М. И. Иванчук

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MAXIMA

Учебно-методическое пособие

для учащихся 10-11 классов

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие 3

§1.Основные понятия программы Maxima. 4

§2. Функции и команды программы Maxima. 6

§3.Действия над элементарными и тригонометрическими выражениями. 14

§4.Вычисление логарифмов 20

§5.Решением линейных уравнений и систем алгебраических уравнений. 23

§6.Решение тригонометрических уравнений 25

§7. Построение графиков функций на плоскости и в пространстве. 28

§8.Вычисление пределов функций. 37

§9.Вычисление производных функций. 39

§10.Вычисление интегралов функций. 46

Практические и контрольные работы. 50

Предисловие

Данное учебное пособие предназначено для учащихся 10-11 классов физико-математического, информационно-технологического и экономического профилей.

В настоящем пособии рассмотрены основные теоретические и практические вопросы по использованию пакета Maxima для решения математических задач.

Maxima - это программа для выполнения математических вычислений, символьных преобразований и построения графиков.

Maxima является универсальным математическим пакетом, позволяющим решать большое количество сложных математических задач без использования программирования. Существуют две идентичные версии пакета для операционных систем Windows и Linux.

Преимуществами программы являются ее возможность свободного использования (распространяется на основе лицензии GNU), широкий класс решаемых задач, в программе есть справка и инструкция по работе с программой.

Среди возможностей Maxima: решение уравнений, построение двухмерных и трехмерных графиков, упрощение выражений, использование широкого спектра математических функций, дифференцирование и интегрирование функций и многое другое. С каждой новой версией в Maxima появляются новые функциональные возможности и виды решаемых задач.

Отдельным разделом в пособии представлены практические и контрольные работы.

§1. Основные понятия программы Maxima

Изучая и анализируя современное состояние применения прикладных программных средств (ППС) в процессе обучения, следует отметить, что на сегодняшний день уже сформировался определенный набор компьютерных программ, эффективно используемых в процессе преподавания математического цикла.

Среди современных ППС особое место занимают пакеты прикладных математических программ (ППМП). Универсальные математические пакеты предоставляют новые широкие возможности для совершенствования образования на всех, без исключения, его этапах - от целенаправленного обучения и образования до комплексной подготовки обучаемого к профессиональной деятельности и самореализации. Велика роль пакетов прикладных программ при изучении математики. Облегчая решение сложных задач, они снимают психологический барьер в изучении математики и делают этот процесс интересным и более простым.

Maxima - математическая система символьных и численных вычислений. Программа работает в консольном режиме и виде оконного приложения. При проведении вычислений, Maxima использует точные дроби, целые числа и числа с плавающей точкой, что позволяет проводить вычисления с очень высокой точностью.

История проекта, известного ныне под именем Maxima, началась еще в конце 60 - х годов в легендарном MIT (Massachusetts Institute of Technology- Массачусетский Технологический институт), когда в рамках существовавшего в те годы большого проекта MAC началась работа над программой символьных вычислений, которая получила имя Macsyma (от MAC Symbolic MAnipulation). Архитектура системы была разработана к июлю 1968 г., непосредственно программирование началось в июле 1969. В качестве языка для разработки системы был выбран Lisp, и история показала, насколько это был правильный выбор: из существующих в то время языков программирования он единственный продолжает развиваться и сейчас - спустя почти полвека после старта проекта. Macsyma была закрытым коммерческим проектом; его финансировали государственные и частные организации, среди которых были вошедшее в историю ARPA (Advanced Research Projects Agency), Энергетический и Оборонный Департаменты США (Departments of Energy & Defence, DOE and DOD). Проект активно развивался, а организации, контролирующие его, менялись не раз, как это всегда бывает с долгоживущими закрытыми проектами. В 1982 году профессор Уильям Шелтер начал разрабатывать свою версию на основе этого же кода, под названием Maxima. В 1998 году Шелтеру удалось получить от DOE права на публикацию кода по лицензии GPL. Первоначальный проект Macsyma прекратил свое существование в 1999 году. Уильям Шелтер продолжал заниматься разработкой Maxima вплоть до своей смерти в 2001 году. Но, что характерно для открытого ПО, проект не умер вместе со своим автором и куратором. Сейчас проект продолжает активно развиваться, и участие в нем является лучшей визитной карточкой для математиков и программистов всего мира.

Maxima является универсальным математическим пакетом, позволяющим решать большое количество сложных математических задач без использования программирования. Существуют две идентичные версии пакета для ОС Windows и Linux.

На данный момент ППП Maxima может:

• Использоваться как обычный калькулятор для простых вычислений;

• Вычислять и упрощать символьные выражения;

• Использовать для вычисления интегралов и производных функций;

• Решать системы линейных алгебраических уравнений, работать с матрицами и определителями;

• Решать нелинейные алгебраические уравнения;

• Решать системы нелинейных алгебраических уравнений;

• Строить графики, как в декартовых, так и в полярных координатах, различные диаграммы и гистограммы;

• Решать дифференциальные уравнения;

• Создавать документы, которые хорошо выглядят в отчетах.

С каждой новой версией в пакете Maxima появляются новые функциональные возможности и виды решаемых задач. Пакет позволяет решать символьные и численные выражения. Имеется довольно обширная литература для работы с пакетом. Кроме того, есть возможность познакомиться с системой Maxima-онлайн - аналогично производя вычисления.

§2. Функции и команды программы wxMaxima

В верхней графической части окна интерфейса wxMaxima демонстрируется версия загруженной программы. Ниже расположена панель управления, содержащая следующие команды: файл, правка, cell, maxima, уравнения, алгебра, анализ, упростить, графики, численные расчеты и помощь. Далее расположено рабочее поле, ниже строка состояния.

В Maxima для ввода функций и команд существует два способа. Первый способ: в панели управления выбираем нужную команду и вводим пример. Ввод команд через диалоговые окна упрощает работу с программой для новичков . Второй способ заключется в следующем: ставим курсор в рабочее поле набираем нужную команду или фукцию. Но таким способом мы решаем, если знаем «название» функции или команды. Разделяются функции и команды символом «;» (точка с запятой).

При использовании интерфейса Maxima, можно выделить в окне вывода результатов необходимую формулу и, вызвав контекстное меню правой кнопкой мыши, скопировать любую формулу в текстовом виде или в виде графического изображения, для последующей вставки в какой-либо документ.

После ввода команды необходимо нажать Enter для ее обработки и вывода результата. Завершение ввода $ (вместо точки с запятой) позволяет вычислить результат введенной команды, но не выводить его на экран. В случае, когда выражение надо отобразить, а не вычислить, перед ним необходимо поставить знак «'» (одинарная кавычка).

Две одинарные кавычки последовательно, примененные к выражению во входной строке, приводят к замещению входной строки результатом вычисления выражения.

Пример №1: Показать использование одинарных кавычек

1. Наводим курсор на рабочее поле и записывает выражение: «а:1024», что означает «присвоить а число 1024». В дальнейшем можно будет записывать не число 1024, а просто a.

2. Аналогично присваиваем b значение 19.

3. Вычислим следующее выражение: . Для этого запишем в wxMaxima следующее: , так как - команда для вычисления квадратного корня. И увидим, что wxMaxima выдаст ответ 51.

4. Затем ставим одинарную кавычку и записываем снова это выражение . WxMaxima выдаст следующее сообщение: .

5. Если поставить две одинарные кавычки и %, то maxima выдаст 51.

После ввода, каждой команде присваивается порядковый номер. В рассмотренном примере (см. выше), введенные команды имеют номера 1-5 и обозначаются (%i1), (%i2) и т.д.

Результат вычисления также имеет порядковый номер, например (%o1), (%o2) и т.д., где i - сокращение от англ. input (ввод), а o - англ. output (вывод). Этот механизм позволяет избежать в последующих вычислениях повторения полной записи уже выполненных команд, например (%i1) + (%i2) будет означать добавление к выражению первой команды - выражение второй и последующий результат. Также можно использовать и номера вычислений (%o1)* (%o2). Для последней выполненной команды в Maxima есть специальное обозначение - %.

Пример №2: Показать использование номеров вычислений:

1. Присвоим x значение 4.

2. Вычислим

3. С помощью обозначения «%» возведем x в 3 степень.

Правила ввода чисел в Maxima точно такие, как и для многих других подобных программ. Целая и дробная часть десятичных дробей разделяются символом точка. Перед отрицательными числами ставиться знак минус. Числитель и знаменатель обыкновенных дробей разделяется при помощи символа «/» (прямой слэш). Важно обратить внимание, что если в результате выполнения операции получается некоторое символьное выражение, а необходимо получить конкретное числовое значение в виде десятичной дроби, то решить эту задачу позволит применение флага numer. В частности он позволяет перейти от обыкновенных дробей к десятичным. Преобразование к форме с плавающей точкой осуществляется также функция float.

Пример №3: Преобразовать к форме с плавающей точкой

1. Запишем выражение в maxima следующим образом: Программа выдаст следующее: .

2. На панели инструментов выберем вкладку «численные расчеты»→to float. Получим следующее значение: 2,095238095238095

Также можно в рабочем поле записать float (5/7)

Обозначение арифметических операций в Maxima ничем не отличается от классического представления: +, -, *, /. Возведение в степень можно обозначить несколькими способами: ^, **. Извлечение корня из степени n, записываем, как степень 1/n.

Для увеличения приоритета операции, как и в математике, используются круглые скобки (). Список основных арифметических и логических операторов приведен в таблицах 1 и 2.

Таблица 1

Арифметические операторы

+

-

*

Оператор сложения

Оператор вычитания или изменения знака

Оператор умножения

/

^ или **

Оператор деления

Оператор возведения в степень

Таблица 2

Логические операторы

<

Оператор сравнения меньше

>

Оператор сравнения больше

<=

Оператор сравнения меньше или равно

>=

Оператор сравнения больше или равно

≠

Оператор сравнения не равно

=

Оператор сравнения равно

And

Логический оператор «и»

Or

Логический оператор «или»

Not

Логический оператор «не»

В wxMaxima для удобства вычислений имеется ряд встроенных констант. Самые распространенные из них показаны в таблице 3. Еще в wxMaxima используются встроенные функции, в таблице 4 приведены только те, которые будут использоваться в школьном курсе.

Присваивание значений переменной осуществляется с использованием символа «:» (двоеточие), например, x:5. Если необходимо удалить значение переменной (очистить ее), то применяется метод kill:

Kill (x) - удалить значение переменной x;

Kill (all) - удалить значение всех используемых ранее переменных.

Таблица 3

Основные константы Maxima

Название

Обозначение

Слева (в отношении пределов)

Minus

Справа (в отношении пределов)

Plus

Плюс бесконечность

Inf

Минус бесконечность

Minf

Число π

%pi

e (экспонента)

%e

Мнимая единица

%i

Истина

True

Ложь

False

Золотое сечение

%phi

Таблица 4

Некоторые встроенные математически функции системы Maxima

Abs(x)

Модуль числа x

Sqrt(x)

Квадратный корень из x

Acos(x)

Арккосинус аргумента x

Acot(x)

Арккотангенс аргумента x

Asin(x)

Арксинус аргумента x

Atan(x)

Арктангенс аргумента x

Sin(x)

Синус аргумента x

Tan(x)

Тангенс аргумента x

Log(x)

Натуральный логарифм x

Exp(x)

Экспонента x

Заметим, что в системе Maxima есть все элементарные функции, но одними встроенными функциями не обойтись. Очень часто при решении математических задач приходится сталкиваться со сложными функциями, которые строятся на основе элементарных математических функций.

Задания для проверки знаний учащихся

Карточка № 1

1. Найдите значения числовых выражений:

2. Оформить решение. Для задания 2 представить результат в виде десятичной дроби.

Карточка № 2

1. Найдите значения числовых выражений:

2. Оформить решение. Для задания 2 представить результат в виде десятичной дроби.

Карточка № 3

1. Найдите значения числовых выражений:

2. Оформить решение. Для задания 2 представить результат в виде десятичной дроби

Карточка № 4

1. Найдите значения числовых выражений:

2. Оформить решение. Для задания 2 представить результат в виде десятичной дроби

Карточка № 5

1. Найдите значения числовых выражений:

2. Оформить решение. Для задания 2 представить результат в виде десятичной дроби

Карточка № 6

1. Найдите значения числовых выражений:

2. Оформить решение. Для задания 2 представить результат в виде десятичной дроби

Задания для проверки знаний учащихся (продолжение)

Карточка № 1

1. Вычислите

a)x=2, y=3, b)x=1.3, y=-0.5

2. Sin20⁰+sin40⁰-cos10⁰=?

3. Найдите значение функции:

, при x=4.

Карточка № 2

1. Вычислите

a)x=5.52, y=12.2, b)x=18, y=2.1

2. Cos85⁰+cos35⁰-cos25⁰=?

3. Найдите значение функции:

, при x=0.2.

Карточка № 3

1. Вычислите

a)x=1, y=0.5, b)x=1.5, y=-1.5

2. Sin87⁰-sin59⁰-sin93⁰+sin61⁰=?

3. Найдите значение функции:

, при x=.

Карточка № 4

1. Вычислите

a)a=20, b=14, b)a=10.8, b=-5

2. Sin115⁰-cos35⁰+cos65⁰+cos25⁰ =?

3. Найдите значение функции:

, при x=3.4.

Карточка № 5

1. Вычислите

a)a=13, b=, b)a=7.4, b=3.6

2. =?

3. Найдите значение функции:

, при x=4/6.

Карточка № 6

1. Вычислите

a)x=1.1, y=1.41, b)x=13/5, y=-7

2. =?

3. Найдите значение функции:

, при x=-/2.

Вопросы для проверки:

1. Перечислите основные составляющие рабочего окна программы wxMaxima.

2. Сколькими способами можно задать команды в программе wxMaxima. Расскажите об этих способах.

3. Составьте пример, использующий все операторы из таблицы 1.

§3. Действия над элементарными и тригонометрическими выражениями

Выражение¹ - это цифры, переменные и имеющие смысл соединения их с помощью знаков арифметических операций «+, -, *,:» или с помощью символов функций, таких как √, возведение в степень, sin, f, знак абсолютной величины, запятая и скобки.

Бывают выражения без переменных, например, цифры или π, которые обозначают конкретные объекты из подходящей основной области и выражения с переменными, обозначающие конкретный объект из соответствующей основной области только после подстановки всех свободных переменных. Этот объект называется значением выражения.

Произведение n натуральных чисел от 1 до n обозначают n! (читают: «n факториал²).

Для того чтобы производить вычисления и преобразования арифметических выражений в wxMaxima, рассмотрим несколько полезных функций, которые нам пригодятся в ходе решения:

assume - ввод ограничений и forget - снятие ограничений;

divide - нахождение частного и остатка от деления одного многочлена на другой;

factor - разложение на множители;

expand - раскрытие скобок;

gcd - наибольший общий делитель многочленов;

ratsimp - упрощение выражения;

partfrac - преобразование в простые дроби по заданной переменной;

trigsimp - тригонометрическое упрощение;

trigexpand (тригонометрическое раскрытие скобок) - использует формулы преобразования сумм двух углов для представления введенного выражения в как можно более простом виде - где в качестве аргумента только одна переменная;

trigreduce (приведение тригонометрическое) - преобразует тригонометрическое выражение к сумме элементов, каждый из которых содержит только sin или cos;

Рассмотрим примеры.

Пример №1: Для ввести и затем убрать ограничение.

1. Введем выражение в рабочее поле: для этого наведем курсор на рабочее поле и введем . (sqrt - корень квадратный из выражения или числа, ^ - возведение в степень). wxMaxima выведет выражение

2. Введем ограничение x<0. Для этого введем функцию ограничения assume (x<0). wxMaxima выведет [x<0] и если мы снова введем выражение sqrt(x^2), то получим ответ: -x.

3. Для того, чтобы убрать ограничение x<0, необходимо ввести функцию forget (x<0), и затем снова ввести sqrt(x^2). wxMaxima выведет .

Вводить функции и команды можно не только через рабочее поле, но и используя панель инструментов.

Пример №2: Найти частное и остаток от деления на .

1. На панели инструментов выберем вкладку «анализ»→ «divide polynomials».

2. Появиться окно

В первую строку вводим , во вторую -

3. Получаем ответ, где первый элемент полученного массива - частное, второй - остаток от деления.

Пример №3: Разложить на множители .

Пример №4: Раскрыть скобки в выражении .

Пример №5: Найти наибольший делитель многочлена , , .

Пример №6: Упростите выражение .

Пример №7: Преобразуйте выражение: в простые дроби по переменной x.

Пример №8: Упростите тригонометрическое выражение .

Пример №9: Раскройте скобки в тригонометрическом выражении .

Пример №10: Преобразуйте тригонометрическое выражение к сумме элементов .

Таким образом, можно провести вычисления и преобразования элементарных и тригонометрических выражений, раскрытие скобок в выражениях в wxMaxima.

Операция нахождения факториала обозначается восклицательным знаком (!), стоящим после своего аргумента. Двумя восклицательными знаками обозначается полуфакториал (произведение всех четных или нечетных чисел, меньших либо равных данному).

Пример №11: Найти факториал 5.

1. Нажав курсором в рабочее поле, введем 5!;

2. Программа выдаст ответ: 120

Задания для проверки знаний учащихся

Карточка № 1

1. Для сначала введите, а затем уберите ограничения.

2. Найдите частное и остаток от деления на .

3. Разложите на множители .

4. Раскройте скобки в выражении .

5. Упростите тригонометрическое выражение .

6. Найдите факториал числа 15.

Карточка № 2

1. Для сначала введите, а затем уберите ограничения.

2. Найдите частное и остаток от деления на .

3. Разложите на множители .

4. Раскройте скобки в выражении .

5. Упростите тригонометрическое выражение .

6. Найдите факториал числа 13.

Карточка № 3

1. Для сначала введите, а затем уберите ограничения.

2. Найдите частное и остаток от деления на .

3. Разложите на множители .

4. Раскройте скобки в выражении .

5. Упростите тригонометрическое выражение .

6. Найдите факториал числа 18.

Карточка № 4

1. Для сначала введите, а затем уберите ограничения.

2. Найдите частное и остаток от деления на .

3. Разложите на множители .

4. Раскройте скобки в выражении .

5. Упростите тригонометрическое выражение .

6. Найдите факториал числа 10.

Вопросы для проверки:

1. Дайте определение следующим понятиям: выражение, факториал. Какими бывают выражения?

2. Какие команды используются в программе Maxima для преобразования арифметических и тригонометрических выражений, для вычисления факториала?

§4. Вычисление логарифмов

Логарифмом³ положительного числа N по основанию b (b>0, b1) называется показатель степени x, в которую нужно возвести b, чтобы получить N .

Обозначается логарифм: и она равнозначна следующей записи: . Данные записи однозначны.

Натуральным логарифмом⁴ называют логарифм этого числа по основанию е, где e -иррациональная константа, равная приблизительно 2,7. Натуральный логарифм обычно обозначают как ln(x), log_e(x) или иногда просто log(x), если основание не подразумевается.

Натуральный логарифм числа x (записывается как ln(x)) - это показатель степени, в которую нужно возвести число e, чтобы получить x. Например, ln(7,389...) равен 2, потому что e²=7,389. Натуральный логарифм самого числа e (ln(e)) равен 1, потому что e¹=e, а натуральный логарифм 1 (ln(1)) равен 0, поскольку e⁰ = 1.

В wxMaxima нет десятичного логарифма, причем то, как мы привыкли записывать десятичный логарифм (Log), Maxima интерпретирует как логарифм натуральный.

Log - функция вычисления натурального логарифма.

Radcan - функция принудительного упрощения выражения с логарифмами, а также выражения содержащие экспоненты, радикалы, путем преобразования к форме, которая является канонической для широкого класса выражений.

Пример №1: Вычислите .

1. Наведите курсор на рабочее поле.

2. Введите , так как e - константа, то сначала нужно записать % и как уже говорилось, Ln записывается как десятичный логарифм (log).

3. Maxima вывела следующий результат:

Десятичный логарифм можно легко вычислить, используя его свойства:

Пример №2: Вычислите логарифм

Пример №3: Вычислите логарифм

Задания для проверки знаний учащихся

Карточка № 1

1. Вычислить логарифм

2. Вычислить логарифм

3. Вычислить логарифм

Карточка № 2

1. Вычислить логарифм

2. Вычислить логарифм

3. Вычислить логарифм

Карточка № 3

1. Вычислить логарифм

2. Вычислить логарифм

3. Вычислить логарифм

Карточка № 4

1. Вычислить логарифм

2. Вычислить логарифм

3. Вычислить логарифм

Вопросы для проверки:

1. Дайте определение логарифма и натурального логарифма.

2. Какие функции используются для вычисления логарифма? Расскажите о них.

3. Приготовьте сообщение о команде Radcan. Как именно она вычисляет логарифмы?

§5. Решение линейных уравнений и систем алгебраических уравнений

Уравнение⁵ вида называется линейным уравнением с неизвестным x.

Уравнение называется алгебраическим⁶, если каждая его частей есть многочлен или одночлен по отношению к неизвестным величинам.

Решение системы алгебраического уравнения заключается в нахождении его корней.

Решение алгебраических уравнений и их систем в wxMaxima осуществляется при помощи функции solve. В качестве параметров в первых квадратных скобках указывается список уравнений через запятую, во вторых - список переменных, через запятую.

Solve - решение алгебраических уравнений и их систем.

Пример №1. Решите линейное уравнение

1. На панели инструментов выберите вкладку «уравнения» → «solve»

2. В появившемся окне записываем уравнение по переменной x

3. Нажимаем «ОК» и получаем следующий ответ:

Пример №2: Решите уравнение по переменной x

Как мы видим из рассмотренного примера, программа Maxima позволяет находить комплексные числа.

Пример №3: Решите уравнение -3=0

Пример №4: Решате систему уравнений

Пример № 5. Решить уравнение

В случае множества решений у тригонометрических уравнений выдается соответствующее сообщение и только одно из решений, как показано выше на примере.

Задания для проверки знаний учащихся

Карточка № 1

1. Решить уравнение

2. Решить систему уравнений

3. Решить тригонометрическое уравнение

Карточка № 2

1. Решить уравнение

2. Решить систему уравнений

3. Решить тригонометрическое уравнение

Карточка № 3

1. Решить уравнение

2. Решить систему уравнений

3. Решить тригонометрическое уравнение

Карточка № 4

1. Решить уравнение

2. Решить систему уравнений

3. Решить тригонометрическое уравнение

Вопросы для проверки:

1. Что называется уравнением? Какие уравнения Вы знаете?

2. Какая команда используется для решения уравнений?

3. Рассмотрите примеры в программе Maxima, которые вы еще не рассматривали на занятии.

§6. Решение тригонометрических уравнений

Уравнение , где a - данное число, а - одна из основных тригонометрических функций, называют простейшим тригонометрическим⁷ уравнением.

Тригонометрические уравнения бывают самых различных видов и сложности. В конечном счете, все тригонометрические уравнения сводятся к простейшим тригонометрическим уравнениям.

Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида:

В ходе решения тригонометрических уравнений часто приходится применять формулы суммы и разности аргументов, формулы суммы и разности синусов и косинусов, формулы двойного и половинного угла, формулы понижения степени и др.

Для решения тригонометрических уравнений в Maxima используются следующие функции:

trigexpand - раскладывает все тригонометрические функции от сумм и произведений в комбинации соответствующих функций единичных углов и аргументов.

trigreduce - свертывает все произведения тригонометрических функций в комбинации соответствующих функции от сумм.

trigsimp - упрощает тригонометрические выражения, применяя к ним правила: и .

trigrat - приводит заданное тригонометрическое выражение к канонической упрощенной квазилинейной форме.

Пример №1: Используя известные тождества, разложите тригонометрическую функцию

1. На панели инструментов открыть вкладку «упростить» → «trigonometric simplification» → «expand trigonometric»

2. Появиться следующее окно:

3. Вместо % вводим выражение . Получаем:

Пример №2: Используя известные тождества, разложите тригонометрическую функцию

Пример №3: Используя известные тождества, сверните тригонометрическую функцию

Пример №4: Используя известные тождества, упростите тригонометрическое выражение

Пример №5: Приведите тригонометрическое выражение к каноническому виду

Задания для проверки знаний учащихся

Карточка №1

1. Разложить тригонометрическую функцию, используя известные тождества:

2. Свернуть тригонометрическую функцию

3. Упростить тригонометрическое выражение

4. Приведите тригонометрическое выражение к каноническому виду

Карточка №2

1. Разложить тригонометрическую функцию, используя известные тождества:

2. Свернуть тригонометрическую функцию

3. Упростить тригонометрическое выражение

4. Приведите тригонометрическое выражение к каноническому виду

Карточка №3

1. Разложить тригонометрическую функцию, используя известные тождества:

2. Свернуть тригонометрическую функцию

3. Упростить тригонометрическое выражение

4. Приведите тригонометрическое выражение к каноническому виду

Карточка №4

1. Разложить тригонометрическую функцию, используя известные тождества:

2. Свернуть тригонометрическую функцию

3. Упростить тригонометрическое выражение

4. Приведите тригонометрическое выражение к каноническому виду

Вопросы для проверки:

1. Какие уравнения называются тригонометрическими? Перечислите простейшие тригонометрические уравнения.

2. Какие команды используются при вычислении тригонометрических уравнений?

§7. Построение графиков на плоскости и в пространстве

Функция ⁸ - это зависимость между двумя множествами, при котором каждому элементу из одного множества ставится в соответствии с некоторым правилом, законом единственный элемент из другого множества.

Графиком функции ⁹ y = f(x) называют множество тех и только тех точек на координатной плоскости xOy, координаты которых удовлетворяют условию y = f(x).

Другими словами, график функции y = f(х) - это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x).

С помощью графика можно находить значение функции в точке. Именно, если точка х = а принадлежит области определения функции y = f(x), то для нахождения числа f(а) (т. е. значения функции в точке х = а) следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой х = а провести прямую, параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график функции y = f(x) в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а).

Для того, чтобы начать построение графиков функций в системе Maxima, необходимо изучить команды системы Maxima для построения графиков.

Сразу стоит отметить, что при построении графика стоит обращать внимание на масштаб делений по осям. И если вместо ожидаемой окружности, мы увидим эллипс, то, скорее всего это произошло именно из-за несоответствия масштаба делений по осям.

Для графических построений в системе Maxima предусмотрены две функции - plot2d и plot3d (одно из значений слова plot - график, а аббревиатура 2d и 3d переводятся как двумерный и трехмерный).

Графические возможности в Maxima реализованы посредством внешних программ. По умолчанию, построением графиков в Maxima занимается gnuplot и разрабатываемый вместе с Maxima и идущий в ее же пакете openmath.

Построение графиков на плоскости.

Синтаксис функции plot2:

plot2d(выражение, [переменная, начало, конец]) - в случае построения одного графика функции.

plot2d([выражение 1, выражение 2,…], [переменная, начало, конец]) - в случае построения нескольких графиков функции.

Выражение задает функцию, график которой нужно построить, переменная - неизвестное, входящее в выражение, начало и конец задают отрезок оси Ox для построения графика. Участок по оси Oy выбирается автоматически, исходя из минимума и максимума функции на заданном промежутке.

Рассмотрим несколько примеров построения графиков функций.

Пример №1: Постройте график функции

Построение графика можно произвести двумя способами:

1способ:

1. На панели инструментов выберите вкладку «графики» → «plot 2d»

2. Появиться окно, в котором указывается выражение(ния), переменные x и y, зададим функцию на отрезке x[-10;10]

3. Появиться следующее окно:

И получаем следующий график:

2 способ:

1. Наводим курсор на рабочее поле и с клавиатуры запишем: plot2d([x^2+5*x+6],[x,-10;10]);

2. Нажимаем «ctrl + enter» и появляется тот же график.

Пример №2: Постройте график функции на промежутке

Видим, что на данном графике, мы не указали параметры y. Он определился автоматически.

Пример №3: Построим график параболы и найдем точку пересечения ее с осями.

Чтобы определить, в каких именно точках парабола пересекается с осями, достаточно навести курсор на их пересечение и тогда в нижнем левом углу отобразятся координаты точек пересечения.

Из графика видно, что парабола пересекает ось Oy в точке (0;3), а ось Ox в точке (-2;0).

Пример №4: Постройте несколько графиков функций в одной системе координат: на промежутке

(для построения нескольких графиков функций на одной координатной плоскости записывают функции через запятую в квадратных скобках)

В результате решения получаем следующее:

Таким образом, был построен двумерный график, на котором показаны все три зависимости. Данный график построен с использованием функции plot2d, в котором первый аргумент - список функций, второй и третий - ограничения по осям координат. Третий аргумент является необязательным, если его не указать, то он будет подобран автоматически.

Функция Plot3d имеет два варианта вызова: один для явного задания функции и один для параметрического. Обоих случаях функция принимает три аргумента.

Построение графиков в пространстве.

Синтаксис функции plot3: Plot3d (выражение, [переменная1, начало, конец], [переменная2, начало, конец]);

Построение нескольких поверхностей в одной системе координат не поддерживается - поэтому, вероятно, что на таком рисунке проблематично было бы что-либо вставлять. Поэтому для параметрически заданной функции слово parametric не требуется. График параметрически заданной функции строится так:

Plot3d ([выражение1, выражение2, выражение3], [перемееная1, начало, конец], [переменная2, начало, конец]);, где выражения отвечают по порядку.

Пример №1: Постройте поверхность +4

1. Воспользуемся функцией plot3d. На панели инструментов выберите вкладку «графики» → «plot 3d». Появиться окно:

2. Введем уравнение x^2-4*x+4 и зададим отрезки. Получаем график:

Пример №2: Построить поверхность

, .

В данном примере также можно воспользоваться двумя способами.

1 способ:

1. Для этого воспользуемся функцией plot3d. На панели инструментов выберите вкладку «графики» → «plot 3d». Появиться окно:

3. Введем уравнение и зададим отрезки. Получим график:

2 способ:

Ввести в рабочем поле:

и получим такой же график.

Пример №3: Построить график поверхности заданный параметрически на промежутках , , [grid, 150,150].

Запишем это в wxMaxima следующим образом:

И получим график следующего вида:

Пример №4: Построить график поверхностей на промежутках и .

Запишем это в wxMaxima и получим следующий график:

И получим график следующего вида:

Задания для проверки знаний учащихся

Карточка №1

Построение графиков на плоскости

1. Постройте график функции

2. Постройте график функции на промежутке

3. Постройте график функции из задания 1 и найдите точку пересечения с осями.

Карточка №2

Построение графиков на плоскости

1. Постройте график функции

2. Постройте график функции на промежутке

3. Постройте график функции из задания 1 и найдите точку пересечения с осями.

Карточка №3

Построение графиков на плоскости

1. Постройте график функции

2. Постройте график функции на промежутке

3. Постройте график функции из задания 1 и найдите точку пересечения с осями.

Карточка №4

Построение графиков на плоскости

1. Постройте график функции

2. Постройте график функции на промежутке

3. Постройте график функции из задания 1 и найдите точку пересечения с осями.

Задания для проверки знаний учащихся

Карточка №1

Построение графиков в пространстве

1. Постройте поверхность

2. Постройте поверхность

3. Создайте свою поверхность.

Карточка №2

Построение графиков в пространстве

1. Постройте поверхность

2. Постройте поверхность

3. Создайте свою поверхность.

Карточка №3

Построение графиков в пространстве

1. Постройте поверхность

2. Постройте поверхность

3. Создайте свою поверхность.

Карточка №4

Построение графиков в пространстве

1. Постройте поверхность

2. Постройте поверхность

3. Создайте свою поверхность.

Вопросы для проверки:

1. Дайте определение понятию функция.

2. Что называется графиком функции?

3. Перечислите способы построения графиков.

4. Перечислите команды, используемые для построения графиков на плоскости и в пространстве.

§8. Вычисление пределов функций.

Предел функции¹⁰ y=f(x) при является А, если из того, что x неограниченно возрастает, следует, что соответствующие значения функции f(x) стремятся к А.

limit (функция, переменная, значение) - позволяет вычислить предел.

Предел слева обозначается minus, а справа - plus.

Maxima может искать пределы не только в конечных точках, но и на бесконечности. Среди стандартных обозначений программы существуют универсальные названия для разных бесконечностей: плюс-бесконечность записывается через inf, минус-бесконечность - через minf, При работе с пределами все обозначения могут как использоваться при вводе, так и возникать в виде найденного значения предела; при выводе могут отображаться в своей традиционной математической нотации, ∞ и −∞;

Пример № 1: Вычислить придел

1. На панели инструментов открыть вкладку «Анализ»→ «Find limit». После чего появиться следующее окно:

Здесь, кроме выражения мы можем указать еще и направление.

2. В графу «выражение» вводим «x^2».

3. В графе «точка» можно выбрать дополнительно: пункт «бесконечность».

4. После чего появляется окна со следующим ответом:

Пример № 2: Вычислите придел при x→1

Задание для проверки знаний учащихся

Карточка №1

1. Вычислите

2. Вычислите

3. Вычислите

4. Вычислите

5. Вычислите

Карточка №2

1. Вычислите

2. Вычислите

3. Вычислите

4. Вычислите

5. Вычислите

Карточка №3

1. Вычислите

2. Вычислите

3. Вычислите

4. Вычислите

5. Вычислите

Карточка №4

1. Вычислите

2. Вычислите

3. Вычислите

4. Вычислите

5. Вычислите

Вопросы для проверки:

1. Что называется пределом?

2. Какая функция используется в программе для вычисления пределов

3. Каким образом можно посчитать пределов функций слева и справа?

§9. Вычисление производных функций

Производной функции¹¹ , заданной на некотором интервале , в точке x этого интервала называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производная функции при данном x из интервала (если она в этой точке x существует) есть число. Если Производная функции существует при каждом значении x из интервала , то производная есть функция от x, определенная на интервале . Обозначается: . Также широко употребляются и другие обозначения производной: .

Производная элементарных функций

Производная функции - это изменение функции, а изменять функцию необходимо по определенным правилам. Существует так называемая таблица производных (см. таблицу 5), с помощью которой можно находить производную функции.

Таблица 5

Производные элементарных функций

(n принадлежит N)

(n принадлежит N)

, a>0

, a>0

, a>0, a≠1

, (a>0, a≠1)

В программе Maxima используется следующая функция для нахождения производной:

diff - позволяет найти производные, как первого, так и более высоких порядков. Синтаксис: diff(функция, переменная, порядок производной).

Проверим с помощью программы Maxima производные элементарных функций.

Пример №1: Посчитайте производную числа 5

1. На панели инструментов открыть вкладку «Анализ» → «differentiate» и затем появляется окно:

2. Записываем выражение, а именно число 5 и получаем:

Пример №2: Посчитайте производную x

Пример №3: Посчитайте производную sin x

Пример №4: Посчитайте производную

Пример №5: Посчитайте производную tg(x)

Таким образом, проверяются производные элементарных функций. Как записать тригонометрические выражения см. §1.

Производная суммы. Производная разности

В алгебре и математическом анализе существуют теоремы о сумме и разности производных, а также о постоянном множителе, который можно вынести за скобки.

Теорема 1: ¹² Если функции u(x) и v(x) имеют в точке x производные, то их сумма также имеет в этой точке производную, равную .

Аналогично сумме рассматривается разность: .

Теорема 2:¹³ Если функция u(x) имеет в точке x производную и A- данное число, то функция также имеет в этой точке производную, равную .

В Maxima для вычисления суммы и разности производной также используется функция diff.

Пример №1: Вычислите производную суммы

1. На панели инструментов открыть вкладку «Анализ» → «differentiate» и затем появляется окно:

2. Записываем выражение, а именно x^2+x и получаем:

Пример №2: Вычислите производную разности

Пример №3: Вычислите производную

Пример №4: Вычислите производную

Производная произведения. Производная частного

В алгебре и математическом анализе существуют теоремы о произведении и частном производных:

Теорема 1¹⁴: Если функции u(x) и v(x) имеют производные в точке x, то их произведение также имеет в этой точке производную, равную .

Теорема 1¹⁵: Если функции u(x) и v(x) имеют производные в точке x и , то их частное также имеет в этой точке производную, равную .

В Maxima для вычисления произведения и частного производной также используется функция diff и тот же синтаксис.

Пример №1: Вычислите производную произведения

1. На панели инструментов открыть вкладку «Анализ» → «differentiate» и затем появляется окно:

2. Записываем выражение, а именно x^2*%e^(-x) и получаем:

Пример №2: Вычислите производную произведения

Пример №3: Вычислите производную произведения

Пример №4: Вычислите производную частного

Производная сложной функции

"Двухслойная" сложная функция¹⁶ записывается в виде , где - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f. Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна .

Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке Эта формула легко обобщается на случай, когда сложная функция состоит из нескольких "слоев", вложенных иерархически друг в друга.

В Maxima для вычисления производной сложной функции также используется функция diff.

Пример №1: Для любого найти производную функции :

1. Чтобы найти производную выражения необходимо, на панели инструментов открыть вкладку «Анализ» → «differentiate» и затем появляется окно:

2. Записываем выражение, а именно sin (k*x+b) и получаем:

Пример №2: Вычислите производную сложной функции

Пример №3: Вычислите производную сложной функции

Задания для проверки знаний учащихся

Карточка №1

1. Проверьте производные из таблицы 5.

2. Вычислите производные

1. 

2. 

3. 

4. 

Карточка №2

1. Проверьте производные из таблицы 5.

2. Вычислите производные

1. 

2. 

3. 

4. 

Карточка №3

1. Проверьте производные из таблицы 5.

2. Вычислите производные

1. 

2. 

3. 

4. 

Карточка №4

1. Проверьте производные из таблицы 5.

2. Вычислите производные

1. 

2. 

3. 

4. 

Вопросы для проверки:

1. Дайте определение производной функции. Перечислите операции, выполнимые для производной. На основании чего мы можем их выполнить?

2. Какие команды используются для вычисления производной в программе Maxima?

§10. Вычисление интегралов функций

Пусть f - функция, определенная на некотором интервале l. Определенная на этом же интервале функция F называется первообразной функции f ¹⁷ тогда и только тогда, когда F на l дифференцируема и F'(x)=f(x) для всех

Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Неопределённый интеграл для функции - это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция определена и непрерывна на промежутке (a,b) и F(x) - её первообразная, то есть F'(x)=f(x) при , то , где С - произвольная постоянная.

Если функция f интегрируема в интервале [a,b], то общий предел последовательностей и называется определенным интегралом ¹⁸ функции f в интервале [a,b]. Определенный интеграл обозначается символом: . Его можно найти по формуле Ньютона - Лейбница: .

Чтобы решить интегралы в Maxima, нужно воспользоваться следующими функциями:

Integrate (функция, переменная) - функция для нахождения неопределенного интеграла, где в качестве аргументов указывается функция и переменная интегрирования.

Integrate (функция, переменная, левый предел, правый предел) - функция нахождения определенного интеграла, где в качестве аргументов указывается функция, переменная интегрирования, левый и правый пределы.

В качестве пределов интегрирования могут фигурировать бесконечность (inf) и минус бесконечность (minf).

Бывают случаи, когда интеграл расходиться и Maxima выдает сообщение «Integral is divergent».

В некоторых случаях Maxima может попросить доопределить некоторую переменную, как в случае интегрирования функции .

Пример №1: Вычислить неопределенный интеграл +3

1. На панели инструментов выберите вкладку «анализ» → «integrate».

2. Появиться окно:

3. Запишем выражение x^2+5*x+3 и нажмем «ОК». Получаем:

Пример №2: Вычислить определенный интеграл от 0 до π.

1. На панели инструментов выберите вкладку «анализ» → «integrate».

2. Затем появиться окно:

3. Запишем выражение sin(x) поставим галочку напротив определенного интегрирования, обозначим пределы интегрирования от 0 до π.

4. Поставим галочку численное интегрирование и нажмем «ОК». Получили:

Пример №3: Вычислить определенный интеграл от 0 до бесконечности

Пример №4: Вычислить интеграл

Задания для проверки знаний учащихся

Карточка №1

1. Вычислите неопределенный интеграл

2. Вычислите определенный интеграл от 0 до π.

3. Вычислите определенный интеграл от минус бесконечности до нуля

Карточка №2

1. Вычислите неопределенный интеграл

2. Вычислите определенный интеграл от 0 до π.

3. Вычислите определенный интеграл от нуля до бесконечности.

Карточка №3

1. Вычислите неопределенный интеграл

2. Вычислите определенный интеграл от 0 до 10.

3. Вычислите определенный интеграл от -3до 0.

Карточка №4

1. Вычислите неопределенный интеграл

2. Вычислите определенный интеграл от 0 до π.

3. Вычислите определенный интеграл от -2 до 4

Вопросы для проверки:

1. Дайте определение понятию интеграл. Расскажите о вычислении интеграла.

2. Какие команды используются в программе Maxima, для вычисления интегралов?

3. Найдите интеграл, для которого Maxima не дает ответ.

Практические и контрольные работы

Практическая работа №1

Используя математический пакет Maxima:

1. Вычислить

2. Найти значение выражения в десятичной записи.

3. Задать . Найти сумму .

4. Присвоить функции имя th и вычислить значения этой функции при a) , б) , в) .

Указания к выполнению работы: Все задания выполняются в СКМ Maxima с подробным описанием технологии выполнения.

Практическая работа № 2

Используя математический пакет Maxima:

1. Задать функцию и найти ее значение при

2. Разложить на множители полином .

3. Упростить .

4. Упростить .

5. Упростить

Указания к выполнению работы: Все задания выполняются в СКМ Maxima с подробным описанием технологии выполнения.

Практическая работа № 3

Используя математический пакет Maxima:

1. Решить уравнение

2. Численно найти оба корня уравнения

3. Найти решение систем уравнений:

1. б)

4. Найти численное решение системы:

Указания к выполнению работы: Все задания выполняются в СКМ Maxima с подробным описанием технологии выполнения.

Практическая работа № 4

Используя математический пакет Maxima построить графики функций:

1. , 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9.

Указания к выполнению работы: Все задания выполняются в СКМ Maxima с подробным описанием технологии выполнения.

Практическая работа № 5

(для сильных учеников)

Используя математический пакет Maxima:

1. На одном чертеже постройте графики функций и (x[-4;4]).

2. Постройте график функции:

3. Постройте пятиконечную звезду, задав координаты ее вершин в виде набора точек.

Указания к выполнению работы: Все задания выполняются в СКМ Maxima с подробным описанием технологии выполнения.

Практическая работа № 6

Используя математический пакет Maxima найти пределы функций:

Указания к выполнению работы: Все задания выполняются в СКМ Maxima с подробным описанием технологии выполнения.

Практическая работа № 7

Используя математический пакет Maxima найти производные функций:

Указания к выполнению работы: Все задания выполняются в СКМ Maxima с подробным описанием технологии выполнения.

Практическая работа № 8

Используя математический пакет Maxima вычислить интегралы:

Указания к выполнению работы: Все задания выполняются в СКМ Maxima с подробным описанием технологии выполнения.

Контрольная работа №1

Вариант 1

1. Перечислите основные составляющие графической оболочки интерфейса maxima.

2. Для заданных условий:

1. Найдите значение следующих выражений

2. Упростите тригонометрическое выражение:

3. Найдите факториал числа 15.

4. Постройте график функции и найдите точки пересечения его с осями.

Вариант 2

1. Перечислите основные арифметические операторы, используемые Maxima.

2. Для заданных условий:

1. Найдите значение следующих выражений

2. Упростите тригонометрическое выражение:

3. Найдите факториал числа 22.

4. Постройте график функции и найдите точки пересечения его с осями.

Контрольная работа №2

Вариант 1

1. Опишите назначение пакета Maxima.

2. Для заданных условий:

1. Постройте поверхность функции

2. Вычислите предел функции при

3. Решите уравнение

4. Вычислите производную функции

5. Вычислите интеграл функции

Вариант 2

1. Опишите назначение пакета Maxima.

2. Для заданных условий:

1. Постройте поверхность функции

2. Вычислите предел функции при

3. Решите уравнение

4. Вычислите производную функции

5. Вычислите интеграл функции

ЛИТЕРАТУРА

1. Абзалилов, Д. Ф. Практические задания по высшей математике с применением программы Maxima для студентов, обучающихся по специальности «социология». Учебно-методическое пособие/Д. Ф. Абзалилов, М. С. Малакаев, Е. А. Широкова - Казань: КФУ, 2012. - 80с.

2. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. - 9-е изд. - М.: Просвещение, 2001. - 384с.

3. Алгебра и начала анализа: учеб. для 11кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни/ С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. - 6-е изд. - М.: Просвещение, 2007. - 448с.

4. Алфимова, А. С. Методика преподавания элективного курса «элементы дискретной математики» с использованием информационно-коммуникационных технологий для учащихся естественно-математического профиля: автореф. дис. на соискание ученой степени канд. пед. наук/ А. С. Алфимова; Московский пед. гос. ун-т. Москва, 2008. - 25с.

5. Берков, Н. А. Применение пакета Maxima: математический практикум. - М.:МГИУ, 2008. - 89с.

6. Вербицкий, А. А. Психолого-педагогические основы использования ИКТ, как орудия образовательной деятельности [Электронный ресурс]. - М., МГУ, 1997.

7. Губина, Т. Н. Решение дифференциальных уравнений в системе компьютерной математики Maxima: учебное пособие./ Е . В. Андропова, Т. Н. Губина. - Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2009. - 99 с.

8. Додиер, Р. Коротко о Maxima. [Электронный ресурс].

9. Житников, В. Компьютер, математика и свобода/ Вадим Житников // Компьютерра / апрель 2006, (№16(636)).

10. Ильина, В. А. Система аналитических вычислений Maxima для физиков-теоретиков/В. А. Ильина, П. К. Силаев. - Москва, 2007. - 112с.

11. Использование Maxima при изучении математики в школе [Электронный ресурс]. -электрон. текстовые, графич., 2010.

12. Кузнецов, А. А. Профильное обучение и учебные планы старшей ступени общего образования/А. А. Кузнецов, Л. О. Филатова// Стандарты и мониторинг в образовании. - 2003. - №3. - 59с.

13. Лапчик, М. П., Рагулина М. И., Хеннер Е. К. Проблемы фундаментального и прикладного математического образования учителей информатики [электронный ресурс]: электрон. Науч. Журнал «Вестник Омского государственного пед. унив-та», 2006.

14. Малев, В. В. Общая методика преподавания информатики: Учебное пособие. - Воронеж: ВГПУ, 2005. - 271с.

15. Математика: справочник школьника и студента / Б. Франк и др.; Пер. с нем. - 3-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2003. - 368с.

16. Стахин, Н. А. Основы работы с системой аналитический (символьных) вычислений Maxima. (ПО для решения задач аналитических (символьных) вычислений): Учеб. пособие. - Москва: 2008. - -86с.

17. Тарнавский, Т. Maxima - максимум свободы символьных вычислений/ Тихон Тарновский // Linux Format/ июль 2006, (№ 7(81)).

18. Тарнавский, Т. Maxima - укротитель выражений/ Тихон Тарновский // Linux Format/ июль 2006, (№ 9(83)).

19. Тарнавский, Т. Maxima. Алгебра и начала анализа/ Тихон Тарновский // Linux Format/ июль 2006, (№ 10(84)).

20. Тарнавский, Т. Maxima. Графики и управляющие конструкции/ Тихон Тарновский // Linux Format/ июль 2006, (№ 11(85)).

21. Тарнавский, Т. Maxima. Функции и операторы/ Тихон Тарновский // Linux Format/ июль 2006, (№ 8(82)).

22. Чичкарев, Е. А. Компьютерная математика с Maxima. Руководство для школьников и студентов/Е. А. Чичкарев - М.:alt="Учебное электронное пособие Использование математического пакета Maxima", 2009. - 233с.: ил.

23. Шарафеева, Л. Р. Информационные технологии в математике: учебно-методический комплекс/ Л. Р. Шарафеева - Елабуга: Издательство ЕГГУ, 2010 - 20с.

24. Ссылка на скачивание программы - softportal.com/get-19588-maxima.html

1 Математика: справочник школьника и студента / Б. Франк и др.; Пер. с немецкого. - 3-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2003. - 368с.

2Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни /[С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. - 8-е изд. - М.: Просвещение, 2009.

3^,4 Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 класса общеобразовательных учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др.- 15-е изд., М.: Просвещение, 2007г.

4

5, ⁶ Математика: справочник школьника и студента / Б. Франк и др.; Пер. с нем. - 3-е изд., стереотип. - М.:

Дрофа, 2003. - 368с

6

7 Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни /[С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. - 8-е изд. - М.: Просвещение, 2009.

8 Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. - М.: Просвещение, 2007.

9 Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни /[С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. - 6-е изд. - М.: Просвещение, 2007.

10Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни /[С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. - 6-е изд. - М.: Просвещение, 2007.

11 Алгебра и начала анализа: учеб. для 11кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни/ [С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. - 6-е изд. - М.: Просвещение, 2007.

12 ,¹⁴ Алгебра и начала анализа: учеб. для 11кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни/ [С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. - 6-е изд. - М.: Просвещение, 2007.

13

14,¹⁶ Алгебра и начала анализа: учеб. для 11кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни/ [С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. - 6-е изд. - М.: Просвещение, 2007.

15

16 [Электронный ресурс] Кратные интегралы методы и примеры решений - Режим доступа: ficses.ru/kratinte/polarint38.html

17 Математика: справочник школьника и студента / Б. Франк и др.; Пер. с нем. - 3-е изд., стереотип. - М.:

Дрофа, 2003.

18