Подготовка к ЕГЭ: Задание 10

Задача 10

На числовой прямой даны два отрезка: P = [1, 39] и Q = [23, 58].
Выберите из предложенных отрезков такой отрезок A, что логическое выражение
( (x ∈ P) → ¬ (x ∈ Q) )→ ¬ (x ∈ А)
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [5, 20] 2) [25, 35] 3) [40, 55] 4) [20, 40]

Решение:

Для удобства давайте обозначим наши простые высказывания большими латинскими буквами (по названию отрезков):

• P: x ∈ P

• Q: x ∈ Q

• A: x ∈ А

Перепишем наше выражение в более удобном виде:

Задача 10 ЕГЭ по информатике

Теперь небольшое отступление про импликацию. Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание вот таким образом:

Раскрытие импликации через дизъюнкцию и отрицание

Это очень важное правило и его необходимо запомнить.

Теперь мы можем переписать наше высказывание, уйдя от импликации:

Преобразование высказывания

Чтобы упростить выражение в скобках воспользуемся законом де Моргана (второй на картинке)

Законы де Моргана

В итоге получим

Преобразуем высказывание

Применив закон двойного отрицания получим итоговое высказывание с котором и будем работать дальше. Да, это еще не все

Итоговое высказывание

Теперь давайте вспомним, что наши высказывания - это отрезки и отобразим их на координатной прямой.

График для задачи

Проанализируем график и итоговое высказывание. Итоговое высказывание должно быть истинным при любом значении х по условию задачи. В итоговом высказывании у нас выражение в скобках и инверсия A соединены дизъюнкцией. Дизъюнкция истинна когда хотя бы одно или оба высказывания истинны. Значит итоговое высказывание будет истинным когда либо выражение в скобках истинно, либо отрицание A истинно, либо истинны оба выражения (в скобках и отрицание A). Выражение в скобках - конъюнкция, а она истинна только когда оба высказывания истинны. Т. е. когда x принадлежит промежутку [23, 39] итоговое высказывание будет истинным. В противном случае высказывание будет ложным и тогда отрицание A должно быть истинным. Раcсмотрим, когда оно таким будет.

В начале мы определились, что высказывание A означает, что x ∈ А. Так как оно у нас с отрицанием, то отрицание A будет означать, что x ∉ A, а значит точка x должна принадлежать диапазону [-∞, 23] или [39, +∞]. Осталось найти такой отрезок A, который будет перекрывать диапазон [23, 39] (так как у нас он с отрицанием, то в итоге получится нужный нам диапазон). Т. е. левая координата отрезка должна быть больше или равна 23, а правая меньше или равна 39.

Из предложенных вариантов подходит только [25, 35]. Правильный ответ - 2.