Моделирование отношений «Хищник-жертва» в природном сообществе.

Цель - составить упрощенную математическую модель взаимоотношений хищника и жертвы в природном сообществе.

Начальная численность популяции зайца (жертвы) - 1000 особей. N_з0 = 1000.

Начальная численность популяции волка (хищник) - 20 особей. N_в0 = 20.

Выжившая к концу каждого года часть популяции зайца

увеличивает свою численность на 30 %. Р_з = 0,3

Годовой прирост популяции волков - 10%. Р_в = 0,1.

Один волк потребляет по 40 зайцев ежегодно. R_1в = 40.

Смертность зайца по иным причинам равна нулю. Смертность волков равна нулю.

Примечание. Все полученные в результате расчетов значения должны быть целыми неотрицательными числами, так как они указывают на абсолютное количество животных.

Нельзя округлять значения. Можно брать только целую часть.

Задача №1.

Условие. Рассчитать, какова будет численность популяции зайца через 1,3,5 и 10 лет при полном отсутствии волков. Отобразить изменения численности зайцев в течение данного периода графически.

Решение.

N_з0 = 1000 N_з = N_з0 + N_з0 * Р_з

Р_з = 0,3

N_з = ?

Используем ячейки В5 - В15.

Формула для вычислений : В6 = $A$1 =B5+B5*$B$1.

Ячейки В7 - В15 заполняем вниз по образцу.

Задача №2.

Условие. Рассчитать, какова будет численность популяции зайца через 1, 3,5 и 10 лет, если начальная численность волков составляет 20 особей и не изменяется на протяжении указанного времени. Отобразить изменения численности зайцев в течение данного периода графически. Сравнить результат с результатами задачи №1.

Решение.

N_з0 = 1000 N_з = (N_з0 - N_в0* R_1в) + (N_з0 - N_в0* R_1в)* Р_з

Р_з = 0,3 N_з = (N_з0 - N_в0* R_1в) * (1+ Р_з)

N_в0 = 20.

R_1в = 40.

Р_в = 0.

N_з = ?

Для популяции волков используем ячейки F 5 - F 15.

Присваиваем F5 = $C$1. Дальше копируем вниз по образцу (популяция волка не меняется по условию).

Для популяции зайцев используем ячейки С5 - С15.

Присваиваем С5 = $C$1.

Формула: С6 = (C5-F5*$D$1)*(1+$B$1). Ячейки С7 - С15 заполняем вниз по образцу.

Задача №3.

Условие. Рассчитать, какова будет численность популяции зайца через 1, 3,5 и 10 лет, если начальная численность волков составляет 20 особей и возрастает на 10% ежегодно Отобразить изменения численности зайцев в течение данного периода графически. Сравнить результат с результатами задачи №1и №2.

Решение.

N_з0 = 1000 N_з = (N_з0 - N_в* R_1в) + (N_з0 - N_в0* R_1в)* Р_з

Р_з = 0,3 N_з = (N_з0 - N_в* R_1в) * (1+ Р_з)

N_в0 = 20. N_в = N_в0 + N_в0* Р_в

R_1в = 40.

Р_в = 0,1.

N_з = ?

Для популяции волков используем ячейки G5 - G15.

Присваиваем G5 = $C$1. G6 =G5+G5*$E$1.

Для популяции зайцев используем ячейки D5 - D15.

Присваиваем D5 = $A$1.

Формула: D6 =(D5-G5*$D$1)*(1+$B$1). Ячейки D7 - D15 заполняем вниз по образцу.

Задача №4.

Условие. Рассчитать, какой должна быть начальная численность растущей популяции волков, чтобы численность зайцев была относительно стабильной (то есть равнялась приблизительно 1000) в течение первых пяти лет существования популяции. Как будет изменяться численность популяции зайца в течение следующих пяти лет? Представьте данные графически.

Решение.

N_з0 = 1000 N_з = N_з0

Р_з = 0,3 N_з = (N_з - N_в* R_1в) * (1+ Р_з)

R_1в = 40. N_в = N_в0 + N_в0* Р_в

Р_в = 0,1.

N_в0 = ?

Для популяции волков ячейки H5 - H15.

В задаче требуется подобрать такое начальное количество волков, при котором численность зайцев будет минимально изменяться в течение первых пяти лет существования. Подбирать начальное число будем в ячейке Н1. Поэтому ячейке Н5 присваиваем значение $H$1.

H5 = $H$1. H6 =H5+H5*$E$1.

Для популяции зайцев используем ячейки E5 - E15.

E5 = $A$1.

Формула: E6 =(E5-H5*$D$1)*(1+$B$1). Ячейки E7 - E15 заполняем вниз по образцу.

Изменяя число в ячейке Н1, подбираем значения в ячейках Е5 - Е9 примерно равные 1000.

Такими значениями будут 5 и 6. Наиболее удачное значение - 6 (начальная популяция волков).

Составление электронной таблицы

В первую строку таблицы вносим константы, входящие в условие :

A1 - начальная численность зайцев, N_з0 = 1000.

B1 - ежегодгное увеличение популяции зайцев, Р_з = 0,3 .

C1 - начальная численность волков, N_в0 = 20.

D1 - количество зайцев, поедаемых одним волком за год, R_1в = 40.

E1 - годовой прирост численности волков, Р_в = 0,1.

Решение запишем в ячейки, расположенные ниже.

В экологии начальным годом принято считать «нулевой» год, поэтому годы пронумеруем от 0 до 10.

В ячейки B5 - F5 присваиваем $A$1 - начальная численность зайцев, N_з0.

В ячейки F5, G5 присваиваем $C$1 - начальная численность волков, N_в0 .

(В первом задании волки не упоминаются, ячейка H5 заполняется отдельно по условию задачи № 4) .

A

C

D

E

F

G

H

I

J

1

1000

0,3

20

40

0,1

2

Зайцы (условие)

Волки (условие)

3

Годы

Зайцы

Волки

4

Задача1

Задача2

Задача3

Задача4

Задача2

Задача3

Задача4

5

0

=$A$1

=$A$1

=$A$1

=$A$1

=$C$1

=$C$1

6

1

Рис.1 . Первоначальный вид электронной таблицы.

A

C

D

E

F

G

H

I

1

1000

0,3

20

40

0,1

N_в0

2

Зайцы (условие)

Волки (условие)

3

Годы

Зайцы

Волки

4

Задача1

Задача2

Задача3

Задача4

Задача2

Задача3

Задача4

5

0

$A$1

$A$1

$A$1

$A$1

$C$1

$C$1

$H$1

6

1

=B5+B5*$B$1

=(C5-F5*$D$1)*(1+$B$1)

=(D5-G5*$D$1)*(1+$B$1)

=(E5-H5*$D$1)*(1+$B$1)

$C$1

=G5+G5*$E$1

=H5+H5*$E$1

7

2

$C$1

8

3

$C$1

Рис.2. Заполненная электронная таблица.

A

C

D

E

F

G

H

I

1

1000

0,3

20

40

0,1

6

2

Зайцы (условие)

Волки (условие)

3

Годы

Зайцы

Волки

4

Задача1

Задача2

Задача3

Задача4

Задача2

Задача3

Задача4

5

0

1000

1000

1000

1000

20

20

6

6

1

1300

260

260

988

20

22

6,6

7

2

1690

-702

-806

941,2

20

24,2

7,26

8

3

2197

-1952,6

-2306,2

846,04

20

26,62

7,986

9

4

2856,1

-3578,38

-4382,3

684,58

20

29,282

8,7846

10

5

3712,93

-5691,89

-7219,65

433,1548

20

32,2102

9,66306

11

6

4826,809

-8439,46

-11060,5

60,62212

20

35,43122

10,62937

12

7

6274,852

-12011,3

-16221

-473,918

20

38,97434

11,6923

13

8

8157,307

-16654,7

-23114

-1224,09

20

42,87178

12,86153

14

9

10604,5

-22691,1

-32277,6

-2260,12

20

47,15895

14,14769

15

10

13785,85

-30538,4

-44413,1

-3673,84

20

51,87485

15,56245

Рис.3. Электронная таблица с рассчитанными значениями.

Графическое представление данных.

Для построения графиков воспользуемся Мастером диаграмм.

По оси Х откладываем номер года, по оси У - численность популяции.

Все диаграммы должны располагаться в первой четверти.

Для большей наглядности графики к задачам №1, №2, №3 выстроим на одном листе. Это позволит наглядно увидеть разницу в колебаниях численности популяции зайца и сделать правильные выводы.

Анализ данных.

При сравнении трех графиков можно судить о влиянии количества волков на популяцию зайца.

При отсутствии хищников количество особей в популяции стремительно растет (задача №1), так как рост численности зайцев ничем не сдерживается.

При наличии небольшой популяции волка ( 20 особей) популяция зайца на протяжении двух лет сохраняется на прежнем уровне, а затем исчезает. Здесь играет роль достаточно большое количество волков. 20 волков вполне способны истребить в течение 3 лет популяцию зайца из 1000 особей, несмотря на то, что годовой прирост популяции зайца - 30 %, а годовой прирост популяции волка равен нулю. При годовом приросте численности волков в 10 %, кривая популяции зайцев стремительно падает после 2 лет существования на одном уровне.

Анализ данных.

При изучении диаграммы можно сделать следующие выводы.

Сравнительно небольшая популяция волка в шесть особей способна сдерживать рост популяции зайца и на протяжении первых двух лет существования поддерживать ее на приблизительно одном уровне.

Затем рост популяции начинает уменьшаться и к концу седьмого года зайцы вымирают. Популяция волка продолжает расти.

Обратим внимание на то, что несмотря на полное вымирание зайцев через 7 лет , количество хищников продолжает увеличиваться. Поскольку в условии ничего не сказано относительно других жертв волка, можно считать зайца единственной жертвой. Тогда рост численности хищников в отсутствии пищи объясняется ошибкой в построении модели.