Лабораторная работа №1

Задание: Используя, алгоритм половинного деления, найти корень уравнения с точностью .

Порядок выполнения работы

1. Графически или аналитически отделить корень уравнения (т.е. найти отрезок , на котором функция удовлетворяет условиям Больцано-Коши).

2. Составить процедуру для вычисления .

3. Составить программу, содержащую алгоритм половинного деления и печать результатов. (Программа должна содержать счетчик итераций).

4. Провести вычисления по программе.

5. Составить отчет о проделанной работе.

Пример. Найти отличный от нуля корень уравнения , с четырьмя верными знаками после запятой.

Искомый корень легко отделяется графически. Для этого нужно преобразовать уравнение к виду и построить графики функций и . Точки пересечения наших графиков и будут искомые решения данного уравнения. Искомый корень лежит на отрезке . Для того, чтобы найти корень с тремя верными знаками после запятой, полагаем =0.0005. В этом случае головная программа, вспомогательные функция и процедура просты и не требуют комментариев:

Function f(x: real): real;

begin

f=x*x-5*sin(x);

end;

Procedure pol_del;

begin

while b-a

c:=(b+a)/2;

y:=f(c);

writeln(c);

if y*f(a)<0 then b:=c else a:=c;

end;

end;

begin

writeln('Введите значения параметров a, b, eps');

readln(a,b,eps);

pol_del;

writeln('корень уравнения - ',c);

end

В результате выполнения программы был получен результат:

корень уравнения - 2.08631Е+00.

Варианты заданий

№ варианта

Задание

a

b

c

d

A

B

1

Найти наименьший положительный корень уравнения , где

0,6319

0,9217

2

9,4637

13,8249

3

0,9464

1,3825

4

8,5174

12,4424

5

1,8927

2,7650

6

4,4164

6,4516

7

Найти больший корень уравнения , где

0,3049

0,3436

0,5

8

9,1464

10,3081

1,0

9

0,6098

0,6872

1,5

10

8,5366

9,6209

2,0

11

0,9146

1,0308

2,5

12

7,9268

8,9337

3,0

13

Найти наименьший положительный корень уравнения , где

0,33

2,3

0,5

14

10

7,375

7,75

15

1

2,2

1

16

6,3

5,189

5

17

1,67

2,5

1,5

18

8

6,18

6,25

19

Решить уравнение , где

0,312

0,7586

20

0,893

0,52

21

0,0385

0,963

22

0,944

0,51

23

0,25

0,8

24

0,67

0,6

25

0,5

0,667

26

0,6857

0,56

27

0,982

0,503

28

Найти корень уравнения на отрезке , где

0,8896

-2,813

-3,6929

11,2

1

3

29

0,107

-0,4613

-2,3738

5,44

0

4

30

1,2755

-3,601

-1,37

6,76

1

3

Лабораторная работа №2

Задание: Используя, алгоритм метода хорд, найти корень уравнения с точностью .

Порядок выполнения работы

1. Графически или аналитически отделить корень уравнения (т.е. найти отрезок , на котором функция удовлетворяет условиям Больцано-Коши).

2. Оценить значения первой и второй производной.

3. Найти наименьшее и наибольшее значения первой производной.

4. Составить процедуру для вычисления .

5. Составить процедуру для вычисления .

6. Составить процедуру для вычисления .

7. Вычислить . Если , то сравнение , иначе

8. Составить программу, содержащую метод хорд и печать результатов. (Программа должна содержать счетчик итераций, а также сведения о том, какая из точек является неподвижной).

9. Провести вычисления по программе и сравнить с результатами половинного деления.

10. Составить отчет о проделанной работе.

Пример. Найти отличный от нуля корень уравнения , с четырьмя верными знаками после запятой.

Искомый корень легко отделяется графически. Для этого нужно преобразовать уравнение к виду и построить графики функций и . Точки пересечения наших графиков и будут искомые решения данного уравнения. Искомый корень лежит на отрезке . Для того, чтобы найти корень с тремя верными знаками после запятой, полагаем =0.0005. Находим первую и вторую производные: , . Легко видеть, что на положительна (так как cosx<0) и положительна (так как sinx>0), поэтому для уточнения корней можно применять метод хорд. Наибольшее и наименьшее значения первой производной находятся решая задачу о наибольшем и наименьшем значениях функции на отрезке . Находим критические точки этой функции: . Найденные критические точки на лежат на рассматриваемом промежутке , поэтому наибольшее и наименьшее значения находятся на концах промежутка: и . В этом случае головная программа, вспомогательные функция и процедура просты и не требуют комментариев:

Function f(x: real): real;

begin

f=x*x-5*sin(x);

end;

Function f1(x: real): real;

begin

f=2*x-5*cos(x);

end;

Function f2(x: real): real;

begin

f=2+5*sin(x);

end;

Procedure met_hord;

begin

eps1=m1*eps/(M₁-m₁);

if eps1 <=eps then eps:=eps1;

if f(a)*f2(a)>0 then begin

x:=b; N:=a;

end;

else begin

x:=a; N:=b;

end;

y:=x-f(x)*(N-x)/(f(N)-f(x));

while abs(y-x)>eps do begin

x:=y;

y:=x-f(x)*(N-x)/(f(N)-f(x));

writeln(y);

end;

end;

begin

writeln('Введите значения параметров a, b, eps, m1, M1');

readln(a,b,eps, m1,M1);

met_hord;

writeln('корень уравнения - ',y);

end.

Лабораторная работа №3

Метод простых итераций решения уравнения f(x)=0

Метод простых итераций решения уравнения f(x)=0 состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением и построении последовательности , сходящейся при к точному решению. Сформулируем достаточные условия сходимости метода простых итераций:

Теорема: Пусть функция определена и дифференцируема на , причем все ее значения . Тогда, если существует число q, такое, что на отрезке , то последовательность (n=0, 1, 2,…)сходится к единственному на решению уравнения при любом начальном значении , т.е. . При этом, если на отрезке производная положительна, то, если отрицательна, то .

Опишем один шаг итераций. Исходя из найденного на предыдущем шаге значения x_n-1, вычисляем . Если , полагают x_n=у и выполняют очередную итерацию. Если же , то вычисления заканчивают и за приближенное значение корня принимают величину x_n=у. Погрешность полученного результата зависит от знака производной . При >0 корень найден с погрешностью , если <0, то погрешность не превышает .

При использовании метода простых итераций основным моментом является выбор функции в уравнении , эквивалентном исходному. Для метода итераций следует подбирать функцию так, чтобы . При этом следует помнить, что скорость сходимости последовательности к корню с тем выше, чем меньше число q.

Пример. Найти корни уравнения с точностью .

Корни уравнения с₁ и с₂ легко отделяются графически. Они являются абсциссами точек пересечения графика y=e^x с прямой у=10х. Из приведенного графика видно, что первый корень лежит на отрезке , а второй - на отрезке . Для уточнения первого корня заменим исходное уравнение эквивалентным , здесь , . На отрезке , т.е.q=0,3. В качестве начального приближения выбираем х₀=1. Вычисления прекращаем, когда . Последовательные приближения в этом случае таковы:

0,271828

0,131236

0,114024

0,112078

0,111860

0,111835

Так как , то принимаем с=0,111835. В этом результате все знаки верные.

Для определения второго корня представляем исходное уравнение в виде . Здесь и при производная оценивается сверху: , т.е. q=0,5. Если в качестве начального приближения взять х₀=2, то получаем следующие последовательные приближения:

2,99573

3,39977

3,52629

3,56283

3,57314

3,57603

3,57684

3,57706

3,57713

Принимаем с=3,57713 с погрешностью 0,0001, так как .

Приведем часть программы, в которой реализована логика метода простых итераций:

Procedure Met_iter;

begin

p:=b-a;

while p>eps do begin

y:=g(x);

p:=abs(x-y);

x:=y;

end;

end;

begin

readln(x, q,eps);

if q>0.5 then eps:=(1-q)/q*eps;

met_iter;

writeln (x);

end.

Задание к лабораторной работе: Используя приведенную программу, найти корень уравнения f(x)=0 с заданной точностью .

Порядок выполнения лабораторной работы:

1. Графически или аналитически отделить корень уравнения f(x)=0.

2. Преобразовать уравнение f(x)=0 к виду так, чтобы в некоторой окрестности корня с производная удовлетворяла условию . При этом следует помнить, что чем меньше q, тем быстрее последовательные приближения сходятся к корню.

3. Выбрать начальное приближение, лежащее на отрезке .

4. Составить функцию для вычисления значений .

5. Составить главную программу, содержащую обращение к процедуре Met_iter и вывод результатов (все приближения и счетчик итераций).

6. Сделать отчет о проделанной работе.

Варианты заданий

Найти корень уравнения f(x)=0 при заданных значениях коэффициентов.

№

f(x)

a

b

c

d

1

f(x)=tgax-bx

1,5773

2,3041

2

2,2082

3,2258

3

3,7855

5,5300

4

9,1483

13,3641

5

5,9937

8,7558

6

7,8864

11,5207

7

f(x)=ln(ax)-bx+c

7,622

8,59

0,5

8

6,0976

6,872

1,0

9

4,5732

5,154

1,5

10

3,9634

4,4868

2,0

11

3,0488

3,436

2,5

12

1,5244

1,718

3,0

13

f(x)=a sinbx-cx

9,33

6,977

7,25

14

7,667

5,983

6

15

6,67

5,387

5,25

16

5,67

4,794

4,5

17

4,33

4,008

3,5

18

2,67

3,044

2,25

19

f(x)=ae^-bx-x

0,9737

0,5067

20

0,9286

0,5185

21

0,5458

0,5391

22

0,7593

0,5683

23

0,5909

0,6286

24

0,4474

0,6909

25

0,1667

0,8571

26

0,7308

0,5778

27

0,833

0,5455

28

f(x)=ax³+bx²+cx+d

0,1697

-0,5693

-1,6

3,73

29

1,039

-3,145

-1,94

8

30

4,6839

-14,04

-2,448

23,5

Лабораторная работа №4

Метод касательных в решении уравнения f(x)=0.

Если известно хорошее приближение решения уравнения f(x)=0, то эффективным методом уточнения является метод касательных. Метод состоит в построении последовательности , сходящейся к корню уравнения f(x)=0. Сформулируем достаточные условия сходимости метода.

Теорема. Пусть f(x) определена и дважды дифференцируема на , причем , а производные , , сохраняют свой знак на отрезке . Тогда, исходя из начального приближения , удовлетворяющего неравенству , можно построить последовательность , n=0,1,2,…, сходящуюся к единственному решению с уравнения f(x)=0.

Метод касательных допускает хорошую геометрическую интерпретацию. Если через точку с координатами , провести касательную, то абсцисса точки пересечения этой касательной с осью абсцисс и есть очередное приближение корня уравнения f(x)=0.

Для оценки погрешности n-го приближения корня можно воспользоваться неравенством: , где М₂ - наибольшее значение модуля второй производной на отрезке ; m₁ - наименьшее значение модуля первой производной на отрезке . Таким образом, если . Последнее соотношение означает, что при хорошем начальном приближении корня после каждой итерации число верных десятичных знаков в очередном приближении удваивается, т.е. процесс сходится очень быстро. Значит, если необходимо найти корень с точностью , то итерационный процесс можно прекращать, когда

Варианты заданий

Найти корень уравнения f(x)=0.

№ варианта

Задание

a

b

c

d

1

1,2618

1,8433

2

2,5237

3,6866

3

3,47

5,1691

4

8,8328

12,903

5

7,571

11,06

6

5,6782

8,2949

7

1,2195

1,3744

0,5

8

2,439

3,0924

1,0

9

3,6585

4,1232

1,5

10

4,2683

4,8104

2,0

11

5,7927

6,5284

2,5

12

7,3171

8,2402

3,0

13

2,33

2,857

2

14

4

3,8125

3,25

15

5,33

4,59

4,25

16

6

4,99

4,75

17

7

5,5857

5,5

18

9,667

7,176

7,5

19

0,0714

0,933

20

0,3889

0,72

21

0,5476

0,6462

22

0,6304

0,6133

23

0,7

0,5882

24

0,8103

0,5224

25

0,875

0,533

26

0,9118

0,5231

27

0,9595

0,5103

28

2,113

-6,44

-3,19

15,13

29

3,94

-11,79

-1,56

18,67

30

1,203

-3,53

-1,36

7,11

Порядок выполнения лабораторной работы.

1. Графически или аналитически отделить корень уравнения f(x)=0. Убедиться, что на найденном отрезке функция f(x) удовлетворяет условиям сходимости метода касательных.

2. Выбрать начальное приближение корня x₀ так, чтобы .

3. Оценить снизу величину , оценить сверху величину .

4. По заданному для условия окончания итерационного процесса выбрать .

5. Составить процедуру для метода касательных и головную программу, содержащую обращение к процедуре и вывод результатов (корень уравнения и счетчик итераций).

6. Сделать отчет о проделанной работе.

Лабораторная работа №5

Примерная программа для метода Гаусса:

Procedure Met_Gayssa;

begin

{прямой ход}

for k:=1 to n-1 do

for i:=1 to k+1 to n do begin

m[i]:=a[i;k]/a[k;k];

for j:=k to n do

a[i;j]:=a[i;j]-m[i]*a[k;j];

b[i]:=b[i]-m[i]b*[k];

end;

x[n]:=b[n]/a[n;n];

{обратный ход}

for i:=n-1 downto 1 do begin

h:=b[i];

for j:=i+1 to n do

h:=h-x[j]*a[i;j];

x[i]:=h/a[i;i];

ehd;

end;

Порядок выполнения лабораторной работы

1. Усовершенствовать процедуру Met_Gayssa, чтобы на каждом этапе строки матрицы переставлялись так, чтобы на главной диагонали оказался наибольший элемент k-го столбца.

2. Составить головную программу, содержащую обращение к Met_Gayssa и вывод результатов.

3. Сделать отчет о проделанной работе.

Пример. Решить систему уравнений

Вычисления по программе привели к следующим результатам:

Х1=1, Х2=2, Х3=3.

Варианты заданий

Решить систему линейных уравнений

№ варианта

Матрица коэффициентов системы

Столбец свободных членов

1

1,84

2,32

1,83

2,25

2,60

2,06

2,53

2,82

2,24

-6,09

-6,98

-5,52

2

2,58

1,32

2,09

2,93

1,55

2,25

3,13

1,58

2,34

-6,66

-3,58

-5,01

3

2,18

2,17

3,15

2,44

2,31

3,22

2,49

2,49

3,17

-4,34

-3,91

-5,27

4

1,54

3,69

2,45

1,70

3,73

2,43

1,62

3,59

2,25

-1,97

-3,74

-2,26

5

1,53

2,35

3,83

1,61

2,31

3,73

1,43

2,07

3,45

-5,13

-3,69

-5,98

6

2,36

2,51

2,59

2,37

2,40

2,41

2,13

2,10

2,06

1,48

1,92

2,16

7

3,43

4,17

4,30

3,38

4,00

4,10

3,09

3,65

3,67

5,52

6,93

7,29

8

3,88

3,00

2,67

3,78

2,79

2,37

3,45

2,39

1,96

10,41

8,36

7,62

9

3,40

2,64

4,64

3,26

2,39

4,32

2,90

1,96

3,85

13,05

10,30

17,89

10

2,53

3,95

2,78

2,36

4,11

2,43

1,93

3,66

1,94

12,66

21,97

29,75

11

2,16

3,55

4,85

1,96

3,23

4,47

1,56

2,78

3,97

13,16

21,73

29,75

12

2,69

2,73

2,93

2,47

2,39

2,52

2,07

1,92

2,02

19,37

19,43

20,80

13

3,72

4,47

4,96

3,47

4,10

4,53

3,06

3,63

4,01

30,74

36,80

40,79

14

14,35

4,04

3,14

4,39

3,65

2,69

3,67

3,17

2,17

40,15

36,82

28,10

15

4,07

2,84

4,99

3,79

2,44

4,50

3,37

1,95

3,97

40,77

27,68

49,37

16

3,19

4,43

3,40

2,89

4,02

2,92

2,47

3,53

2,40

33,91

47,21

32,92

17

2,57

4,47

4,89

2,26

4,03

4,40

1,84

3,57

3,87

28,66

50,27

55,03

18

2,83

3,00

3,72

2,50

2,55

3,21

2,08

2,07

2,68

33,28

33,59

43,43

19

3,78

4,33

4,76

3,44

3,88

4,24

3,02

3,39

3,71

46,81

53,43

58,73

20

4,59

4,83

4,06

4,24

4,36

3,53

3,82

3,88

3,01

59,54

62,33

52,11

21

4,56

3,21

4,58

4,20

2,73

4,04

3,78

2,25

3,52

61,86

42,98

61,67

22

3,75

4,18

4,43

3,39

3,70

3,88

2,97

3,22

3,36

53,38

59,28

62,62

23

2,95

5,11

4,38

2,58

4,62

3,82

2,16

4,14

3,30

44,16

46,68

65,34

24

2,93

3,47

4,78

2,55

2,98

4,22

2,14

2,50

3,70

46,41

54,78

75,81

25

3,74

4,02

4,18

3,36

3,51

3,61

2,94

3,04

3,09

63,26

67,51

70,03

26

4,07

5,30

5,11

4,28

4,79

4,54

3,87

4,32

4,03

84,43

95,45

91,69

27

4,90

3,79

4,01

4,50

3,27

3,43

4,09

2,81

2,91

94,18

71,57

75,45

28

4,25

3,86

5,40

3,81

3,34

4,82

3,43

2,87

4,30

86,07

77,12

108,97

29

3,35

5,41

3,88

2,94

4,88

3,30

2,53

4,41

2,78

70,69

115,38

81,07

30

3,05

4,14

5,63

2,64

3,61

5,03

2,23

3,14

4,52

67,17

91,43

125,40

Лабораторная работа №6

Графический метод решения задачи линейного программирования

Графический метод используется для решения задач с двумя переменными следующего вида:

Данный метод основывается на возможности графического изображения области допустимых решений задачи и нахождения среди них оптимального решения.

Область допустимых решений задачи строится как пересечение областей решений каждого из данных ограничений.

Областью решений линейного неравенства является одна из полуплоскостей, на которые прямая , соответствующая данному неравенству, делит координатную плоскость.

Для того чтобы определить, какая из двух полуплоскостей является областью решений, достаточно координаты какой-либо точки, не лежащей на прямой, подставить в неравенство: если оно удовлетворяется, то областью решений является полуплоскость, содержащая данную точку, если же неравенство не удовлетворяется, то областью решений является полуплоскость, не содержащая данную точку.

Областью допустимых решений задачи является общая часть полуплоскостей - областей решений всех неравенств системы ограничений.

Для нахождения среди допустимых решений оптимального решения используют линии уровня и опорные прямые.

Линией уровня называется прямая, на которой целевая функция задачи принимает постоянное значение. Уравнение линии уровня в общем случае имеет вид , где l - const. Все линии уровня параллельны между собой. Их нормаль .

Опорной прямой называется линия уровня, которая имеет хотя бы одну общую точку с областью допустимых значений и по отношению к которой эта область находится в одной из полуплоскостей.

Область допустимых решений задачи имеет не более двух опорных прямых, на одной из которых может находиться оптимальное решение.

З

начение целевой функции на линиях уровня возрастают, если линии уровня перемещать в направлении их нормали, и убывают при перемещении линии уровня в противоположном направлении.

Алгоритм графического метода решения задач линейного программирования с двумя переменными:

1. Построить область допустимых решений.

2. Если область допустимых решений является пустым множеством, то задача не имеет решения ввиду несовместности системы ограничений.

3. Если область допустимых решений является непустым множеством, построить нормаль линии уровня и одну из линий уровня, имеющую общие точки с этой областью.

4. Линию уровня переместить до опорной прямой в задача на максимум в направлении нормали, в задаче на минимум - в противоположном направлении.

Вариант

Задача

Вариант

Задача

Вариант

Задача

1

11

21

2

12

22

3

13

23

4

14

24

5

15

25

6

16

26

7

17

27

8

18

28

9

19

29

10

20

30

Лабораторная работа №7

Интерполяционный многочлен Ньютона

Пусть функция f(x) задана на отрезке таблицей значений в равноотстоящих узлах . Многочленом Ньютона степени n называют многочлен

, (1)

где коэффициенты многочлена находятся по формулам:

(2)

Подставим коэффициенты в (1):

Введем обозначение , тогда , , …, .

Таким образом, интерполяционный многочлен Ньютона принимает вид:

Если n=1, то . В этом случае получаем формулу линейной интерполяции.

Если n=2, то - формула квадратичной интерполяции.

Степень интерполяционного многочлена целесообразно брать не выше, чем порядок практически постоянных конечных разностей.

Для интерполяции по формуле Ньютона можно составить примерную программу:

Procedure Met_Nuton;

begin

writeln('Введите значение х, в котором нужно найти значение функции');

readln(x);

S:=y[1];

u:=(x-x[1])/h;

A:=1;

for k:=0 to n-1 do begin A=A*(n-k)/(k+1);

S:=S+A*d[k];{d[k]=}

end;

end;

Порядок выполнения лабораторной работы:

1. Составить процедуру для ввода табличных данных в массивы x[i], y[i].

2. Составить процедуру для подсчета конечных разностей , которые будут хранится в массиве d[i].

3. Написать головную программу, содержащую обращение к процедуре Met_Nuton.

4. Провести вычисления.

5. Написать отчет о проделанной работе.

Варианты заданий

X

Значения

В-1

В-2

В-3

В-4

В-5

В-6

В-7

В-8

В-9

В-10

В-11

0,1

5,998

6,030

5,85

6,310

5,650

6,323

3,88

4,08

3,90

4,03

3,82

0,2

5,820

6,072

5,619

6,308

5,431

6,523

3,86

4,18

3,83

4,23

3,44

0,3

5,754

6,297

5,569

6,546

5,250

6,646

3,84

4,38

3,60

4,49

3,16

0,4

5,828

6,428

5,426

6,855

5,000

7,256

3,91

4,46

3,47

4,71

2,95

0,5

5,627

6,425

5,237

7,073

4,790

7,487

3,71

4,44

3,31

5,00

2,73

0,6

5,597

6,473

5,025

7,770

4,569

7,827

3,49

4,55

3,05

5,26

2,40

0,7

5,693

6,592

4,988

7,225

4,296

8,133

3,51

4,66

3,14

5,36

2,27

0,8

5,469

6,815

5,037

7,739

4,065

8,402

3,68

4,89

2,83

5,87

1,85

0,9

5,413

6,786

4,586

7,995

3,837

8,581

3,74

4,86

2,66

5,67

1,88

1

5,526

6,925

4,575

8,063

3,519

9,014

3,47

5,04

2,53

5,89

1,32

1,1

5,344

7,116

4,445

8,247

3,281

9,049

3,60

5,22

2,35

6,16

1,18

1,2

5,304

7,053

4,353

8,472

2,926

9,571

3,51

4,99

2,49

6,65

1,15

1,3

5,352

7,224

3,933

8,627

2,801

9,891

3,48

5,39

2,19

6,39

0,85

1,4

5,301

7,439

3,899

8,936

2,546

10,073

3,30

5,56

1,82

6,81

0,48

1,5

5,424

7,302

3,793

9,082

2,232

10,406

3,23

5,42

1,69

7,08

0,18

1,6

4,996

7,426

3,473

9,076

2,016

10,821

3,26

5,85

1,54

7,24

-0,01

1,7

5,080

7,797

3,551

9,363

1,794

11,151

3,14

5,99

1,22

7,61

-0,12

1,8

5,256

7,871

3,171

9,679

1,663

11,232

3,17

5,85

1,17

7,64

-0,60

1,9

5,090

7,929

3,330

9,846

1,375

11,655

2,96

6,01

1,04

8,03

-0,68

2,0

5,053

8,060

3,044

10,013

1,217

11,952

2,81

5,97

1,12

7,92

0,54

X

Значения

В-12

В-13

В-14

В-15

В-16

В-17

В-18

В-19

В-20

В-21

В-22

0,1

4,27

1,92

2,14

2,25

1,56

1,62

2,43

-0,02

0,00

-0,01

0,38

0,2

4,45

1,91

2,19

2,31

1,81

1,54

2,67

-0,28

0,23

-0,20

0,36

0,3

4,84

2,09

2,32

2,75

1,51

1,09

2,71

-0,06

0,32

-0,31

0,45

0,4

5,14

1,73

2,59

2,77

1,52

1,07

3,15

-0,00

0,24

-0,63

0,89

0,5

5,55

1,88

2,56

3,00

1,09

0,67

3,47

-0,24

0,35

-0,73

0,91

0,6

5,85

1,81

2,64

3,24

1,04

0,24

3,76

-0,11

0,52

-0,87

1,11

0,7

6,18

1,71

2,66

3,55

1,05

0,29

3,91

-0,28

0,77

-1,05

1,49

0,8

6,38

1,66

2,84

3,48

0,91

-0,07

4,46

-0,35

0,68

-1,39

1,72

0,9

6,72

1,47

3,04

3,64

0,69

-0,26

4,76

-0,47

0,92

-1,05

1,83

1

7,04

1,44

2,94

3,86

0,51

-0,56

5,15

-0,47

0,97

-1,40

1,98

1,1

7,26

1,23

3,23

4,06

0,46

-0,69

5,54

-0,52

1,08

-1,74

2,35

1,2

7,70

1,37

3,27

4,39

0,14

-0,85

5,61

-0,68

1,15

-1,88

2,82

1,3

7,78

1,30

3,31

4,67

-0,06

-1,29

5,93

-0,72

1,35

-1,79

2,76

1,4

8,33

1,22

3,13

4,93

-0,29

-1,39

6,12

-0,77

1,33

-1,99

2,90

1,5

8,62

1,38

3,49

4,95

-0,28

-1,73

6,54

-0,69

1,51

-2,22

2,90

1,6

8,78

1,35

3,56

5,06

-0,25

-1,98

6,67

-0,79

1,57

-2,46

3,25

1,7

9,06

1,14

3,66

5,49

-0,57

-2,37

7,28

-0,77

1,65

-2,75

3,42

1,8

9,56

1,00

3,79

5,57

-0,57

-2,41

7,55

-0,99

1,59

-2,72

3,37

1,9

9,71

0,96

3,96

5,89

-1,06

-2,68

7,79

-1,07

1,77

-2,87

3,83

2,0

10,14

0,93

4,08

6,00

-1,01

-2,96

8,18

-1,03

1,99

-2,84

3,90

X

Значения

В-23

В-24

В-25

В-26

В-27

В-28

В-29

В-30

0,1

-0,15

0,30

-2,09

-2,12

-2,30

-1,77

-2,45

-1,61

0,2

-0,42

0,50

-2,02

-2,00

-2,38

-1,60

-2,64

-1,53

0,3

-0,79

0,82

-2,13

-1,59

-2,37

-1,47

-2,69

-1,12

0,4

-0,92

1,43

-2,20

-1,61

-2,83

-1,19

-2,99

-0,98

0,5

-0,97

1,49

-2,15

-1,53

-3,02

-1,00

-3,33

-0,61

0,6

-1,48

1,85

-2,26

-1,74

-3,42

-0,97

-3,30

-0,01

0,7

-1,63

2,01

-2,17

-1,11

-3,02

-0,64

-3,73

-0,02

0,8

-1,95

2,56

-2,51

-1,10

-3,41

-0,29

-3,99

0,27

0,9

-2,23

2,72

-2,41

-1,08

-3,42

-0,17

-4,37

0,70

1

-2,55

2,85

-2,50

-0,96

-3,57

-0,11

-4,57

0,99

1,1

-2,64

3,12

-2,63

-0,89

-3,57

-0,05

-4,77

1,42

1,2

-2,85

3,75

-2,55

-0,72

-3,57

0,37

-5,17

1,57

1,3

-3,32

3,90

-2,54

-0,63

-3,81

0,60

-5,23

1,87

1,4

-3,64

4,12

-2,69

-0,67

-4,05

0,78

-5,53

1,93

1,5

-3,78

4,47

-2,89

-0,55

-4,29

1,01

-5,68

2,67

1,6

-3,84

4,68

-3,01

-0,33

-4,49

1,19

-5,85

2,92

1,7

-4,19

5,21

-2,83

-0,35

-4,50

1,46

-6,23

3,07

1,8

-4,58

5,23

-2,96

-0,07

-4,56

1,46

-6,45

3,32

1,9

-4,73

5,76

-2,92

-0,05

-4,97

1,81

-6,55

3,63

2,0

-5,00

6,11

-3,13

0,05

-5,04

2,06

-6,97

3,72

Лабораторная работа №8

Линейная регрессия

Пусть требуется исследовать зависимость y(x), причем величины y и x измеряются в одних и тех же экспериментах. Без ограничения общности можно считать, что величина x измеряется точно, в то время как измерение величины y содержит случайные погрешности. Это означает, что погрешность измерения величины x пренебрежимо мала по сравнению с погрешностью измерения величины y. Таким образом, результаты эксперимента можно рассматривать как выборочные значения случайной величины , зависящей от х как от параметра. Регрессией называют зависимость условного математического ожидания этой величины от х, т.е. . Задача регрессионного анализа состоит в восстановлении функциональной зависимости у(х) по результатам измерений (x_i;y_i), i=1,2,…,n.

Аппроксимируем искомую зависимость у(х) функцией . Это значит, что результаты измерений можно представить в виде , где - неизвестные параметры регрессии; - случайные величины, характеризующие погрешности эксперимента.

Обычно предполагается, что - это независимые нормально распределенные случайные величины с и одинаковыми дисперсиями .

Параметры следует выбирать такими, чтобы отклонение предложенной функциональной зависимости от результатов эксперимента было минимальным. Часто в качестве меры отклонения принимают величину и, следовательно, параметры определяются методом наименьших квадратов.

На практике регрессионный анализ состоит из трех этапов. На первом этапе выдвигают гипотезу о виде функции , на втором этапе по имеющимся данным находят оценки неизвестных параметров . На третьем этапе проверяют согласие выдвинутой гипотезы с результатами измерений

Рассмотрим простейший случай линейной регрессии. Пусть выдвинута гипотеза о том, что функция f имеет вид . Найдем оценки параметров а и b методом наименьших квадратов. Для этого минимизируем функцию . Приравнивая нулю производные и , получаем

Проверяя согласие построенной линии регрессии с результатами эксперимента, можно руководствоваться следующими соображениями. Идея любой регрессии состоит в том, чтобы часть изменений измеряемой величины связать с изменением внешних переменных (в данном случае только одна внешняя переменная х). Не предполагая, что у зависит от х, можно было бы за меру разброса результатов эксперимента принять величину , где . Если прямая регрессии построена, то за меру разброса естественно принять сумму квадратов отклонений от линии регрессии, т.е. величину . Если , то это значит, что аппроксимирующая функция выбрана неудачно, т.е. подходящую функцию регрессии следует искать не среди прямых, а, например среди парабол или кривых другого вида.

Procedure Lin_Regr;

begin

S1:=0; S2:=0; S3:=0; S4:=0;

for I=1 to n do begin

S1=s1+x[i]; {подсчет }

S2:=S2+y[i]; {подсчет }

S3:=S3+x[i]*y[i]; {подсчет }

S4:=S4+x[i]*x[i]; {подсчет }

end;

a:=(n*S3-S1*S2)/(n*S4-S2*S2);

b:=S2-a*S1;

end;

Порядок выполнения лабораторной работы

1. Составить головную программу, содержащую описание массивов, Х и У, ввод исходных данных, обращение к процедуре Lin_Regr.

2. Сделать анализ выбора функции регрессии, используя меру разброса результатов эксперимента и меру отклонений результатов эксперимента от линейной регрессии .

3. Провести вычисления.

4. Сделать отчет.

Лабораторная работа №9

Вычисление определенного интеграла с помощью формул прямоугольника, трапеций, парабол.

На практике для приближенного вычисления определенного интеграла применяют три формулы:

Формула прямоугольников:

Формула трапеций:

Формула парабол (формула Симпсона):

где N - количество равных отрезков на которые разбивается отрезок .

Погрешности вычислений находятся следующим образом:

Формула прямоугольников:

, где

Формула трапеций:

, где I_2N - значение определенного интеграла при , I_N -значение определенного интеграла при . (правило Рунге).

Формула парабол (формула Симпсона):

, где

Порядок выполнения лабораторной работы

1. Выберите четное число N для разбиения отрезка .

2. Напишите процедуру для вычисления подынтегральной функции f(x).

3. Напишите процедуры для вычисления определенного интеграла по формулам прямоугольников, трапеций, парабол.

4. Составьте головную программу, содержащую обращение к процедурам и вывод результатов вычислений.

5. Сравнить полученные результаты.

6. Сделать отчет.

Варианты заданий

№ варианта

Задание

№ варианта

Задание

1

16

2

17

3

18

4

19

5

20

6

21

7

22

8

23

9

24

10

25

11

26

12

27

13

28

14

29

15

30