Урок логики: «Решение текстовых логических задач»

Урок по информатике в 10 классе:

«Решение текстовых логических задач»

Цель урока: на основе разнообразия логических задач дать учащимся два способа их решения:

1. Средствами алгебры логики;

2. С помощью рассуждений.

С целью обучения учащихся элементам творческой деятельности.

а) тренировки способности творчески и самостоятельно мыслить;

б) уметь давать собственные ответы на неоднозначные вопросы.

Метод обучения: проблемное изложение.

Ход урока:

1. Организационный момент: предъявление темы и цели урока.

Написать на доске тему урока.

Объявление темы урока.

Задача которую я вам сейчас расскажу, имеет отношение к теме нашего урока.

Задача:

Один житель острова Крит сказал: «Все критяне лжецы». Но ведь сам он критянин и, значит, лжец. Следовательно, он сказал неправду. Выходит, все критяне правдивы. Но тогда и он правдив и, соответственно, сказал правду. А если он сказал правду, то получается, что все критяне все-таки лжецы. Значит, и он лжец и поэтому сказал неправду. Посему все критяне правдивы. И он правдив, но все критяне лжецы. Тогда и он лжец…

К этой задаче мы с вами еще вернемся.

Решение. (решение задачи на задается дом)

Необходимо проанализировать две взаимоисключающие возможности: либо критянин, о котором идет речь в софизме (обозначим его буквой Х), правдив, либо он является лжецом. Рассмотрим обе возможности.

Допустим, что Х - правдив. Тогда он сказал правду и все критяне (в том числе и он) лжецы. Приходим к противоречию.

Предположим, что Х - лжец, а значит, он сказал неправду и высказывание «Все критяне лжецы» - ложно. Но тогда истинным является отрицание этого высказывания, т. е. истинно высказывание «Не все критяне лжецы». Другими словами, среди критян имеются и правдивые люди, и лжецы (например, сам Х). Х сказал неправду, что и следовало ожидать от лжеца. Софизм разрешен.

2. Актуализация пройденного материала.

Сегодня мы с Вами научимся решать текстовые логические задачи. Но перед тем как приступим к решению задач, давайте вспомним законы алгебры логики которые нам пригодятся в ходе урока

Вопросы:

Выписать на доске законы (до знака равенства, чтобы уч-ся сами дописали):

1. Операции переменной с ее инверсией ()

2. Законы (операции) исключения констант ()

3. Закон двойного отрицания ( )

4. Закон идемпотентности ()

5. Правило замены импликации на инверсию и дизъюнкцию ()

3. Введение новой темы.

Разнообразие логических задач очень велико. Способов их решения тоже немало, но сегодня на нашем уроке мы рассмотри следующие два способа решения логических задач:

1. Средствами алгебры логики;

2. С помощью рассуждений.

Познакомимся с ними поочередно.

1. Решение логических задач средствами алгебры логики.

Повесить на доске схему решения задач

Для решения таких задач обычно используется следующая схема решения:

(схема дается под запись).

1. Изучается условие задачи.

2. Вводится система обозначений для логических высказываний.

3. Конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи.

4. Определяются значения истинности этой логической формулы.

5. Из полученных значений истинности этой логической формулы определяются значения истинности введенных логических высказываний, на основании которых делаются заключения о решении.

Сейчас мы попробуем решить с вами несколько задач, применяя эту схему. Первую задачу я вам объясню сам; вторую мы решим совместно; а третью вы решите самостоятельно.

Задача 1.

Внимание Андрея, Дениса и Марата привлек промчавшийся мимо них автомобиль.

• Это английская машина марки «Феррари», - сказал Андрей.

• Нет, машина итальянская, марки «Понтака» - возразил Денис.

• Это "Сааб", и сделан не в Англии, - сказал Марат.

Оказавшийся рядом знаток автомобилей сказал, что каждый из них прав в одном из двух высказанных предположений.

Какой же марки этот автомобиль и в какой стране изготовлен?

Решение.

Введем обозначения для логических высказываний:

А - машина английская; Ф - это "Феррари";

И - машина итальянская; П - это "Понтиак";

С - Это "Сааб".

Тогда наши высказывания можно записать:

Андрей сказал: А Ф

Денис сказал: И П

Марат сказал:

Из того факта, что каждый из друзей прав только в чем-то одном, получаем три истинных составных высказывания:

Если все эти истинные высказывания логически перемножить, то получим следующее истинное логическое высказывание:

Для решения задачи нужно определить, при каких значениях логических переменных А, И, Ф, П, С это высказывание истинно.

Упростим высказывание, учитывая те обстоятельства, что машина не может быть одновременно и английской и итальянской (А * И = 0), а также не может одновременно иметь два названия (Ф * С = 0, Ф * П = 0, С * П = 0):

=

Высказывание истинно только при И = 1, Ф = 1, А = 0, П = 0, С = 0.

Ответ. Машина итальянская марки «Феррари».

Решим следующую задачу совместно.

Задача 2 (по приложению 3).

Вернувшись домой, Мегрэ позвонил на набережную Орфевр.

• Говорит Мегрэ. Есть новости?

• Да, шеф. Поступили сообщения от инспекторов. Торранс установил, что если Франсуа был пьян, то либо Этьен убийца, либо Француа лжет. Жусьен считает, что или Этьен убийца, или Француа не был пьян и убийство произошло после полуночи. Люка (инспектор) просил передать, что если убийство произошло после полуночи, то либо Этьен убийца, либо Француа лжет. Затем звонил …

• Все, спасибо. Этого достаточно. - Комиссар положил трубку. Он знал, что трезвый Француа никогда не лжет. Теперь он знал все.

Решение.

Решим задачу средствами алгебры логики.

Рассмотрим следующие простые высказывания:

А = {Француа был пьян};

В = {Этьен убийца};

C = {Француа лжет};

D = {Убийство произошло после полуночи}.

Перепишем на языке алгебры логики условие задачи. Инспектора комиссара Мегрэ установили, что:

Торранс: А (ВС) = 1

Жусьен: В  (D) = 1

Люка: D  (В С) = 1

Сам Мегрэ знает, что

Истинной будет и конъюнкция четырех высказываний:

(1)

Упростите самостоятельно это выражение и определите при каких значениях А, В, С и D это выражение будет истинным.

Задачи такого типа можно решать и с помощью компьютера.

При решении логических задач при помощи компьютера, мы составляем, также как мы это сделали сейчас логическую формулу, а затем программу которая будет перебирать все варианты значений А, В, С и D и будем выводить на печать те их значения при которых логическое выражение (1) будет истинно.

Давайте сравним ваш ответ и ответ который даст нам компьютер.

Значит А = 0; С = 0; В = 1 и D = 1

Текст программы:

10 CLS

20 DIM A$(4)

30 FOR i = 1 TO 4

40 READ A$(i)

50 NEXT i

60 FOR a = 0 TO 1

70 FOR b = 0 TO 1

80 FOR c = 0 TO 1

90 FOR d = 0 TO 1

100 f = (a IMP(b OR c)) AND (b OR (NOT a) AND d) AND (d IMP (b OR c))

110 f = f AND (NOT (a) AND NOT (c))

120 IF f = 0 THEN 180

130 PRINT a; b; c; d; f;

140 IF a = 1 THEN PRINT A$(1)

140 IF b = 1 THEN PRINT A$(2)

140 IF c = 1 THEN PRINT A$(3)

140 IF d = 1 THEN PRINT A$(4)

NEXT d, c, b, a

DATA Француа был пьян, Этьен убийца, Француа лжет, убийство произошло после полуночи

Кто решил задачу? Кто не смог решить задачу?

Проверить у одного ответ и спросить кто согласен с ним.

Если не смогут решить: Я так и рассчитывал, что вы не сможете сразу решить ее, но дал вам возможность поразмышлять, т. к. отрицательный результат тоже результат.

И сказать ответ компьютера.

Ответ. Этьен убийца, убийство произошло после полуночи. Француа не лгал и не был пьян.

Многие из вас смотрели или читали детективы. Каждый из вас пытался определить кто виновен. И задачи такого типа (которую мы сейчас решали) способствуют развитию логического мышления.

Следующая задача тоже направлена на развитие логического мышления, но может иметь и практическое направление на каком-нибудь производстве. Здесь мы имеем дело с числами, а там будем иметь дело например с какими-то деталями.

Задача 3 (по приложению 5)

Мимо наблюдателя движутся числа. Наблюдатель должен вычеркивать числа в соответствии с 4 правилами:

1. Вычеркивать четные числа, одновременно кратные 3 и при этом такие, которые при делении на 7 дают в остатке 3;

2. Вычеркивать числа не кратные 3, но кратные 2 и при этом такие, которые при делении на 7 дают в остатке 3;

3. Вычеркивать числа кратные 3 и 2, если они не дают в остатке 3;

4. Вычеркивать четные не кратные 3 и не дающие при делении на 7 в остатке 3.

Упростить сводку правил.

Решение.

Для решения введем следующие обозначения:

А = {числа кратные 3}

B = {числа кратные 2}

C = {числа которые при делении на 7 дают в остатке 3}

Тогда наша сводка правил примет вид:

объединив эти 4 правила операцией дизъюнкции получим логическую формулу и упростим ее:

Кто сделал? Кто не сделал?

Ответ у одного и сверить, кто согласен, кто не согласен. Если ответов несколько найти ошибку в решении.

Ответ. Наблюдатель должен вычеркивать числа кратные 2.

2. Решение логических задач с помощью рассуждений.

Под запись:

Этим способом обычно решают несложные логические задачи. При решении логических задач необходимо проверить все возможные варианты решения, т. к. в некоторых задачах может оказаться не один, а несколько ответов (которые также являются правильными).

Решим несколько таких задач. С помощью метода который называется «Мозговой штурм». Я вам напомню, что «Мозговой штурм» это решение задач с помощью коллективных рассуждений. На этом методе основана игра «Что? Где? Когда?».

Но предварительно разобьемся на группы по 4 человека. Каждая группа решает задачи самостоятельно, а затем сравним ответы и решения. В группе выберите человека который будет оглашать и защищать ваши ответы.

На решение задач вам дается 7 минут.

Задачи для решение по группам

1. Как разделить 7 яблок между 12 мальчиками, если ни одно яблоко нельзя разрезать более, чем на 5 частей (сперва разделить 3 яблока, затем 4).

2. На сковородке могут одновременно жариться две котлеты. Каждую котлету нужно обжарить с двух сторон, при этом для обжаривания ее с одной стороны требуется 2 мин. За какое наименьшее время можно поджарить 3 котлеты?
   (Сначала жарим на одной стороне 2 котлеты. Затем через 2 мин. одну переворачиваем, а вторую снимаем и заменяем третьей. Еще через 2 мин. снимаем готовую, заменяем отложенной, а третью переворачиваем. Всего на поджаривание потребуется 6 мин.)

3. Как отмерить 15 мин., необходимых для варки вкрутую яйца при помощи песочных часов, отмеряющих 7 мин. и 11 мин.

(Сначала запускаем обе пары часов, и когда истекают 7 мин, начинаем варить яйцо. Когда же закончат свою работу 11-минутеные часы, переворачиваем их).

4. Задача Ньютона: «Мне нужно Ваша помощь, чтобы посадить девять деревьев в десять рядов так, чтобы в каждом ряду было три. Скажи, - как, и я ничего больше у тебя не спрошу».

5. Исключите лишнее слово. Ответ объясните.

1. ЛОПЕДСИВЕ, ТОЦИМОКЛ, ЕЗДПО, ВАЙАМТР, БУСТОАВ

(ВЕЛОСИПЕД, МОТОЦИКЛ, ПОЕЗД, ТРАМВАЙ, АВТОБУС)

2. АДАПЗ, СКУР, ПРАВНАНИЕЛЕ, ВИЕСТШЕТЕПУ, ЕРЕВС

(ЗАПАД, КУРС, НАПРАВЛЕНИЕ, ПУТЕШЕСТВИЕ, СЕВЕР)

3. КУГР, ЛИПСЭЛ, РЕСТЛА, УГДА, ИВКЯ РА

(КРУГ, ЭЛЛИПС, СТРЕЛА, ДУГА, КРИВАЯ)

4. ВЕСЗАНА, ИТЩ, ВОДНЕ, ФИТРЛЬ, НАСТЕ

(ЗАНАВЕС, ЩИТ, НЕВОД, ФИЛЬТР, СТЕНА все является преградой, но СТЕНА женского рода)

5. КОЛЫШГОР, КАПРОБ, НОКАЖ, ИНКАСП, КАРУЧ

(ГОРЛЫШКО, ПРОБКА, НОЖКА, СПИНКА, РУЧКА все слова имеют уменьшительно ласкательные суффиксы, кроме слова ПРОБКА)

Дополнительно:

1. Известно, что бумеранг можно бросить так, что он вернется обратно. Можно ли бросить теннисный мяч, чтобы он вернулся обратно?

(Можно, например, бросить вверх)

2. «Позавчера мне было 10 лет, а в будущем году мне исполнится 13 лет». Может ли такое быть?

(Да. Разговор был 1 января, а день рождения 31 декабря)

3. Отец с хитрой улыбкой задает своему сыну-первокласнику вопрос: назови самое большое число. Получив ответ, он лишь удивленно качает головой. Что ответил сын? (31)

4. Подведение итогов и домашнее задание.

Время нашего урока подходит к концу. И прежде чем подвести итог вернемся к началу урока. Целью нашего урока было научится решать логические задачи с помощью двух методов: с помощью алгебры логики и с помощью рассуждений.

Как вы считаете, вы готовы решать проблемные задачи с помощью данных методов?

Тогда я вам дам два типа домашнего задания общее для всех и индивидуальное. Общим будет задача представленная в начале урока, я повторю ее условий, а индивидуальным будут задачи с которыми некоторые не справились. Попробуйте их решить дома.

Спасибо за урок, вы все сегодня хорошо поработали!

Приложение

Раздаточный материал к уроку

Задача 1.

Внимание Андрея, Дениса и Марата привлек промчавшийся мимо них автомобиль.

• Это английская машина марки «Феррари», - сказал Андрей.

• Нет, машина итальянская, марки «Понтака» - возразил Денис.

• Это "Сааб", и сделан не в Англии, - сказал Марат.

Оказавшийся рядом знаток автомобилей сказал, что каждый из них прав в одном из двух высказанных предположений.

Какой же марки этот автомобиль и в какой стране изготовлен?

Задача 2.

Познакомимся с группой строителей. Их пять человек: Андреев, Борисов, Иванов, Петров и Сидоров. Профессии у них разные: один из них - маляр, другой - плотник, третий - штукатур, четвертый - каменщик, пятый - электрик. Они рассказали о себе следующее. Петров и Иванов никогда не держали в руках малярной кисти. Петров и Борисов живут в одном доме со штукатуром. Андреев и петров подарили электрику красивую вазу. Борисов и петров помогали плотнику строить гараж. Сидоров и Борисов по субботам встречаются у электрика, а штукатур по воскресеньям приходит в гости к Андрееву.

Определите по этим данным у кого какая профессия.

Задача 3.

Вернувшись домой, Мегрэ позвонил на набережную Орфевр.
- Говорит Мегрэ. Есть новости?

• Да, шеф. Поступили сообщения от инспекторов. Торранс установил, что если Франсуа был пьян, то либо Этьен убийца, либо Француа лжет. Жусьен считает, что или Этьен убийца, или Француа не был пьян и убийство произошло после полуночи. Люка (инспектор) просил передать, что если убийство произошло после полуночи, то либо Этьен убийца, либо Француа лжет. Затем звонил …

• Все, спасибо. Этого достаточно. - Комиссар положил трубку. Он знал, что трезвый Француа никогда не лжет. Теперь он знал все.

Задача 4.

Пятеро юношей: Эдуард, Ричард, Майкл, Юджин и Томас, придя на вечеринку встретили своих сестер: Джейн, Маргарет, Лилиан, Анну, Хлою. Определите родственные связи между молодыми людьми, если известно, что юноши не являются родственниками и каждый брат имеет одну сестру. Чтобы запутать присутствующих, каждый из юношей высказал одно истинное и одно ложное утверждение. Эдуард сказал: «Моя сестра - Анна, а сестра Майкла - Джейн». Ричард сказал: «Сестра Юджина - Маргарет, а моя - Анна». Юджин сказал: «Моя сестра - Хлоя, а сестра Томаса - Лилиан». Томас сказал: «Да, моя сестра - Лилиан, а сестра Ричарда - Маргарет».

Задача 5.

Мимо наблюдателя движутся числа. Наблюдатель должен вычеркивать числа в соответствии с 4 правилами:
1. Вычеркивать четные числа, одновременно кратные 3 и при этом такие, которые при делении на 7 дают в остатке 3;
2. Вычеркивать числа не кратные 3, но кратные 2 и при этом такие, которые при делении на 7 дают в остатке 3;
3. Вычеркивать числа кратные 3 и 2, если они не дают в остатке 3;
4. Вычеркивать четные не кратные 3 и не дающие при делении на 7 в остатке 3.

Упростить сводку правил.

Задачи для решения по группам

1. Как разделить 7 яблок между 12 мальчиками, если ни одно яблоко нельзя разрезать более, чем на 5 частей.

2. На сковородке могут одновременно жариться две котлеты. Каждую котлету нужно обжарить с двух сторон, при этом для обжаривания ее с одной стороны требуется 2 мин. За какое наименьшее время можно поджарить 3 котлеты?
   
   

3. Как отмерить 15 мин., необходимых для варки вкрутую яйца при помощи песочных часов, отмеряющих 7 мин. и 11 мин.
   
   

4. Задача Ньютона: «Мне нужно Ваша помощь, чтобы посадить девять деревьев в десять рядов так, чтобы в каждом ряду было три. Скажи, - как, и я ничего больше у тебя не спрошу».

5. Исключите лишнее слово. Ответ объясните.

1. ЛОПЕДСИВЕ, ТОЦИМОКЛ, ЕЗДПО, ВАЙАМТР, БУСТОАВ

2. АДАПЗ, ГКУР, ПРАВНАНИЕЛЕ, ВИЕСТШЕТЕПУ, ЕРЕВС

3. КУГР, ЛИПСЭЛ, РЕСТЛА, УГДА, ИВКЯ РА

4. ВЕСЗАНА, ИТЩ, ВОДНЕ, ФИТРЛЬ, НАСТЕ

5. КОЛЫШГОР, КАПРОБ, НОКАЖ, ИНКАСП, КАРУЧ

8