Тема урока: Основные понятия алгебры логики. Логические операции

Тема урока: Основные понятия алгебры логики. Логические операции.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Класс: 8

Цели урока:

• образовательные: повторить основные понятия алгебры логики(понятия, логические операции), рассмотреть и изучить составление таблиц истинности;

• развивающие: развитие логического мышления, внимания, наблюдательности;

• воспитательные: воспитание информационной культуры, интереса к предмету.

Оборудование, материалы: доска, компьютер, проектор, раздаточный материал.

Ход урока

1. Организационный момент: Добрый день уважаемые коллеги, здравствуйте, ребята. Разрешите представиться: меня зовут Сидорова Наталья Михайловна. Я учитель информатики МБОУ «Стемасская ООШ», Алатырского района.

2. Мотивация:

Решение шуточных задач:

• Ребята, представьте себе, что вы машинисты, ведущие пассажирский поезд из Чебоксар в Москву. Всего в составе поезда 13 вагонов. Поезд обслуживается бригадой в 30 человек. Начальнику поезда 46 лет. Кочегар на 3 года старше машиниста. Сколько лет машинисту поезда?

(столько же, сколько тебе)

Давайте подумаем с вами и скажем, к какому же типу относится данная задача? Да, мы отнесем её логическим, то есть от нашего умения мыслить мы можем прийти к правильному решению. И значит, ключевым понятием нашего урока будет слово ЛОГИКА. Сегодня на уроке мы повторим основные понятия алгебры логики и рассмотрим применение логических операций при решении задач и составление таблиц истинности.

3. Повторение ранее изученного материала:

Обратите внимание на слово ЛОГИКА в сочетание со словом АЛГЕБРА.

Что же изучает алгебра? (числа, числовые величины, числовые выражения, а также правила выполнения действий над ними).

Что же изучает логика? Логика - (от древнегреч. - слово, мысль, понятие, рассуждение) - наука о законах и формах мышления (понятие, высказывание, умозаключение).

Так чем же занимается алгебра логики!? Алгебра логики изучает общие операции над высказываниями. Основы данной алгебры были положены английским математиком Джорджем Булем в 19 веке, также называли булевой алгеброй.

Определим, что же такое высказывание?

Высказывание (суждение) - это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывания можно сказать истинно оно или ложно.

Пример1.

Определите какие из следующих выражений являются высказываниями:

• Число 6 - четное.

• Здравствуйте!

• Все роботы являются машинами.

• Кто отсутствует?

• Выразите 1 ч 15 мин в секундах.

• А - первая буква в алфавите.

Пример2.

Определите истинность высказываний.

• Треугольник - геометрическая фигура.

• У каждой лошади есть хвост.

• Париж - столица Китая.

• Лед - твердое состояние воды.

• Все люди космонавты.

Вспомним основные понятия логики.

В алгебре логики высказывания обозначаются именами логических переменных (А, В, С), которые могут принимать значения истина (1) или ложь (0).

Истина, ложь - логические константы.

Логическое выражение - простое или сложное высказывание. Сложное высказывание строится из простых с помощью логических операций.

Логические операции.

Повторим сегодня три логические операции.

Конъюнкция( логическое умножение) - соединение двух логических выражений (высказываний ) с помощью союза И. Эта операция обозначается символами & и .

Правила выполнения логической операции отражаются в таблице, которая называется таблицей истинности:

А - У меня есть знания для сдачи зачета.

В - У меня есть желание для сдачи зачета.

A&B - У меня есть знания и желание для сдачи зачета.

A

A&B

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

Вывод: Логическая операция конъюнкция истинна только в том случае, если оба простых высказывания истинны, в противном случае она ложна.

Дизъюнкция (логическое сложение) - соединение двух логических высказываний с помощью союза ИЛИ. Эта операция обозначается значком V.

Рассмотрим таблицу истинности для данной логической операции.

Обозначим через A - летом я поеду в лагерь, B - летом я поеду в к бабушке.

AVB - Летом я поеду в лагерь или поеду к бабушке.

A

AVB

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

Вывод: логическая операция дизъюнкция ложна, если оба простых высказывания ложны. В остальных случаях она истинна

Отрицание или инверсия - добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО,ЧТО, обозначается символом ¬ , ¯.

Пусть A - Сейчас на дворе лето.

A

¬A

1

0

0

1

Вывод: если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то оно будет истинным.

Последовательность выполнения операций:

отрицание, конъюнкция, дизъюнкция.

Кроме того, на порядок выполнения операции влияют скобки, которые можно использовать в логических формулах.

4.Применение изученного материала при решении задач

АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ является составной частью одного из современных быстро развивающихся разделов математики - математической логики. Математическая логика применяется в информатике, позволяет моделировать простейшие мыслительные процессы. Одним из занимательных приложений алгебры высказываний - решение логических задач.

Устная работа:

Пример 1.

Из двух простых высказываний постройте сложное высказывание, используя логические операции И, ИЛИ.

1. Все ученики изучают математику. Все ученики изучают литературу.

Все ученики изучают математику и литературу.

2. X>=3.

3. Синий кубик меньше красного. Синий меньше зеленого.

4. В кабинете есть учебники. В кабинете есть справочники.

Пример 2.

Для какого из приведённых чисел ложно высказывание:

НЕ (число>50) ИЛИ(число чётное)

1)123 2)56 3)9 4)8

Ответ: 1

Пример 3.

Какое из имён удовлетворяет следующему выражению ⌐А ˄ В?

Пусть А= «Первая буква имени - согласная», В= «Четвёртая буква имени согласная».

1)Елена 2)Вадим 3) Антон 4) Фёдор

(Елена)

Для логического выражения можно построить таблицу истинности, показывающую, какие значения принимает выражение при всех наборах значений входящих в него переменных. Для построения таблицы истинности следует:

Построим таблицу истинности для логического выражения А˅А˄В

А

В

А˄В

А˅А˄В

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

1

Пример 4. Работа у доски.

Определите истинность формулы не Р или Q и не Р (¬Р ˅ Q˄¬ Р)

P

Q

¬P

Q¬P

¬P VQ˄¬P

0

0

ИСТИНА

ЛОЖЬ

ИСТИНА

0

1

ИСТИНА

ИСТИНА

ИСТИНА

1

0

ЛОЖЬ

ЛОЖЬ

ЛОЖЬ

1

1

ЛОЖЬ

ЛОЖЬ

ЛОЖЬ

Рассмотрим решение логических задач табличным способом. При использовании этого способа условия, которые содержит задача, и результаты рассуждений фиксируются с помощью специально составленных таблиц.

Пример 5

В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов: Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе.

Известно, что:

1. Смит самый высокий;

2. играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте;

3. играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу;

4. когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их;

5. Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое.

На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами?

Решение. Составим таблицу и отразим в ней условия задачи, заполнив соответствующие клетки цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание.

Так как музыкантов трoе, инструментов шесть и каждый владеет только двумя инструментами, получается, что каждый музыкант играет на инструментах, которыми остальные не владеют.

скрипка

флейта

альт

кларнет

гобой

труба

Браун

0

0

1

1

0

0

Смит

0

1

0

0

1

0

Вессон

1

0

0

0

0

1

Ответ: Браун играет на альте и кларнете, Смит - на флейте и гобое, Вессон - на скрипке и трубе.

Пример 6

Разбирается дело Джона. Брауна и Смита. Известно, что один из них нашёл и утаил клад. На следствии каждый из подозреваемых сделал два заявления:

Смит: «Я не делал этого. Браун сделал это.

Джон: «Браун не виноват. Смит сделал это.»

Браун: «Я не делал этого. Джон не делал этого»

Суд установил, что один из них дважды солгал, другой дважды сказал правду, третий один раз солгал, один раз сказал правду. Кто из подозреваемых должен быть оправдан?

Д

Б

С

Что сказал Смит

Что сказал Джон

Что сказал Браун

⌐ С

Б

⌐ Б

С

⌐ Б

⌐ Д

0

0

1

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

Ответ: виновен Браун

Отпустить Джона и Смита

Проверочная работа

1вариант

1)Составьте таблицу истинности для следующей логической функции:

F=X ˄Y  X

2) Пятеро одноклассников - Аня, Саша, Лена, Вася и Миша стали победителями олимпиад школьников по физике, математике, информатике, литературе и географии. Известно, что:

• победитель олимпиады по информатике учит Аню и Сашу работе на компьютере;

• Лена и Вася тоже заинтересовались информатикой;

• Саша всегда побаивался физики;

• Лена, Саша и победитель олимпиады по литературе занимаются плаванием;

• Саша и Лена поздравили победителя олимпиады по математике4

• Аня сожалеет о том, что у нее остается мало времени на литературу.

Победителем какой олимпиады стал каждый из этих ребят?

Ответ

1)

Х

У

⌐ Х

X ˄Y

X ˄Y  X

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

1

1

2)

Аня-математика

Саша-география

Лена-физика

Вася-литература

Маша-информатика

2. вариант

1. Составьте таблицу истинности для следующей логической функции:

F= X ˄ Y  X

2. Однажды Артеке за круглым столом оказался пятеро ребят из Москвы, Санкт-Петербурга, Новгорода, Перми и Томска: Юра, Толя, Леша, Коля и Витя. Москвич сидел между Томичем и Витей, петербуржец - между Юрой и Толей, а напротив него сидели пермяк и Алеша. Коля никогда не был в Санкт-Петербурге, а Юра не был в Москве и Томске, Томич с Толей регулярно переписываются.

Определить в каком городе живет каждый из ребят?

Ответы:

1)

Х

У

⌐ У

X ˄⌐Y

X ˄ Y  X

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

1

2)

Толя-Москвич

Витя-Санкт-Петербург

Юра- Новгород

Коля -Пермь

Алеша-Томск

5. Подведение итогов (повторение основных теоретических моментов).

Что такое логика?

( наука о законах и формах мышления (понятие, высказывание, умозаключение).

Чем занимается алгебра логики?

( Алгебра логики изучает общие операции над высказываниями.)

Как называются Логическое сложение? Логическое умножение? отрицание?

Изобразите с помощью смайликов эти три логические операции.

На примере решения логической задачи продемонстрирована смысловая взаимосвязь входящих в сложное высказывание простых высказываний. В состав сложных высказываний могут входить взаимосвязанные по смыслу высказывания, однако Высказывания могут быть и противоречивыми. Таким образом, одним из применений алгебры высказываний является использование ее для анализа сложных, а подчас противоречивых текстов. Алгебра высказываний позволяет научиться моделировать простейшие мыслительные процессы. «Методы эти позволяют Вам обрести ясность мысли, способность находить собственное оригинальное решение трудных задач, вырабатывают у Вас привычку к систематическому мышлению и, что особенно ценно, умение обнаруживать логические ошибки, изъяны и пробелы тех, кто не пытался овладеть привлекательным искусством логики. Попытайтесь. Вот все, о чем я прошу вас», - Льюис Кэрролл (псевдоним Чарльза Лютвиджа Доджсона (1832-1898)) - известный английский математик и литератор.

6. Рефлексия.

Ребята, у вас на партах есть заготовки смайликов. Выберите, пожалуйста, смайлик соответствующий вашим впечатлениям от урока.

Спасибо за урок, до свидания, ребята.

У каждого ученика на столе карточки (зеленая, желтая, красная). Уходя из класса, нужно оставить на столе учителя одну из них:

• Зеленая - Я удовлетворен уроком, урок был полезен для меня, я много, с пользой работал на уроке получил заслуженную оценку, я понимал все, о чем говорилось на уроке.

• Желтая - Урок был интересен, я принимал в нем активное участие, урок был в определенной степени полезен для меня, я отвечал с места, я сумел выполнить ряд заданий, мне было на уроке достаточно комфортно.

• Красная - Пользы от урока я получил мало, я не очень понимал, о чем идет речь, мне это не очень нужно, домашнее задание я не буду выполнять, к ответам на уроке я не был готов.