«Применение специализированных математических программ для изучения школьного курса алгебры»

Содержание:

Введение

1. Возможности и применение пакета символьной математики Maple

2. Возможности и применение пакета символьной математики MathCAD

3. Возможности и применение пакета символьной математики Mathematica

Введение

В период реализации Концепции профильного образования на старшей ступени особо актуальным является внедрение в процесс обучения информатике и информационным технологиям таких систем и программ, которые дают возможность учащимся раскрыть свои умственные и творческие способности, получить основные профессиональные навыки и определить курс своей будущей карьеры. В 90-х гг. XX века в прикладной математике и информационных технологиях появилось совершенно новое направление - системы компьютерной математики. Эти пока еще не до конца изученные, но перспективные возможности и обуславливают информатике и информационным технологиям роль ядра современного школьного образования, позволяющая интегрировать его различные, на первый взгляд, весьма отдаленные части в единое целое.

Возможности и применение пакета символьной математики Maple

Изучение возможностей пакета символьной математики Maple и его последующего применения носит прикладной характер: учащиеся физико-математического класса расширяют и углубляют свои знания по математике, получают возможность наглядного представления различных математических ситуаций, а классы информационно-технологического профиля получают полезные профессиональные навыки как программисты и операторы ЭВМ.

Главная цель эксперимента - самореализация учащихся при внедрении в процесс обучения информатике и информационным технологиям новых организационных форм использования компьютеров, основанных на современных пакетах символьной математики. Модель внедрения Maple в систему школьного образования в рамках экспериментальной работы представлена на Рис.1.

Рис. 1. Сферы реализации СКМ Maple в системе школьного образования

Проектная деятельность учащихся реализуеся по двум направлениям: элективный курс «Изучение пакета символьной математики Maple» и программа курса информатики и ИКТ «Программирование в среде компьютерного математического пакета Maple».

Следующее направление применения возможностей пакета Maple в школе - это использование ее графических и вычислительных возможностей в качестве наглядного материала на уроках информатики, математики и физики.

Идеи возможного решения проблем школьного физико-математического образования с помощью среды Maple:

• В связи с профилизацией обучения образовательные программы ежегодно претерпевают изменения, происходит сокращение количества часов, отведенных на базовые предметы естественно - научного профиля. В свою очередь, это влечет за собой недостаточное владение учащимися фундаментальными знаниями, потеря которых отрицательно отражается на образовании в целом. Поэтому необходимо искать средства дополнительной поддержки базовых школьных предметов. При этом возникает идея интеграции предметов физико-математического цикла, которая является весьма продуктивной, поскольку, с одной стороны, она дает базу для изучения этих предметов, а с другой стороны, позволяет развить информационно-математическую культуру в процессе обучения и привить навыки прикладных исследований. Инструментом реализации этой идеи как раз и может стать система компьютерной математики Maple.

• В процессе учебы у детей может потеряться интерес к точным предметам, требующих больших интеллектуальных затрат, - именно тем базовым предметам, которые являются основой технологического и материального развития общества. Для повышения мотивации учащихся к этим предметам в последнее время успешно применяются новые информационные технологии. Изучение математики с применением пакета Maple и использованием элементов математического моделирования и последующего компьютерного моделирования значительно повышает наглядность изучаемых абстрактных объектов и развивает познавательный интерес учащихся к точным предметам.

• Теоретическое обучение должно подкрепляться практическими знаниями, умениями и навыками, в том числе и проведением лабораторных и практических работ. Слабо развитая инфраструктура школьных лабораторий не позволяет учащимся применять свои знания на практике. И физика с математикой в формулах, не найдя воплощения в зрительных реализациях, сохраняют свой абстрактный характер. Эта проблема может быть решена средствами системы компьютерной математики Maple математическим моделированием объектов, процессов и явлений: геометрических, физических, химических и др.

Реализация программ на языках программирования типа Pascal и Basic, ориентированных на командный интерфейс MS-DOS, является малоинформативной, неинтерактивной, и весьма ограничена в графических возможностях. При этом теряется биективная связь между абстрактно-формульным мышлением и математической моделью. Достоинства системы компьютерной математики Maple: интерактивность, образность, универсальность, совместимость с новейшими издательскими системами и Интернет - позволяют применять ее в качестве основного современного языка программирования при изучении информатики в средней школе.

Возможности и применение пакета символьной математики MathCAD

В современных условиях, учитывая большую и серьёзную заинтересованность студентов информационными технологиями, можно использовать эту возможность в качестве мощного инструмента развития мотивации на уроках математики, а также во внеурочной деятельности. Сам факт проведения урока математики в кабинете, оснащенном компьютерной техникой, интригует детей, у них появляется внешняя мотивация. Из внешней мотивации «вырастает» интерес к предмету. Использование ПК на уроках математики показало, что меняется отношение студентов к предмету, ребята не боятся проявлять свою инициативу в решении предлагаемых заданий, высказывать свое собственное мнение, стремятся овладеть программным материалом на более высоком уровне, чтобы справиться с заданиями теста на компьютере.

Решение уравнений на бумаге - это задача, с которой каждый знаком еще со школьной скамьи. Сначала мы учились решать простые линейные уравнения, деля на и получая , потом - системы уравнений, затем переходили к квадратным уравнениям. Находим дискриминант, извлекаем корень, делим, складываем… Все это вам знакомо, не так ли? Знакомы, наверное, симметрические, возвратные уравнения, а также уравнения, содержащие модуль…

Люди давно уже пришли к выводу, что решать уравнения с помощью компьютера - отнюдь не роскошь, а вполне разумный подход к делу. Только раньше каждый, кто желал решить уравнение, должен был уметь программировать и владеть при этом какими-нибудь численными методами - например, методом Гаусса для решения уравнений высших степеней. Сейчас эти все методы, конечно, тоже используются, но большая часть пользователей могут забыть их как страшный сон - все эти вычисления возможны с помощью средств компьютерной математики, например, в MathCAD.

Итак, сначала рассмотрим аналитическое решение уравнений.

Что ж, давайте, пожалуй, рассмотрим решение алгебраических уравнений на практике. То есть запустим MathCAD, включим панель символьных вычислений (Symbolic). На этой панели нам с вами понадобится оператор solve, именно он отвечает за аналитическое решение уравнений. Общий вид этого оператора такой:

уравнение solve, <переменная > решение.

Здесь уравнение - это именно то уравнение, решение которого мы хотим найти в общем виде, а переменная - это символ, обозначающий в нашем уравнении переменную величину. Его нужно указывать для того, чтобы MathCAD (не такой уж он умный, как иногда кажется!) мог отличить переменную от коэффициентов. Давайте попробуем найти решение обычного квадратного уравнения . Для этого нажмите на кнопку Solve на панели инструментов символьных вычислений и на то место, где должно быть записано уравнение, введите наше квадратное уравнение. Здесь есть два тонких момента. Во-первых, чтобы записать "", нужно после нажать Shift + 6 - тогда вы перейдете от записи переменных к записи показателя степени. Чтобы затем переключиться в режим записи других слагаемых в уравнении, достаточно нажать на клавиатуре стрелку вправо. Вообще навигация по записям в MathCAD при помощи стрелок вполне прозрачная - вы передвигаетесь стабильно в том направлении, куда указывает стрелка, и перескакиваете в показатели степени и индексы автоматически. Во-вторых, при записи уравнения в операторе solve "равно" нужно не обычное, а логическое - оно записывается с клавиатуры комбинацией Ctrl + =. При этом, если правая часть вашего уравнения равна нулю, то и ноль, и знак равенства можно опускать - MathCAD посчитает, что уравнение записано в стандартном виде, и успешно (если это, конечно, возможно) решит его. Итак, давайте посмотрим, что получилось от "скармливания" оператору solve нашего с вами квадратного уравнения.

Рис.1. Аналитическое решение алгебраического уравнения

Как видите, ничего неожиданного не произошло: MathCAD честно воспользовался известными всем еще из школьного курса алгебры формулами Виета, а решения уравнения записал в виде вектора-столбца. Несложно самостоятельно убедиться в том, что MathCAD знает и формулы Кордано для решения кубических уравнений. Их он также может решать с произвольными коэффициентами. Правда, конечно, решения получаются несравненно более громоздкими, а потому я их здесь не буду приводить. Это же справедливо и для уравнений четвертой степени, для которых также существуют аналитические решения. Решение других видов уравнений (например, показательных, простых тригонометрических) в аналитическом виде также вполне возможно.

Теперь перейдем к численному решению уравнений с помощью функции solve.

Но, конечно, такие красивые результаты в максимально обобщенной форме мы сможем получать далеко не всегда. Уже на уравнениях пятой степени MathCAD спотыкается, и произвольные коэффициенты приходится заменять постоянными. Впрочем, в этом ничего страшного нет - даже уравнения третьей степени со всеми произвольными коэффициентами решать вряд ли имеет смысл, поскольку гораздо проще подставить коэффициенты и получить нормальные числа в решении - в конце концов, общие формулы для решения алгебраических уравнений используются именно из-за того, что живому человеку гораздо проще подставить числа в готовую формулу, чем подбирать каждый раз корни уравнения. С компьютерами дело обстоит в большинстве случаев с точностью до наоборот - получить численное решение уравнения зачастую гораздо проще, чем аналитическое. Оператор solve умеет находить и численные решения уравнений. Если аналитическое решение получить не удается, он автоматически подключает систему нахождения численных решений уравнений. Так что, если мы запишем уравнение , то MathCAD, и глазом не моргнув, выдаст нам результат вычислений.

Рис.2. Численное решение уравнения

Графическое решение уравнений в MathCAD:

Для того чтобы получить графическое представление функции, описывающей наше уравнение нужно

- щелкнуть мышью по кнопке «Декартов график» панели «графики»;

- определить место в документе, где должен появиться график функции, щелкнуть мышью в соответствующей точке документа;

- ввести название заданной функции.

Пример. Построить графическое решение функции

Рис. 3. Графическое решение уравнения

Конечно, уместить в статье все методы решения алгебраических уравнений средствами компьютерной математики просто невозможно, поэтому приводятся лишь некоторые из них. Студент, решая уравнения самостоятельно, может воспользоваться MatCad'ом. В своей педагогической деятельности педагог по математике может разработать элективный курс «Решение целых алгебраических уравнений в среде MathCAD» и использовать его в своей работе.

Возможности и применение пакета символьной математики Mathematica

Способность иметь дело с символьными формулами, а не только с числовыми выражениями, является одной из наиболее сильных черт программы Mathematica. Появляется возможность использовать эту программу при занятиях математикой, дифференциальным и интегральным исчислением.

Mathematica делает многие алгебраические преобразования: раскрывает скобки в алгебраических выражениях, разлагает на множители, упрощает выражения, решает рациональные уравнения или системы уравнений. Она также может получать алгебраические результаты для многих видов матричных операций.

На примерах применения нескольких функций Mathematica покажем, каким доступным и удобным для пользователя является этот программный продукт.

Пример 1. Выполним пробное упражнение: вычислить сумму 59+73.

Напечатаем с помощью клавиатуры 59+73, затем нажмем Shift+Enter(или Insert); загрузится ядро, и на экране появится ответ 132.Одновременно строка ввода и вывода будут помечены, и все это будет выглядеть так:

In[1]:=59+73 (In- обозначает ввод)

Out[1]=132(Out- вывод)

[1]-номер нашего обращения к системе.

Нумерация вводов и выводов позволяет удобно использовать полученные результаты в дальнейших расчётах.

Пример 2. Разложить на простые множители число 333718.

In[2]:=FactorInteger[333718]

Out[2]={{2,1},{7,1},{11,2},{197,1}}

В каждой из пар, стоящих в фигурных скобках, на первом месте указан простой множитель, а на втором - показатель степени, в которой этот множитель входит в разложение. В данном примере ответ в обычной записи будет выглядеть так:

2*7**197

Пример 3. Найти интеграл

In[3]:=x^2/(x-1)^5

Out[3]=

В строке In[4] записан вид подынтегрального выражения, принятый в Mathematica.

In[4]:=Integrate[%,x]

Эта команда обозначает: проинтегрировать предыдущую функцию (%-означает "предыдущее выражение")

Out[6]=

В выводной строке содержится выражение неопределенного интеграла; постоянная интегрирования не ставится, но подразумевается.

Пример 4.

In[7]:=

Out[7]= -

Вычислен неопределенный интеграл

Наряду с этим способом набора входной ячейки можно применить функцию Integrate ( символьное интегрирование) и NIntegrate (численное интегрирование).

Списки являются эффективным средством работы с выражениями Mathematica в процессе численных и символьных вычислений, также они необходимы для овладения языком программирования высокого уровня.

Список (List) является выражением Mathematica, имеющим вид

List[или {

Где элементами могут быть любые выражения Mathematica, в том числе и списки. Примерами списков являются матрицы.

Существуют четыре функции, порождающие списки: List, Range, Table, Array.

Графические функции

Графика, как важнейшее средство визуализации вычислений, всегда была козырной картой системы Mathematica и во многом способствовала ее высокой репутации как мирового лидера среди систем компьютерной математики. Обширные графические возможности достигаются при небольшом числе встроенных функций графики за счет их модификации с помощью опций и директив. Благодаря этому Mathematica позволяет строить практически любые виды графиков. Для просмотра и изменения опций графика можно (выделив ячейку с графиком) воспользоваться описанным ранее инспектором опций, в котором есть соответствующий раздел. Однако в этом уроке мы инспектором опций пользоваться не будем -- все необходимые опции будут вводиться в соответствующие функции так, как это принято делать при программировании задач графики.

Двумерная графика

Графическая функция Plot

Концептуально графики в системе Mathematica являются графическими объектами, которые создаются (возвращаются) соответствующими графическими функциями. Их немного, около десятка, и они охватывают построение практически всех типов математических графиков. Как уже отмечалось, достигается это за счет применения опций и директив.

Поскольку графики являются объектами, то они могут быть значениями переменных. Поэтому Mathematica допускает следующие конструкции:

· Plot[Sin[x],{x,0,20}] -- построение графика синусоиды;

· g:=Plot [Sin [x], {х, 0, 20} ] -- задание объекта -- графика синусоиды -- с отложенным выводом;

· g=Plot [Sin [x], {х, 0, 20} ] -- задание объекта -- графика синусоиды -- с немедленным выводом.

Литература:

1. Саркеева А.Н. «Изучение пакета символьной математики Maple» // Учебно-методическое пособие. Казань, Изд-во ТГГПУ, 2009. - 111 с.

2. Саркеева А.Н. Роль и место компьютерной математики в процессе интеграции школьного физико-математического образования. // В сборнике материалов международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения», Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2007. - Вып.8. - С. 260-262.

3. Дьяконов В.П. Система Mathcad: Справочник .- М.: Радио и связь,1993,- 128с.

4. Дьяконов В.П. Автоматизация математических расчетов с помощью системы Mathcad.// Мир ПК.- 1991.- №8.

5. Дьяконов В.П. Mathcad 8 PRO в математике, физике и Internet .- М.: «Нолидж», 1999.

6. Колягин Ю.М., Оганесян В.А., Саннинский В.Я., Луканкин Л.Г. «Методика преподавания математики в средней школе». Общая методика. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов. М., «Просвещение», 1975.

7. Корнилов П. А., Плясунова У. В. Создание дидактических материалов по математике в MathCad // Информатика и образование.- 2001.-№5.-С.2-8.

8. Лапчик М.П. Методика преподавания информатики: Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов пединститутов.

- Свердловск: Пед. Институт, 1987.- 152с.

9. Левитас Г. Г., Арутюнян В. Г. Компьютер на уроках математики // Информатика и образование.-2002.-№5.- С.7-9.

10. Уваров А.А. Информатика в школе: вчера, сегодня, завтра//Информатика и образование.- 1990.-№4.-С.3-6.

11. Уваров А.А. Информатику необходимо сохранить// информатика и образование, 1990.-№5.-С.3-8.