Системы счисления

Системы счисления

Система счисления - это способ записи чисел и правила действия над числами.

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая знаком в записи числа, зависит от позиции знака.

В непозиционных системах счисления от положения знака в записи числа не зависит величина, которую он обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система счисления:

I V X L D M

1 5 10 50 500 1000

Например, число MMXII складывается из двух тысяч, одного десятка, двух единиц и равно 2012, а число MDCCCXXV =1825.

Римские числа записываются слева направо в порядке убывания. В этом случае числа складываются. Если слева записана меньшая цифра, а справа большая, то их значения вычитаются.

Например, XI= 10+1=11, а IX= 10-1=9.

Основание системы счисления - это количество знаков в системе счисления.

Алфавит системы счисления - это множество знаков, используемых в ней.

Таблица 2.1. Связь между основанием системы счисления и алфавитом

Основание системы

счисления (n)

Алфавит

2

3

4

…

8

…

10

11

…

16

0, 1

0, 1, 2

0, 1, 2, 3

0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, А

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C,D, E

1. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием n

Алгоритм

1. Выполнить последовательность деления исходного числа и получаемых целых частных на основание системы счисления, в которую осуществляется перевод. Деление осуществлять до тех пор, пока не получится частное, меньше делителя.

2. Полученные остатки привести в соответствие с алфавитом системы счисления, в которую осуществляется перевод.

3. Выписать последний результат деления и все остатки в порядке, обратном выполнению деления. Полученное число будет результатом перевода.

Пример 1.

Перевести десятичное число 188₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение

188

16

176

11

12

11 и 12 необходимо представить в шестнадцатеричной системе счисления.

11 - это В, 12 - С.

Итак, 188₁₀=ВС₁₆

Ответ: 188₁₀=ВС₁₆

Пример 2.

Перевести число 154₁₀ в восьмеричную систему счисления.

Решение

154

8

2

19

8

3

2

Итак, 154₁₀=232_8.

Ответ: 154₁₀=232_8.

Переведите самостоятельно число 135₁₀ в двоичную систему счисления.

Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления

в систему с основанием n

Алгоритм перевода

1. Последовательно умножать исходное число и получаемые дробные части произведений на основание системы счисления, в которую осуществляется перевод. Умножение осуществлять до тех пор, пока дробная часть произведения не обратится в ноль, или будет достигнута ожидаемая точность представления числа.

2. Полученные целые части произведений привести в соответствие с алфавитом системы счисления, в которую осуществляется перевод.

3. Выписать целые части произведений в прямом порядке. Полученное число будет результатом перевода.

Пример 3.

Перевести число 0.4125₁₀ в восьмеричную систему счисления с точностью до четырех знаков.

Решение

0.

4125

* 8

3

3000

* 8

2

4000

* 8

3

2000

* 8

1

…

6000

…

Ответ: 0.4125₁₀=0.3231₈

Перевод двоичных чисел в систему с основанием 2ⁿ

Алгоритм перевода

1. Двоичное число разбить справа налево на группы по n цифр.

Так, при переводе в восьмеричную систему в исходное число разбивается на тройки (8=2³), а при переводе в шестнадцатеричную систему счисления - на группы по 4 цифры (16=2⁴).

2. В случае необходимости последнюю группу дополнить нулями до нужного числа разрядов.

3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число, записать группу в виде соответствующей цифры (символа) в системе с основанием 2ⁿ.

Пример 4.

Перевести двоичное число 111000110₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение

1. Т.к. перевод осуществляется в шестнадцатеричную систему счисления, то исходное число справа налево разобьем на группы по 4 цифры, последнюю группу дополним тремя нулями

0001

1100

0110

2) Рассмотрим каждую группу как 4-хразрядное двоичное число и запишем группу в виде соответствующей цифры в шестнадцатеричной системе счисления. Получим следующий результат

1

С

6

Ответ: 111000110₂= 1С6_16.

Пример 5.

Перевести двоичное число 101011100₂ в восьмеричную систему счисления.

Решение

1. Т.к. перевод осуществляется в восьмеричную систему счисления, то исходное число справа налево разобьем на группы по 3 цифры.

101

011

100

2) Рассмотрим каждую группу как 3-хразрядное двоичное число и запишем группу в виде соответствующей цифры в восьмеричной системе счисления. Получим следующий результат

5

3

4

Ответ: 101011100₂ = 534_8.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления

Алгоритм перевода

При переводе числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления нужно каждый символ данного числа умножить на основание системы счисления, в которой записано число, в степени соответствующей положению символа в записи числа и все произведения сложить.

Пример 6.

Перевести двоичное число 101011₂ в десятичную систему счисления.

Решение

101011₂= 1*2⁵+0*2⁴+1*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰=32+8+2+1=43₁₀

Ответ: 101011₂=43₁₀

Пример 7.

Перевести шестнадцатеричное число 19С, 51₁₆ в десятичную систему счисления:

19С, 51₁₆ = 1*16² + 9*16¹ + 12*16⁰ + 5*16^-1 + 1*16^-2 =

= 256 + 144 + 12 + 0.3125 + 0.00390625 = 412. 31640625₁₀.

Ответ: 19С, 51₁₆ =412. 31640625₁₀

Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную систему счисления

При переводе числа из восьмеричной системы счисления в двоичную систему счисления нужно каждую цифру этого числа записать в виде триады символов двоичной системы счисления. В том случае, если при записи очередного символа триада получается неполной, нужно в этой триаде слева добавить недостающее количество нулей.

При переводе числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему счисления, нужно каждый символ этого числа записать в виде группы из четырех символов двоичной системы счисления. В том случае, если при записи очередного символа, группа получается неполной, нужно в этой группе слева добавить недостающее количество нулей.

Пример 8.

Перевести восьмеричное число 651₈ в десятичную систему счисления.

Решение

1. 6=110₂, 5=101₂, 1=001₂

2. 651₈= 110101001₂

Ответ: 651₈= 110101001₂

Выполнение арифметических операций в позиционных системах счисления

Рассмотрим алгоритмы выполнения арифметических операций на примере двоичной системы счисления.

Сложение. В основе сложения чисел в двоичной системе счисления лежит принцип сложения одноразрядных двоичных чисел:

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10

При сложении двух единиц произво­дится перенос в старший разряд. Это происходит тогда, когда величина числа становится равной или большей основания системы счисления.

Сложение многоразрядных двоичных чисел выполняется аналогично с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие.

Пример 9.

Сложить двоичные числа 100101₂ и 1101001₂

Решение

Запишем данные числа в столбик. Первым поставим то число, в котором больше разрядов.

1101001₂

₊

100101₂

10001110₂

Ответ: 100101₂ + 1101001₂=10001110₂

Вычитание. В основе вычитания двоичных чисел лежит принцип вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из нуля единицы производится заем из старшего разряда. Заем обозначается чертой ¯.

0-0=0

0-1=¯11

1-0=1

1-1=0

Вычитание многоразрядных двоичных чисел осуществляется аналогично с учетом заемов в старших разрядах.

Пример 10.

Определить разность двоичных чисел 110₂ и 11_2.

Решение

110₂

_-

11₂

11₂

Ответ: 110₂ - 11₂=11₂

Умножение. В основе умножения двоичных чисел лежит принцип умножения одноразрядных двоичных чисел:

0*0=0

0*1=0

1*0=0

1*1=1

Умножение многоразрядных двоичных чисел осуществляется в соответствии с данным принципом по схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.

Пример 11.

Найти произведение двоичных чисел 1001₂ и 101₂.

Решение

1001₂

_*

101₂

1001₂

0000₂

1001₂

101101₂

Ответ: 1001₂ * 101₂ =101101₂

Деление двоичных чисел выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. Разделим двоичное число 110₂ на двоичное число 11₂, получим 10₂.

Арифметические операции в остальных позиционных системах счисления выполняются аналогично, с учетом переноса в старший разряд при сложении и заемом в старшем разряде при вычитании.

Пример 12.

Определить сумму 233₁₆+ 158₁₆.

Решение

233₁₆

₊

158₁₆

38В₁₆

Ответ: 38В₁₆