«Моделирование решения задачи при помощи табличных процессоров. Построение графиков математических функций средствами MS Excel»

МБОУ Медведская ООШ

Учитель математики и информатики Фоминова Н.А.

Квалификационная категория: первая

Содержание

Введение

За последнее десятилетие подход к математическим расчетам изменился коренным образом. На смену счётам, арифмометрам, логарифмическим линейкам и калькуляторам пришли компьютеры. Специалист, даже хорошо знающий математику, но не умеющий на практике применять знания, производить математические вычисления с помощью компьютера, едва ли может считаться высококлассным. В данной курсовой работе в качестве основного средства для решения математических задач используются широкие возможности пакета «Excel». Для облегчения восприятия материала работа иллюстрирована примером с подробным решением.

«Excel» - программа для создания, редактирования и обработки электронных таблиц, выполнения расчетов, построения диаграмм и так далее. Файл «Excel» представляет собой Книгу, состоящую из листов- Лист1, Лист2 и так далее. Столбцы электронной таблицы имеют заголовок: A,B,C,D,…, а строки - 1,2,3,… Каждая ячейка имеет адрес, составленный из номера столбца и номера строки - А5, D7,… В любую ячейку можно ввести число (257, -146.2, +2566.567), формулу, текст.

Формула начинается со знака «=», в формулу вводятся только числа, адреса ячеек и функции, соединенные между собой знаками арифметических операций. Аргументами функции могут быть: числа; ссылки на ячейки и диапазоны ячеек; имена; текст; другие функции; логические значения и так далее. Если набранная последовательность не является ни числом, ни формулой, она считается текстом и не подвергается каким-либо преобразованиям.

Формула может содержать ссылки, то есть адреса ячеек, содержимое которых используется в вычислениях. Это означает, что результат вычисления формулы зависит от числа, находящегося в другой ячейке. Ячейка, содержащая формулу, таким образом, является зависимой. Значение, отображаемое в ячейке с формулой, пересчитывается при изменении значения ячейки, на которую указывает ссылка. По умолчанию, ссылки на ячейки в формулах рассматриваются как относительные. Это означает, что при копировании формулы адреса в ссылках автоматически изменяются в соответствии с относительным расположением исходной ячейки и создаваемой копии.

При абсолютной адресации адреса ссылок при копировании не изменяются, так что ячейка, на которую указывает ссылка, рассматривается как нетабличная. Для изменения способа адресации при редактировании формулы надо выделить ссылку на ячейку и нажать клавишу F4. Элементы номера ячейки, использующие абсолютную адресацию, предваряются символом $. Например, при последовательных нажатиях клавиши F4 номер ячейки А1 будет записываться как А1,$А$1,А$1 и $А1.В двух последних случаях один из компонентов номера ячейки рассматривается как абсолютный, а другой - как относительный.

«Excel» различает форматирование всей ячейки и форматирование содержимого ячейки. Форматированием называется изменение внешнего оформления таблиц и данных в них. К форматированию ячеек относится: изменение шрифта содержимого ячеек, выравнивание данных в ячейках, представление чисел в разных форматах, оформление границ ячеек, и так далее.

Объект работы - исследование табличного процессора «Excel».

Предмет исследования - построение графиков математических функций в табличном процессоре «Excel».

Целью курсовой работы является изучение расширенных возможностей табличного процессора «Excel» и их использование при решении вычислительных задач, построение графиков математических функций.

Исходя из цели курсовой работы, поставлены следующие задачи:

1. Изучить расширенные возможности табличного процессора «Excel».

2. Рассмотреть принцип решения задач при помощи табличного процессора.

3. Показать на примерах решение задач, построение графиков математических функций средствами табличного процессора.

1 Моделирование решения задачи при помощи табличных процессоров

1.1 Общие сведения о «Excel» и электронных таблицах

«Excel» нужен прежде всего тем людям, которые в своей работе имеют дело с цифрами, например бухгалтерам и научным работникам. Но этим не исчерпывается потенциал электронных таблиц. Практически во всех случаях, когда информация может быть представлена в табличном виде, «Excel» является незаменимым помощником. Любой пользователь, знающий возможности «Excel», всегда может найти ему применение в своей работе.

С помощью «Excel» можно создавать, редактировать и печатать красиво оформленные таблицы. Благодаря встроенным в него математическим и логическим функциям, можно очень быстро выполнять разнообразные операции как над цифрами, так и над текстами, производить простые и сложные вычисления. Можно создавать всевозможные диаграммы, строить графики и т. п. причем таблицы «Excel» могут быть встроены во многие документы, в том числе и в документы текстового редактора «Word».

«Excel» имеет огромные возможности. Однако его изучение и применение является полезным не только поэтому. Большую роль играет его распространенность. Эта программа установление сегодня практически на любом компьютере. Получая откуда-либо файлы электронных таблиц, можно быть почти уверенным, что эти документы создавались в «Excel» или, по крайней мере, могут быть прочитаны в нем. Именно поэтому умение использовать «Excel» является очень важным.[1]

Первые версии «Excel» были созданы еще до появления операционных систем семейства «Windows». Но и после этого «Excel» не остановился в своем развитии: были созданы версии 7.0, 97, 2000, 2002, 2003, 2007, 2010 в каждой из которых появлялись новые возможности и совершенствовались имеющиеся, устранялись ошибки предыдущих версий.

1.2 Основные элементы электронной таблицы

Электронная таблица - компьютерный эквивалент обычной таблицы, в клетках (ячейках) которой записаны данные различных типов: тексты, даты, формулы, числа.

Результат вычисления формулы в клетке является изображением этой клетки. Числовые данные и даты могут рассматриваться как частный случай формул. Для управления электронной таблицей используется специальный комплекс программ - табличный процессор. [2]

Главное достоинство электронной таблицы - это возможность мгновенного пересчета всех данных, связанных формульными зависимостями при изменении значения любого операнда.

Рабочая область электронной таблицы состоит из строк и столбцов, имеющих свои имена. Имена строк - это их номера. Нумерация строк начинается с 1 и заканчивается максимальным числом, установленным для данной программы. Имена столбцов - это буквы латинского алфавита сначала от А до Z , затем от АА до AZ , ВА до BZ и т. д.

Максимальное количество строк и столбцов определяется особенностями используемой программы и объемом памяти компьютера, Современные программы дают возможность создавать электронные таблицы, содержащие более 1 млн. ячеек, хотя для практических целей в большинстве случаев этого не требуется.

Пересечение строки и столбца образует ячейку таблицы, имеющую свой уникальный адрес. Для указания адресов ячеек в формулах используются ссылки (например, А2 или С4). Ячейка - область, определяемая пересечением столбца и строки электронной таблицы. Адрес ячейки - определяется названием (номером) столбца и номером строки. Ссылка - способ (формат) указания адреса ячейки.

В электронной таблице существует понятие блока (диапазона) ячеек, также имеющего свой уникальный адрес. В качестве блока ячеек может рассматриваться строка или часть строки, столбец или часть столбца, а также прямоугольник, состоящий из нескольких строк и столбцов или их частей. Адрес блока ячеек задается указанием ссылок первой и последней его ячеек, между которыми, например, ставится разделительный символ - двоеточие «:» или две точки подряд «..».[3]

Каждая команда электронной таблицы требует указания блока (диапазона) ячеек, в отношении которых она должна быть выполнена. Блок используемых ячеек может быть указан двумя путями: либо непосредственным набором с клавиатуры начального и конечного адресов ячеек, формирующих диапазон, либо выделением соответствующей части таблицы при помощи клавиш управления курсором. Удобнее задавать диапазон выделением ячеек.

Типичными установками, принимаемыми по умолчанию на уровне всех ячеек таблицы, являются: ширина ячейки в 9 разрядов, левое выравнивание для символьных данных и основной формат для цифровых данных с выравниванием вправо.

Блок ячеек - группа последовательных ячеек. Блок ячеек может состоять из одной ячейки, строки (или ее части), столбца (или его части), а также последовательности строк или столбцов (или их частей).

При работе с электронной таблицей на экран выводятся рабочее поле таблицы и панель управления. Панель управления обычно включает: Главное меню, вспомогательную область управления, строку ввода и строку подсказки. Расположение этих областей на экране может быть произвольным и зависит от особенностей конкретного табличного процессора.

Строка главного меню содержит имена меню основных режимов программы. Выбрав один из них, пользователь получает доступ к ниспадающему меню, содержащему перечень входящих в него команд. После выбора некоторых команд ниспадающего меню появляются дополнительные подменю.

Вспомогательная область управления включает:

• строку состояния;

• панели инструментов;

• вертикальную и горизонтальную линейки прокрутки. [4]

В строке состояния (статусной строке) пользователь найдет сведения о текущем режиме работы программы, имени файла текущей электронной таблицы, номере текущего окна и т.п. Панель инструментов (пиктографическое меню) содержит определенное количество кнопок (пиктограмм), предназначенных для быстрой активизации выполнения определенных команд меню и функций программы. Чтобы вызвать на экран те области таблицы, которые на нем в настоящий момент не отображены, используются вертикальная и горизонтальная линейки прокрутки. Бегунки (движки) линеек прокрутки показывают относительную позицию активной ячейки в таблице и используются для быстрого перемещения по ней. В некоторых табличных процессорах на экране образуются специальные зоны быстрого вызова. При щелчке мыши в такой зоне вызывается соответствующая функция. Например, при щелчке мыши на координатной линейке вызывается диалог задания параметров страницы.

Строка ввода отображает вводимые в ячейку данные. В ней пользователь может просматривать или редактировать содержимое текущей ячейки. Особенность строки ввода - возможность видеть содержащуюся в текущей ячейке формулу или функцию, a не ее результат. Строку ввода удобно использовать для просмотра или редактирования текстовых данных.

Строка подсказки предназначена для выдачи сообщений пользователю относительно его возможных действий в данный момент.

Приведенная структура интерфейса является типичной для табличных процессоров, предназначенных для работы в среде «Windows». Для табличных процессоров, работающих в «DOS», чаще всего отсутствуют командные кнопки панелей инструментов и линейки прокрутки.

Рабочее поле - пространство электронной таблицы, состоящее из ячеек, названий столбцов и строк. Панель управления - часть экрана, дающая пользователю информацию об активной ячейке и ее содержимом, меню и режиме работы. [3]

Текущей (активной) называется ячейка электронной таблицы, в которой в данный момент находится курсор. Адрес и содержимое текущей ячейки выводятся в строке ввода электронной таблицы. Перемещение курсора как по строке ввода, так и по экрану осуществляется при помощи клавиш движения курсора.

Возможности экрана монитора не позволяют показать всю электронную таблицу. Мы можем рассматривать различные части электронной таблицы, перемещаясь по ней при помощи клавиш управления курсором. При таком перемещении по таблице новые строки (столбцы) автоматически появляются на экране взамен тех, от которых мы уходим. Часть электронной таблицы, которую мы видим на экране монитора, называется текущим (активным) экраном.

Основные объекты обработки информации - электронные таблицы - размещаются табличным процессором в самостоятельных окнах, и открытие или закрытие этих таблиц есть, по сути, открытие или закрытие окон, в которых они размещены. Табличный процессор дает возможность открывать одновременно множество окон, организуя тем самым «многооконный режим» работы. Существуют специальные команды, позволяющие изменять взаимное расположение и размеры окон на экране. Окна, которые в настоящий момент мы видим на экране, называются текущими (активными). [5]

Рабочая книга представляет собой документ, содержащий несколько листов, а которые могут входить таблицы, диаграммы или макросы. Вы можете создать книгу для совместного хранения в памяти интересующих вас листов и указать, какое количество листов она должна содержать. Все листы рабочей книги сохраняются в одном файле. Заметим, что, термин «рабочая книга» не является стандартным. Так, например, табличный процессор «Framework» вместо него использует понятие «Frame» (рамка).

В каждую ячейку пользователь может ввести данные одного из следующих возможных видов: символьные, числовые, формулы и функции, а также даты.

Символьные (текстовые) данные имеют описательный характер. Они могут включать в себя алфавитные, числовые и специальные символы. В качестве их первого символа часто используется апостроф, а иногда - кавычки или пробел. [6]

Числовые данные не могут содержать алфавитных и специальных символов, поскольку с ними производятся математические операции. Единственными исключениями являются десятичная точка (запятая) и знак числа, стоящий перед ним.

Формулы. Видимое на экране содержимое ячейки, возможно, - результат вычислений, произведенных по имеющейся, но не видимой в ней формуле. Формула может включать ряд арифметических, логических и прочих действий, производимых с данными из других ячеек.

В обычном режиме отображения таблицы на экране вы увидите не формулу, а результат вычислений по ней над числами, содержащимися в ячейках В5, С5 и Е5.

Функции. Функция представляет собой программу с уникальным именем, для которой пользователь должен задать конкретные значения аргументов функции, стоящих в скобках после ее имени. Функцию (так же, как и число) можно считать частным случаем формулы. Различают статистические, логические, финансовые и другие функции.

Даты. Особым типом входных данных являются даты. Этот тип данных обеспечивает выполнение таких функций, как добавление к дате числа (пересчет даты вперед и назад) или вычисление разности двух дат (длительности периода). Даты имеют внутренний (например, дата может выражаться количеством дней от начала 1900 года или порядковым номером дня по Юлианскому календарю) и внешний формат. Внешний формат используется для ввода и отображения дат. Наиболее употребительны следующие типы внешних форматов дат:

- ДД-МММ-ГГ (04-Янв-95);

- МММ-ДД-ГГ (Янв-04-95);

- ДЦ-МММ (04-Янв);

- МММ-ГГ (Янв-95).

Тип входных данных, содержащихся в каждой ячейке, определяется первым символом, который должен трактоваться не как часть данных, а как команда переключения режима:

• если в ячейке содержатся числа, то первый их символ является либо цифрой, либо десятичной точкой, либо знаком числа (плюсом или минусом);

• если в ячейке содержится формула, то первый ее символ должен быть выбран определенным образом в соответствии со спецификой конкретного табличного процессора. Для этого часто используются левая круглая скобка, знак числа (плюс или минус), знак равенства и т.п.; ячейка, содержащая функцию, всегда использует в качестве первого специальный символ @ ;

• если ячейка содержит символьные данные, ее первым символом может быть одинарная (апостроф) или двойная кавычка, а также пробел.

Логические данные используется в логических формулах и функциях. Данные этого типа отображаются в текущей ячейке следующим образом: если вводится любой отличное от нуля число (целое или дробное), то после нажатия клавиши «Enter» в этой ячейке будет выведено «Истина». Ноль отображается в соответствующей ячейке как «Ложь». [7]

Это представление данных связано с понятием логической переменной, которая используется в алгебре логики. Одна служит для описания высказываний, которые могут принимать одно из двух возможных значений: «истина» (логическая единица) либо «ложь» (логический нуль).

Используются различные форматы представления числовых данных в рамках одной и той же электронной таблицы. По умолчанию числа располагаются в клетке, выравниваясь по правому краю. В некоторых электронных таблицах предусмотрено изменение этого правила. Наиболее распространенные форматы представления числовых данных: основной формат, формат с фиксированным количеством десятичных знаков, процентный формат, денежный формат, научный формат. [1]

Основной формат используется по умолчанию, обеспечивая запись числовых данных в ячейках в том же виде, как они вводятся или вычисляются.

Формат с фиксированным количеством десятичных знаков обеспечивает представление чисел в ячейках с заданной точностью, определяемой установленным пользователем количеством десятичных знаков после запятой (десятичной точки). Например, если установлен режим форматирования, включающий два десятичных знака, то вводимое в ячейку число 12345 будет записано как 12345,00, а число 0.12345 - как .12. [8]

Процентный формат обеспечивает представление введенных данных в форме процентов со знаком % (в соответствии с установленным количеством десятичных знаков). Например, если установлена точность в один десятичный знак, то при вводе 0.123 на экране появится 12.3%, а при вводе 123 - 12300.0%.

Денежный формат обеспечивает такое представление чисел, где каждые три разряда разделены запятой. При этом пользователем может быть установлена определенная точность представления (с округлением до целого числа или в два десятичных знака). Например, введенное число 12345 будет записано в ячейке как 12,345 (с округлением до целого числа) и 12,345-00 (с точностью до двух десятичных знаков). [9]

Научный формат, используемый для представления очень больших или очень маленьких чисел, обеспечивает представление вводимых чисел в виде двух компонентов:

- мантиссы, имеющей один десятичный разряд слева от десятичной точки, и некоторого (определяемого точностью, заданной пользователем) количества десятичных знаков справа от нее;

- порядка числа.

Вычисления в таблицах производятся с помощью формул. Результат вычисления помещается в ячейку, в которой находится формула.

Формула начинается со знака плюс или левой круглой скобки и представляет собой совокупность математических операторов, чисел, ссылок и функций.

При вычислениях с помощью формул соблюдается принятый в математике порядок выполнения арифметических операций.

Формулы состоят из операторов и операндов, расположенных в определенном порядке. В качестве операндов используются данные, а также ссылки отдельных ячеек или блоков ячеек. Операторы в формулах обозначают действия, производимые с операндами. В зависимости от используемых операторов различают арифметические (алгебраические) и логические формулы.

В арифметических формулах используются следующие операторы арифметических действий:

+ сложение,

- вычитание,

* умножение,

/ деление,

^ возведение в степень.

Каждая формула в электронной таблице содержит несколько арифметических действий с ее компонентами. Установлена последовательность выполнения арифметических операций. Сначала выполняется возведение в степень, затем - умножение и деление и только после этого - вычитание и сложение. Если вы выбираете между операциями одного уровня (например, между умножением и делением), то следует выполнять их слева направо. Нормальный порядок выполнения операций изменяют введением скобок. Операции в скобках выполняются первыми. [10]

Арифметические формулы могут также содержать операторы сравнения: равно (=), не равно (<>), больше (>), меньше (<), не более (<=), не менее (>=). Результатом вычисления арифметической формулы является число.

Логические формулы могут содержать указанные операторы сравнения, а также специальные логические операторы:

«NOT» - логическое отрицание «НЕ»,

«AND» - логическое «И»,

«OR» - логическое «ИЛИ».

Логические формулы определяют, выражение истинно или ложно. Истинным выражениям присваивается численная величина 1, а ложным - 0. Таким образом, вычисление логической формулы заканчивается получением оценки «Истинно» (1) или «Ложно» (0). [11]

По умолчанию электронная таблица вычисляет формулы при их вводе, пересчитывает их повторно при каждом изменении входящих в них исходных данных, формулы могут включать функции.

Под функцией понимают зависимость одной переменной (у) от одной (х) или нескольких переменных (х1, х2, ..., xn). Причем каждому набору значений переменных х1, х2, ..., xn будет соответствовать единственное значение определенного типа зависимой переменной y. Функции вводят в таблицу в составе формул либо отдельно. В электронных таблицах могут быть представлены следующие виды функций:

• математические;

• статистические;

• текстовые;

• логические;

• финансовые;

• функции даты и времени и др.

Математические функции выполняют различные математические операции, например, вычисление логарифмов, тригонометрических функций, преобразование радиан в градусы и т.п.

Статистические функции выполняют операции по вычислению параметров случайных величин или их распределений, представленных множеством чисел, например, стандартного отклонения, среднего значения, медианы и т.п.

Текстовые функции выполняют операции над текстовыми строками или последовательностью символов, вычисляя длину строки, преобразовывая заглавные буквы в строчные и т.п. [12]

Логические функции используются для построения логических выражений, результат которых зависит от истинности проверяемого условия.

Финансовые функции используются в сложных финансовых расчетах, например определение нормы дисконта, размера ежемесячных выплат для погашения кредита, определение амортизационных отчислений и др.

Все функции имеют одинаковый формат записи и включают имя функции и находящийся в круглых скобках перечень аргументов, разделенных запятыми. Приведем примеры наиболее часто встречающихся функций.

«SUM» (Список) - статистическая функция определения суммы всех числовых значений в Списке. Список может состоять из адресов ячеек и блоков, а также числовых значений.

«AVERAGE» (Список) - статистическая функция определения среднего арифметического значения всех перечисленных в Списке величин.

«МАХ» (Список) - статистическая функция, результатом которой является максимальное значение в указанном Списке.

«IF» (Условие, Истинно, Ложно) - логическая функция, проверяющая на истинность заданное логическое условие. Если условие выполняется, то результатом функции является значение аргумента «Истинно». Если условие не выполняется, то результатом функции становится значение аргумента «Ложно».

1.3 Графика в «Excel»

Существенной возможностью для всех табличных процессоров является наличие средств графического представления данных. Средства графического представления данных позволяют наглядно отобразить большие массивы числовой информации и с помощью этого значительно упростить их восприятие; позволяют решать задачи поиска и иллюстрирования зависимостей, сравнения данных, поиска закономерностей.

Поскольку в электронных таблицах графические средства выполняют деловые функции, их набор получил название средств деловой графики.

Общий подход к построению диаграмм в электронных таблицах состоит в демонстрации на графике нескольких сопоставляемых наборов данных, организованных в ряды. Набор соответствующих друг другу значений из разных рядов называется категорией. [13]

При построении диаграмм в электронных таблицах данные могут сопровождаться подписями - маркерами на осях, которые записываются в отдельном диапазоне. Каждая подпись должна соответствовать категории.

Диаграмма строится в некоторой системе координат. По одной из осей отсчитываются категории, по второй - значения. Диапазон значений определяется автоматически на основе имеющихся данных.

В зависимости от типа диаграммы данные отображаются на ней разным способом. Можно отметить несколько стандартных типов:

1. Гистограмма (столбчатая диаграмма). В этом типе диаграмм данные отображаются в виде вертикальных или горизонтальных столбцов. Высота (или длина) каждого столбца соответствует отображаемому значению. Если отображается несколько согласованных рядов, то столбцы либо строятся рядом, либо один над другим - это позволяет оценить соотношение величин. [11]

Рисунок 1 - Пример использования гистограммы.

2. Круговая диаграмма. В этом типе диаграмм величины отражаются секторами круга. Чем больше величина, тем большую долю круга занимает ее отображение. Объемный вариант такой диаграммы предусматривает «нарезку» некоторого диска.

Рисунок 2 - Пример использования круговой диаграммы.

3. График. В этих диаграммах значения величин отображаются высотой точки графика. Точки соединяются линиями.

Рисунок 3 - Пример использования графика.

4. Поверхность. Диаграмма, в которой ряды становятся линиями для некоторой поверхности в объеме.

Рисунок 4 - Пример использования поверхности.

5. Лепестковая диаграмма. Каждый ряд отображается как линия, соединяющая точки на радиусах.

Рисунок 5 - Пример использования лепестковой диаграммы.

Большинство диаграмм может быть построено как в виде плоской фигуры, так и в виде объемной фигуры. Объемные диаграммы часто являются псевдо-трехмерными, то есть объем используется не для показа большего количества данных, а только для изменения внешнего вида диаграммы. Например, столбчатая диаграмма может быть построена и с помощью трехмерных объектов - параллелепипедов, цилиндров, конусов. [14]

Диаграммы в электронных таблицах сохраняют свою зависимость от данных, на основе которых они построены. При изменении данных или подписей диаграмма изменяется автоматически.

Наиболее развитые системы отражают и обратную зависимость: они позволяют изменением положения маркеров на диаграмме менять исходные данные. Такое средство позволяет подобрать оптимальное решение.

После построения диаграмма может быть оформлена или переделана - может быть изменен ее тип, заданы названия осей, способ отображения легенды, цвета, подписи и другие параметры.

1.4 Моделирование и решение математических задач

Под моделью понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект - оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты. Процесс построения и использования модели, называется моделированием.

Во всех науках модели выступают как мощное орудие познания. Например: Люди издавна интересуются, как устроена наша Вселенная. Этот интерес не только познавательный, но и сугубо практический, так как люди хотели научиться предсказывать периодические явления, связанные с устройством Вселенной, такие, как: затмение солнца и луны, наступление времен года. [15]

Для решения этих задач, ученые строили свои представления о Вселенной в виде схемы картины мира, в которой объекты (планеты, Солнце, звезды, Земля и Луна) изображались точками, движущимся по каким-то кривым - траекториям их движения. Таковы, например, схемы, построенные Птолемеем, в которых центральное место занимала наша Земля, или схема Коперника, в которой центральное место занимало Солнце.

С помощью этих схем ученые решали задачи предсказания отдельных астрономических явлений. Эти схемы или картины мира - суть модели Вселенной, а метод исследования Вселенной, нахождение законов и решения задач, связанных с помощью этих моделей, является методом моделирования. В математике широко используется метод моделирования при решении задач.

В процессе математического моделирования выделяют три этапа:

1. Формализация - перевод предложенной задачи (ситуации) на язык математической теории (построение математической модели задачи).

2. Решение задачи в рамках математической теории (говорят: решение внутри модели).

3. Перевод результата математического решения задачи на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача (интерпретация решения). [16]

Умение строить учебные модели и работать с ними является одним из компонентов общего приема решения задач. С помощью модели словесно заданный текст можно перевести на математический язык и увидеть структуру математических отношений, скрытую в тексте. Использование одних и тех же знаково-символических средств при построении модели для математических задач с разными сюжетами и разных типов способствует формированию обобщенного способа анализа задачи, выделению составляющих ее компонентов и нахождению путей решения. Электронные таблицы не только позволяют автоматизировать расчеты, но и являются эффективным средством моделирования различных вариантов и ситуаций. Меня значения исходных данных, можно проследить за изменением получаемых результатов и из множества вариантов решения задачи выбрать наиболее подходящий. [17]

2 Построение графиков математических функций средствами «Excel».

Существует множество методов решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений, которые принято относить в 3 группы: численные, графические и аналитические. Аналитические методы позволяют определить точные значения решения уравнений. Графические методы наименее точны, но позволяют в сложных уравнениях определить наиболее приближенные значения, с которых в дальнейшем можно начинать находить более точные решения уравнений. Численное решение нелинейных уравнений предполагает прохождения двух этапов: отделение корня и его уточнение до определенно заданной точности. [18]

Отделение корней осуществляется различными способами: графически, при помощи различных специализированных компьютерных программ и др.

Метод решения:

1. Проверить три условия, при которых возможно применение метода касательных:

• определить знаки функции f(x) на концах отрезка [a,b]: f(a)*f(b)<0;

• определить знаки производной f'(x) на концах отрезка [a,b]: f'(a)*f'(b)>0;

• определить знаки второй производной f''(x) на концах отрезка [a,b]: f''(a)*f''(b)>0;

2. Выбрать один из концов отрезка [a;b] в качестве начального приближения корня x₀ исходя из условия f(x₀)* f''(x₀)<0:

• если f(a)* f''(a)<0, то x₀=a, формула метода хорд имеет вид

( b является «неподвижным» концом отрезка);

• если f(b)* f''(b)<0, то x₀=b, формула метода хорд имеет вид

(b является «неподвижным» концом отрезка);

3. Составить таблицу значений;

4. При выполнении условия ǀx_n+1-x_nǀ<ɛ значение x_n+1 считать приближенным значением корня уравнения f(x)=0 с погрешностью ɛ.

Рассмотреть использование метода хорд для определения корней уравнения с помощью табличного процессора «Excel».

При решении некоторых задач часто возникает необходимость использования последовательности чисел.

Рядом называется бесконечная последовательность чисел, элементы которой объединены попарно арифметическими операциями сложения или вычитания.

Ряд считается заданным, если известно выражение его общего элемента.

Сумма конечного числа бесконечной последовательности ряда называется частичной суммой ряда. [19]

Для вычисления частичной суммы нужно вычислить определенное число членов ряда и затем найти их сумму. Для этого должны быть заданы:

1) количество суммируемых элементов;

2) формула для вычисления элементов ряда.

В общем случае для создания числовой последовательности в табличном процессоре нужно:

• задать номера элементов последовательности в виде массива натуральных чисел, расположенных либо в столбце, либо в строке таблицы в листе;

• ввести в ячейку, соответствующую первому номеру элемента, формулу (выражение) для его вычисления;

• скопировать с помощью маркера автозаполнения в следующие ячейки столбца или строки, где будет формироваться числовая последовательность.

Задача №1. Создать в листе табличного процессора числовую последовательность, которая задана формулой общего элемента {n/(n+1)}.

Порядок реализации задания 1 в табличном процессоре:

1. Объединить ячейки А1:В1 и записать в них текст: Последовательность (n/(n+1));

2. Отформатировать ячейки А2:В2 (перенос по словам) и записать в ячейке А2 текст «Номер элемента», в ячейке В2 - «Значение элемента»;

3. Задать номера элементов последовательности в виде массива натуральных чисел в ячейках столбца А, начиная с ячейки А3 (не менее 10);

4. В ячейку В3 ввести формулу для вычисления первого элемента последовательности: =А3/(А3+1);

5. С помощью маркера автозаполнения скопировать формулу в следующие ячейки столбца В, чтобы получить значения всех элементов последовательности. [20]

Для создания наиболее известных в математике последовательностей (арифметической, геометрической и т.д.) в табличном процессоре имеет специальный инструмент Прогрессия, который находится в процессоре на вкладке Главная в группе Редактирование, где находится кнопка Заполнить. Данная кнопка открывает меню с выбором метода заполнения. В списке вариантов есть вариант Прогрессия. После его выбора откроется диалоговое окно, в котором требуется ввести тип и параметры создаваемой последовательности. ( В «Excel» 2003 - Правка, Заполнить, Прогрессия)

Рисунок 6 - Пример построения прогрессии.

При исследовании последовательностей чисел требуется вычислить ее предел или другие числовые характеристики.

Функция - это модель, устанавливающая зависимость какой-либо одной величины (переменной) от другой величины или нескольких величин (аргументов). [21]

Одни из способов задания функции - табличный - имеет широкое распространение в различных областях исследований: экспериментальных измерениях, таблицах бухгалтерской отчетности, банковской деятельности, статистических исследованиях и измерениях и т.д.

При табличном задании функции один ряд данных представлен как значения функции, другой (или другие) - как значения аргумента.

Каждому значению аргумента соответствует значение функции, находящееся в той же строке таблицы, что и аргумент. [16]

Формула функции даст также возможность найти значения функции, не отраженные в ее табличном представлении. При выборе функции должны быть рассмотрены следующие вопросы:

1. Выбор типа функции (линейная, показательная, логарифмическая и т.д.).

2. Оценка погрешности приближения.

Виды функций, из которых производится выбор зависимости, могут быть следующими:

• линейная у=ах+в; применяется в случае постоянного изменения данных на определенную величину;

• полиномиальная - для данных, которые попеременно возрастают и убывают;

• логарифмическая y=a*lnx+b; применяется для описания данных, которые вначале быстро убывают и возрастают, а затем стабилизируются;

• степенная у=в*х^а; используется для аппроксимации данных, скорость изменения которых быстро увеличивается или уменьшается;

• экспоненциальная у=в*е^х; применяется для описания данных, которые быстро убывают и возрастают, а затем стабилизируются.

Задача №2. Найти корни уравнения 2-lgx-x=0 с точностью 10^-3. Построить график функции.

Решение.

1. Определить графическим методом количество корней уравнения и отрезки, внутри которых находятся эти корни.

   1. Составить таблицу значений функции y=2-lgx-x.

Рисунок 7 - Расчетные формулы

Рисунок 8 - Таблица значений

1. 2. Построить график функции y=2-lgx-x

Рисунок 9 - График функции y=2-lgx-x

Таким образом, уравнение 2-lgx-x=0 имеет один корень: x₁∈[1;2].

2.2 Для вычисления корня уравнения выбрать в качестве начального приближения тот конец отрезка, для которого выполняется условие: f(x₀)*f''(x₀)<0.

Рисунок 10 - Расчетные формулы

Рисунок 11 - Таблица значений

Следовательно, на отрезке [1;2] начальное приближение корня x₀=b=2, левый конец отрезка a=1 является «неподвижным», формула имеет вид:

.

2.3 Составить таблицу значений:

Рисунок 12 - Расчетные формулы

Рисунок 13 - Расчетные формулы

Рисунок 14 - Таблица значений

Таким образом, приближенное значение корня уравнения 2-lgx-x=0 равно 1,756.

Задача №3: Решите систему уравнений графическим методом:

Математическое решение

Выразить в каждом уравнении х относительно у:

Можно заметить, что все эти функции имеют общую точку (0;2). Это и есть их общее решение.

Порядок реализации в табличном процессоре:

Для реализации решения в табличном процессоре следует преобразовать систему уравнений, выразив в каждом уравнении х относительно y.

Получить таблицу значений х в указанном диапазоне с определенным шагом (инструмент Прогрессия) в столбце А.

Получить таблицу значений функции у₁ для каждого значения х в столбце В.

Получить таблицу значений функции у₂ для кадого значения х в столбце С.

Получить таблицу значений функции у₃ для кадого значения х в столбце D.

Построить графики всех функций в одной области построения диаграммы (тип - точечная, вид - точки, соединенные линией).

Задать подписи рядов и заголовок диаграммы.

Рисунок 15 - Построение графиков и нахождение пары приближенных значений.

При построении графиков функций и нахождении их общей точки - точки пересечения, навести указатель мыши на точку пересечения, при этом всплывает подсказка, что точка пересечения с координатой (0;2).

Уточнить найденное решение, для этого ниже, например в ячейку А25 внести текст - уточнение решения, и ниже записать неизвестные - х и у, в ячейки А26, В26, С26. далее в ячейки А27-С27 внести соответственно решение и полученные ответы 0 и 2.

Еще ниже, например в ячейку А29 записать текст - Формулы уравнений, в ячейки А30-А32 - тексты первое уравнение, второе уравнение, третье уравнение. В ячейки В30-В32 внести формулы функций с ссылками на ячейки где стоят ответы, это адреса ячеек В27 и С27. Следовательно, в ячейке В30 будет стоять формула =-1,6*В27+2-С27, аналогично в ячейке В31 будет стоять формула =-2,5*В27+2-С27, и в ячейке В32 формула =-1,75*В27+2-С27.

Выбрать для уточнения Сервис, Поиск решения, в диалоговом окне указать целевую ячейку $B$30, равной значению 0. Так как это разница левой и правой части функции. Указать, какие изменять ячейки, проверить ответы ячеек В27:С27, и указать ограничения, что ячейки с адресами В31=0 и В32=0. Выполнить поиск решения, сохранить получившиеся значения.

Рисунок 16 - Использование Поиска решения.

Рисунок 17 - Результат проверки с помощью Поиска решения.

Заключение

В настоящее время получило всеобщее признание то, что успех развития многих областей науки и техники существенно зависит от развития многих направлений математики. Математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений.

Программа «Excel» - одна из наиболее практически значимых, востребованных. Электронные таблицы не только позволяют автоматизировать расчеты, но и являются эффективным средством моделирования различных вариантов и ситуаций. Меняя значения исходных данных, можно проследить за изменением получаемых результатов и из множества вариантов решения задачи выбрать наиболее подходящий. [9]

Целью курсовой работы было изучение методов решения задач математического моделирования при помощи табличного процессора «Excel», а также построение графиков математических функций. В соответствии с поставленной целью, были рассмотрены расширенные возможности табличного процессора «Excel». В ходе работы, изучены понятия и выделены основные этапы математического моделирования. Исследовано моделирование решения задач при помощи табличного процессора «Excel», а так же построение графиков математических функций.

В данной курсовой работе представлено решение трёх задач, по результатам которых построены графики с помощью табличного процессора «Excel». Существует 3 группы методов решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений: численные, графические и аналитические. Аналитические методы позволяют определить точные значения решения уравнений. Численное решение предполагает отделение корня и его уточнение до определенно заданной точности. Графические методы наименее точны, но позволяют в сложных уравнениях определить наиболее приближенные значения, с которых в дальнейшем можно начинать находить более точные решения уравнений.

Средства графического представления данных позволяют наглядно отобразить большие массивы числовой информации и с помощью этого значительно упростить их восприятие; позволяют решать задачи поиска и иллюстрирования зависимостей, сравнения данных, поиска закономерностей. Также графическое представление исходных значений существенно упрощает процесс их обработки и, кроме того, позволяет обнаружить ошибки, совершенные при вводе данных.

Таким образом, решив уравнения и построив графики математических функций, задача исследования решена, цель достигнута.

Список использованных источников:

1. Лавренов, С.М. Excel: сборник примеров и задач / С.М. Лавренов, - М.: Финансы и статистика, 2000. - 336с. ISBN 5-279-02196-2.

2. Гельман, В.Я. Решение математических задач средствами Excel: практикум / В.Я. Гельман. - СПб. : Питер, 2003. - 240с.

3. Лесничая, И.Г. Информатика и информационные технологии: учебное пособие. / И.Г. Лесничая, - М.: Издательство Эксмо, 2007. - 544с.

4. Научно-методический журнал Информатика и образование, 2006.-№1, с.21-23/ Н.В. Андрафанова.

5. Шафрин, Ю.А. ,Учебное пособие по информатике. / Ю.А. Шафрин- М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001 - 340 с.: ил. - ISBN: 5-93208-021-3

6. Профессиональные приемы работы в Microsoft Excel: 2014. Режим доступа: msexcel.ru/ - 30.03.2015

7. Основы Excel : 2005-2014. Режим доступа: on-line-teaching.com/ - 28.03.2015

8. Бурдюкова Е.В. Основы работы в Microsoft Excel. Хабаровск: ХК ИППК ПК, 2003.

9. Образование и обучение - Режим доступа: reshit.ru - 25.03.2015

10. Банк рефератов: Возможности Excel. Режим доступа: refland.ru/ - 17.03.2014

11. Практические задания и методические рекомендации по использованию информационных технологий. Хабаровск: ХК ИППК ПК, 2003.

12. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М.: Айрис-пресс, 2007.

13. Вопросы информатизации образования. Научно-практический электронный альманах (электронный ресурс). - Режим доступа: npstoik.ru

14. Электронные образовательные ресурсы нового поколения в вопросах и ответах.- М., 2007 (электронный ресурс). - Режим доступа: window.edu.ru

15. Осин, А.В. Электронные образовательные ресурсы нового поколения: открытые образовательные модульные мультимедиа системы (электронный ресурс). - Режим доступа: portal.gersen.ru

16. Электронная библиотека: booksteka.info, 2013. - Режим доступа: booksteka.info - 30.03.2015

17. Акулов О.А. Информатика: учебник / О.А. Акулов, Н.В. Медведев. - М.: Омега-П, 2007. - 270 с.

18. Гейн А.Г. Основы информатики и вычислительной техники / А.Г. Гейн. - М.: Просвещение, 2002. - 245 с.

19. Могилев А.В. Информатика: учеб. пособие для вузов / А.В. Могилев, Н.И. Пак, Е.К. Хеннер; под ред. Е.К. Хеннера. - М.: Академия, 2000. - 346 с.

20. Острейковский В.А. Информатика / В.А. Острейковский. М.: Высш. шк., 2000. - 235 с.

21. Угринович Н.Д. Практикум по информатике и информационным технологиям: учеб. пособие для общеобразовательных учреждений / Н.Д. Угринович, Л.Л. Босова, Н.И. Михайлова. - М.: Бином, 2002. - 400 с.

27