Практическая работа №3, 4 по Информатике и ИКТ

Практическая работа №3,4

Тема: Перевод чисел и арифметические действия в позиционных системах счисления.

Цель работы: научиться представлять числа в различных системах счисления, научиться выполнять арифметические действия в различных системах счисления.

Студент должен

знать:

• принципы представления чисел в позиционных и непозиционных системах счисления;

• правила выполнения арифметических операций в позиционных системах счисления;

уметь:

• переводить числа из одной системы счисления в другую.

Теоретическое обоснование.

1. Система счисления.

Система счисления - это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются.

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая - 7 единиц, а третья - 7 десятых долей единицы.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.
Основание позиционной системы счисления - количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями:

1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета.
Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел

• в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

• в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

2. Системы счисления, используемые специалистами для общения с компьютером

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

• двоичная (используются цифры 0, 1);

• восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7);

• шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел - от десяти до пятнадцати - в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел:

10-я

2-я

8-я

16-я

0

0

0

0

1

1

1

1

2

10

2

2

3

11

3

3

4

100

4

4

5

101

5

5

6

110

6

6

7

111

7

7

8

1000

10

8

9

1001

11

9

10-я

2-я

8-я

16-я

10

1010

12

A

11

1011

13

12

1100

14

C

13

1101

15

D

14

1110

16

E

15

1111

17

F

16

10000

20

10

17

10001

21

11

18

10010

22

12

19

10011

23

13

Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 - соответственно, третья и четвертая степени числа 2).
3. Перевод целого число из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления.

Для перевода целого десятичного числа N в систему счисления с основанием q необходимо N разделить с остатком ("нацело") на q , записанное в той же десятичной системе. Затем неполное частное, полученное от такого деления, нужно снова разделить с остатком на q , и т.д., пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю. Представлением числа N в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных одной q-ичной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения.

Пример: Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

75 2

1 37 2

1 18 2_

0 9 2

1 4 2

0 2 2

0 1

75₁₀=1001011₂

75 8

3 9 8

1 1

75₁₀=113₈

75 16

11 _4

75₁₀=43₁₆

Ответ: 75₁₀ = 1 001 011₂ = 113₈ = 4B₁₆.

4. Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную.

Перевод в десятичную систему числа x, записанного в q-ичной системе счисления (q = 2, 8 или 16) в виде x_q = (a_na_n-1 ... a₀ , a_-1 a_-2 ... a_-m)_q сводится к вычислению значения многочлена

x₁₀ = a_n qⁿ + a_n-1 q^n-1 + ... + a₀ q⁰ + a_-1 q ^-1 + a_-2 q^-2 + ... + a_-m q^-m
средствами десятичной арифметики.

Примеpы:

1. Переведем число 10011,0101 из двоичной системы в десятичную.

10011₂=1*2⁴+0*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰ =19₁₀

2. Переведем число 105,12₈ из восьмеричной системы в десятичную.

105₈=1*8²+0*8¹+5*8⁰=69₁₀

3. Переведем число А5,Е2₁₆ из шестнадцатеричной системы в десятичную.

А5₁₆=А*16¹+5*16⁰=10*16+5*1=165

5. Выполнение арифметических действий в разных системах счисления.

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны - это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

• С л о ж е н и е. Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Сложение в двоичной системе

Сложение в восьмеричной системе

Сложение в шестнадцатеричной системе

Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Шестнадцатеричная: F₁₆+6₁₆

Ответ: 15+6 = 21₁₀ = 10101₂ = 25₈ = 15₁₆.
Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

Шестнадцатеричная: F₁₆+7₁₆+3₁₆

Ответ: 5+7+3 = 25₁₀ = 11001₂ = 31₈ = 19₁₆.

Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.

Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,25₁₀ = 11001001,01₂ = 311,2₈ = C9,4₁₆

Ход работы:

1. Рассмотреть предложенные примеры;

2. Выполнить практическое задание по вариантам;

3. Оформить отчет.

4. Ответить на контрольные вопросы по указанию преподавателя.

Практические задания:

Вариант 1.

Задание 1.

Переведите числа в десятичную систему

а) 1011011₂ б) 517₈; в) 1F₁₆;

Задание 2.

Переведите число из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную

259₁₀;

Задание 3.

Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения:
а) 1011101₂ и 1110111₂; б) 437₈ и 675₈; в) 5A1₁₆ и 27F₁₆;

Задание 4.

Вычтите:

а) 10100₂-111₂ б) 230₈- 155₈ в) 31₁₆- 1А₁₆

Вариант 2.

Задание 1.

Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы

а) 10110111₂; б) 1010₈; в) ABC₁₆;

Задание 2.

Переведите число из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратный перевод

429₁₀;

Задание 3.

Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения:

а) 1011101₂ и 101011₂; б) 165₈ и 37₈; в) 1А9₁₆ и 2ВC₁₆;

Задание 4.

Вычтите:

а) 1101₂-1011₂ из б) 102₈-47₈ в) 2А30₁₆- F9E₁₆

Вариант 3.

Задание 1. Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

а) 11100001₂; б) 1234₈; в) 1010₁₆;

Задание 2.

Переведите число из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратный перевод

881₁₀;

Задание 3.

Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения:

а) 10111₂ и 11011₂; б) 575₈ и 146₈; в) A5B₁₆ и E7F₁₆;

Задание 4.

Вычтите:

а) 10010₂-1111₂ б) 567₈ -101₈; в) B92₁₆-19F₁₆

Вариант 4.

Задание 1. Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

а) 1000110₂; б) 34₈; в) А4₁₆;

Задание 2.

Переведите число из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратный перевод

372₁₀

Задание 3.

Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения:

а) 1011111₂ и 110101₂; б) 617₈ и 407₈; в)2 E9₁₆ и 5F₁₆.

Задание 4.

Вычтите:

а) 111011₂- 10001₂ б) 3001₈-1654₈ в)5678₁₆- ABC₁₆

Вариант 5.

Задание 1. Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

а) 11010011₂; б) 1231₈; в) 1DE₁₆.

Задание 2.

Переведите число из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратный перевод

612₁₀.

Задание 3.

Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения:

а)1100101₂ и 11010₂ б)562₈ и 127₈ и) А12₁₆ и FDA₁₆

Задание 4.

Вычтите:

а) 10100₂-1101₂ б)123₈-56₈ в)A2D₁₆-17F₁₆

Содержание отчета:

1. Название и цель работы.

2. Результат выполнения практических заданий.

3. Ответы на контрольные вопросы по указанию преподавателя.

Контрольные вопросы.

1. Какие системы счисления вы знает?

2. В чем особенности двоичной системы счисления?(Таблица)

3. В чем особенности восьмеричной системы счисления? (Таблица)

4. В чем особенности шестнадцатеричной системы счисления? (Таблица)

5. Как осуществляется связь между «2», «8», «16» системами счисления?

6. Как перевести целое десятичное число в «2», «8», «16» системы счисления?

7. Как перевести число из «2», «8», «16» системы счисления в десятичную систему счисления? Покажите на примере.

Литература

1. Бешенков С.А., Ракитина Е.А. Информатика. Учебник 10 кл. - М., 2010.

2. Михеева Е.В. Практикум по информации: учеб. пособие. - М., 2014.

3. Михеева Е.В., Титова О.И. Информатика: учебник. - М., 2010.

4. Угринович Н.Д. Информатика и информационные технологии. Учебник 10-11 кл. - М., 2010.