Методическая разработка Системы счисления

БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОРЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ОРЛОВСКИЙ ТЕХНИКУМ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМ. В. А. ЛАПОЧКИНА

Рабочая тетрадь

по теме

«Системы счисления»

Автор

преподаватель информатики

Подрез Н. А.

Орел 2015

Рабочая тетрадь по информатике по теме "Системы счисления" предназначена для студентов образовательных учреждений НПО и СПО I курса, составленного по ФГОС третьего поколения.

Рабочая тетрадь может быть использована педагогами для проведения уроков по данной теме, для организации самостоятельной работы учащихся, а также для подготовке к ЕГЭ по информатике.

Учебно-методическая разработка содержит весь необходимый материал для проведения уроков информатики по теме "Системы счисления": теоретический материал, разбор решения типовых задач, задания для самостоятельного изучения и закрепления новых знаний и умений. Также пособие содержит примеры заданий из ЕГЭ. Рабочую тетрадь можно использовать для закрепления материала, полученного на уроках информатики, для выполнения домашней работы, а также для самостоятельного изучения нового материала. Теоретический материал и задания в рабочей тетради дополняют и углубляют сведения, имеющиеся в учебнике.

Содержание.

Введение…………………………….…….….………..…….….4 стр.

1. Понятие систем счисления…………...….……..6 стр.

   1. Непозиционные системы счисления…..7 стр.

1.2. Позиционные системы счисления…….......9 стр.

2. Двоичная система счисления……..…..…...….12 стр.

3. Алгоритм перевода чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с произвольным основанием…………………………………………….15 стр.

4. Арифметические операции в позиционных системах счисления…………………………………...19 стр.

5. Дополнительный раздел: «Занимательно и интересно!»..……………………………….…….…….24 стр.

Приложение. Самостоятельная работа № 2…..….……........29 стр.

Ответы………………………………………………………….32 стр.

Литература……………………………………………………..34 стр.

Введение.

Данная учебно-методическая разработка содержит весь необходимый материал для проведения уроков информатики по теме "Системы счисления": теоретический материал, практические задания разного уровня сложности, самостоятельные работы и итоговую контрольную работу. Рабочая тетрадь позволит выявить пробелы в знаниях студентов и отработать навыки перевода чисел из одной системы счисления в другую. В тетради представлены творческие задания, которые развивают логическое мышление, внимание обучающегося.

После изучения темы "Системы счисления" студенты должны:

Знать:

• Определение алфавита системы счисления.

• Определение цифр.

• Определение системы счисления.

• Определение развёрнутой формы числа.

• Виды систем счислений (позиционные и непозиционные).

• Правила перевода чисел из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления и наоборот.

• Правила перевода целых чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления.

• Правила перевода дробных чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления.

Уметь:

• Представлять числа в развёрнутой форме.

• Переводить числа в позиционных системах счисления.

Рабочую тетрадь можно использовать как дидактический материал на уроках информатики по данной теме.

Весь материал темы поделен на две части: первая - теоретическая часть; вторая - практические задания. Выполняя задания, вы можете писать ответы прямо в рабочей тетради.

Чтобы успешно справиться с выполнением заданий, необходимо:

• вдумчиво вчитываться в формулировку задания, понять его;

• знать теоретический материал, изученный на уроках информатики: правила, определения и т.п;

• пользоваться справочными материалами: учебниками, самоучителями, другими пособиями.

1. Понятие о системах счисления.

Вся информация, которою обработает компьютер, должна быть представлена двоичным кодом с помощью двух цифр - 0 и 1. С помощью двух цифр 0 и 1 можно закодировать любое сообщение. Это явилось причиной того, что в компьютере обязательно должно быть организованно два важных процесса.

Кодирование - преобразование входной информации в форму, воспринимаемую компьютером, т.е. двоичный код.

Декодирование - преобразование данных из двоичного кода в форму, понятную человеку.

Способы кодирования и декодирования информации в компьютере, в первую очередь, зависит от вида информации, а именно, что должно кодироваться: числа, текст, графические изображения или звук.

Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Будем называть такие символы цифрами. Числа записываются с использование особых знаковых систем, которые называют системами счисления.

Система счисления - совокупность приемов и правил записи чисел с помощью определенного набора символов.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные.

Система счисления называется непозиционной, когда значения цифры не зависит от её положения в числе.

Системы счисления, в которых значение каждой цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа, называются позиционными системами счисления.

1. Непозиционные системы счисления.

Непозиционные системы счисления первичны по своему происхождению; но поскольку они имеют ряд недостатков по сравнению с позиционными системами счисления, то постепенно они потеряли свое значение. Хотя до настоящего времени еще используется римская система счисления, где для обозначения цифр используются латинские буквы:

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Числа в римской системе счисления записываются по следующим правилам.

1) если большая цифра стоит перед меньшей, они складываются, например: VI=6;

2) если меньшая цифра стоит перед большей, то из большей вычитается меньшая, причем в этом случае меньшая цифра уже повторяться не может, например: XL=40, XXL-нельзя;

3) цифры M,C,X,I могут повторяться в записи числа не более трех раз подряд;

4) цифры D,L,V могут использоваться в записи числа только по одному разу.

Например число 1996 будет записано в римской система счисления как MCMXCVI.

Самое большое число, которое можно записать в этой системе счисления, это число 3999 (MMMCMXCIX). Для записи еще больших чисел пришлось бы вводить еще новые обозначения.

А теперь попробуйте выполнить простую арифметическую операцию, не переводя числа в привычную систему счисления: умножить число CLVI на число LXXIV. Вряд ли вам это удастся.

Таким образом, можно констатировать следующие основные недостатки непозиционных система счисления:

а) Необходимость использования большого количества символов для записи больших чисел.

б) неудобство выполнения арифметических операций.

Практическая работа.

1.1.1. Сравните числа 555 и VVV.

1.1.2. Какие числа записаны римскими цифрами:

а) МСМХСIX, б) CMLXXXVII, в) VCXLVII.

1.1.3. Запишите год, месяц и число своего рождения с помощью римских цифр.

1.2. Позиционные системы счисления.

Позиционной называется такая система счисления, в которой величина цифры зависит от позиции (места), занимаемой этой цифрой в записи числа. Примером позиционной системы счисления служит арабская система счисления, которой мы обычно пользуемся. Если взять два числа 102 и 21, то цифра 1 в первом числе в 100 раз "тяжелее" той же цифры во втором числе. А вот цифра 2 в первом числе в 10 раз "легче" этой же цифры во втором числе.

Рассмотрим числа 13, 5234 и 351

В числе 13 тройка обозначает три единицы. В числе 5234 - три десятка, В числе 351 - три сотни.

Запишем эти числа в десятичной системе счисления.

13=1*10+3=1*10¹+3*10⁰

351=3*100+5*10+1=3*10²+5*10¹+1*10⁰

5294=5*1000+2*100+3*10+4=5*10³+2*10²+9*10¹+4*10⁰

Разряд - позиция цифры в числе.

В позиционной системе счисления любое число может быть представлено в развернутом виде.

Пусть q - основание системы счисления, n - число разрядов целой части числа, a_i - цифра числа, A_q - само число.

Тогда развернутую форму для числа представленного в любой системе счисления можно записать в общем виде следующим образом:

A_q = a_n-1*q^n-1 + a_n-2*q^n-2 + ... + a₀*q⁰

Алфавит системы счисления - совокупность символов, используемых в данной системе счисления. Количество различных символов, используемых для изображения числа в позиционных системах счисления, называется основанием системы счисления.

Таблица 1.

Система счисления

Основание

Алфавит цифр

Десятичная

10

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Двоичная

2

0, 1

Восьмеричная

8

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Шестнадцатеричная

16

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Практическая часть.

1.2.1 Расставьте необходимые термины напротив их определений.

Термины: система счисления, алфавит системы счисления, мощность алфавита, основание системы счисления.

­­­­­­­­­_______________________количество цифр в алфавите.

______________________ это множество всех символов (знаков), используемых для записи чисел в данной системе счисления.

_____________________________это совокупность приемов и правил для обозначения и наименования чисел.

___________________ количество цифр в позиционной системе счисления.

1.2.2 Чем отличается позиционная система счисления от непозиционной?

Ответ:_________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________

1.2.3 В двоичной системе счисления для записи чисел используются только ____ и ___.

1.2.4 В шетнадцатиричной системе счисления кроме обычных десяти цифр (от 0до 9) используются также __ букв латинского алфавита от ___ до ____.

1.2.5 Заполните следующую таблицу:

Система счисления

Основание

Цифры

шестнадцатеричная

16

десятичная

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

8

0,1,2,3,4,5,6,7

2

1.2.6 Правильно ли записаны числа в соответствующих системах счисления:

а) А₁₀=2460 б) А₄=5301 в) А₃=10001 г) А₂=2222

2. Двоичная система счисления.

В двоичной системе счисления основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр 0 и 1.

Числа в двоичной системе счисления в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают 0 и 1.

Например, 110₂=1*2²+1*2¹+0*2⁰⁼6₁₀

1011₂=1*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰ =8+0+2+1=11₁₀

Перевод из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму.

1. Последовательно выполняется деление исходного целого числа и получаемых целых частных на основание системы счисления (на 2) до тех пор, пока не получится частное меньше делителя.

2. Записываем остатки в обратной последовательности.

Пример 1. 13₁₀ → ?₂

13₁₀ = 1101₂

Пример 2. 126₁₀ → ?₈

126₁₀ = 176₈

₀ = В4₁₆

Пример: 5₁₀ - 101₂ 13₁₀ - 1101₂

Практическая часть.

2.1 Запишите в развернутом виде числа:

а) 125₁₀ = __________________________________________

б) 125₈ = __________________________________________

в) 125₆ = __________________________________________

г) 1251₁₆ =__________________________________________

2.2 Запишите в развернутом виде числа:

а) 25341₁₀ =________________________________________

б) 25341₈ =_________________________________________

в) 25341₆ =_________________________________________

г) 25341₁₆ =________________________________________

2.3 Переведите числа в десятичную систему счисления:

а) 11₂ = ___________________________________________

б) 1111₂ = _________________________________________

в) 101₂ = __________________________________________

г) 1010₂ = _________________________________________

2.4 Переведите числа в двоичную систему счисления:

а) 8₁₀

б) 21₁₀

в) 127₁₀

г) 47₁₀

2.5 Переведите числа из двоичной системы счисления в десятичную:

а) 1100101₂ = _________________________________________

б) 1010100₂ = _________________________________________

в) 1000111₂ =_________________________________________

г) 1101010₂ =_________________________________________

3. Алгоритм перевода чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с произвольным основанием.

Развернутая форма служит для перевода чисел из любой системы счисления в десятичную.

Алгоритм перевода чисел из системы счисления с произвольным основанием в десятичную:

1. Представить число в развернутой форме. При этом основание системы счисления должно быть представлено в десятичной системе счисления.

2. Найти сумму ряда (выражения). Полученное число является значением числа в десятичной системе счисления.

Перевод из десятичной системы счисления в любую другую осуществляется по следующему алгоритму.

1. Последовательно выполняется деление исходного целого числа и получаемых целых частных на основание системы счисления до тех пор, пока не получится частное меньше делителя.

2. Записываем остатки в обратной последовательности.

Практическая часть.

3.1 Переведите из десятичной системы счисления в двоичную:

а) 46₁₀

б) 34₁₀

в) 107₁₀

г) 95₁₀

2. Переведите из десятичной системы счисления и запишите ответ:

а) 247₁₀ x₁₆

б) 87₁₀ x₈

в) 39₁₀ x₈

г) 143₁₀ x₁₆

3.3. Переведите числа:

а) 103₁₀x₂

б) 11001100₂x₁₀

в) 28₁₀ x₈

г) 7617₁₀ x₁₆

3.4 Переведите числа в десятичную систему счисления:

1. 11011₃ = __________________________________________

2. 1010110= ________________________________________

3. 3СЕ₁₆ =___________________________________________

4. 526₈=_____________________________________________

5. 3021₄ =____________________________________________

3.5 Заполните пустые клетки таблицы последовательными числами в системах счисления с основанием 3,4,5

10

2

8

16

3

4

5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

0

1

10

11

100

101

110

111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

10000

10001

0

1

2

3

4

5

6

7

10

11

12

13

14

15

16

17

20

21

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

А

В

С

D

E

F

10

11

4. Арифметические операции в позиционных системах счисления.

Из всех позиционных систем особенно проста двоичная система счисления. Рассмотрим выполнение основных арифметических действий над двоичными числами.

Во всех позиционных системах счисления арифметические операции выполняются по одним и тем же правилам:

• 1) справедливы одни и те же законы арифметики: коммутативный, ассоциативный, дистрибутивный;

• 2) справедливы правила сложения, вычитания и умножения столбиком;

• 3) правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения и умножения.

Сложение.

При сложении столбиком двух цифр справа налево в двоичной системе счисления, как в любой позиционной системе, в следующий разряд может переходить только единица.

Результат сложения двух положительных чисел имеет либо столько же цифр, сколько у максимального из двух слагаемых, либо на одну цифру больше, но этой цифрой может быть только единица.

Рассмотрим примеры на сложение.

1001 1101

+1010 + 1011

10011 11000

Вычитание.

При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и у результата ставится соответствующий знак.

Рассмотрим примеры на вычитание.

1011

- 111

100

Умножение.
Операция умножения выполняется с использованием таблицы умножения по обычной схеме (применяемой в десятичной системе счисления) с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.

Рассмотрим примеры на умножение.

11001

* 1101

11001

11001

11001
101000101

Деление
Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления.
Рассмотрим примеры на деление.

Любая позиционная система счисления определяется:

• основанием системы счисления;

• алфавитом системы счисления;

• правилами выполнения арифметических операций.

В основе правил арифметики лежат таблицы сложения и умножения однозначных чисел. Например, таблицы сложения и умножения для пятеричной системы счисления выглядят так:

Аналогичные таблицы составляются для любой позиционной системы счисления. Пользуясь такими таблицами, можно выполнять действия над многозначными числами.

Пример. Выполнить действия в пятеричной системе счисления: 342₅+23₅.

Выполним сложение.

Рассуждаем так: два плюс три равно 10 (по таблице); 0 пишем, 1 - в уме. Четыре плюс два равно 11 (по таблице), да еще один, 12. 2 пишем, 1 - в уме. Три и один равно 4 (по таблице). Результат - 420₅.

1. Практическая часть.

Задачи.

1. Составьте таблицы сложения и умножения в троичной системе

счисления и выполните вычисления:

1) 12₃ + 22₃; 2) 221₃ - 11₃;

4.2 Составьте таблицу сложения в восьмеричной системе счисления и

выполните вычисления:

1) 3456₈ + 245₈; 2) 7631₈ - 456₈;

4.3 Составьте таблицу сложения в шестнадцатеричной системе

счисления и выполните вычисления:

а) FFFF₁₆ + 1₁₆;

б) 1996₁₆ + ВАВА₁₆

4.4 Найдите среднее арифметическое следующих чисел:

а) 10010110₂, 11001002, 1100102;

б) 226₈, 64₈, 62₈.

4.5. Восстановите неизвестные цифры, обозначенные знаком вопроса, в следующих примерах на сложение и вычитание, определив вначале, в какой системе счисления изображены числа.

а

+

­-) 5755 б) 1536

?327 ?42

?16?4 67?

4. Дополнительный раздел: «Занимательно и интересно!»

4.1 Заполните пропуски в предложении:

Первый портативный электронный калькулятор был выпущен американским филиалом японской фирмы __________________ в ______году. Он весил около килограмма и "знал" только четыре действия арифметики.

Для этого выполните:

Зачеркните в таблицах те столбики, где не стоят числа, которые вы получили, выполняя задание, и прочитайте текст.

4.2 Заполните пропущенные в клетках цифры.

4.3 Рисуем по точкам.

В таблице 1 приведены номер точки и ее координаты, записанные в двоичной системе счисления. Для каждой точки выполните перевод ее координат в десятичную систему счисления и отметьте точку на координатной плоскости. Правильно сделав перевод и соединив последовательно все точки, вы получите некоторый рисунок. Рисунок изобразите в рабочей тетради.

Таблица 1

4.4 Рождение цветка.

Понаблюдаем за рождением цветка: сначала появился один листочек, затем второй… И вот распустился бутон. Постепенно подрастая, цветок показывает нам некоторое двоичное число. Если вы до конца проследите за ростом цветка, то узнаете, сколько дней ему понадобилось, чтобы вырасти.

Ответ: ______________

4.5 Русская поговорка.

Здесь зашифрована известная русская поговорка. Прочитайте ее, двигаясь с помощью двоичных цифр в определенной последовательности.

Ответ: ____________________________________________

Приложение 1.

Самостоятельная работа № 1.

ВАРИАНТ № 1

1. Используя таблицу кодировки, расшифруйте приведенное слово: 111₂ 1101₂ 0100₂ 1010₂ 11₂ 1011₂

Буква

А

В

Д

Е

Ж

И

К

Л

М

Н

О

П

Р

Ь

Ш

10-тичный код

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Ответ: _____________

2. Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: _____________

ВАРИАНТ № 2

1. Используя таблицу кодировки, расшифруйте приведенное слово: 1011₂ 1111₂ 0100₂ 1010₂ 1110₂

Буква

А

В

Д

Е

Ж

И

К

Л

М

Н

О

П

Р

Ь

С

10-тичный код

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Ответ: ___________

2. Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: ___________

ВАРИАНТ № 3

1. Используя таблицу кодировки, расшифруйте приведенное слово: 1000₂ 0100₂ 101₂ 1011₂

Буква

А

В

Д

Е

Ж

И

К

Л

М

Н

О

П

Р

Ь

Ш

10-тичный код

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Ответ: ____________

2. Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: _____________

ВАРИАНТ № 4

1. Используя таблицу кодировки, расшифруйте приведенное слово: 0010₂ 1011₂ 1000₂ 1110₂ 1₂

Буква

А

В

Д

Е

Ж

И

К

Л

М

Н

О

П

Р

Ь

Ш

10-тичный код

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Ответ: ______________

1. Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: _____________

Приложение 2.

Самостоятельная работа №2

ВАРИАНТ 1

1. Переведите из восьмеричной системы счисления в десятичную

1. 250, 2022,

2. 2757, 123.

2. Определите десятичный эквивалент шестнадцатеричных чисел

1. 113, 2ACF,

2. 691, D306F.

ВАРИАНТ 2

1. Переведите из восьмеричной системы счисления в десятичную

1. 247, 2021,

2. 2756, 122.

2. Определите десятичный эквивалент шестнадцатеричных чисел

1. 112, 2ACE,

2. 690, D306E.

ВАРИАНТ 3

1. Переведите из восьмеричной системы счисления в десятичную

1. 246, 2020,

2. 2755, 121.

2. Определите десятичный эквивалент шестнадцатеричных чисел

1. 111, 2ACD,

2. 68F, D306D.

Ответы.

Ответы к разделу 2.

2.1 а) 1*10²+2*10¹+5*10⁰

б) 1*8²+2*8¹+5*8⁰

2.2 а) 2*10⁴+5*10³+3*10²+4*10¹+1*10⁰

б) 2*8⁴+5*8³+3*8²+4*8¹+1*8⁰

2.3 а) 3₁₀ б) 15₁₀

в) 5₁₀ г) 10₁₀

2.4 а) 1000₂ б) 10101₂

в) 1111111₂ г) 101111₂

2.5 а) 101₁₀ б) 84₁₀

в) 71₁₀ г) 106₁₀

Ответы к разделу 3.

3.1 а) 101110₂ б) 100010₂

в) 1101011₂ г) 1011111₂

3.2 а) F7₁₆ б) 127₈

в) 47₁₀ г) 8F₁₆

3.3 a) 1100111₂ б) 204₁₀

в) 34₈ г) 1DC1₁₆

3.4 а) 112₁₀ б) 86₁₀

в) 974₁₀ г) 342₁₀

д) 201₁₀

Ответы к разделу 4.

4.1 а) 111₃; б) 210₃;

4.2 а) 3723₈; б) 7153₈;

4.3 а) 10000₁₆; б) D450₁₆;

4.4 а) 100₁₀ б) 100₁₀

Ответы к разделу 5.

5.1 ШАРП 1969

5.2 а) 334₁₀ б) 83₁₀ в) 683₁₀

5.4 145 дней.

Ответы к самостоятельной работе №1

Вариант 1. Кредо.

Вариант 2. Осень

Вариант 3. Лето

Вариант 4. Волга

ЛИТЕРАТУРА:

1. И.Семакин «Информатика. Базовый курс 9-11» - М: 2009

2. Н. Угринович «Практикум по информатике и информационным технологиям»: -М: Лаборатория Базовых знаний.2011

3. И.А.Иванова Информатика. 10 класс: Практикум. : Лицей, 2009

4. rusedu.ru/detail_1416.html

5. informatika.na.by

6. festival.1september.ru/articles/411324/

7. rusedu.ru/detail_1457.html

8. infoschool.narod.ru/lesson.htm