Конспект урока по разделу Основы логики для студентов 2 курса

Раздел № 2 : Основы логики.

Тема : Основные понятия формальной логики.

Высказывание (суждение) - это повествовательное предложение , в котором что-либо утверждается или отрицается , по поводу любого высказывания можно сказать истинно оно или ложно .

Высказывание бывают общими ,частными или единичными .

Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, и может быть либо простым, либо составным (сложным).

Вопросительные и восклицательные предложения не являются высказываниями, так как в них ни чего не утверждается и не отрицается.

Общее высказывание начинаются (могут начинаться) с таких слов : Все , всякий , каждый, ни один .

Частные высказывания начинаются (могут начаться ) с таких слов : Некоторые, большинство, многие и т.п.

Во всех других случаях высказывание является единичными .

Например № 1 : Определим значение истинности высказываний :

• Лед - твердое состояние воды ( истинное высказывание ),

• Треугольник - геометрическая фигура ( истинное высказывания ),

• Париж - столица Китая ( ложное высказывание) .

Пример № 2 : Определим тип высказываний :

• Все рыбы умеют плавать ( общее высказывание );

• Буква А - гласная ( единичное высказывание ) ;

• Некоторые медведи бурые ( частное высказывание ).

Задание (устно): Объясните, почему следующие высказывания не являются высказываниями:

1. Какого цвета твой велосипед?
   2. Число Х больше пяти?
   3. 5Х-2
   4. Посмотрите в окно.
   5. Пейте томатный сок!
   6. Вы были в музее?
   7. Разность чисел 12 и Х равна 6.

2. Какие из следующих высказываний являются истинными, а какие ложными?

1. Город Москва - столица России.
   2. Число 12 - простое.
   3. 7*3=1.
   4. 12<15.
   5. Сканер - устройство, которое может напечатать на бумаге то, что изображено на экране компьютера.
   6. Клавиатура - устройство ввода информации.

Умозаключение - это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений может быть получено новое суждение.

Посылками умозаключения по правилам формальной логики могут быть только истинные суждения. Тогда, если умозаключение проводится в соответствии с правилами формальной логики, то оно будет истинным. В противном случае можно прийти к ложному умозаключению.

Например :

Все металлы - простые вещества.

Литий - металл.

Литий - простое вещество.

Задание :

1. Дано высказывание "Все углы равнобедренного треугольника равны". Путем умозаключений получить высказывание "Этот треугольник равносторонний".
   2. Оцените правильность следующего рассуждения: сидящий встал; кто встал, тот стоит; значит, сидящий стоит.

Следующий раздел :

Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы можно было определять истинность или ложность составного высказывания, не вникая в их содержание.

Алгебра логики (алгебра высказываний) - раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

Под высказыванием (суждением) будем понимать повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно или ложно.

В алгебре высказываний простым высказываниям ставятся в соответствии логические переменные, обозначаемые прописными буквами латинского алфавита.

В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения: "истинна" (1) и "ложь" (0).

В алгебре высказываний над высказываниями можно производить логические операции, в результате которых получаются новые, составные (сложные) высказывания.

Логическая операция - способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний.

Рассмотрим три базовых логических операций - инверсию, конъюнкцию, дизъюнкцию и дополнительные - импликацию и эквивалентность.

Логическая операция

Название

Соответствует союзу

Обозначение знаками

Таблица истинности

Логическая операция

Инверсия

(от лат. inversion - переворачиваю)

отрицание

не А

1

0

0

1

Опр. 8 Инверсия логической переменной истина, если переменная ложна, и, наоборот, инверсия ложна, если переменная истинна.

Конъюнкция

(от лат. conjunction - связываю)

Логическое умножение

А и В

В

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

Опр.9Конъюнкция двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания, истинны.

Дизъюнкция

(от лат. disjunction - различаю)

Логическое сложение

А или В

В

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

Опр. 10 Дизъюнкция двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

Импликация

(от лат. implication - тесно связывать)

Логическое следование

Если А,

то В;

Когда А, тогда В

А-условие

В-следствие

В

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

Опр. 11 Импликация двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда из истинного основания следует ложное следствие.

Эквивалентность(от лат. equivalents - равноценность)

Логическое равенство

А тогда и только тогда, когда В

В

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

Опр. 12 Эквивалентность двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны

При вычислении значения логического выражения (формулы) логические операции вычисляются в определенном порядке, согласно их приоритету:

1. инверсия,

2. конъюнкция,

3. дизъюнкция,

4. импликация и эквивалентность.

Операции одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения порядка действий используются скобки.

Например: дана формула

Порядок вычисления:

• - инверсия
  - конъюнкция
  - дизъюнкция
  - импликация
  - эквивалентность.

Построение логических схем

Логические схемы нужны для того чтобы в наглядной графической форме отобразить последовательность выполнения операций при вычислении логических формул.

Дискретный преобразователь, который после обработки входных двоичных сигналов выдает на выходе сигнал, являющийся значением одной из логических операций, называется логическим элементом.
Поскольку любая логическая операция может быть представлена в виде комбинаций трех основных, любые устройства компьютера, производящие обработку или хранение информации, могут быть собраны из базовых логических элементов, как из «кирпичиков».
Логические элементы компьютера оперируют сигналами, представляющими собой электрические импульсы. Есть импульс - логический смысл сигнала - 1, нет импульса - 0. На входы логического элемента поступают сигналы-значения аргументов, на выходе появляется сигнал-значение функции.
Преобразование сигнала логическим элементом задается таблицей состояния, которая фактически является таблицей истинности, соответствующей логической функции.
На доске приведены условные обозначения (схемы) базовых логических элементов, реализующих логическое умножение (конъюнктор), логическое сложение (дизъюнктор) и отрицание (инвертор).

Логический элемент «И»:

Логический элемент «ИЛИ»:

Логический элемент «НЕ»:

Устройства компьютера (сумматоры в процессоре, ячейки памяти в оперативной памяти и др.) строятся на основе базовых логических элементов.

Пример 1. По заданной логической функции построить логическую схему.

Наше построение схемы, мы начнем с логической операции, которая должна выполнятся последней. В нашем случае такой операцией является логическое сложение, следовательно, на выходе логической схемы должен быть дизъюнктор. На него сигналы будут подаваться с двух конъюнкторов, на которые в свою очередь подаются один входной сигнал нормальный и один инвертированный (с инверторов).

Пример 2. Выписать из логической схемы соответствующую ей логическую формулу:

А

В

F

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

Решение:

Пример 1. Нарисовать схему для логического выражения: 1 ИЛИ 0 и 1.

Читать эту схему надо слева направо. Первой выполняется операция И (что наглядно видно на схеме), затем ИЛИ.

Теперь в порядке слева направо припишем к выходящим линиям результаты операций:

В результате получилась 1, т.е. "истина".

Пример 2. Представить в виде логической схемы логическую формулу: НЕ (А И (В ИЛИ С) И D)

Логическая схема будет выглядеть так:

Теперь с помощью схемы рассчитаем значение формулы при А=С=D=1, B=0

В результате получится логический ноль, т.е. "ложно".

Метод рассуждения и табличный метод решения логических задач

Задача 1.

Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе появилась компания из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор знает, что их зовут Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а кто - нет. Однажды все трое прогуляли урок астрономии. Директор знает, что никогда раньше никто из них не прогуливал астрономию. Он вызвал всех троих в кабинет и поговорил с мальчиками. Коля сказал: «Я всегда прогуливаю астрономию. Не верьте тому, что скажет Саша». Саша сказал: «Это был мой первый прогул этого предмета». Миша сказал: «Все, что говорит Коля, - правда». Директор понял, кто из них кто. Расположите первые буквы имен мальчиков в порядке: «говорит всегда правду», «всегда лжет», «говорит правду через раз». (Пример: если бы имена мальчиков были Рома, Толя и Вася, ответ мог бы быть: РТВ)

Решение (вариант 1, метод рассуждений):

1. во-первых, есть «точная» информация, которая не подвергается сомнению:

все трое прогуляли урок астрономии в первый раз

2. запишем высказывания мальчиков:

Коля: 1. Я всегда прогуливаю астрономию. 2. Саша врет.

Саша: 1. Я в первый раз прогулял астрономию.

Миша: 1. Коля говорит правду.

3. известно, что один из них все время лжет, второй - говорит правду, а третий говорит правду через раз (то есть, из двух его высказываний одно истинно, а второе - ложно; если у нас есть только одно высказывание «полу-лжеца», оно может быть как истинным, так и ложным)

4. сопоставив первое высказывание Коли и высказывание Саши с «точной» информацией, сразу определяем, то тут Коля соврал, а Саша сказал правду; это значит, что второе высказывание Коли - тоже неверно, поэтому мальчик Коля всегда лжет

5. тогда один из оставшихся, Саша или Миша, говорит правду всегда, а второй - через раз

6. Мишино высказывание неверно, поскольку мы уже определили, что Коля лжет; это значит, что Миша не всегда говорит правду, он - «полу-лжец»

7. тогда получается, что Саша всегда правдив, и действительно, его высказывание верно

8. таким образом, верный ответ - СКМ (Саша - правдив, Коля - лжец, Миша - «полу-лжец»).

Задача 2 «На конгрессе»

На конгрессе встретились четверо ученых: физик, биолог, историк и математик. Каждый ученый владел двумя языками из четырех (русским, английским, французским и итальянским), но не было такого языка, на котором могли бы разговаривать все четверо. Есть только один язык, на котором могли вести беседу сразу трое. Никто из ученых не владеет и французским, и русским языками. Хотя физик не говорит по-английски, он может служить переводчиком, если истории и биолог захотят побеседовать. Историк говорит по-русски и может говорить с математиком, хотя тот не знает ни одного русского слова. Физик, биолог и математик не могут разговаривать на одном языке.

Каким двумя языками владеет каждый ученый?

Решение.

Эту задачу удобно решать, заполнив следующую таблицу:

Языки

Профессии

Русский

Английский

Французский

Итальянский

Математик

-

+

-

+

Биолог

-

-

+

+

Физик

+

-

-

+

Историк

+

+

-

-

Будем анализировать условия задачи и ставить «-» / «+» в соответствующих ячейках.

1. Известно, что математик не знает русского, физик - английского, историк - французского (он говорит по-русски, но никто не говорит и на русском, и на французском).

2. Физик служит переводчиком в беседах историка и биолога (он владеет такими двумя языками, про которые известно, что историк владеет только одним из них, а биолог - только другим). Так как историк и биолог не владеют общим языком, то, следовательно, биолог не знает русского языка. Значит, русский - общий язык для физика и историка; физик не владеет французским (он говорит по-русски, но никто не говорит ни на русском, ни на французском). Второй язык физика - итальянский; итальянским владеет и биолог, историк итальянским не владеет. Тогда второй язык историк - английский, а биолог английским не владеет. Значит второй язык биолога - французский.

3. Историк может беседовать с математиком, хотя тот не знает русского. Следовательно, математик владеет английским.

4. Так как только трое ученых знаю один и тот же язык, то этот язык - итальянский.

Ответ:

Математик владеет английским и итальянским;

Биолог - французским и итальянским;

Физик - русским и итальянским;

Историк - русским и английским.