Задачи 10 класс Механика. Электростатика. Конденсаторы

Решение

Так как изменение координаты тела происходит прямо пропорционально времени, то можно утверждать, что движение равномерное и прямолинейное. По отношению к точке отсчета (0; 0) у первого тела координата убывает, а у второго наоборот - возрастает. Первое тело движется против оси х, второе - по направлению оси координат.

а) Чтобы ответить на вопрос об отличии скоростей, определим их из уравнения координаты:

v_x

=

x − x_o

, тогда

t

v_1x

=

3 − 6

м/с = −0.75 м/с.

4

v_2x

=

3 − 0

м/с = 0.75 м/с.

4

Скорости тел равны по абсолютному значению, но противоположны по направлению.

б) Зная также, что v=tg α (геометрический смысл скорости) и сравнивая углы наклонов графиков движения тел к оси t, приходим к выводу, что углы одинаковы, следовательно, скорости равны.

в) Точка пересечения двух прямых означает, что тела встретились в одно и то же время в одной и той же точке, т. е. время встречи t = 4 c, а координата x = 3 м.

г) Так как движение равномерное и прямолинейное, то S = x − x_o. Находим пути, пройденные телами до встречи:
S₁= | x₁ − x_o1 | = | (3−6) м | = 3 м,
S₂= | x₂ − x_o2 | = | (3−0) м | = 3 м.
Оба тела, двигаясь с одинаковыми скоростями, за одно и тоже время прошли равное расстояние.

№2 Точка движется с постоянной скоростью v_o под углом α к оси x. В начальный момент времени t = 0 точка имела координаты (х_o; у_o). Написать уравнения движения точки и уравнение траектории.
Решение

уравнение движения имеет вид:
x = x_o + v_xt по оси x и
y = y_o + v_yt по оси Y.

Начальные координаты заданы x_o, y_o. Проекции скорости найдем из прямоугольного треугольника АВС:

v_x = −v_ocos α, знак минус указывает на то, что направление проекции вектора скорости не совпадает с направлением оси x;

v_y = v_osin α, проекция скорости положительна, так как направление вектора скорости, совпадает с направлением оси Y.

Тогда, подставляя проекции скоростей в соответствующие уравнения движения, имеем:
x = x_o − v_ot·cos α,
y = y_o + v_ot·sin α.

Решая совместно эти два уравнения, напишем уравнение траектории. Для этого из уравнения движения точки вдоль оси x выразим время и подставим в уравнение движения точки вдоль оси Y:

t =

x_o − x

, тогда

v_o cos α

y = y_o + v_o sin α

x_o − x

=

y_o + x_otg α − x tg α.

v_o cos α

№ 3 Первую половину пути автомобиль проехал со средней скоростью v₁ = 60 км/ч, а вторую - со средней скоростью v₂ = 40 км/ч. Определить среднюю скорость Vавтомобиля на всем пути.

Решение:

проанализируем условие задачи: первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 60 км/ч и затратил время, равное

t₁

=

S/2

.

v₁

Вторую половину пути автомобиль проехал со скоростью 40 км/ч и затратил время, равное

t₂

=

S/2

.

v₂

По определению, средняя скорость V при равномерном прямолинейном движении равна отношению всего пройденного пути ко всему затраченному времени.
Подставляя значения скорости в формулу средней скорости, получим:

V =

2 • 60 • 40

= 48 км/ч.

60 + 40

Средняя скорость равна 48 км/ч.

№ 4 Автомобиль проходит первую треть пути со скоростью v₁, а оставшуюся часть пути - со скоростью v₂ = 50 км/ч. Определить скорость на первом участке пути, если средняя скорость на всем пути V = 37,5 км/ч.

Решение: обозначим весь путь через S; время, затраченное на прохождение первого участка пути, - через t₁; время движения на втором участке пути - через t₂. Очевидно, что

t₁ + t₂

=

S

+

2S

.

3v₁

3v₂

t₁ + t₂

=

S

.

V

Отсюда

v₁

=

Vv₂

= 25 км/ч.

3v₂ − 2V

№5 Зависимость скорости от времени движущегося тела задана следующей формулой: v = 2 + 0,5t. Опишите это движение (укажите значение характеризующих его величин). Постройте график v(t).

Решение:

Зависимость скорости от времени движущегося тела задана следующей формулой: v = 2 + 0,5t. Опишите это движение (укажите значение характеризующих его величин). Постройте график v(t).

Уравнение скорости (назовем его 1) для равноускоренного движения имеет вид:

Сопоставляя уравнение, заданное по условию задачи, с уравнением (1), находим: v_o = 2 м/с, a = 0,5 м/с².

Тело движется вдоль оси координат с начальной скоростью 2 м/с равноускоренно с ускорением 0,5 м/с. Знак скорости «+» указывает на направление движения (вдоль выбранной оси координат). Так вектора скорости и ускорения совпадают, то тело разгоняется. Остановки не предвидится.

Для построения графика воспользуемся аналогией y = b + kx, что соответствует линейной функции. Для построения графика достаточно двух точек:

1) t = 0, v = 2 м/с;
2) t = 2 c, v = 3 м/с.

№6 Катер прошел первую половину пути со средней скоростью в n = 2 раза большей, чем вторую. Средняя скорость на всем пути составила V_c = 4 км/ч. Каковы скорости катера на первой и второй половинах пути?

Решение: катер проходит одинаковые отрезки пути с разной скоростью, следовательно, будет разным и затраченное время. Примем скорость на втором участке пути за v, тогда на первом участке скорость 2v. Средняя скорость на всем пути:

V_c

=

S

=

S

,

t

t₁ + t₂

где

t₁

=

S

и

t₂

=

S

.

2·2v

2v

Подставляем в формулу средней скорости время:

V_c

=

S

=

4vv

=

4v

.

S/(4v) + S/(2v)

3v

3

Из последней формулы выразим скорость второго участка пути:

v

=

3Vc

.

4

Подставляя значение средней скорости на всем пути в последнюю формулу, имеем v = 3 км/ч, тогда скорость на первом участке пути в v = 2 раза больше, чем на втором, и равна 6 км/ч.

№7 Катер, двигаясь вниз по течению, затратил время в n = 3 раза меньше, чем на обратный путь. Определить, с какими скоростями относительно берега двигался катер, если средняя скорость на всем пути составила V = 3 км/ч.

Решение: двигаясь вниз по течению, катер затратил время в n = 3 раза меньше, т. к. его скорость относительно берега равна сумме его скорости относительно воды (собственная скорость) и скорости течения v₁=v_k+v_T. Путь, проходимый катером, одинаков туда и обратно, обозначим его через S. Время, затраченное им при движении по течению вниз:

t₁

=

S

.

v_k + v_T

Обратно катер плывет против течения и его скорость относительно берега будет равна разности собственной скорости и скорости течения v₂=v_k−v_T. Тогда затраченное время при движении катера против течения равно:

t₂

=

S

.

v_k − v_T

По условию задачи время движения катера против течения в три раза больше времени движения катера по течению:

t₂

=

S(v_k + v_T)

=

v_k + v_T

и

v_k + v_T

= 3.

t₁

S(v_k − v_T)

v_k − v_T

v_k − v_T

Упрощая эти уравнения, находим, что v_k=2v_T (формула 1).
Теперь найдем среднюю скорость при движении катера на всем пути:

V =

S

=

2S

=

2S

.

t

t₁ + t₂

S/(v_k + v_T) + S/(v_k − v_T)

Здесь учтем (1), тогда

V =

2

=

3

V_T,

1/(3v_k) + 1/v_T

2

отсюда находим скорость течения: v_T = (2/3)V, а v_k = (4/3)V.
После вычислений окончательно имеем: v_T = (2/3)3 = 2 км/ч и v_k = (4/3)3 = 4 км/ч.

№8 Первую половину времени автомобиль двигался со средней скоростью v₁ = 40 км/ч, а вторую - со средней скоростью v₂ = 60 км/ч. Определить среднюю скорость автомобиля на всем пути.

Решение: в отличие от предыдущий задачи, автомобиль движется первую половину времени с одной скоростью 40 км/ч, а вторую половину времени - со скоростью 60 км/ч. Следовательно, автомобиль проходит за равные промежутки времени разные расстояния.

S₁

=

v₁

t

2

и

S₂

=

v₂

t

,

2

тогда средняя скорость

V =

S₁ + S₂

=

v₁t/2 + v₂t/2

=

v₁ + v₂

.

t

t

2

Средняя скорость для этого случая оказалась равной среднему арифметическому значению скоростей.
Подставим значения скоростей и проведем вычисления:

V =

40 + 60

= 50 км/ч.

2

Средняя скорость равна 50 км/ч.

№9 Формула x=20t. Необходимо:

• определить характер движения;

• найти начальную координату точки;

• выявить модуль и определить направление скорости;

• найти графический и аналитический смысл x через 15 секунд;

• определить время (t), когда x=100 м.

Решение:

1. Уравнение x = x_o + vt - это равномерное прямолинейное движение.

2. Начальная координата точки x_o = 0.

3. Скорость точки - это коэффициент при t, то есть v = 20 м/с. Скорость положительна, следовательно, точка движется вдоль выбранного направления оси координат x.

4. Через 15 с координата точки будет равна x = 300 м. Графически - нарисовать в осях координат x(t) по точкам прямую, которая будет проходить через точки (0 с; 0 м) и (15 с; 300 м). Через 15 с координата (по графику) будет 300 м.

5. При x = 100 м: 100 = 20t, отсюда t = 5 c.

Криволинейное движение

№10 Если камень, брошенный под углом 30° к горизонту, находился в полете 2 с, то с какой скоростью он упал на землю?

Решение:

Если камень был в полете 2 с, то в силу симметрии 1 с он летел до максимальной точки подъема и 1 с падал вниз (сопротивлением воздуха мы пренебрегаем). В максимальной точке подъема камень имеет только горизонтальную составляющую V_x скорости V. Свободно падая с максимальной высоты подъема, за 1 с камень приобретет вертикальную скорость V_y, равную:

V_y = gt

Скорость бросания равна скорости падения тела, которая связана с вертикальной составляющей в момент падения:

V =

v_y

=

gt

sin α

sin α

Искомая скорость равна V = 20 м/с.

Ответ: камень упал на землю со скоростью 20 м/с.

Возможно решение с помощью формулы:

t = (2v_o sin α) / g
(g = 9.8 ≅ 10 м/c²) ,

где t - время полета, v_o - начальная скорость.

Начальная скорость совпадает с конечной, следовательно, v_иск. = v_o = t (g/2) sin 30° = 2 (10/2) 0.5 = 20 м/c .

№11 С вершины наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол 60°, бросают тело в горизонтальном направлении. Если через 3,5 с тело ударилось о плоскость, то с какой начальной скоростью оно было брошено?
Решение:

Высоту полета тела H определим по формуле:

H =

gt²

.

2

Дальность полета по горизонтали S будет равна:

S = v_ot.

Отношение высоты полета тела H к дальности полета по горизонтали S равно:

gt²

•

1

= tg α.

2

v_ot

Находим v_o:

gt

= tg α.

2v_o

gt

= tg α.

2v_o

v_o

=

gt

.

2tg α

Если принять g = 10 м/с², то v_o = 10.1 м/с.

Ответ: начальная скорость тела равна 10.1 м/с.

№12 С башни брошено тело в горизонтальном направлении со скоростью 15 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить радиус кривизны траектории тела через 2 с после начала движения.

Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 9 октября 2007 года.
Решение:

Радиус кривизны траектории - это радиус окружности R, по которой в этот момент движется тело.

Через две секунды тело приобретет скорость v, в которой вертикальная составляющая равна v_y = gt:

v = √(v_x² + v_y²) = √(v_x² + (gt)²).

(1)

Нормальное ускорение тела a_n:

a_n =

v²

,

R

откуда радиус окружности R равен:

R =

v²

. (2)

a_n

Нормальное ускорение a_n связано соотношением:

a_n = g•cos α,

где

cos α =

v_x

,

v

тогда:

a_n =

gv_x

. (3)

v

Подставляя (3) и (1) в (2), получим:

R =

vv²

=

√(v_x² + (gt)²)

• (v_x² + (gt)²).

gv_x

gv_x

После вычислений R = 104,2 м.

Ответ: радиус кривизны через 2 с составляет 104,2 м.

Электростатика

№13 С какой силой F будут притягиваться два одинаковых свинцовых шарика радиусом r = 1 см, расположенные на расстоянии R = 1 м друг от друга, если у каждого атома первого шарика отнять по одному электрону и все эти электроны перенести на второй шарик? Молярная масса свинца M = 207×10⁻³ кг/моль, плотность ρ = 11,3 г/см³.

Решение: после того как электроны у одного шарика отняты и перенесены на другой, шарики приобретают равные и противоположные по знаку заряды, поэтому (если шарики находятся в вакууме) сила притяжения

F =

q²

,

4πε_oR²

где R - расстояние между центрами шариков, π - число Пи. Заряд q определится следующим соотношением:

q =

e

m

N_A

= e

ρV

N_A

=

4

ερπr³N_A,

M

M

3M

здесь N_A = 6,02×10²³ моль⁻¹ (число Авогадро). Тогда

№14 Внутри гладкой сферы находится маленький заряженный шарик. Какой величины заряд нужно поместить в нижней точке сферы для того, чтобы шарик удерживался в ее верхней точке?

Решение: заряд Q, который нужно поместить в нижней точке сферы, должен быть таким, чтобы электрическая сила, действующая на верхний заряд, была не меньше силы тяжести mg, то есть

kqQ

≥ mg, отсюда

d²

Q ≥

mgd²

.

kq

Однако нам надо еще проверить, будет ли такое равновесие устойчивым. Рассмотрим малое отклонение шарика от положения равновесия.
Равновесие шарика устойчиво, если проекция силы F электрического взаимодействия зарядов на касательную к сфере больше или равна проекции силы тяжести на ту же касательную:

kqQ·sin α

≥ mg·sin 2α

d²

(Сила N реакции опоры перпендикулярна поверхности сферы.)
Так как угол α отклонения шарика от положения равновесия мал, то sin α ≈ α, sin 2α ≈ 2α. Поэтому

kqQ·α

≥ mg·2α

d²

Следовательно, для устойчивого равновесия шарика в верхней точке сферы в нижнюю точку сферы должен быть помещен заряд равный

Q ≥

2mgd²

.

kq

№14 Условие: по кольцу могут свободно перемещаться три шарика, несущие заряды: +q₁ на одном шарике и +q₂ на каждом из двух других. Чему равно отношение зарядов q₁ и q₂, если при равновесии дуга между зарядами q₂ составляет 60°?

Решение: для равновесия зарядов необходимо, чтобы сумма проекций всех электрических сил приложенных к каждому заряду, на направление касательной к кольцу равнялась нулю. Результирующая электрическая сила в этом случае перпендикулярна к окружности и уравновешивается силой реакции кольца.

Так как заряды в точках B₁ и B₂ равны между собой, то заряд q₁ может быть расположен в точке, находящейся на равных расстояниях от точек B₁ и B₂. В соответствии со сказанным, проекции сил f₂₁ и f₂₂, действующих на заряд q₂ в точке B₁ со стороны других двух зарядов на направление касательной к окружности TT₁ в точке B₁, должны быть равны друг другу, т. е. f₂₁cos y₁ = f₂₂cos y₂ (1). Но

f₂₁

=

q₁q₂

, где (из треугольника AB₁O)

4πε_or₁₂²

r₁₂

= 2Rcos

β

, поэтому

2

f₂₁

=

q₁q₂

(2). Далее

16πε_oR²cos²(β/2)

f₂₂

=

q₂²

, где

r₂₂ = 2Rsin

α

, т.е.

4πε_or₂₂²

2

f₂₂

=

q₂²

(3).

16πε_oR²sin²(α/2)

Рассматривая углы при вершине B₁, мы можем записать

β

+ y₁ = 90° (4),

90° −

α

+ y₁ + y₂ +

β

= 180° (5).

2

2

2

Из уравнений (1) - (5), учитывая, что β=(α/2)

№15 На расстоянии d от большой проводящей пластины находится точечный электрический заряд +q. С какой силой на него действует пластина?

Решение: индуцированные отрицательные заряды на поверхности проводника распределяются таким образом, что результирующая напряженность поля внутри проводника от положительного точечного заряда и индуцированных отрицательных зарядов равна нулю. (Индуцированные положительные заряды уйдут на удаленные края пластинки, и их полем можно пренебречь.) Это распределение индуцированных зарядов не зависит от толщины пластинки.

Поместим слева от пластинки на том же расстоянии d заряд -q. Ясно, что на левой стороне пластинки индуцированные положительные заряды распределяются таким же образом, как и отрицательные на правой стороне пластинки. От того, что мы поместили слева от пластинки заряд -q, электрическое поле справа от пластинки не изменится. Таким образом, справа от пластинки электрическое поле от заряда +q и отрицательных индуцированных зарядов совпадает с полем, создаваемым зарядами +q и -q и зарядами, индуцированными на поверхностях пластинки. Если толщина пластинки очень мала по сравнению с d, то мы можем пластинку считать бесконечно тонкой, а в таком случае поле, создаваемое индуцированными зарядами, вне пластинки отсутствует.

Итак, мы показали, что поле справа от пластинки, создаваемое зарядом +q и индуцированными отрицательными зарядами, совпадает с полем, создаваемым точечными зарядами +q и -q. Поскольку в точке нахождения заряда +q напряженность поля от индуцированных отрицательных зарядов равна напряженности поля от точечного заряда -q, находящегося на расстоянии 2d от +q, то искомая сила притяжения равна

F =

kq²

=

q²

.

(2d)²

16πε_od²

№16 Тонкое проволочное кольцо радиуса R несет электрический заряд q. В центре кольца расположен одноименный заряд Q, причем Q >> q. Определить силу, с которой растянуто кольцо.

Решение: так как Q >> q, то взаимодействием между отдельными элементами кольца можно пренебречь. Выделим малый элемент кольца длины RΔα. Со стороны заряда Q на него действует сила

ΔF =

QΔq

, где Δq =

qΔα

.

4πε_oR²

2π

Силы натяжения кольца T уравновешивают ΔF. Из условия равновесия, учитывая, что Δα мало, имеем

ΔF = 2Tsin

Δα

≈ 2T

Δα

= TΔα.

2

2

Искомая сила является натяжением

T =

qQ

.

8π²ε_oR²

Работа поля. Напряженность.Потенциал.

№17 Какой минимальной скоростью v_min должен обладать протон, чтобы он смог достигнуть поверхности положительно заряженного металлического шара, имеющего потенциал ? = 400 В. Начальное расстояние протона от поверхности шара r = 3R, где R - радиус шара.

Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 1 октября 2007 года.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения и превращения энергии. Протон теряет свою кинетическую энергию в результате работы электрического поля:

ΔE_k = A,

или

mv²

= q(φ₁ − φ₂),

2

где

φ₁ = k

Q

,

4R

- потенциал на расстоянии R + 3R = 4R от центра шара.

Из формулы:

φ = k

Q

выразим заряд шара Q =

φR

.

R

k

Тогда потенциал электрического поля шара на расстоянии 3R от его поверхности равен:

φ₁ =

φRk

=

φ

.

4Rk

4

Тогда

mv²

= q(φ −

φ

) =

3

qφ.

2

4

4

Отсюда cкорость протона:

v = √(

3qφ

).

2m

После вычислений получим v = 2.4×10⁵ м/с.

№18 По тонкому проволочному кольцу равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ = 100 пКл/м. Определить потенциал Φ электрического поля в центре кольца.

Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 8 октября 2007 года.

Решение:

Потенциал в центре проволочного кольца определим по принципу суперпозиции, разбив кольцо на элементарные участки с зарядом q_i. Получим формулу (на рисунке слева), в которой:

i - количество разбиений,

потенциал Φ_i, создаваемый в центре кольца элементарным зарядом q_i, равен:

Φ_i =

q_i

.

4πε_oR

Из формулы линейной плотности заряда кольца

τ =

q

2πR

выразим:

q = q_i•N = 2τπR.

Произведем суммирование Φ:

Φ =

1

•

q_iN

=

1

•

q

=

2πτR

=

τ

.

4πε_o

R

4πε_o

R

4πε_oR

2ε_o

Выполнив расчеты, получим: Φ = 5.65 В.

Конденсаторы. Электроемкость.

№19 Рентгеновские лучи образуют в 1 см³ газа 12,5×10⁶ пар ионов за 1 с. Между пластинами плоского конденсатора площадью по 100 см² при этих условиях ток насыщения 1×10⁻¹⁰ A. Каково расстояние между пластинами конденсатора?

Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 23 мая 2007 года.

Решение:

Плотность тока насыщения в газе j_н определяется формулой

j_н = Nqd (1),

где N - число пар ионов, созданных рентгеновскими лучами в единице объема в единицу времени, d - расстояние между пластинами.

Сила тока J и плотность тока S связаны соотношением J = I/S, тогда

j_н =

I_н

(2).

S

Приравняем правые части уравнений (1) и (2):

I_н

= Nqd, откуда

S

d =

I_н

SNq

После вычислений

d = 1×10⁻¹⁰ A/(100×10⁻⁴ м²×12,5×10¹²×1,6×10⁻¹⁹ Кл) = 5×10⁻³ м = 5 мм.

Ответ: расстояние между пластинами конденсатора равно 5 мм.

Примечание: взят заряд однозарядного иона e = 1,6×10⁻¹⁹ Кл и в 1 м³ образуется 12,5×10¹² пар ионов за 1 c.

№20 Две одинаковые круглые пластины площадью S = 400 см² каждая расположены параллельно друг другу. Заряд одной пластины Q₁ = 400 нКл, другой - Q₂ = 200 нКл. Определить плотность энергии электрического поля в точках, расположенных: а) между пластинами, б) вне пластин.

Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 1 октября 2007 года.

Решение:

Плотность энергии поля численно равна энергии поля в единице объема:

w =

W

=

CU²

=

εε_oSU²

=

εε_oE²

.

V

2V

2dSd

2

Рассмотрим поле пластин конденсатора. Напряженность поля вне пластин:

E = E₊ + E₊ =

δ₊

+

δ₊

=

1

(Q₁ + Q₂).

2εε_o

2εε_o

2εε_oS

Напряженность поля между пластин равна:

E = E₊ − E₊ =

δ₊

−

δ₊

=

1

(Q₁ − Q₂).

2εε_o

2εε_o

2εε_oS

Слева и справа модуль результирующей напряженности одинаков. Плотность энергии электрического поля в точках, расположенных вне пластин:

w =

1

(

Q₁ + Q₂

)² = 3.18 Дж/м³.

8ε_o

S

между пластин:

w =

1

(

Q₁ − Q₂

)² = 0.353 Дж/м³.

8ε_o

S

Примечание: плотность энергии пропорциональна квадрату напряженности электрического поля в области пространства, что справедливо для электрических полей любой конфигурации, а не только для однородных полей, в том случае, если среда, заполняющая пространство изотропная.