Задача 1

1. Постановка задачи. Для производства вакцины на заводе выращивают одну из культур бактерий. Известно, что если масса бактерий - Х г, то через день она увеличивается на (А-ВХ)Х, где А и В - коэффициенты, зависящие от вида бактерий. Ежедневно для нужд производства забирается М г бактерий. Исследуйте, как изменяется масса бактерий по дням (от 1 до 30), если А=1, В=0,0001, Хо=12000, М=2000. Ответьте на вопросы:

а) есть ли минимальный предел первоначального количества бактерий при заданных А, В и М?

1. План создания модели.

б) Компьютерная реализация модели. Реализацию модели можно осуществить через итерационные вычисления. Воспользуемся общей схемой представления модели в ЭТ.

A

B

C

1

БИОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Исходные данные

1

-коэффициент А

0,0001

-коэффициент В

12000

-начальная масса Хо

2000

-ежедневная потребляемая масса М

Расчетная таблица

номер суток

масса Х

масса М

0

=A5

=A6

=A10+1

=B10+($A$3-$A$4*B10)*B10-C10

=C10

Модель задачи о вакцине

4. Проверка адекватности модели.

Полная адекватность модели не вызывает сомнения. Расчетные формулы модели полностью совпадают с расчетными формулами, представленными в условии задачи.

5. Проведение вычислительного эксперимента и интерпретация результатов.

• Исследуя компьютерную модель задачи о вакцине приходим к выводу, что масса бактерий довольно быстро убывает, но на 11-й день становится равной 7236 г и после этого практически не изменяется.

• Попробуем увеличить первоначальную массу бактерий; при Х₀=17000 масса бактерий сначала резко снижается, но к 27-му дню опять стабилизируется на уровне 7236 г.

• Если же мы увеличили первоначальную массу (например, Хо =18000г), то уже через два дня произойдет "ЧП" - бактерии погибнут. Парадоксальный факт: слишком большое первоначальное количество бактерий приводит к их гибели.

• Вычислительный эксперимент подводит к выводу, что для получения к концу месяца 7136 г бактерий целесообразно взять гораздо меньшее их количество. Есть ли минимальный предел первоначального количества бактерий? Вычислительный эксперимент показывает, что такой предел есть и равен 2839 г, и позволяет сделать вывод, что существует интервал первоначальных значений массы бактерий, при которых к концу месяца масса бактерий стабилизируется на уровне 7236г.

Задача 2

1.Постановка задачи

В результате сброса промышленных стоков возрос уровень загрязнения реки. Каким он будет через сутки, двое и т.д. и когда он будет допустимым, если известно, что за сутки он уменьшается в определенное количество раз?

Провести исследование экологической модели при значениях параметров представленных в таблице:

Вещество

С₀(мг/л)

С_доп(мг/л)

К

Свинец

5

0,03

1,12

Мышьяк

1,5

0,05

1,05

Фтор

0,2

0,05

1,01

С₀ - начальная концентрация вредных примесей,

С_доп-предельно допустимая концентрация вредных примесей,

К- коэффициент суточного уменьшения концентрации вредных примесей.

3. Создание модели

Математическая постановка задачи: .

При заданных значениях С₀ и К определите целое значение n, при котором соотношения, приведенные выше дают величину С меньше или равную заданной величине С_доп

б) Компьютерная реализация модели

5.Проверка вычислительного эксперимента и интерпретация результатов.

Сравнивая значения столбца С со значениями ячейки А4(допустимая норма Сдоп), мы должны получить ячейку С_i, значение которой меньше или равно значению А4. Если такая ячейка существует, то определим соответствующее значение ячейки A_i. Это будет номер суток. Если такой ячейки не окажется, следует продолжить копирование ячеек до получения нужного результата.

Экологическая интерпретация полученного решения: «через 46 суток уровень загрязненности достигнет допустимой нормы»

Решение данной проблемы в реальности приводит к достижению нижней границы уровня чистоты источника, что решает проблему с точки зрения экологии. Естественный же уровень чистоты источника, намного выше. Разница между естественным и допустимым уровнями чистоты экосистемы определяется уровнем нравственного здоровья общества.

Задача 3

1.Постановка задачи.

В 2000 году объем древесины на территории лесного массива составлял120000м³. При заготовке древесины ежегодно вырубается 9500м³. Естественный ежегодный прирост составляет 5,5%. Какой объем древесины будет на территории через 20 лет? Станет ли он меньше минимально допустимого значения (23000м³)? При необходимости откорректировать план лесозаготовки с точностью до 100м³.

3. Создание модели.

а)Построение математической модели (определение аргументов и результатов и связи между ними)

Пусть

• объем на начало года V_n

• план PL

V_n = V_n-1-PL+ V_n-1*0,055

V₀ = 12000

Математическая постановка задачи:

При заданных значениях V₀ и PL определите значение при n =20, при котором соотношения, приведенные выше дают величину V_n большей или равную заданной величине V _доп(23000м³)

б) Компьютерная реализация модели.

A

C

1

Год

Объем

План

2

2000

120000

9500

3

2001

=B2-$C$2+B2*0,055

4

Выводы:

Задача 4

1.Постановка задачи. Завод, стоящий на берегу реки, сбрасывает в нее ежедневно случайным образом (из-за неисправности очистных сооружений) от 0 до 30 кг вредных веществ. За каждый кг сверх 15 завод обязан заплатить штраф 1000р. Прибыль завода от реализации его продукции 7000р. в день. Проследить рентабельность завода за месяц.

Рассмотрим схему: «уровень выброса»(В) - «штраф»(С) - «прибыль»(D) - «накапливаемая прибыль»(Е).

B_n - случайное число от 0 до 30;

При B_n>15, C_n=( B_n-15)*1000 (иначе -0);

D_n=7000- C_n

En=En_-1+D_n

Для определения рентабельности завода необходимо подсчитать накапливающуюся прибыль и суммарный штраф за месяц.

Связь между элементами этой системы может быть представлен в виде ЭТ.

A

C

D

E

1

Число

Выброс

Штраф

Прибыль

Нак. прибыль

2

1

=СЛЧИС()*30

=ЕСЛИ(B2>15;(B2-15)*100;0)

=7000-C2

=D2

3

2

=E2+D3

33

=СУММ(С2Жс32)

=ЕСЛИ(Е32>C33;«да»;«нет»)

В ячейке Е33вывести ответ о рентабельности завода: «да» - если накапливаемая прибыль больше суммы(С33), «нет -» в противном случае

Задача 5

1.Постановка задачи.

Определить, через какое время водоем может иметь промысловое значение, т.е. объем рыбы в нем достигнет значения 100т, если известно, что ежегодный естественный прирост рыбы равен 10,5%, а естественная убыль 2,6%. Первоначально в водоем выпускают 50 т рыбы.

текст задачи

математическая модель:

чтобы найти объем рыбы на конец года необходимо: V=Vh+Vh*10,5%-Vh*2,6%

компьютерная модель:

исходные данные

нач объем

50

прирост

10,50%

7,50%

убыль

2,60%

5,20%

компьютерный эксперимент:

расчет

годы

объем1

объем2

объем3

0

50

50

30

1

53,95

51,15

32,37

2

58,21205

52,32645

34,92723

3

62,8108

53,52996

37,68648

4

67,77286

54,76115

40,66371

5

73,12691

56,02065

43,87615

6

78,90394

57,30913

47,34236

Построить графики