элементами последовательности Фибоначчи, остальным - присвоить число m.

3. Заполнить массив A элементами последовательности Фибоначчи до тех пор, пока элемент массива A не станет больше 50. Вывести получившийся массив.

4. Заполнить массив A элементами последовательности Фибоначчи до тех пор, пока элемент массива A не станет больше числа M. Вывести получившийся массив.

5. Заполнить одномерный массив A(N) элементами последовательности Фибоначчи. Найти сумму первых K элементов, а для других найти произведение.

6. Заполнить массив A(N) элементами последовательности Фибоначчи. Найти сумму и произведение последних K элементов.

7. Заполнить массив A элементами последовательности Фибоначчи до тех пор, пока сумма элементов массива A не станет больше числа M. Вывести получившийся массив.

8. Дана последовательность Фибоначчи A(N). Что больше: сумма четных или произведение нечетных элементов и насколько.

9. Дана последовательность натуральных чисел a₁,a₂,…a_n. Вычислить сумму тех элементов, порядковые номера которых являются числами последовательности Фибоначчи.

10. Напечатать те элементы массива A(N), индексы которых являются четными числами последовательности Фибоначчи.

11. Найти сумму элементов массива A(N) индексы которых являются полными квадратами (1,4,9,16,25,36,…). Найти произведение элементов массива A(N), индексами которых являются нечетные числа последовательности Фибоначчи.

12. Дан ряд натуральных чисел a₁,a₂,…a_n. Вывести все элементы этого ряда, равные четным числам Фибоначчи.

13. Дан вещественный массив A(N). Найти сумму тех элементов массива A, которые равны четным числам Фибоначчи. Найти произведение элементов, равных нечетным числам Фибоначчи. (Учесть, что массив A может содержать любые числа).

МОУ Таловская СОШ

Подготовил учитель

информатики и математики

Данкова Валентина Анатольевна

2009 год

В Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года поставлена важная задача: подготовить подрастающее поколение к жизни в быстро меняющемся информационном обществе, в мире, в котором сильно ускоряется процесс появления новых знаний, постоянно возникает потребность в новых профессиях, в непрерывном повышении квалификации. И ключевую роль в решении этих задач играет владение современным человеком информационными и коммуникационными технологиями.

Любому обществу нужны одаренные люди, и задача общества состоит в том, чтобы рассмотреть и развить способности всех его представителей. К сожалению, далеко не каждый человек способен реализовывать свои способности. Поэтому так важно именно в школе выявить всех тех, кто интересуется различными областями науки и техники, помочь претворить в жизнь их планы и мечты, вывести школьников на дорогу поиска в науке, помочь наиболее полно раскрыть свои способности. Пожалуй, главная задача школы - дать ученику возможность развить свой интеллект в самостоятельной творческой деятельности, с учетом индивидуальных возможностей и склонностей. И одним из таких видов учебной деятельности учащихся, используемых автором, является метод проектов, ведение исследовательской деятельности.

Все мы понимаем, что современный человек должен многое уметь для того, чтобы быть успешным в различных областях своей жизни. Важными требованиями к нему, предъявляемыми современным обществом, являются:

• умение работать в команде;

• умение самостоятельно добывать, обрабатывать, классифицировать информацию и оформлять добытые сведения, в том числе с использованием компьютерной техники;

• умение выполнять исследовательскую работу;

• гибкость поведения, умение выступать в различных социальных ролях;

• развитые коммуникационные навыки.

В процессе проектирования изменяется тип отношений, повышается уровень ответственности и компетентности как ученика, так и учителя, происходит интеграция образования и воспитания. Проектная и исследовательская деятельность сама по себе характерна для сферы использования информационных технологий, т.е для уроков информатики. Поэтому метод учебных проектов и исследовательская работа вносят немалый вклад в профессиональное самоопределение школьника. Кроме того, эта работа связана с работой в коллективе и способствует развитию таких важных качеств, как способность действовать вместе с другими людьми, учитывать позиции и интересы партнеров. Учитель при этом превращается в компетентного коллегу, в старшего партнера по исследованию и разработке проекта, в эксперта-консультанта.

Особо интересно проводить уроки исследования в компьютерном кабинете, где есть локальная сеть, где есть интерактивная доска. Уроки получаются интегрированные. То я выступаю как учитель статистики и ТВ, то, как учитель информатики. Учитель, как организатор учебного процесса, должен проявлять и управленческие способности, и творческий подход.

Непосредственное же руководство учебно-исследовательской работой школьника - это тот вид педагогического взаимодействия, в котором максимально раскрываются возможности сотрудничества, соавторства, сотворчества.

Следует отметить, что развитие творческих способностей, формирование умений самостоятельно работать происходят как на уроке, так и в домашних условиях при выполнении домашних работ.

Применение исследовательской деятельности позволяет перейти от локального, изолированного рассмотрения различных явлений действительности к их взаимосвязанному, комплексному изучению.

С учетом возрастных особенностей школьников появляется возможность показать мир во всем его многообразии, что способствует эмоциональному развитию.

Исследовательская работа позволяет установить, что изучаемая тема связана с другими темами учебного предмета, а так же с различными темами других дисциплин, то есть в изученной теме могут действовать внутрипредметные и межпредметные связи.

Задача учителя состоит в том, чтобы дать возможность учащимся проявить свою индивидуальность, фантазию, творчество, избавить их от чувства страха и вселить уверенность в свои силы. Исследовательская работа позволяет каждому ученику работать в своём оптимальном темпе, даёт возможность справиться с заданием, способствует повышению интереса к учебной деятельности, формирует положительные мотивы учения. Так же необходимо учитывать психологические особенности каждого ученика, его реальные возможности. Не нужно забывать о темпераменте учащихся. Темперамент сказывается на динамике протекания не только эмоциональных, но и мыслительных, волевых процессов, поэтому он влияет на ход учебной деятельности.

Исследовательская работа помогает мне при объяснении нового материала, я не выдаю заранее установленные факты, а вместе с учащимися пытаюсь установить закономерность, это помогает моим ученикам запоминать изученное, применять свои знания.

Метод проектов в своей работе я использую в течении 3 лет. В 2006-2007 учебном году мы с учащимися создавали проект «Домашняя видеотека», 2007-2008 «тесты ЕГЭ в программе VB», 2008-2009 «Физические опыты». На первом этапе дети собирают теоретический материал, затем практические советы, и, наконец, оформление работ. При оформлении проектов соблюдаются все требования к проектам. Самым торжественным и волнующим бывает защита, которая проходит в соответствии с требованиями, предъявляемыми к защите дипломных работ, диссертаций. 2008-2009 учащиеся 10 В класса Истомина Ольга и Тимашова Ольга выступали со своими проектами на заседании научного общества.