Методическая разработка Методика обучения графике на Pascal

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ГРАФИКЕ НА TURBO PASCAL

Построение алгебраических кривых по их параметрическому представлению

1.Теоретический материал.

Кривая называется алгебраической кривой порядка , если имеются декартова система координат и многочлен от переменных , степени такой, что уравнение кривой в этой системе координат имеет вид .

С точки зрения этого определения линия представляет собой (в заданной системе координат) геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению .

Например, - уравнение прямой (алгебраическая кривая первого порядка), - уравнение окружности радиуса с центром в начале координат (алгебраическая кривая второго порядка).

Для аналитического представления линии часто выражают переменные координаты и точек этой линии при помощи третьей вспомогательной переменной или параметра : , , где функции и являются непрерывными по параметру
(в некоторой области изменения этого параметра). Параметрически заданную линию на плоскости можно рассматривать как траекторию материальной точки, непрерывно движущейся по определенному закону: если переменная представляет собой время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то функции и определяют координаты и движущейся точки в заданный момент времени.

Например, окружность с центром в начале координат и радиусом () задается параметрическими уравнениями: , . Параметр - центральный угол, определяющий положение точки на окружности, может принимать любые значения, но для того, чтобы получить с помощью взаимно однозначного соответствия окружность, следует область изменения параметра ограничить, например, взять . Параметр называют производящим или генерирующим параметром.

2

Рис.1.Построение кривой на экране. При построении кривой на экране монитора необходимо помнить, что система координат для графического режима отличается от обычной правой декартовой системы координат: ось направлена вниз, ось - вправо, начало координат находится в левом верхнем углу экрана (см. рис. 1).

Если поместить начало декартовой системы координат в точку и направить ось вверх, то связь между координатами и и координатами , одной и той же точки будет выражаться формулами: , (см. рис. 1).

Например, при построении на экране монитора окружности радиуса с центром в точке по параметрическому представлению , , координаты точек окружности будут определяться по формулам: , , где .

3.Задача. Построить кардиоиду в центре экрана по заданному параметрическому представлению , , , .

РЕШЕНИЕ.

ДАНО: - параметр уравнений кардиоиды,

- генерирующий параметр (рад),

- шаг изменения значения параметра (рад), частота вывода точек на экран.

ПОСТРОИТЬ: кардиоиду - последовательность точек.

ПРИ: , , .

МЕТОД:

1)ввести значение с клавиатуры;

2)определить начальное значение параметра и значение шага ;

3)вычислить и (тип - вещественный) по формулам: , ;

4

Инициализация графического режима)вывести точку с координатами , учитывая особенности системы координат для графического режима и координаты центра, например, . Тогда координаты очередной точки кардиоиды равны , причем и предварительно необходимо округлить до значений целого типа;

5

)повторить шаги 3 и 4 для каждого значения параметра .

БЛОК-СХЕМА:

да

нет

Прежде чем записать программу, составим таблицу идентификаторов соответствия обозначений в алгоритме и программе.

ТАБЛИЦА ИДЕНТИФИКАТОРОВ:

Значение в программе можно не определять, т.к. в Турбо Паскале имеется стандартная функция с именем pi, значением которой является 3.1415926….

ПРОГРАММА:

USES CRT, GRAPH;

VAR DR,M: INTEGER; A,X,Y,T,DT: REAL; C: CHAR;

BEGIN

CLRSCR; {ОЧИСТКА ЭКРАНА}

WRITE(A=); READ(A); {ВВОД ЗНАЧЕНИЯ A}

{ИНИЦИАЛИЗАЦИЯ ГРАФИЧЕСКОГО РЕЖИМА}

DR:=VGA; M:=VGAHI;

INITGRAPH(DR,M,);

IF GRAPHRESULT<>0 THEN Halt="Методическая разработка Методика обучения графике на Pascal"(1);

T:=0; {НАЧАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПАРАМЕТРА T}

DT:=0.001; {ШАГ ИЗМЕНЕНИЯ ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРА T}

WHILE T<2PI DO

BEGIN

X:=ACOS(T)(1+COS(T)); {ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТЫ X}

Y:=ASIN(T)(1+COS(T)); {ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТЫ Y}

PUTPIXEL(320+ROUND(X),240-ROUND(Y),14); {ВЫВОД ТОЧКИ (X,Y)}

T:=T+DT; {ИЗМЕНЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРА T}

DELAY(100) {ЗАДЕРЖКА ПРИ ВЫВОДЕ ТОЧЕК}

END;

C:=READKEY

END.

4.Задания для самостоятельной работы

Построить кривые по заданному параметрическому представлению в центре экрана:

а)эллипс с большой и малой полуосями, равными соответственно и , и расположенными параллельно осям координат: , , ;

б)конхоиду Никомеда (рис.2): , , , , - правая ветвь, - левая ветвь (рассмотреть случаи, когда , , );

а) б) в)

Рис.2

в





)улитку Паскаля (рис.3): при , , , , (рассмотреть случаи, когда , , );

а) б) в)

Рис.3

г)эпициклоиду (рис.4): , , , (рассмотреть случаи, когда есть целое положительное число, , и , где и - положительные целые взаимно-простые числа, );

д)астроиду (рис.5): , , ;

е)циссоиду (рис.6): , , ,





;

а

) б)

а) б)

Рис.4 Рис.5

ж)строфоиду (рис.7): , , , ;

з





)циклоиду (рис.8): , , - радиус катящейся окружности, ;

Рис.6 Рис.7 Рис.8

и)трохоиду (укороченную и удлиненную циклоиду) (рис.9): , , - радиус окружности, (рассмотреть случаи, когда - удлиненная циклоида, - укороченная циклоида);

к)гипоциклоиду (рис.10): , , , , (т.к. , то всегда ).

а

) б)

Рис.9 Рис.10

Построение алгебраических кривых по их полярным уравнениям

1.Теоретический материал.

П



олярная система координат определяется заданием некоторой фиксированной точки плоскости, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча , называемого полярной осью, масштабным отрезком и направлением отсчета углов (рис.11, а).

а) б)

Рис.11

Положение точки на плоскости в полярной системе координат характеризуется двумя числами: расстоянием от полюса до точки (полярным радиусом) и направленным углом от полярной оси до луча (полярным углом). Полярный угол считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки.

Если совместить начало прямоугольных координат с полюсом так, чтобы ось совпадала с полярной осью , то будут справедливы соотношения между полярными и прямоугольными координатами точки: , (рис.11, б). При построении кривых, заданных в полярных координатах, полярные координаты переводят в декартовы. Если же полюс имеет декартовы координаты , то уравнения преобразования полярных координат в декартовы имеют вид: , .

2.Задача. Построить кардиоиду в центре экрана по ее уравнению в полярных координатах .

РЕШЕНИЕ.

ДАНО: - параметр уравнения, определяющий значение полярного радиуса,

- полярный угол (рад),

- шаг изменения значения полярного угла (рад).

ПОСТРОИТЬ: кардиоиду.

ПРИ: , , .

МЕТОД:

1)ввести значение с клавиатуры;

2)определить начальное значение полярного угла и значение шага ;

3)вычислить полярный радиус: ;

4)перевести полярные координаты в декартовы: , (тип значений - вещественный);

5)вывести точку с координатами , учитывая особенности системы координат для графического режима (см. рис.1) и координаты центра экрана, например, ( и предварительно необходимо округлить до значений целого типа);

6)повторить шаги 3, 4 и 5 для каждого значения параметра .

БЛОК-СХЕМА:

Инициализация графического режима

да

нет

ТАБЛИЦА ИДЕНТИФИКАТОРОВ:

ПРОГРАММА:

USES CRT, GRAPH;

VAR DR,M: INTEGER; A,X,Y,FI,DFI,RO: REAL; C: CHAR;

BEGIN

CLRSCR; {ОЧИСТКА ЭКРАНА}

WRITE(A=); READ(A); {ВВОД ЗНАЧЕНИЯ A}

{ИНИЦИАЛИЗАЦИЯ ГРАФИЧЕСКОГО РЕЖИМА}

DR:=VGA; M:=VGAHI;

INITGRAPH(DR,M,);

IF GRAPHRESULT<>0 THEN Halt="Методическая разработка Методика обучения графике на Pascal"(1);

FI:=0; {НАЧАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПАРАМЕТРА FI}

DFI:=0.001; {ШАГ ИЗМЕНЕНИЯ ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРА FI}

WHILE FI<2PI DO

BEGIN

RO:=A(1+COS(FI)); {ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯРНОГО РАДИУСА}

X:=ROCOS(FI); {ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТЫ X}

Y:=ROSIN(FI); {ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТЫ Y}

PUTPIXEL(320+ROUND(X),240-ROUND(Y),14); {ВЫВОД ТОЧКИ (X,Y)}

FI:=FI+DFI; {ИЗМЕНЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРА FI}

DELAY(100) {ЗАДЕРЖКА ПРИ ВЫВОДЕ ТОЧЕК}

END;

C:=READKEY

END.

В программе перевод полярных координат в декартовы можно было бы оформить в виде функции пользователя.

3.Задания для самостоятельной работы

Построить кривые по заданным полярным уравнениям в центре экрана:

а)конхоиду Никомеда (рис.2): , , , (рассмотреть случаи, когда , , );

б)улитку Паскаля (рис.3): , , , (рассмотреть случаи, когда , , );

в)циссоиду (рис.6): , , ;

г)строфоиду (рис.7): , , ;

д

)Архимедову спираль (рис.12): , , , где ;

а) б)

Рис.12 Рис.13

е



)логарифмическую спираль (рис.13): , , ( - угол, под которым кривая пересекает все лучи, выходящие из центра), , где ;

Рис.14 Рис.15

ж)лемнискату Бернулли (рис.14): , , и ;

з)Декартов лист (рис.15): , , .