Санау жүйелері

Сандарды цифр деп аталатын арнайы символдардың көмегімен бейнелеу қабылданған. Сандарды атау және жазу ережелері мен әдістерінің жинағын - санау жүйесі деп атайды.

Санау жүйелері екі топқа бөлінеді: позициялық және позициялық емес.

Позициялық емес санау жүйесінде санның әрбір цифрының мәні оның алатын орнына байланысты емес. Мұндай санау жүйесінің мысалы ретінде римдік жүйені алуға болады. Бұл жүйеде жазылған ХХХ санында Х цифры кез келген позицияда 10-ды білдіреді.

Позициялық емес санау жүйесінде арифметикалық амалдарды орындау едәуір күрделі болғандықтан, бүкіл дүние жүзі біртіндеп позициялық санау жүйесіне ауысты.

Позициялық санау жүйесінде цифрдың мәні оның орнына (позициясына) тәуелді. Мысалы, 737,7 санындағы бірінші тұрған 7 - жүздікті, екіншісі - 7 бірлікті, ал үшіншісі - бірліктің 7 ондық үлесін білдіреді. Кез келген позициялық санау жүйесі өзінің негізімен сипатталады. Позициялық санау жүйесінің негізі деп онда қолданылатын цифрлар санын айтады.

Жүйенің негізі ретінде екі, үш, төрт , т.с.с. - кез келген натурал санды алуға болады. Демек, позициялық жүйенің сансыз көп болуы м.мкін: екілік, үштік, төрттік, т.с.с.

Негізі q санау жүйелерінің әрқайсысында сандардың жазылуы

a_n-1q^n-1+a_n-2q^n-2+…+a₁q¹+a₀q⁰+a_-1q^-1+….+a_-mq^-m

өрнегінің қысқартылған жазылуын білдіреді, мұнда - а_i санау жүйесінің цифрлары; n мен m - сәйкес бүтін және бөлшек разрядтардың саны.

Ондық санау жүйесі

«Ондық» аты бұл жүйенің негізінде он негізі жатқандығымен түсіндіріледі. Бұл жүйеде сандарды жазу үшін он цифр қолданылады - 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Адамдар ондық жүйені ыңғайлы көреді, шамасы, олар санауды алғашқыда саусақпен санап үйренгендіктерінен болар, ал аяқ пен қолдағы саусақтар саны оннан. Бірақ адамдар ондық санау жүйесін әрқашан және барлық жерде қолданбайды. Мысалы, Қытайда ұзақ уақыт бойы бестік санау жүйесін қолданған. Ондық жүйе позициялық болып табылады, өйткені ондық санның жазылуында цифрдың мәні оның позициясына немесе сандағы орнына байланысты. Санның цифрына бөлінетін позицияны разряд деп атайды. Мысалы, 425 санының жазуы санның 4 жүздіктен, 2 ондықтан және 5 бірліктен тұратынын білдіреді. Егер осы цифрларды басқа ретте жазатын болсақ, мысалы, 524, онда сан 5 жүздіктен, 2ондықтан және 4 бірліктен тұрады. Мұнда 5 цифрының салмағы ең үлкен болады да, санның үлкен цифры деп аталады, ал 4 цифры - кіші салмақты және осы санның кіші цифры деп аталады. Егер 524 санын қосынды түрінде жазсақ,

5^.10²+2^.10¹+4^.10⁰

осы жазбадан цифрлар салмағының айырмашылығы айқын көрінеді, бұл жазбадағы 10 саны - санау жүйесінің негізі. Санның әрбір цифры үшін, 10 негізі цифрдың сандағы орнына байланысты дәрежеленеді де, осы санға көбейтіледі. Бірліктер үшін негіздің дәреже көрсеткіші нөлге, ондықтар үшін - бірге, жүздіктер үшін - екіге тең және т.с.с.

Егер ондық сан бөлшек болса, онда ол да қосынды түрінде оңай жазылады. Онда бөлшек бөліктің әрбір цифры үшін негіздің дәреже көрсеткіші теріс және бөлшек бөліктің үлкен цифры үшін - 1-ге, бөлшек бөліктің келесі цифры үшін - 2-ге тең және т.с.с. болады. Мысалы, келесі ондық санадар мынадай қосындымен көрсетіледі:

384,9506=3^.10²+8·10¹+4·10⁰+9·10^-1+5·10^-2+0·10^-3+6·10^-4;

856,25=8·10²+5·10¹+6·10⁰+2·10^-1+5·10^-2;

12937,1=1·10⁴+2·10³+9·10²+3·10¹+7·10⁰+1·10^-1;

Сонымен, ондық санның кез келген цифрының салмағын онның білгілі бір бүтін дәрежесі, ал дәреженің мәнін сәйкес цифрдың позициясы көрсетеді.

Екілік санау жүйесі

Компьютерде әдетте ондық емес, позициялық екілік санау жүйесі, яғни негізгі «2» санау жүйесі қолданылады. Екілік жүйеде кез келген сан 0 мен 1 цифрларының көмегімен жазылады да, екілік сан деп аталады. Екілік санды тек 0 мен 1 цифрларынан тұратын ондық саннан ажырату үшін, екілік санның жазбасының индексіне екілік санау жүйесінің белгісі тіркеледі, мысалы, 110101,111₂

Екілік санның әрбір разрядын (цифрын) бит деп атайды. Екілік санау жүйесінің маңызды құндылығы - цифрларды физикалық кескіндеудің ыңғайлылығы (мысалы, 1 цифрына электр кернеуінің бар болуы, ал 0 цифрына электр кернеуінің жоқ болуы сәйкес келуі мүмкін) және еомпьютер құрылғысының, атап айтқанда екілік сандармен арифметикалық және логикалық операцияларды орындауға арналған арифметикалық-логикалық құрылғысының қарапайымдылығы.

Ондық сандар сияқты, кез келген екілік санды оның құрамына кіретін цифрлардың салмағының айырмашылығын анық бейнелейтін қосынды түрінде жазуға болады. Бұл қосындыда негіз ретінде 2 саны қолданылады. Мысалы, 1010101,101 екілік саны үшін қосынды мына түрде болады:

1·2⁶+0·2⁵+1·2⁴+0·2³+1·2²+0·2¹+1·2⁰+1·2^-1+0·2^-2+1·2^-3

Бұл қосынды ондық санға арналған қосынды ережесі бойынша жазылады. Берілген мысалда екілік сан жеті орынды бүтін және үш орынды бөлшек бөліктерден тұрады. Сондықтан бүтін бөліктің үлкен цифры, яғни бір 2^7-1=2⁶-ге көбейтіледі, бүтін бөліктің нөлге тең келесі саны 2⁵ көбейтіледі және т.с.с., екінің дәрежелерінің кемуі бойынша бөлшек бөліктің кіші, 2^-3-ге көбейтілетін үшінші цифрына дейін болады. Бұл қосындыда арифметикалық операцияларды ондық жүйенің ережелері бойынша орындай отырып, 85,625 ондық санын аламыз. Сонымен, 10101011010101,101₂=85,625₁₀.

Санды екілік жүйеден ондық санау жүйесіне ауыстыру үшін, екілік санды коэффицент - цифрлармен екінің дәрежелерінің көбейтінділерінің қосындысы түрінде жазып, осы қосындыны табу керек.

Екілік жүйенің елеулі кемшілігі - санды бұл жүйеде жазу үшін 0 мен 1 цифрлары мейлінше көп қажет болатындығында. Бұл адамның екілік сандарды қабылдауын қиындатады: 10011100. Сондықтан екілік жүйені, қағида бойынша компьютердің «ішкі қажеттілігі» үшін қолданады, ал адамның компьютермен жұмыс істеуі үшін, үлкен неігізді санау жүйесін таңдайды. Бұл жағдайда сегіздік және оналтылық санау жүйелері жиі қолданынылады, өйткені бұдан былай көрсетілетіндей, бұл екі жүйе мен екілік жүйенің арасында сандарды бір жүйеден екінші жүйеге ауыстыруды жеңілдететін қарпайым байланыс бар.

Сегіздік санау жүйесі

Сегідік санау жүйесінде, яғни негізі «8» санау жүйесінде сандар сегіз цифрдың көмегімен көрсетіледі: 0,1,2,3,4,5,6,7. Мысалы. 357 сегіздік санында жеті бірлік, бес сегіз және квадратталған (екі есе) үш сегіз бар, яғни 357⁸=3^*8²+5^*8¹+7^*8⁰, мұндағы 357 санының индексі 8 санау жүйесін білдіреді. Жазылған қосындыда арифметикалық амалдарды ондық жүйенің ережелері бойынша орындай отырып, 357₈=239₁₀ екенін аламызғ яғни 357 сегіздік саны 239 ондық санына сәйкес.

Он алтылық санау жүйесі

Екілік санау жүйесі компьютерден тыс қолдануға қолайсыз екенін біз жоғарыда айтқанбыз. Мысалы, 895128₁₀=11011010100010011000₂. Екілік сандарды жазуды қысқарту үшін негізі 16 санау жүйесін қолданады. Бұл жүйені оналтылық деп атайды.

Оналтылық позициялық санау жүйесінде санды жазу үшін ондық санау жүйесінің цифрлары 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 және жетпейтін алты цифрды белгілеу үшін 10, 11, 12, 13, 14 және 15 ондық сандарының мәніне сәйкес латын алфавитінің алғашқы үлкен әріптері: А,В,С,D,E,F қолданылады. Сонымен, ондық жүйенің барлық цифрлары және бұдан басқа алты латын әрпі оналтылық санау жүйесінің «цифрлары» болып табылады. Оналтылық санау жүйесінің барлық цифрларын келтірейік: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, А,В,С,D,E,F. Оналтылық санау жүйесінде F санынан кейін ондық жүйеде 15+1=16 дегенге сәйкес Ғ+1 саны келеді. Сондықтан оналтылық сан, мысалы, мына 3Е5А1 түрде болуы мүмкін. Бұл санды негізі 16 екенін, ескеріп, қосынды түрінде жазсақ:

3Е5А1₁₆=3·16⁴+Е·16³+5·16²+А·16¹+1·16⁰.

Арифметикалық операцияларды ондық жүйенің ережелері бойынша орындай отырып және А=10, Е=14 екенін ескеріп, 3Е5А1₁₆=255393₁₀ теңдігін аламыз. Ондық жүйеге қарағанда, оналтылық жүйеде сан ықшамды жазылатынына көңіл аударыңдар.

Сандарды бір санау жүйесінен басқа санау жүйесіне ауыстыру

Ондық санды екілікке ауыстырғанда, бұл санды екіге бөлу керек. Мысал: 891 санын ондық жүйеден екілік санау жүйесіне ауыстыру керек. Ол үшін 891 санын 2-ге бөлінді 1-ге тең болғанша бөлеміз.

Соңғы бөліндіні және соңғысынан бастап барлық қалдықтарды бір жолға жазамыз. Жауабы: 891₁₀=1101111011₂.

Бүтін оң ондық санды екілік санау жүйесіне ауыстыру үшін осы санды 2-ге бөлу керек. Алынған бөліндіні қайтадан екіге бөліп және т.с.с., алынған бөлінді 2-ден кіші болғанша бөлу керек. Нәтижесіне соңғы бөлінді мен соңғысынан бастап барлық қалдықтарды бір жолға жазу керек.

Ондық бөлшектерді екілік санау жүйесіне ауыстыру

Ондық бөлшектерді екілік санау жүйесіне ауыстыру оны екіге көбейтіп, бүтін бөліктерді табудан тұрады.

Мысалы, 625 ондық бөлшегін екілік санау жүйесіне ауыстыралық. Екілік бөлшектің үтірден кейінгі бірінші цифрын табу үшін берілген санды 2-ге көбейтіп, көбейтіндінің бүтін бөлігін ерекшелеу керек.

0,625 · 2 = 1,250, бүтін бөлігі 1-ге тең;

0,250 · 2 = 0,500, бүтін бөлігі 0-ге тең;

0,500 · 2 = 1,000, бүтін бөлігі 1-ге тең.

Соңғы көбейтіндінің бөлшек бөлігі нөлге тең. Ауыстыру аяқталды. Алынған бүтін бөліктің мәнін бірінші цифрдан бастап бір жолға жазамыз. Жауабы: 0,625₁₀=0,101₂. 2-ге көбейткенде әрқашанда ондық санның тек бөлшек бөлігі ғана қатысады.

Ондық оң бөлшекті екілік санау жүйесіне ауыстыру үшін бөлшекті 2-ге көбейту керек. Көбейтіндінің бүтін бөлігін екілік бөлшектің үтірден кейінгі бірінші цифры ретінде алып, бөлшек бөлігін қайтадан 2-ге көбету керек. Енді бұл көбейтіндінің бүтін бөлігін екілік бөлшектің келесі цифры ретінде алып, бөлшек бөлігін тағы 2-ге көбейту керек және т.с.с.

Ақырғы ондық бөлшекті екілік жүйеге ауыстыру кезінде перодты бөлшек алынуы мүмкін. Мысалы, 3 ондық бөлшегін екілік санау жүйесіне ауыстырайық.

0,3 · 2 = 0,6, бүтін бөлігі 0-ге тең;

0,6 · 2 = 1,2, бүтін бөлігі 1-ге тең;

0,2 · 2 = 0,4, бүтін бөлігі 0-ге тең;

0,4 · 2 = 0,8, бүтін бөлігі 0-ге тең;

0,8 · 2 = 1,6, бүтін бөлігі 1-ге тең;

0,6 · 2 = 1,2, бүтін бөлігі 1-ге тең және т.с.с.

0,6-ның бөлшек бөлігі, есептеудің екінші қадамына болған. Сондықтан есептеулер қайталана бастайды. Демек, 0,3 саны екілік санау жүйесінде периодты бөлшек түрінде көрсетіледі. Жауабы: 0,3₁₀ = 0,0(1001)_2. Іс жүзінде бұл операцияларды үтірден кейін цифрлардың берілген саны алынғанша жалғастырады.

Ондық сандарды сегіздік санау жүйесіне ауыстыру

Сандарды ондық жүйеден сегіздік жүйеге ауыстыру үшін екілік жүйеге ауыстыру әдісін қолдануға болады. Түрлендіретін санды ондық жүйенің ережесі бойынша 7-ден аспайтын қалдығын еске сақтай отырып, 8-ге бөледі. Егер алынған бөлінді 7-ден үлкен болса, онда оны да қалдықты еске сақтай отырып, 8-ге бөледі. Жаңа бөліндіні, егер ол 0-ден көп болса, өз кезегінде 8-ге бөледі. Бұл 8-ге бөлу процесі алынған бөлінді 0-ге тең болғанша жалғаса береді. Содан кейін, соңғысынан бастап барлық қалдықтарды қатар жазып алу керек.

Мысалы, 891 санын ондық жүйеден сегіздік санау жүйесіне ауыстыру керек делік. Ол үшін 8-ге бөлеміз. Сонда 891₁₀ = 1573_{8 .}

Ондық сандарды оналтылық санау жүйесіне ауыстыру

Ондық сандарды оналтылық жүйеге жоғарыда көрсетілгендей ауыстырады. Айырмашылығы - берілген сан 8-дің орынан 16-ға бөлінеді.

Мысалы, 891 санын ондық жүйеден оналтылық санау жүйесіне ауыстырайық. 891₁₀ = 37В₁₆

Сандарды екілік жүйеден сегіздік санау жүйесіне ауыстыру

Екілік санды сегіздік немесе оналтылық санға түрлендіру процесі өте қарапайым. Сегіздік санның кез келген цифрын жазу үшін үш екілік цифр қажет. Сондықтан түрлендіретін екілік санды оңнан солға қарай үш-үштен екілік цифрлар тобына бөледі, мұнда ең сол жақтағы топта екілік цифрлар үштен кем болуы мүмкін. Мысалы, 011 екілік цифры сегіздік санау жүйесінде үш цифры болып табылады. Сонан кейін екілік цифрлардың әрбір тобын кестеде көрсетілген сегіздік цифр түрінде жазады.

Екілік жүйе

Сегіздік жүйе

000

0

001

1

010

2

011

3

100

4

101

5

110

6

111

7

Мысалы, үш екілік цифрдан тұратын топтарға бөлінген 1101111011 екілік санын 1 101 111 011 сияқты жазып алып және әрбір топты бір сегіздік цифрмен ауыстырып жазғаннан кейін, 1573 сегіздік санын алуға болады.

Сандарды екілік жүйеден оналтылық санау жүйесіне ауыстыру

Екілік санды оналтылық санау жүйесіне жоғарыдағыға ұқсас түрлендіреді; әрбір екілік сан оңнан солға қарай әрқайсысында төрттен екілік сан бар топтарға бөлінеді, өйткені оналтылық санның кез келген цифрын жазу үшін төрт екілік цифр қажет.

Ондық жүйе

Екілік жүйе

Оналтылық жүйе

0

0000

0

1

0001

1

2

0010

2

3

0011

3

4

0100

4

5

0101

5

6

0110

6

7

0111

7

8

1000

8

9

1001

9

10

1010

А

11

1011

В

12

1100

С

13

1101

D

14

1110

Е

15

1111

Ғ

Сондықтан алдыңғы мысалда қолданылған 1101111011 екілік санды төрт екілік цифрлардан тұратын топтарға бөлгеннен кейін, 11 0111 1011 сияқты жазып және әр топты оналтылық цифрмен ауыстырғаннан кейін, 37В оналтылық санын алуға болады. Бұл тепе-теңдіктерді оңай тексеруге болады.

Мысалы: 1011₂= 1· 2³ + 0 · 2²+1 · 2¹+1 · 2⁰ = 11₁₀ = В₁₆.

Сандарды сегіздік және оналтылық санау жүйелерінен екілік жүйеге ауыстыру

Сегіздік немесе оналтылық санды екілік санға түрлендіру бастапқы санның әрбір цифрын үш немесе төрт екілік сандардан тұратын топтарға жай ғана ауыстыру арқылы жүзеге асырылады.

Мысалы: 123₈ = 001 010 011 = 1010011₂,

А17₁₆ = 1010 0001 0111 = 101000010111_2.

Егер ауыстырғаннан кейін екілік санның бүтін бөлігі нөлдерден басталса, онда олар алып тасталады. Бөлшек бөліктің соңындағы нөлдермен де тура солай жасайды.

Мысалы: 253,А4₁₆=001001010011,10100100₂= 1001010011,101001_2.

Бақылау сұрақтары:

1. Санақ жүйесі дегеніміз не ?

2. Ертеден келе жатқан қандай санақ жүйелері бар?

3. Позициялық санақ жүйесі позициялық емес санақ жүйесінен қалай ерекшеленеді?

4. Позициялық санақ жүйесінің негіздеушісі деген не ?

5. Ондық санақ жүйесі

6. Екілік санақ жүйесі

7. Үштік санақ жүйесі

8. Төрттік санақ жүйесі

9. Сегіздік санақ жүйесі

10. Он алтылық санақ жүйесі