- Преподавателю
- Информатика
- 5 уроков по теме: Применение операторов графики для построения графиков элементарных функций и приближённого решения уравнений
5 уроков по теме: Применение операторов графики для построения графиков элементарных функций и приближённого решения уравнений
Раздел | Информатика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Горбина Е.А. |
Дата | 02.10.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Предмет Информатика и информационные технологии
Тема «Применение операторов графики для построения графиков элементарных функций и приближённого решения уравнений»
Разработка учителя МОУ УСОШ №5 с углублённым изучением отдельных предметов Горбиной Елены Анатольевны
Место: Тема входит в раздел «Графические возможности языка программирования».
Тип уроков - комбинированный - включает как усвоение нового материала в виде лекции с элементами беседы, так и формирование умений и навыков в виде практической работы за компьютерами.
Цели и задачи:
-
образовательные:
-
усвоить принцип построения точечного графика;
-
получить навыки построения точечного графика элементарной функции с помощью известных операторов графики;
-
закрепить навыки вывода текстовой информации в графическом режиме;
-
закрепить навыки написания арифметических выражений на языке QBASIC;
-
сформировать умение использовать построенный график для решения алгебраических уравнений;
-
укрепить межпредметные связи информатики с алгеброй и геометрией.
-
развивающие:
-
выработать умение применять знания, полученные на информатике при изучении других предметов;
-
развить умение делать выводы, самостоятельно проводить исследования и принимать решения.
-
воспитательные:
-
сформировать у учащихся представление о компьютере, как о средстве помогающем решать трудоёмкие задачи и экономящем время для творческой работы.
Программно-методическое обеспечение:
-
интерактивная доска;
-
персональные компьютеры для каждого ученика;
-
система программирования QBASIC.
Урок 1
Тема: «Построение графиков элементарных функций»
Ход урока:
-
Организационный момент.
Приветствие. Тема урока. Цели урока. (1 мин)
-
Актуальность знаний. (2 мин)
При изучении математики очень часто возникает необходимость в построении графиков функций. Это занимает большую часть времени на уроке. Частично уменьшить затраты времени может помочь компьютер, который обладает замечательным качеством - способностью воспроизводить графическое изображение на экране монитора. Трудно переоценить методическую значимость машинной графики. Вычерченный машиной график, помимо наглядности и точности, даёт наиболее эффективные возможности обнаружения и исправления ошибок по сравнению с другими формами представления знаний. Кроме того, беря на себя трудоемкую часть работы, компьютер освобождает время для исследовательской творческой работы, появляется возможность делать самостоятельные выводы, работая с большим объемом изучаемого материала.
-
Изучение нового материала.
-
Построение эскиза. (20 мин)
320,0Для построения графика будем использовать графический режим №12, разрешение которого 640 точек по горизонтали и 480 точек по вертикали. При построении обращаем внимание на то, что начало координат экрана находится в левом верхнем углу экрана, а ось ОY экрана направлена вниз.
Х
640,0
ymax
у
0,0
a
320,240
0,240
640,240
dx
0
х
хt,уt
ymin
Y
320,480
0,480
640,480
Обращаем внимание на то, что мы строим точечный график, а значит нужно
-
вычислить значение функции у при определённом значении х,
-
перевести значения x и y в координаты точки на экране xt и yt,
-
изобразить точку с этими координатами (оператор PSET),
-
увеличить значение х на небольшую величину dx и повторить всё c пункта1.
Вводим условные обозначения:
а, b - границы диапазона изменения аргумента х;
ymin, ymax - границы диапазона изменения функции у;
mx, my - масштабные коэффициенты по осям ОХ и ОY - определяют количество точек экрана на единичное значение аргумента и функции
n - количество точек графика;
dx - шаг изменения аргумента
x, y - значения аргумента и соответствующее ему значение функции;
xt, yt - координаты точки графика на экране;
xt = x · mx + 320
yt = - y · my + 240
-
Физкультминутка - упражнения для глаз, спины и шеи. (2 мин)
-
Написание программы. (20 мин)
'Предварительные вычисления
a = -10 : b = 10
ymin = -10 : ymax = 10
mx = 640 / (b - a)
my = 480 / abs(ymax - ymin)
n = 3000 : dx = (b - a) / n
'Построение системы координат с сеткой
SCREEN 12
FOR x = 0 TO 640 STEP mx 'вертикальная разметка
LINE (x, 0) - (x, 480), 8
NEXT x
LINE (320, 0) - (320, 460), 10 'вертикальная ось
LINE (320, 0) - (325, 5), 10 'стрелка на вертикальной оси
LINE (320, 0) - (315, 5), 10
LOCATE 1, 42: PRINT "y"
FOR y = 0 TO 480 STEP my 'горизонтальная разметка
LINE (0, y) - (640, y), 8 'самостоятельно на ПК
NEXT y
LINE (0, 240) - (630, 240), 10
LINE (630, 240) - (625, 245), 10
LINE (630, 240) - (625, 235), 10
LOCATE 17, 78: PRINT "x"
LOCATE 17, 42: PRINT "0"
'Построение точечного графика
FOR x = a TO b STEP dx
y = x ^ 2 'Построение параболы
xt = x * mx + 320
yt = - y * my + 240
PSET (xt, yt), 12
NEXT x
END
Урок 2
-
Набор, отладка и сохранение программы. (18 мин)
Ученики набирают программу в индивидуальном темпе, добавляя пропущенную часть с горизонтальной разметкой. Построение графика будет происходить прямо на глазах у учащихся. После окончания построения необходимо обратить внимание учащихся на правильность построения - парабола должна проходить через точки (1;1), (-1;1), (2;4) и (-2;4).
-
Физкультминутка - упражнения для глаз, спины и шеи. (2 мин)
-
Работа с программой. (25 мин)
Учащимся предлагаются карточки для проведения индивидуальной практической работы. Для построения графиков других функций необходимо в цикле построения графика записать новую формулу. Каждый построенный график анализируется и демонстрируется учителю.
1) y = x 2) y = |x| 3) y = - 2x + 5
4) y = - 2x2 5) y = -2x2 + 6x + 5 6) y = 2x
7) y = |x2 + 6x| - 4 8) y = 2x3 - 6x + 4 9) y = 4/x
10) y = cosx 11) y = sinx 12) y = tgx
Ответы:
-
2) 3)
4) 5) 6)
-
8) 9)
10) 11) 12)
Урок 3
Тема: «Приближённое решение уравнений с использованием графика функции»
Ход урока:
-
Организационный момент.
Приветствие. Тема урока. Цели урока. (1 мин)
-
Изучение нового материала. (15 мин)
Построенный график функции может быть использован для приближённого решения уравнений вида f(x)=0. Корни этого уравнения являются точками пересечения графика функции y=f(x) с осью ОХ.
Пример. Решить уравнение х2 - 5х + 4= 0, используя программу построения графиков функций.
На интерактивной доске запускается программа построения графиков и строится график функции у = х2 - 5х + 4.
Отмечаем две точки пересечения графика с осью ОХ: (1;0) и (4;0). Значит, уравнение х2 - 5х + 4= 0 имеет два корня х1 = 1 и х2 = 4.
-
Физкультминутка - упражнения для глаз, спины и шеи. (2 мин)
-
Работа с программой. (27 мин)
Учащимся предлагаются карточки для проведения индивидуальной практической работы. Каждое решённое уравнение оформляется в рабочей тетради в виде схематического эскиза графика и решения. Правильность решения контролируется учителем.
1) x + 1 = 0 2) x2 - 4 = 0
3) х3 - х2 = 0 4) |x2 - 5| + 1= 0
5) x3 - x - 6 = 0 6) |x2 - |x| - 2| = 0
7) ( x2 - 1)3 = 0 8) 2x3 - 6x + 4 = 0
Ответы:
-
х = -1 2) х1 = -2; х2 = 2
3) х1=0;х2=1 4) нет решений
5) х = 2 6) х1=-2; х2=2
7) х1= -1; х2 = 1 8) х1= -2; х2 = 1
Урок 4
Тема: «Приближённое решение уравнений с использованием графика функции»
Ход урока:
-
Организационный момент.
Приветствие. Тема урока. Цели урока. (1 мин)
-
Изучение нового материала. (25 мин)
Построенный график функции может быть использован для приближённого решения уравнений вида f1(x) = f2(x). Корни этого уравнения являются точками пересечения графиков функций y = f1(x) и у = f2(x).
Пример. Решить уравнение , используя программу построения графиков функций.
Чтобы найти решения этого уравнения можно построить графики двух функций y1 = и , а затем найти точки пересечения графиков.
Для того чтобы построить два графика в одной системе координат можно воспользоваться двумя способами:
Способ 1.
Добавить в программу второй цикл для построения графика, в котором изменить функцию и цвет точек. Получим:
'Построение первого точечного графика
FOR x = a TO b STEP dx
y = (7 * x + 4) / (x^2 + 5)
xt = x * mx + 320
yt = - y * my + 240
PSET (xt, yt), 12
NEXT x
'Построение второго точечного графика
FOR x = a TO b STEP dx
y = 0.6 * x ^ 2 - 5 * x + 9.5
xt = x * mx + 320
yt = - y * my + 240
PSET (xt, yt), 14
NEXT x
На интерактивной доске запускается программа и строятся графики двух функций. Обращаем внимание, что в этом случае графики строятся один за другим, сначала первый, потом второй.
Способ 2.
Добавить в программу вторую функцию y1, координату yt1 и оператор PSET для второго графика. Значение аргумента х и координата точек xt у двух графиков одинаковая. Получим:
'Построение двух точечных графиков одновременно
FOR x = a TO b STEP dx
y = (7 * x + 4) / (x^2 + 5)
y1= 0.6 * x ^ 2 - 5 * x + 9.5
xt = x * mx + 320
yt = - y * my + 240
yt1 = - y * my + 240
PSET (xt, yt), 12
PSET (xt, yt1), 14
NEXT x
Отмечаем две точки пересечения графиков друг с другом: (2;2) и (6;1). Значит, уравнение имеет два корня х1 = 2 и х2 = 6.
-
Физкультминутка - упражнения для глаз, спины и шеи. (2 мин)
-
Работа с программой. (17 мин)
Учащимся предлагаются карточки для проведения индивидуальной практической работы. Каждое решённое уравнение оформляется в рабочей тетради в виде схематического эскиза графика и решения. Правильность решения контролируется учителем.
1) x + 1 = x2 - 5 2) х3 = - х2 + 2
3) |x2 - 5| = 4 4) - x3 + x + 6 = |x2 - |x| - 2|
5) 2x3 - 6x + 4 = х2 - 4 6) 3/x = х + 2
-
х1=-2; х2 =3 2) х=1
3) х1=-4; х2=-1; х3=1; х4=4 4)х=2
5) х1=-2; х2 = 1 6) х1=-3; х2=1
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
1 вариант
-
Наберите программу построения точечных графиков элементарных функций.
-
Постройте график функции y = | |x2 - 2х | - 8| на экране и перенесите его в тетрадь.
-
Решите уравнение | |x2 - 2x | - 8| = 0, используя построенный график
-
Решите уравнение 4 |x| - х3 = 2x + 7.
2 вариант
-
Наберите программу построения точечных графиков элементарных функций.
-
Постройте график функции y = | |0,5x2 - 5 | - 3| на экране и перенесите его в тетрадь.
-
Решите уравнение | |0,5x2 - 5 | - 3| = 0, используя построенный график.
-
Решите уравнение 4 - 2x = х3 - 4 |x|.
Решение:
1 вариант
-
Постройте график функции y = | |x2 - 2x | - 8| на экране и перенесите его в тетрадь.
Для построения необходимо грамотно записать арифметическое выражение на языке QBASIC Y = ABS ( ABS ( X ^ 2 - 2 * x ) - 8 ), построить график, а затем перенести 9 точек с координатами (-4;7), (-2;0), (-1;5), (0;8), (1;7), (2;8), (3;5), (4;0), (5;7) на бумагу и соединить их.
-
Решите уравнение | |x2 - 2 * x | - 8| = 0, используя построенный график.
Отмечаем две точки пересечения графика с осью ОХ: (-2;0) и (4;0). Значит, уравнение | |x2 - 2 * x | - 8| = 0 имеет два корня х1 = -2 и х2 = 4.
-
Решите уравнение 4 |x| - х3 = 2x + 7.
Чтобы найти решения этого уравнения нужно построить графики двух функций Y1 = 4 * ABS(X) - X ^ 3 и Y2 = 2 * X + 7, а затем найти точки пересечения графиков.
Отмечаем одну точку пересечения графиков друг с другом: (-1;5). Значит, уравнение имеет один корень х = - 1.
2 вариант
-
Постройте график функции y = | |0,5x2 - 5 | - 3| на экране и перенесите его в тетрадь.
Для построения необходимо грамотно записать арифметическое выражение на языке QBASIC Y = ABS(ABS(0.5 * X ^ 2 - 5) - 3)), а затем перенести 9 точек с координатами (-5,5;7), (-4;0), (-3;3), (-2;0), (0;2), (2;0), (3;3), (4;0), (5,5;7) на бумагу и соединить их.
-
Решите уравнение | |0,5x2 - 5 | - 3 = 0, используя построенный график.
Отмечаем четыре точки пересечения графика с осью ОХ: (-4;0), (-2;0), (2;0), (4;0). Значит, уравнение | |0,5x2 - 5 | - 3 = 0 имеет 4 корня х1 = -4, х2 = -2, х3 = 2, х4 = 4.
-
Решите уравнение 4 - 2x = х3 - 4 |x|.
Чтобы найти решения этого уравнения нужно построить графики двух функций Y1 = 4 - 2 * X и Y2= X ^ 3 - 4 * ABS(X), а затем найти точки пересечения графиков.
Отмечаем одну точку пересечения графиков друг с другом: (2;0). Значит, уравнение имеет один корень х = 2.
Для оценивания этой контрольной работы предлагается следующая схема, которая сообщается учащимся до начала работы. Правильно набранная работающая программа (правильность работы должна быть самостоятельно проверена учащимися с помощью известной функции, например у=х или у=х2) и выполненное в тетради задание №2 оцениваются оценкой «удовлетворительно». Задания №1 + №2 + №3 - оценкой «хорошо», все задания - оценкой «отлично».
Приложение 1.
Изучение темы «Применение операторов графики для построения графиков элементарных функций и приближённого решения уравнений» на языке Visual Basic.
-
На форме размещаются два инструмента Picture1, Command1.
Вывод графика осуществляется в Picture1. Отличие состоит в том, что не надо вводить масштабные коэффициенты. С помощью оператора Picture1.Scale (a, ymax)-(b, ymin) создаётся нормальная система координат с нулем в центре Picture1. В скобках указываются координаты двух противоположных углов системы координат. В нашем случае (-10,10) и (10,-10). Благодаря такой системе координат нет необходимости пересчитывать значения X и Y в координаты экрана.
-
Создаём процедуру для командной кнопки:
Private Sub Command1_Click()
a = -10: b = 10: ymin = -10: ymax = 10 : n = 3000: dx = (b - a) / n
'Задание масштаба
Picture1.Scale (a, ymax)-(b, ymin)
'Вертикальная разметка
For I = a To b
Picture1.Line (I, ymin)-(I, ymax), vbGreen
Picture1.PSet (I, 0) : Picture1.Print I 'Числа на оси
Next I
'Горизонтальная разметка
For I = ymin To ymax
Picture1.Line (a, I)-(b, I), vbGreen
Picture1.PSet (0, I) : Picture1.Print I
Next I
'Ось ОХ
Picture1.Line (a, 0)-(b, 0), vbBlue
'Ось ОY
Picture1.Line (0, ymin)-(0, ymax), vbBlue
'Построение графика
Picture1.DrawWidth = 3 'Толщина линии графика
Picture1.ForeColor = vbRed 'Цвет линии графика
For X = a To b Step dx
Y = X ^ 2 - 7
Picture1.PSet (X, Y)
Next X
End Sub
-
В результате получается:
Приложение 2.
Раздаточный материал
Построить графики функций:
1) y = x 2) y = |x| 3) y = - 2x + 5
4) y = - 2x2 5) y = -2x2 + 6x + 5 6) y = 2x
7) y = |x2 + 6x| - 4 8) y = 2x3 - 6x + 4 9) y = 4/x
10) y = cosx 11) y = sinx 12) y = tgx
Решить уравнения, используя графики:
1) x + 1 = 0 2) x2 - 4 = 0
3) х3 - х2 = 0 4) |x2 - 5| + 1= 0
5) x3 - x - 6 = 0 6) |x2 - |x| - 2| = 0
7) ( x2 - 1)3 = 0 8) 2x3 - 6x + 4 = 0
Решить уравнения, используя графики:
1) x + 1 = x2 - 5 2) х3 = - х2 + 2
3) |x2 - 5| = 4 4) - x3+ x+6 = |x2-|x|-2|
5) 2x3 - 6x + 4 = х2 - 4 6) 3/x = х + 2
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Тема «Применение операторов графики для построения графиков элементарных функций и приближённого решения уравнений»
1 вариант
-
Наберите программу построения точечных графиков элементарных функций.
-
Постройте график функции y = | |x2 - 2х | - 8| на экране и перенесите его в тетрадь.
-
Решите уравнение | |x2 - 2x | - 8| = 0, используя построенный график
-
Решите уравнение 4 |x| - х3 = 2x + 7.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Тема «Применение операторов графики для построения графиков элементарных функций и приближённого решения уравнений»
2 вариант
-
Наберите программу построения точечных графиков элементарных функций.
-
Постройте график функции y = | |0,5x2 - 5 | - 3| на экране и перенесите его в тетрадь.
-
Решите уравнение | |0,5x2 - 5 | - 3| = 0, используя построенный график.
-
Решите уравнение 4 - 2x = х3 - 4 |x|.
19