- Преподавателю
- Информатика
- ТЕСТЫ ДЛЯ 10 КЛАССА
ТЕСТЫ ДЛЯ 10 КЛАССА
Раздел | Информатика |
Класс | 10 класс |
Тип | Тесты |
Автор | Плешкова А.Ю. |
Дата | 07.08.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Задача 1
Вычислить предел функции с использованием основных теорем
Решение
.
Задача 2
Раскрыть неопределенность вида или с использованием правила Лопиталя: .
Решение
.
Задача 3
Проверить сходимость числового ряда , используя признаки сходимости Даламбера или Коши.
Решение
Воспользуемся признаком сходимости Даламбера:
.
=
заданный ряд расходится.
Задача 4
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале
Решение
1. Находим первую производную заданной функции
2. Определяем критические точки первого рода:
, откуда: x1=0, x2= - - не принадлежит
3. Подвергаем эти точки дополнительному исследованию в табличной форме (Таблица ), учитывая, что заданная функция определена на участке числовой оси:
Таблица
-0,6
(-0,6;0)
0
(0;1,8)
1,8
Знак
-
+
Величина
-2,632
-4
18,032
Экстремум
m
M
Задача 5
Вычислить неопределенный интеграл методом подстановки .
Решение
Положим 1+
=
Задача 6
Вычислить неопределенный интеграл от рациональной дроби
Решение
6B=6
B=1
A=1-B=1-1=0
=
Задача 7
Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям
Решение
= =
.
Задача 8
Определить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
Решение
1. Изображаем фигуру, ограниченную указанными линиями.
Итак, необходимо вычислить площадь фигуры, выделенной штриховкой. Главными линиями здесь являются графики квадратной параболы.
2. Записываем и вычисляем два интеграла вида:
Задача 9
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость
Решение
Это интеграл с бесконечным верхним и нижним пределами интегрирования, поэтому записываем его в виде:
Задача 10
Решение
Найти и проверить решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка .
1. Записываем однородное уравнение, соответствующее заданному неоднородному
.
2. Записываем характеристическое уравнение однородного уравнения
,
3. Решаем это квадратное уравнение
= .
4. Записываем общее решение однородного уравнения
.
5. Частное решение заданного неоднородного уравнения ищем в форме многочлена вида
.
Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид:
.
Проверка:
.
.
.
Задача 11
Решить линейное дифференциальное уравнение
Решение
, справа стоит однородная функция нулевого измерения, следовательно, имеем однородное уравнение.
Делаем замену
Задача 12
Решить задачу Коши, удовлетворяющую условиям
Решение
1. Записываем однородное уравнение, соответствующее заданному неоднородному уравнению:
2. Записываем характеристическое уравнение однородного уравнения:
3. Находим решение квадратного уравнения:
4. Записываем общее решение однородного уравнения:
5. частное решение будем искать в виде :
Подставляя это выражение в заданное уравнение, будем иметь:
-5A+6(Ax+B)=2x+1
-5A+6Ax+6B=2x+1
Следовательно,
Общее решение
Для нахождения имеем систему
откуда ,
Итак,
Задача 13
Определить экстремум функции двух переменных
Решение
1. Найдем частные производные.
2. Решим систему уравнений.
2•x•y+2•x(y+1) = 0
2•x2-2 = 0
Получим:
x = 0
-2 = 0
Количество критических точек равно 3.
M1(0;-1/2), M2(-1;0), M3(1;0)
3. Найдем частные производные второго порядка.
4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x0;y0).
Вычисляем значения для точки M1(0;-1/2)
AC - B2 = 0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.
Вычисляем значения для точки M2(-1;0)
AC - B2 = -16 < 0, то глобального экстремума нет.
Вычисляем значения для точки M3(1;0)
AC - B2 = -16 < 0, то глобального экстремума нет.
Вывод: Глобального экстремума нет.
Задача 14
Определить оптимальный уровень выпуска двух видов продукции, если известна функция дохода и функция затрат :
.
Решение
1. Формируем функцию прибыли:
.
2. Находим первые частные производные функции прибыли:
3. Приравниваем производные к нулю и переносим свободные члены вправо:
4. Решаем эту систему методом Гаусса (методом вычитания) и получаем координаты критической точки:
Итак, критической точкой является точка с координатами .
5. Находят вторые производные от функции прибыли.
6. Вычисляем определитель матрицы вторых производных:
Отсюда следует, что в критической точке функция не имеет ни максимума, ни минимума
7. Вычисляем величину максимума функции прибыли в точке с координатами :