Доклад Активные методы обучения на уроках математики

Фамилия, имя

+

1.ТЕОРИЯ.

Опр. Полные квадратные уравнения, в которых первый коэффициент равен 1, называют приведенными квадратными уравнениями.

Например, x²- 6x+8=0;

x²+ x - 6=0.

Теорема Виета.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Теорема, обратная теореме Виета.

Если числа m и n таковы, что их сумма равна -p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения x²+px+q=0.

Формулы корней:

x_1,2=.

При b=2m ( b-четное число )

x_1,2=; x_1,2=.

2.ПРИМЕРЫ.

1) Найдите сумму и произведение корней уравнения: a) x²- 8x+6=0;

б) 2x²+ 9x - 10=0.

Решение: а) x²- 8x+6=0 (a=1, b= -8, c=6 ).

D=64 - 4*1*6=40; D› 0, уравнение имеет корни. По теореме Виета

x₁+x₂=8; x₁*x₂=6.

Ответ: x₁+x₂=8; x₁*x₂=6.

б) 2x² + 9x - 10=0 |: 2;

D=81 - 4*2* (-10) =81+80=161; D› 0; уравнение имеет корни.

x²+4,5x -5=0. По теореме Виета

x₁+x₂= -4,5; x₁*x₂= -5.

Ответ: x₁+x₂= -4,5; x₁*x₂= -5.

2) Найдите подбором корни уравнения x² -8x -20=0.

Решение:

D=64 -4*1* (-20) =64+80=144; D › 0; 2 корня. По теореме Виета

x₁+x₂=8; x₁*x₂₌ -20.

-20=2* (-10)=-2*10 =4* (-5)=-4*5= 1* (-20)=-1*20.

По теореме, обратной теореме Виета x₁= -2; x₂=10, т.к. -2+10=8; -2*10= -20.

Ответ: -2; 10.

3) Составьте приведенное квадратное уравнение, если известны его корни x₁=-4, x₂=2.

Решение:

x²+px+q=0. По теореме Виета

x₁+x₂= -4+2= -2; x₁*x₂₌ -4*2= -8; значит, p=2, q= -8.

Ответ: x²+2x -8=0.

4) Решите уравнение 5x² -16x+3=0, применяя формулу с четным коэффициентом b.

Решение: 5x² -16x+3=0 (a=5, b= -16, c=3). D=256-4*5*3=196; D›0; 2 корня;

==49; x_1,2= = ; x₁=3; x₂=0,2.

Ответ: 0,2; 3.

3.ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ.

- Приведите свои 2 примера приведенного квадратного уравнения.

- Сформулируйте теорему Виета и обратную теорему.

- Как используется теорема Виета при решении уравнения вида ax²+bx+c=0?

- В каких случаях можно применять теорему, обратную теореме Виета?

1.ТЕОРИЯ.

ax²+bx+c=0 (a0).

Опр. Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Виды неполных квадратных уравнений:

b=0, c=0; ax²=0;

b=0; ax²+c=0;

c=0; ax²+bx=0.

2.ПРИМЕРЫ.

Решите уравнение:

а) 2,7x²=0; б) 4x -x² =0; в) 3x²+7=0;

г) x²- =0.

Решение:

а) 2,7x²=0 |: 2,7;

x²=0; 1 корень; x=0

Ответ: 0.

б) 4x - x² =0;

x ( 4 - x ) =0;

x=0 или 4 - x=0;

Ответ: 0; 4.

в) 3x²+7=0;

3x²=-7 |: 3;

x²=-; - < 0; нет корней.

Ответ: нет корней.

г) x²- =0;

x²=; > 0; 2 корня;

x_1,2 =± ;

x₁ =-; x₂ =.

Ответ: -, .

3.ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ.

1.Квадратное уравнение называется неполным, если…

2.Выберите неполные квадратные уравнения:

2x²+x - 3=0; x²+49=0; 0,25y²=1;

x - 9=0; 15x² - 3x=0; a²=0.

3. Сколько корней может иметь неполное квадратное уравнение?

4. Квадратное уравнение может иметь противоположные корни, если…

5. Можно ли решить неполное квадратное уравнение с помощью формул

x _1,2 =

1.ТЕОРИЯ.

ax² +bx+c=0 (a0)

а - 1-ый коэффициент (при x²),

в - 2-ой коэффициент (при x),

с - свободный член.

D=b²-4ac ( формула дискриминанта).

D>0, 2 корня;

D=0, 1 корень;

D<0, нет корней.

Формулы корней:

x_{1, 2} =.

2.ПРИМЕРЫ.

Решить уравнение:

а) 4x²+10x-6=0;
б) x² -12x+36=0;
в) 3x+1+4x²=0.

Решение:

а) 4x² +10x-6=0 (a=4;b=10;c=-6).

D=100-4·4· (-6) =196; 2 корня;

x _{1, 2} ==;
x₁ =; x₂ =-3.

Ответ:-3; .

б) x²-12x+36=0 (a=1;b=-12;c=36).

D=144-4·1·36=144-144=0;
1 корень;

x ===6.

Ответ: 6.

в) 3x+1+4x²=0 (a=4;b=3;c=1).

D=9-4·4·1=9-16=-7; нет корней.

Ответ: нет корней.

3.ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ.

1.Уравнение вида ax²+bx+c=0 называется квадратным, если…

2. Из данных уравнений выберите квадратные уравнения: x²=0; x³-x=3;

1-6x²-1=0; 5+8x=x; 4+9x²-12x=0;

x²-5x+3x-15=0.

3. Назовите коэффициенты каждого квадратного уравнения:
3x²-5x-2=0; 15+2x²=0; 49x-x²=0; x²=0; x+x²-1=0.

4. Сколько корней может иметь квадратное уравнение? От чего это зависит?

5. Квадратное уравнение принимает вид линейного, если…..

1.ТЕОРИЯ.

Способ решения, с помощью которого уравнение ax²+bx+c=0 приводится к виду (x - m)² =n,
где m,nR, называется выделением квадрата двучлена.

Вопросы для повторения:

• формулы сокращенного умножения:

а²±2ав+в²=(а±в)²;

• решение уравнений вида х²=а:

  1. а › 0; 2 корня; х_1,2=±;

  2. а=0; 1 корень; х=0;

  3. а ‹ 0; нет корней.

2.ПРИМЕРЫ..

Решите уравнение:

а) x²+8x+16=0; б) x² - 10x - 11=0;

b) 2x²+12x++40=0.

Решение:

а) x²+8x+16=0;

x²+ 2*х*4 + 4²=0;

(x + 4)² =0; 1 корень;

x + 4=0;

x = - 4.

Ответ: - 4.

б) х² - 10х - 11=0;

х² - 2*х*5 =11;

х² - 2*х*5 + 5²=11+ 5²;

(х - 5)² =11+25;

(х - 5)² =36; 36› 0; 2 корня;

х - 5 = или х - 5 = - ;

х - 5 =6 или х - 5 = - 6;

х=11 или х= - 1.

Ответ: - 1; 11.

в) 2х²+12х+40=0 | : 2;

х²+6х+20=0;

х²+ 2*х*3= - 20;

Решите уравнение:

х²+ 2*х*3 +3²= - 20 +3²;

(х+3)²= - 20+9;

(х+3)²= - 11; - 11 ‹ 0; нет корней.

Ответ: нет корней.

3.ВОПРОСЫ ДЛЯ

САМОПРОВЕРКИ.

Решите уравнение, выделяя квадрат двучлена:

1. х² - 14х +49=0

(смотри пример а);

2) х² - 6х +8=0

(смотри пример б).

Практическая часть

КВО. Алгебра. 8кл.

Квадратные равнения.

Вариант 1. Решите уравнение:

1. 2x - х²=0;

2. х² - 16=0;

3. 3х²+5х - 2=0;

4. х² - 3х - 1=0;

5.Решите уравнение методом выделения квадратного двучлена:

х² + 6х +8=0.

6. Решите уравнение:
(2х -4)(х-3)=5(6- 2х)

КВО. Алгебра. 8кл.

Квадратные равнения.

Вариант 2.

Решите уравнение:

1.2х²=0;

2. 5х² - 10х=0;

3. х² - 8х +7=0;

4. 9х² - 6х +1=0;

5. Решите уравнение методом выделения квадратного двучлена:

х² - 8х +15=0.

6.Решите уравнение:

(3х-1)(2х+6)=8(2х+3).

КВО. Алгебра. 8 кл.

Квадратные равнения.

Вариант 3.

Решите уравнение:

1. 7х - 2х²=0;

2. 3х² - 75=0;

3. 5х² - 11х +2=0;

4. х²+2х - 2=0;

5.Решите уравнение методом выделения квадратного двучлена:

х² + 6х - 1=0.

6.Решите уравнение:
(3х-1)(4х+6)=2(6х-3)

КВО. Алгебра. 8 кл.

Квадратные уравнения

Вариант 4.

Решите уравнение:

1. 4х²=8х;

2. х² - 2=0;

3. 4х²+х - 3=0;

4. 3х² - 2х - 4=0;

5. Решите уравнение методом выделения квадратного двучлена:

х²-3х- 18=0.

6. Решите уравнение:
(4х -1)(х+4)=2(3х - 2)