65

Министерство образования и науки Донецкой Народной Республики

Государственное профессиональное образовательное учреждение

«Донецкий электрометаллургический техникум»

ЦК «Металлургических дисциплин»

ОБЩИЙ КУРС ФИЗИКИ

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

Конспект лекций

2015

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ 4

ВВЕДЕНИЕ 5

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ 11

1.1. Предмет механики. Основные понятия и определения. 11

1.2. Кинематическое описание поступательного движения.

Скорость. Ускорение. 12

1.3. Кинематика вращательного движения твердого тела. 16

Краткие выводы 18

Вопросы для самоконтроля и повторения 20

Примеры решения задач. 20

Задачи для самостоятельного решения. 21

ГЛАВА 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 22

2.1. Первый закон Ньютона. 22

2.2. Второй закон Ньютона. 24

2.3. Третий закон Ньютона. 25

2.4. Закон сохранения импульса. 26

2.5. Уравнение движения тела переменной массы. 27

Краткие выводы 28

Вопросы для самоконтроля и повторения 29

Примеры решения задач. 30

Задачи для самостоятельного решения. 30

ГЛАВА 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ 31

3.1. Энергия, работа, мощность. 31

3.2. Виды механической энергии. 34

3.3. Закон сохранения энергии в механике. 36

Краткие выводы 41

Вопросы для самоконтроля и повторения 42

Примеры решения задач. 42

Задачи для самостоятельного решения. 43

ГЛАВА 4. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

ТВЕРДОГО ТЕЛА 44

4.1. Характеристики динамики вращательного движения. 44

4.2. Уравнение динамики вращательного движения

твердого тела. 46

4.3. Кинетическая энергия и работа при вращении тела. 47

4.4. Закон сохранения момента импульса. 48

Краткие выводы 50

Вопросы для самоконтроля и повторения 51

Примеры решения задач. 51

Задачи для самостоятельного решения. 52

ГЛАВА 5. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ

ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 53

5.1. Механический принцип относительности

и законы электродинамики 53

5.2. Постулаты специальной теории относительности.

Преобразования Лоренца 56

5.3. Следствия из преобразований Лоренца 57

5.4. Основной закон релятивистской динамики.

Релятивистская энергия 59

Краткие выводы 61

Вопросы для самоконтроля и повторения 61

Примеры решения задач. 62

Задачи для самостоятельного решения. 62

ПРИЛОЖЕНИЕ. Некоторые знаменательные события в истории

развития механики 63

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 64

ПРЕДИСЛОВИЕ

Физика как наука является основой всего естествознания и имеет фундаментальное значение для понимания различных процессов в окружающем нас мире. Она оказывает влияние на другие науки и служит базой для профессиональной подготовки студентов всех технических специальностей.

Содержание данного учебного пособия соответствует требованиям государственного образовательного стандарта по дисциплине «Физика».

Конспект лекций предназначен в первую очередь для студентов дневной формы обучения, но будет полезен и студентам заочного отделений. Изложение материала ведется без громоздких математических выкладок, основное внимание уделяется физической сущности явлений и описывающих их законов. В конце каждой главы пособия даются краткие выводы по теме, вопросы для самоконтроля и повторения, примеры решения задач, а также задачи для самостоятельной подготовки студентов.

Предлагаемый краткий курс охватывает как по объему, так и глубине весь материал, предусмотренный программой дисциплины. Однако для приобретения более полных и глубоких знаний, а также практических навыков решения задач по физике студенту необходимо пользоваться дополнительными источниками. Список некоторых рекомендуемых учебников и пособий приведен в конце конспекта.

ВВЕДЕНИЕ

План

1. Физика - наука экспериментальная.

2. Развитие физики как науки.

3. Основные физические модели.

4. Система единиц.

5. Связь физики с другими науками.

1. Физика - наука экспериментальная.

Физика - наука о наиболее простых и общих формах движения материи и их взаимных превращениях. Физика и ее законы лежат в основе всего естествознания. Она относится к точным наукам и изучает количественные закономерности явлений и процессов в окружающем нас мире.

Говоря словами В.И. Ленина, «материя есть философская категория для обозначения объективной реальности, которая …отображается нашими ощущениями, существуя независимо от них». Неотъемлемым свойством материи и формой ее существования является движение. Движение включает в себя все происходящие во Вселенной изменения и процессы, «начиная от простого перемещения и кончая мышлением» (Ф. Энгельс).

Физика - наука экспериментальная, ее законы базируются на фактах, установленных опытным путем. Законы физики представляют собой количественные соотношения и формулируются на математическом языке.

В соответствии с многообразием исследуемых объектов и форм движения материи физика подразделяется на ряд дисциплин, связанных между собой. По изучаемым материальным объектам физика делится на физику элементарных частиц, физику ядра, физику атомов и молекул, физику газов и жидкостей, физику твердого тела, физику плазмы. По изучаемым процессам или формам движения материи в физике выделяют механику материальной точки и твердого тела, механику сплошных сред, термодинамику, электродинамику, теорию тяготения, квантовую механику и квантовую теорию поля, теорию колебаний и волн.

2. Развитие физики как науки.

Основы физики заложены в VI в. до н.э. - II в. н.э., когда зародились идеи об атомном строении вещества (Демокрит, Эпикур, Лукреций). В этот период установлены простейшие законы статики (правило рычага), открыты законы прямолинейного распространения и отражения света, сформулированы основы гидростатики (закон Архимеда), наблюдались простейшие проявления электричества и магнетизма.

Развитие физики как науки в современном смысле этого слова началось в XVII в. и связано прежде всего с именем Г. Галилея. Галилей открыл принцип относительности в механике, доказал независимость ускорения свободного падения тел от их плотности и массы, получил значительные результаты в астрономии, в изучении оптических, тепловых и других явлений. Его ученик Э. Торричелли установил существование атмосферного давления и создал первый барометр. Англичанин Р. Бойль и француз Э. Мариотт исследовали упругость газов и сформулировали первый газовый закон.

Основное достижение физики XVII в. - создание классической механики. Все основные законы этой науки сформулировал И. Ньютон. Фундаментальное значение имело введенное Ньютоном понятие состояния, которое стало одним из основных для всех физических теорий.

Исходя из законов движения планет, установленных И. Кеплером, Ньютон открыл закон всемирного тяготения, при помощи которого удалось с большой точностью рассчитать движение Луны, планет и комет, объяснить приливы и отливы в океане.

В это же время Х. Гюйгенс и Г. Лейбниц сформулировали закон сохранения количества движения. Гюйгенс создал теорию физического маятника, построил первые часы с маятником. Началось развитие физической акустики.

Со второй половины XVII в. быстро развивается геометрическая оптика применительно к конструированию телескопов и других оптических приборов. Были заложены и основы физической оптики: открыта дифракция света (Ф. Гримальди), впервые измерена скорость света (О. Рёмер). Возникли и стали развиваться корпускулярная и волновая теории света.

В работах Л. Эйлера и других ученых (XVIII в.) исследована динамика абсолютно твердого тела. Параллельно шло развитие механики жидкости и газа. Трудами Д. Бернулли, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и др. в первой половине XVIII в. были заложены основы гидродинамики идеальной жидкости. В «Аналитической механике» Лагранжа (1788 г.) уравнения механики представлены в столь обобщенной форме, что в дальнейшем их удалось применить и к немеханическим, в частности, электромагнитным процессам.

В этот период была создана единая механическая картина мира, согласно которой все богатство и многообразие мира - результат различия движения частиц (атомов), слагающих тела, движения, подчиняющегося законам Ньютона. Объяснение физического явления считалось научным и полным, если его удавалось свести к действию законов механики.

В других областях физики происходило накопление опытных данных и формулировались простейшие экспериментальные законы: закон сохранения электрического заряда (Б. Франклин), основной закон электростатики (Ш. Кулон), открыто инфракрасное (Д. Гершель и У. Волластон) и ультрафиолетовое (И. Риттер и У. Волластон) излучения.

Заметный прогресс произошел в исследовании тепловых явлений: сформулировано понятие теплоемкости, началось изучение теплопроводности и теплового излучения. В трудах М. Ломоносова, Р. Бойля, Р. Гука, Д. Бернулли были заложены основы молекулярно-кинетической теории вещества.

В начале XIX в. борьба между корпускулярной и волновой теориями света завершилась победой волновой теории. Этому способствовали работы Т. Юнга и О. Френеля, объяснившие явления интерференции и дифракции света с помощью волновой теории.

Большое значение для развития физики имело открытие электрического тока (Л. Гальвани и А. Вольта). Исследовано химическое действие электрического тока (Х. Дэви и М. Фарадей), получена электрическая дуга (В. Петров). В 1820 г. Х. Эрстед открыл действие электрического тока на магнитную стрелку, что доказало связь между электрическими и магнитными явлениями. В том же году А. Ампер экспериментально установил закон, определяющий силу взаимодействия электрических токов. В 1831 г. М. Фарадей открыл закон электромагнитной индукции. Это явилось основой формирования новой науки о свойствах и законах поведения особой формы материи - электромагнитного поля.

Важнейшее значение для физики и всего естествознания имело открытие в середине XIX в. закона сохранения энергии (Ю. Майер, Г. Гельмгольц, Д. Джоуль), связавшего воедино все явления природы. Закон сохранения энергии стал основным законом теории тепловых явлений (термодинамики) и получил название первого начала термодинамики.

Фундаментальный закон теории теплоты - второе начало термодинамики был сформулирован Р. Клаузиусом в 1850 г. На основе результатов, полученных Н. Карно и У. Томсоном. Этот закон обобщил опытные данные, свидетельствующие о необратимости процессов в природе, определяет направление возможных энергетических превращений. Значительную роль в создании термодинамики сыграли также исследования Ж. Гей-Люссака, Б. Клапейрона, Д. Менделеева.

Во второй половине XIX в. процесс изучения электромагнитных явлений завершился созданием Д. Максвеллом классической электродинамики. В своей работе «Трактат об электричестве и магнетизме» (1873 г.) он установил уравнения для электромагнитного поля, которые позволяли объяснить все известные в то время факты с единой точки зрения. Электромагнитную индукцию Максвелл интерпретировал как процесс порождения переменным магнитным полем вихревого электрического поля. Затем он предсказал обратный процесс - порождение магнитного поля переменным электрическим полем. Важнейшим результатом теории Максвелла был вывод о конечности скорости распространения электромагнитных взаимодействий, равной скорости света. Экспериментальное обнаружение электромагнитных волн немецким физиком Г. Герцем (1886-89 гг.) подтвердило справедливость этого вывода.

Из теории Максвелла вытекало, что свет имеет электромагнитную природу. Тем самым оптика стала одним из разделов электродинамики. В 1899 г. П. Лебедев экспериментально обнаружил и измерил давление света, предсказанное Максвеллом. В 1895 г. А. Попов впервые использовал электромагнитные волны для беспроволочной связи.

Новый этап в развитии физики связан с открытием электрона (Д. Томсон, 1897 г.). Выяснилось, что атомы не элементарны, а представляют собой сложные системы. В конце XIX - начале XX вв. Х. Лоренц заложил основы электронной теории, которая позволила рассчитывать значения электромагнитных характеристик вещества в зависимости от частоты, температуры и других факторов.

В начале XX в. стало ясно, что электродинамика требует коренного пересмотра представлений о пространстве и времени, лежащих в основе классической механики Ньютона. В 1905 г. А. Эйнштейн создал частную (специальную) теорию относительности - новое учение о пространстве и времени. Эта теория показала, что свести электромагнитные процессы к механическим в гипотетической среде (эфире) невозможно. Стало ясно, что электромагнитное поле представляет собой особую форму материи, поведение которой не подчиняется законам механики. В 1916 г. Эйнштейн построил общую теорию относительности - физическую теорию пространства, времени и тяготения.

На рубеже XIX - XX вв. было положено начало величайшей революции в области физики, связанной с возникновением и развитием квантовой теории. В 1900 г. М. Планк показал, что атом испускает электромагнитную энергию не непрерывно, а отдельными порциями - квантами. В 1905 г. Эйнштейн развил гипотезу Планка, предположив, что излучаемая порция электромагнитной энергии поглощается также только целиком, т.е. ведет себя подобно частице (позднее она была названа фотоном). На основе этой гипотезы Эйнштейн объяснил закономерности фотоэффекта, не укладывающиеся в рамки классической теории электродинамики. Таким образом, на новом качественном уровне была возрождена корпускулярная теория света. Свет ведет себя подобно потоку частиц, но одновременно ему присущи и волновые свойства (дифракция, интерференция). Следовательно, несовместимые с точки зрения классической физики волновые и корпускулярные свойства присущи свету в равной мере (дуализм света).

Квантование излучений приводило к выводу, что энергия внутриатомных движений также изменяется только скачкообразно (Н. Бор, 1913 г.). К этому времени Э. Резерфорд построил планетарную модель атома. Однако, согласно электродинамике Максвелла, такой атом неустойчив: электроны, двигаясь по круговым (эллиптическим) орбитам, испытывают ускорения, а следовательно, должны непрерывно излучать электромагнитные волны, терять энергию и, постепенно приближаясь к ядру, за время ~10^-8 с упасть на ядро. Таким образом, планетарная модель атома в рамках классической физики приводила к неустойчивости атомов. Для решения этой проблемы Бор постулировал существование в атомах стационарных состояний, находясь в которых электрон не излучает. При переходе из одного такого состояния в другое он может испускать или поглощать энергию.

Созданный Бором первый вариант квантовой теории атома был внутренне противоречивым: используя для описания движения электронов законы механики Ньютона, Бор в то же время накладывал на возможные движения электронов квантовые ограничения, чуждые классической механике. Достоверно установленная дискретность действия и ее количественная мера - постоянная Планка - требовали радикальной перестройки механики и электродинамики. Классические законы физики оказались справедливыми лишь при рассмотрении тел достаточно большой массы, для которых величина действия велика по сравнению с постоянной Планка (квант действия) и дискретностью действия можно пренебречь.

В 20-е годы XX в. была создана квантовая, или волновая механика - последовательная, логически завершенная нерелятивистская теория движения микрочастиц. В основу ее легли идея квантования Планка-Эйнштейна-Бора и выдвинутая в 1923 г. Луи де Бройлем гипотеза о двойственной корпускулярно-волновой природе любых видов материи. В 1927 г. впервые была обнаружена дифракция электронов, экспериментально подтвердившая наличие у микрочастиц волновых свойств.

Параллельно с квантовой механикой развивалась квантовая статистика - квантовая теория поведения физических систем, состоящих из огромного количества микрочастиц. Она сыграла важную роль в развитии физики конденсированных сред и в первую очередь физики твердого тела.

На основе квантовой теории вынужденного излучения, созданной Эйнштейном в 1917 г., в 50-х годах XX в. возникла новая область радиофизики - квантовая электроника. Учеными Н.Г. Басовым и А.М. Прохоровым осуществлены генерация и усиление электромагнитных волн с помощью построенного ими мазера. В 60-х годах был создан квантовый генератор света - лазер.

Во второй четверти XX в. происходило дальнейшее революционное преобразование физики, связанное с познанием структуры атомного ядра, а также с созданием физики элементарных частиц. Открытию Резерфордом атомного ядра предшествовало открытие явления радиоактивности (А. Беккерель). В 1934 г. супруги Жолио-Кюри открыли искусственную радиоактивность.

Создание ускорителей заряженных частиц позволило изучать различные ядерные реакции. Важнейшим результатом этого этапа явилось открытие деления атомного ядра. В 1939-45 гг. была впервые освобождена ядерная энергия с помощью цепной реакции деления ²³⁵U. В 1954 г. в СССР была построена первая атомная электрическая станция (г. Обнинск). В 1952 г. осуществлена реакция неуправляемого термоядерного синтеза (термоядерный взрыв).

Одновременно с физикой атомного ядра с 30-х годов начала быстро развиваться физика элементарных частиц. Первые большие успехи в этой области связаны с исследованием космических лучей. Были открыты мюоны, мезоны, гипероны, нейтрино, резонансы. Обнаружена универсальная взаимопревращаемость элементарных частиц.

Все здание классической и современной физики покоится на фундаменте законов сохранения, согласно которым численные значения некоторых физических величин не изменяются со временем в любых процессах или в определенном классе процессов. Важнейшими законами сохранения, справедливыми для любых изолированных систем, являются законы сохранения энергии, импульса, момента импульса, электрического заряда.

Основным методом исследования в физике является опыт - основанное на практике чувственно-эмпирическое познание объективной действительности, т.е. наблюдение исследуемых явлений в точно учитываемых условиях, позволяющих следить за ходом процессов и многократно воспроизводить их при повторении этих условий.

Для объяснения экспериментальных фактов выдвигаются гипотезы. Гипотеза - это научное предположение, выдвигаемое для объяснения какого-либо явления и требующее проверки на опыте и теоретического обоснования для того, чтобы стать достоверным научным фактом.

3. Основные физические модели.

При исследовании явлений или процессов в зависимости от условий конкретной задачи используются различные физические модели. Применение моделей преследует единственную цель - рассмотреть определенную группу физических явлений таким образом, чтобы можно было абстрагироваться от целого ряда реальных факторов, второстепенных в данном случае, но учет которых существенно усложнил бы изучение данного явления.

Основными физическими моделями являются:

• материальная точка - тело, обладающее массой, размерами и формой которого можно пренебречь в условиях данной задачи (например, изучая движение планет по орбитам вокруг Солнца, можно принять их за материальные точки, так как размеры планет пренебрежительно малы по сравнению с размерами их траекторий движения);

• абсолютно твердое тело - тело, расстояние между любыми двумя точками которого всегда остается неизменным. Другими словами, данная модель пригодна в случаях, когда в задаче деформации тела при его взаимодействии с другими телами пренебрежительно малы;

• абсолютно упругое тело - тело, деформации которого пропорциональны вызывающим их силам, т.е. подчиняются закону Гука. После прекращения внешнего механического воздействия на такое тело, оно полностью восстанавливает свои размеры и форму;

• абсолютно неупругое тело - тело, которое после прекращения внешнего механического воздействия полностью сохраняет деформированное состояние, вызванное этим воздействием;

• идеальный газ - газ, молекулы которого имеют пренебрежимо малый собственный объем и между ними отсутствуют силы взаимодействия;

• идеальная жидкость - жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения (не учитывается вязкость);

• точечный электрический заряд - заряженное тело, форма и размеры которого несущественны по сравнению с расстояниями до других заряженных тел;

• электрический диполь - система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов, расстояние между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек электрического поля;

• абсолютно черное тело - тело, полностью поглощающее при любой температуре весь направленный на него поток излучения любой частоты.

4. Система единиц.

В результате обобщения экспериментальных фактов устанавливаются физические законы - устойчивые повторяющиеся объективные закономерности, существующие в природе. Наиболее важные законы устанавливают связь между физическими величинами, для чего необходимо эти величины измерять. Измерение физической величины - это действие, выполняемое с помощью средств измерений для нахождения значения физической величины в принятых единицах. В принципе единицы физических величин можно выбрать произвольно, но тогда возникнут трудности при их сравнении. Поэтому вводятся системы единиц, охватывающие единицы всех физических величин и позволяющие оперировать с ними.

Для построения системы единиц произвольно выбирают единицы для нескольких не зависящих друг от друга физических величин. Эти единицы называются основными. Остальные величины и их единицы выводятся из законов, связывающих эти величины с основными. Они называются производными величинами. В России согласно государственному стандарту обязательна к применению Международная система единиц SI (система СИ). Она базируется на семи основных единицах и двух дополнительных - радиан и стерадиан (табл. В.1).

Таблица В.1

Наименование величины

Единица измерения

Обозначение

Длина

метр

м

Масса

килограмм

кг

Время

секунда

с

Сила электрического тока

ампер

А

Термодинамическая температура

кельвин

К

Количества вещества

моль

моль

Сила света

кандела

кд

Плоский угол

радиан

рад

Телесный угол

стерадиан

ср

5. Связь физики с другими науками.

Физика тесно связана с естественными науками - астрономией, химией, биологией, геологией и др. В результате образовался ряд новых научных дисциплин, таких, как астрофизика, физическая химия, биофизика, радиоастрономия и др. Физика тесно связана и с техникой, причем эта связь двусторонняя: физика развивается из потребностей техники (развитие механики вызвано потребностями строительной и военной техники; задача создания экономичных тепловых и электрических машин потребовало развития термодинамики и электродинамики и т.д.). С другой стороны развитие техники позволяет совершенствовать экспериментальные методы физических исследований, применять новые, более совершенные приборы и установки (электронные микроскопы, спектрографы, счетчики заряженных частиц и т.п.).

Курс физики составляет основу теоретической подготовки студентов технических специальностей и играет роль фундаментальной базы, без которой невозможна успешная деятельность инженера любого профиля. Инженер должен знать и уметь пользоваться основными понятиями, законами и моделями механики, электричества и магнетизма, теории колебаний и волн, квантовой физики, статистической физики и термодинамики, физических основ электроники, методами теоретического и экспериментального исследования, уметь оценивать численные порядки величин.

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ

1.1. Предмет механики. Основные понятия и определения.

Механика - это часть физики, изучающая механическое движение материальных тел и происходящие при этом взаимодействия между ними. Под механическим движением понимают изменение с течением времени взаимного положения тел или их частиц в пространстве. В природе - это движение небесных тел, колебания земной коры, воздушные и водные течения и т.п.; в технике - движения различных летательных аппаратов и транспортных средств, частей двигателей, машин и механизмов, деформации элементов различных конструкций и сооружений, движения жидкостей и газов и многое другое.

В механике рассматриваемые взаимодействия представляют собой те действия тел друг на друга, в результате которых изменяются скорости точек этих тел или возникают деформации, например, притяжения тел по закону всемирного тяготения, взаимные давления соприкасающихся тел, воздействия частиц жидкости или газа друг на друга и на движущиеся в них тела.

Под механикой обычно понимают так называемую классическую механику Галилея-Ньютона, предметом изучения которой являются движения любых материальных тел (кроме элементарных частиц), совершаемые со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света. Движение макроскопических тел со скоростями порядка скорости света рассматривается релятивистской механикой, основанной на специальной теории относительности Эйнштейна. Для описания движения элементарных частиц и внутриатомных явлений законы классической механики неприменимы - они заменяются законами квантовой механики.

Классическая механика делится на три раздела: кинематику, динамику и статику.

Кинематика изучает движение тел, не рассматривая причины, которые это движение обусловливают (т.е. движение тел без учета их масс и действующих на них сил). Методы и зависимости, устанавливаемые в кинематике, используются при расчетах передач движения в различных механизмах и машинах, а также при решении задач динамики.

Динамика изучает движение материальных тел под действием приложенных к ним сил. В основе динамики лежат законы механики Ньютона, из которых получаются все уравнения и теоремы, необходимые для решения задач динамики.

Статика изучает условия равновесия материальных тел под действием сил. Если известны законы движения тел, то из них можно установить и законы равновесия. Поэтому законы статики всегда рассматриваются в связи с законами динамики.

Основными понятиями в механике, физике и естествознании в целом являются пространство и время. Всякое материальное тело имеет объем, т.е. пространственную протяженность. Время выражает последовательность состояний материи, составляющих любой процесс, любое движение. Таким образом, пространство и время представляют собой наиболее общие формы существования материи.

Любое движение твердого тела можно представить как комбинацию поступательного и вращательного движений. Поступательным движением называют движение, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. Примерами поступательного движения являются движение поршня в цилиндре двигателя, движение кабин «чертова колеса» и т.д. Вращательным движением абсолютно твердого тела называют такое движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных к неподвижной прямой, называемой осью вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси (роторы турбин, генераторов и двигателей).

1.2. Кинематическое описание поступательного движения.

Скорость. Ускорение.

План

1. Тело отсчета. Система отсчета. Траектория движения. Путь. Перемещение.

2. Скорость.

3. Ускорение. Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения.

1. Тело отсчета. Система отсчета. Траектория движения. Путь. Перемещение.

Положение материальной точки в пространстве в данный момент времени определяется по отношению к какому-либо другому телу, которое называется телом отсчета. С ним связывается система отсчета - совокупность системы координат и часов, связанных с телом, по отношению к которому изучается движение каких-нибудь других материальных точек. Выбор системы отсчета зависит от задач исследования. При кинематических исследованиях все системы отсчета равноправны (декартовая, полярная). В задачах динамики преимущественную роль играют инерциальные системы отсчета, по отношению к которым дифференциальные уравнения движения имеют более простой вид.

В декартовой системе координат положение точки А в данный момент времени по отношению к этой системе определяется тремя координатами х, у и z, или радиусом-вектором (рис. 1.1). При движении материальной точки ее координаты с течением времени изменяются. В общем случае ее движение определяется уравнениями (1.1)

или векторным уравнением =(t). (1.2)

Эти уравнения называются кинематическими уравнениями движения материальной точки.

Исключая время t в системе уравнений (1.1), получим уравнение траектории движения материальной точки. Например, если кинематические уравнения движения точки заданы в форме

то, исключая t, получим: , откуда

т.е. точка движется в плоскости z = 0 по эллиптической траектории с полуосями, равными a и b.

Траекторией движения материальной точки называется линия, описываемая этой точкой в пространстве. В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным и криволинейным.

Рассмотрим движение материальной точки вдоль произвольной траектории АВ (рис. 1.2). Отсчет времени начнем с момента, когда точка находилась в положении А (t = 0). Длина участка траектории АВ, пройденного материальной точкой с момента t = 0, называется длиной пути и является скалярной функцией времени . Вектор , проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени, называется вектором перемещения. При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и его модуль равен пройденному пути .

2. Скорость.

Скорость - это векторная физическая величина, введенная для определения быстроты движения и его направления в данный момент времени.

Пусть материальная точка движется по криволинейной траектории и в момент времени tей соответствует радиус-вектор . (рис. 1.3). В течение малого интервала времени точка пройдет путь и получит бесконечно малое перемещение . Различают среднюю и мгновенную скорости.

Вектором средней скорости называется отношение приращения радиуса-вектора точки к промежутку времени :

(1.3)

Вектор направлен так же, как . При неограниченном уменьшении , средняя скорость стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью или просто скоростью:

(1.4)

Таким образом, скорость - это векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения.

По мере уменьшения длина дуги все более приближается к длине стягивающей ее хорды, т.е. численное значение скорости материальной точки равно первой производной длины ее пути по времени:

Таким образом, (1.5)

Из выражения (1.5) получаем Интегрируя по времени от до , найдем длину пути, пройденного материальной точкой за время :

(1.6)

Если направление вектора мгновенной скорости во время движения материальной точки не изменяется, это означает, что точка движется по траектории, касательные к которой во всех точках имеют одно и то же направление. Таким свойством обладают только прямолинейные траектории. Значит, рассматриваемое движение будет прямолинейным.

Если направление вектора скорости материальной точки изменяется с течением времени, точка будет описывать криволинейную траекторию.

Если численное значение мгновенной скорости точки остается во время движения постоянным, то такое движение называется равномерным. В этом случае

(1.7)

Это означает, что за произвольные равные промежутки времени материальная точка проходит пути равной длины.

Если за произвольные равные промежутки времени точка проходит пути разной длины, то численное значение ее скорости с течением времени изменяется. Такое движение называется неравномерным. В этом случае пользуются скалярной величиной, называемой средней скоростью неравномерного движения на данном участке траектории. Она равна численному значению скорости такого равномерного движения, при котором на прохождение пути затрачивается то же время , что и при заданном неравномерном движении: (1.8)

Если материальная точка одновременно участвует в нескольких движениях, то по закону независимости движений ее результирующее перемещение равно векторной сумме перемещений, совершаемых ею за то же время в каждом из движений в отдельности. Поэтому скорость результирующего движения находится как векторная сумма скоростей всех тех движений, в которых материальная точка участвует.

3. Ускорение. Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения.

В природе чаще всего наблюдаются движения, в которых скорость изменяется как по величине (модулю), так и по направлению, т.е. приходится иметь дело с неравномерными движениями. Для характеристики изменения скорости таких движений вводится понятие ускорения.

Пусть за время движущаяся точка перешла из положения А в положение В (рис. 1.4). Вектор задает скорость точки в положении А. В положении В точка приобрела скорость, отличную от как по величине, так и по направлению и стала равной . Перенесем вектор в точку А и найдем .

Средним ускорением неравномерного движения в интервале времени от до называется векторная величина, равная отношению изменения скорости к интервалу времени :

(1.9)

Очевидно, что вектор совпадает по направлению с вектором изменения скорости .

Мгновенным ускорением или ускорением материальной точки в момент времени будет предел среднего ускорения: (1.10)

Таким образом, ускорение есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

Разложим вектор на две составляющие. Для этого из точки А по направлению скорости отложим вектор , по модулю равный . Тогда вектор , равный , определяет изменение скорости по модулю (величине) за время , т.е. . Вторая же составляющая вектора характеризует изменение скорости на время по направлению - .

Составляющая ускорения, определяющая изменение скорости по величине, называется тангенциальной составляющей . Численно она равна первой производной по времени от модуля скорости: (1.11)

Найдем вторую составляющую ускорения, называемую нормальной составляющей. Допустим, что точка В достаточно близка к точке А, поэтому путь можно считать дугой окружности некоторого радиуса r, мало отличающегося от хорды АВ. Из подобия треугольников АОВ и ЕАD следует, что , откуда В пределе при поэтому вторая составляющая ускорения равна: . (1.12)

Она характеризует быстроту изменения скорости по направлению и направлена к центру кривизны траектории по нормали. Ее называют также центростремительным ускорением.

Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих: . (1.13)

Из рис. 1.5 следует, что модуль полного ускорения равен:

(1.14)

Направление полного ускорения определяется углом между векторами и . Очевидно, что

(1.15)

В зависимости от значений тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение тела классифицируется по-разному. Если (величина скорости не изменяется по величине), движение является равномерным. Если > 0, движение называется ускоренным, если < 0 - замедленным. Если = const0, то движение называется равнопеременным. Наконец, в любом прямолинейном движении (нет изменения направления скорости).

Таким образом, движение материальной точки может быть следующих видов:

1) - прямолинейное равномерное движение ();

2) - прямолинейное равнопеременное движение. При таком виде движения

Если начальный момент времени , а начальная скорость , то, обозначив и , получим: откуда . (1.16)

Проинтегрировав это выражение в пределах от нуля до произвольного момента времени, получим формулу для нахождения длины пути, пройденного точкой при равнопеременном движении: (1.17)

3) - прямолинейное движение с переменным ускорением;

4) - скорость по модулю не изменяется, откуда видно, что радиус кривизны должен быть постоянным. Следовательно, данное движение по окружности является равномерным;

5) - равномерное криволинейное движение;

6) - криволинейное равнопеременное движение;

7) - криволинейное движение с переменным ускорением.

1.3. Кинематика вращательного движения твердого тела.

План

1. Угловая скорость. Период и частота вращения.

2. Угловое ускорение.

3. Кинематические уравнения поступательного и вращательного движений.

1. Угловая скорость. Период и частота вращения.

Как уже отмечалось, вращательным движением абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных к неподвижной прямой, называемой осью вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси.

Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси (рис. 1.6).Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка А движется по окружности радиуса R. Ее положение через промежуток времени зададим углом .

Угловой скоростью вращения называется вектор, численно равный первой производной угла поворота тела по времени и направленный вдоль оси вращения по правилу правого винта:

(1.18)

Единица измерения угловой скорости радиан в секунду (рад/с).

Таким образом, вектор определяет направление и быстроту вращения. Если , то вращение называется равномерным.

Угловая скорость может быть связана с линейной скоростью произвольной точки А. Пусть за время точка проходит по дуге окружности длину пути . Тогда линейная скорость точки будет равна:

(1.19)

При равномерном вращении его можно охарактеризовать периодом вращения Т - временем, за которое точка тела совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2π:

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения:

откуда

2. Угловое ускорение.

Для характеристики неравномерного вращения тела вводится понятие углового ускорения. Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени: (1.20)

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора угловой скорости (рис. 1.7); при ускоренном движении вектор направлен в ту же сторону, что и , и в противоположную сторону при замедленном вращении .

Выразим тангенциаль-ную и нормальную состав-ляющие ускорения точки А вращающегося тела через угловую скорость и угловое ускорение: (1.21)

(1.22)

В случае равнопеременного движения точки по окружности ():

,

где начальная угловая скорость.

3. Кинематические уравнения поступательного и вращательного движений.

Поступательное и вращательное движения твердого тела являются лишь простейшими типами его движения. В общем случае движение твердого тела может быть весьма сложным. Однако в теоретической механике доказывается, что любое сложное движение твердого тела можно представить как совокупность поступательного и вращательного движений.

Кинематические уравнения поступательного и вращательного движений сведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Поступательное

Вращательное

Равномерное

Равнопеременное

Неравномерное

Краткие выводы

• Часть физики, которая изучает закономерности механического движения и причины, вызывающие или изменяющие это движение, называется механикой. Классическая механика (механика Ньютона-Галилея) изучает законы движения макроскопических тел, скорости которых малы по сравнению со скоростью света в вакууме.

• Кинематика - раздел механики, предметом изучения которого является движение тел без рассмотрения причин, которыми это движение обусловлено.

• В механике для описания движения тел в зависимости от условий конкретных задач используются различные физические модели: материальная точка, абсолютно твердое тело, абсолютно упругое тело, абсолютно неупругое тело.

• Движение тел происходит в пространстве и во времени. Поэтому для описания движения материальной точки надо знать, в каких местах пространства эта точка находилась и в какие моменты времени она проходила то или иное положение. Совокупность тела отсчета, связанной с ним системы координат и синхронизированных между собой часов называется системой отсчета.

• Вектор , проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени называется вектором перемещения. Линия, описываемая движущейся материальной точкой (телом) относительно выбранной системы отсчета называется траекторией движения. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движение. Длина участка траектории, пройденного материальной точкой за данный промежуток времени, называется длиной пути.

• Скорость - это векторная физическая величина, которая характеризует быстроту движения и его направление в данный момент времени. Мгновенная скорость определяется первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени:

Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения. Модуль мгновенной скорости материальной точки равен первой производной длины ее пути по времени:

• Ускорение - векторная физическая величина для характеристики неравномерного движения. Она определяет быстроту изменения скорости по модулю и направлению. Мгновенное ускорение - векторная величина, равная первой производной скорости по времени:

Тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по величине (направлена по касательной к траектории движения):

Нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории):

Полное ускорение при криволинейном движении - геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих:

,

• Векторная величина, определяемая первой производной угла поворота тела по времени, называется угловой скоростью:

Вектор направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта.

• При равномерном вращении время, за которое точка тела совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2π, называется периодом вращения:

Частота вращения - число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности в единицу времени:

• Угловое ускорение - это векторная физическая величина, определяемая первой производной угловой скорости по времени:

При ускоренном вращении тела вокруг неподвижной оси вектор сонаправлен вектору , при замедленном - противонаправлен ему.

• Связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по окружности радиуса R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение , нормальное ускорение ) и угловыми характеристиками (угол поворота φ, угловая скорость ω, угловое ускорение ε) выражается следующими формулами:

.

Вопросы для самоконтроля и повторения

1. Что является предметом изучения механики? Какова структура механики?

2. Что такое физическая модель? Какие физические модели использует механика для описания движения материальных объектов?

3. Что представляет собой система отсчета? Что называется вектором перемещения?

4. Какое движение называется поступательным? Вращательным?

5. Что характеризуют скорость и ускорение? Дайте определения средней скорости и среднего ускорения, мгновенной скорости и мгновенного ускорения.

6. Составьте уравнение траектории движения тела, брошенного горизонтально со скоростью v₀ с некоторой высоты. Сопротивление воздуха не учитывать.

7. Что характеризуют тангенциальная и нормальная составляющие ускорения? Каковы их модули?

8. Как можно классифицировать движение в зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения?

9. Что называется угловой скоростью и угловым ускорением? Как определяются их направления?

10. Какими формулами связаны между собой линейные и угловые характеристики движения?

Примеры решения задач

Задача 1. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить угол, под которым тело брошено к горизонту, если максимальная высота подъема тела равна 1/4 дальности его полета (рис. 1.8).

Дано: .

Найти: .

Решение

Составляющие начальной скорости тела

Ответ:

Задача 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону, выражаемому формулой Найти величину полного ускорения точки, находящейся на расстоянии 0,1 м от оси вращения для момента времени 4 с (рис. 1.9).

Дано: ; 0,1 м; 4 с.

Найти:

Р

ешение

где

рад/с²=const.

В момент времени 4 с рад/с;

м/с².

Ответ: а=1,65 м/с².

Задачи для самостоятельного решения

1. Движения двух материальных точек описываются следующими уравнениями: и В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковыми? Чему равны скорости и ускорения точек в этот момент?

2. С высоты 1000 м падает тело без начальной скорости. Одновременно с высоты 1100 м падает другое тело с некоторой начальной скоростью. Оба тела достигают земли в один и тот же момент времени. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти начальную скорость второго тела.

3. Велосипедист проехал первую треть пути со скоростью 10 м/с, затем половину пути со скоростью 6 м/с и оставшуюся часть пути со скоростью 2 м/с. Чему равна средняя скорость велосипедиста?

4. Мяч бросили со скоростью 10 м/с по углом 40⁰ к горизонту. Не учитывая сопротивления воздуха, найти: а) на какую высоту поднимется мяч? б) на каком расстоянии от места бросания мяч упадет на землю? в) сколько времени мяч будет в движении?

5. Камень, брошенный горизонтально, упал на землю через 0,5 с на расстоянии 5 м по горизонтали от места бросания. Не учитывая сопротивления воздуха, определить: а) с какой высоты брошен камень? б) чему равна начальная скорость камня? в) с какой скоростью камень упал на землю? г) какой угол составляет траектория камня с горизонтом в точке его падения на землю?

6. Колесо радиусом 0,1 м вращается так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением , где А=2 рад/с² и В=1 рад/с⁵. Определить полное ускорение точек обода колеса через t=1 с после начала вращения и число оборотов, сделанных колесом за это время.

7. Частота вращения колеса при равнозамедленном движении за t=1 мин уменьшилась от 300 до 180 об/мин. Определить: а) угловое ускорение колеса; б) число полных оборотов, сделанных колесом за это время.

8. Диск радиусом R=10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением (В=1 рад/с, С=1 рад/с², D=1 рад/с³). Определить для точек на ободе колеса к концу второй секунды после начала движения: а) тангенциальное ускорение; б) нормальное ускорение; в) полное ускорение.

9. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости 20 рад/с через 10 оборотов после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.

10. Колесо, вращаясь равноускоренно, спустя 1 мин после начала движения приобретает скорость, соответствующую частоте 720 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов за эту минуту.

ГЛАВА 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

2.1. Первый закон Ньютона.

Как уже отмечалось, динамика - это раздел классической механики, изучающий движение материальных тел под действием приложенных к ним сил, т.е. дающий связь между взаимодействиями тел и изменениями в их движении. Она является основным разделом механики и базируется на трех законах Ньютона (1687 г.)

Первый закон Ньютона (закон инерции) формулируется следующим образом: всякое тело (материальная точка) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.

Свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при отсутствии или взаимном уравновешивании внешних воздействий называется инертностью. Если на тело действует неуравновешенная система сил, то инертность сказывается в том, что изменение состояния покоя или движения тела происходит постепенно, а не мгновенно. При этом движение изменяется тем медленнее, чем больше инертность тела. Мерой инертности тела при поступательном движении является масса.

Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета. Системы, в которых он выполняется, называются инерциальными системами отсчета. Инерциальной системой отсчета является такая система, относительно которой свободная материальная точка, не подверженная воздействию других тел, движется равномерно и прямолинейно, или по инерции. Система отсчета, движущаяся по отношению к инерциальной системе отсчета с ускорением, является неинерциальной, и в ней не выполняются ни закон инерции, ни второй закон Ньютона, ни закон сохранения импульса.

Понятие «инерциальная система отсчета» является научной абстракцией. Реальная система отсчета всегда связывается с каким-нибудь конкретным телом (Землей, корпусом корабля и т.п.), по отношению к которому и изучается движение тех или иных объектов. Однако в природе нет неподвижных тел (тело, неподвижное относительно Земли, будет двигаться вместе с нею ускоренно по отношению к Солнцу и звездам), поэтому любая реальная система отсчета может рассматриваться как инерциальная лишь с той или иной степенью приближения. С очень высокой степенью точности инерциальной можно считать гелиоцентрическую (звездную) систему с началом координат в центре Солнца и с осями, направленными на три звезды. Для решения большинства технических задач инерциальной системой можно считать систему отсчета, жестко связанную с Землей (не учитывается вращение Земли вокруг собственной оси и вокруг Солнца).

Как уже отмечалось, масса - это физическая величина, определяющая инерционные свойства материи. Масса - это свойство самого тела и, в отличие от веса, не зависит от места ее измерения (вес Р тела в разных точках земного шара различен: он максимален на полюсах и минимален на экваторе). Ускорение свободного падения g тел на Землю также зависит от географической широты места наблюдения и от его высоты над уровнем моря. Однако отношение веса тела Р к его ускорению g одинаково во всех точках земного шара. Это отношение и принято для количественного измерения массы:

(2.1)

За единицу массы принят килограмм массы, равный массе эталона, сделанного из сплава иридия и платины.

Следует отметить, что масса тела считается постоянной величиной только в классической механике Ньютона, изучающей движение тел со скоростями, небольшими по сравнению со скоростью света ().

В современной физике установлено, что масса тела увеличивается с увеличением скорости его движения по закону:

где m - масса тела, движущегося со скоростью ; с - скорость света; m₀- масса покоящегося тела.

Из формулы (2.1) следует, что вес тела , (2.2)

т.е. вес - это сила, с которой тело притягивается Землей, т.е. та сила, которая сообщает телу ускорение g=9,81 м/с²:

1 кГ=1 кг·9,81 м/с² .

С другой стороны, 1 Н=1 кг·1 м/с² , следовательно, 1 кГ=9,81 Н.

Для описания воздействий тел (материальных точек) друг на друга вводится понятие силы. Под действием сил тела либо изменяют скорость движения, т.е. приобретают ускорения (динамическое проявление сил), либо деформируются, т.е. изменяют свою форму и размеры (статическое проявление сил). Таким образом, сила - это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры. В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением (модулем), направлением в пространстве и точкой приложения.

Пример. Какого веса балласт F_x надо сбросить с равномерно спускающегося аэростата, чтобы он начал подниматься с той же скоростью? Вес аэростата с балластом Р=1600 кГ, подъемная сила аэростата F₁=1200 кГ. Силу сопротивления воздуха F₂ считать одинаковой при подъеме и при спуске.

Решение

Так как движение равномерное, то по первому закону Ньютона равнодействующая сила равна нулю, т.е. . При спуске аэростата (рис. 2.1, а) это уравнение принимает вид:

Когда балласт сброшен и аэростат начнет подниматься (рис. 2.1, б), получим уравнение следующего вида:

Решая оба уравнения совместно, найдем вес балласта:

откуда 3200 кГ-2400 кГ=800 кГ=7,85·10³ Н.

2.2. Второй закон Ньютона.

Второй закон Ньютона - основной закон динамики поступательного движения - отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение материального объекта (точки, тела) под действием приложенных к нему сил.

В динамике рассматриваются два типа задач, решения которых находятся на основе второго закона Ньютона. Задачи первого типа состоят в том, чтобы, зная движение тела, определить действующие на него силы. Классическим примером решения такой задачи является открытие Ньютоном закона всемирного тяготения: зная установленные Кеплером на основании результатов наблюдений законы движений планет, Ньютон доказал, что это движение происходит под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния между планетой и Солнцем.

Задачи второго типа являются в динамике основными и состоят в том, чтобы по действующим на тело силам определить закон его движения (уравнение движения). Для решения этих задач необходимо знать начальные условия, т.е. положение и скорость тела в момент начала его движения под действием заданных сил. Примерами таких задач являются следующие: а) по величине и направлению скорости снаряда в момент его вылета из канала ствола и действующим на снаряд при его движении силе тяжести и силе сопротивления воздуха найти закон движения снаряда, в частности его траекторию, горизонтальную дальность полета, время движения до цели; б) по известным скорости автомобиля в момент начала торможения и силе торможения найти время движения и путь до остановки.

Второй закон Ньютона формулируется следующим образом: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), прямо пропорционально действующей силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела): (2.3)

где - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц.

В Международной системе (СИ) =1, поэтому (2.4)

Второй закон Ньютона обычно записывается в следующей форме:

или . (2.5)

Вектор называется импульсом или количеством движения. В отличие от ускорения и скорости, импульс является характеристикой движущегося тела, отражающей не только кинематическую меру движения (скорость), но и его важнейшее динамическое свойство - массу.

Таким образом, можно записать: (2.6)

Выражение (2.6) является более общей формулировкой второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе.

Это уравнение называется уравнением движения материальной точки.

Единица силы в системе СИ - ньютон (Н):

1 Н - это сила, которая телу массой в 1 кг сообщает ускорение 1 м/с² в направлении действия силы:

1 Н = 1 кг·1 м/с².

При действии на материальную точку нескольких сил справедлив принцип независимости действия сил: если на материальную точку действуют одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение, определяемое вторым законом Ньютона так, как если бы других сил не было:

где сила называется равнодействующей сил или результирующей силой.

Таким образом, если на тело действует одновременно несколько сил, то, согласно принципу независимости действия сил, под силой во втором законе Ньютона понимают результирующую силу.

Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета. Первый закон Ньютона можно получить из второго закона: в случае равенства нулю равнодействующей силы ускорение также равно нулю, т.е. тело находится в покое или движется равномерно.

2.3. Третий закон Ньютона.

Воздействие тел (материальных точек) друг на друга всегда является взаимным и определяется третьим законом Ньютона (законом о равенстве действия и противодействия): действия двух тел друг на друга всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти тела:

(2.7)

где - сила, действующая на первое тело со стороны второго; - сила, действующая на второе тело со стороны первого.

Необходимо помнить, что силы и приложены к разным телам (материальным точкам) и поэтому не уравновешивают друг друга; они действуют парами и являются силами одной природы.

Примеры, иллюстрирующие третий закон Ньютона:

1) Человек прыгает с лодки на берег. Он толкает лодку назад с силой , а сам испытывает со стороны лодки силу , направленную в сторону, противоположную направлению . Поэтому человек и лодка движутся в прямо противоположных направлениях.

2) Камень массой m падает с обрыва на Землю с ускорением g. Он притягивается к Земле с такой же по величине силой, что и Земля к камню. Просто мы не замечаем движения Земли, т.к. ее масса М во много раз превышает массу m камня, следовательно, ускорение , с которым движется Земля, ничтожно мало по сравнению с ускорением g. В самом деле, с учетом второго закона Ньютона уравнение (2.7) запишется в виде: откуда

Заменим в уравнении (2.7) силы и согласно формуле (2.5):

; .

Тогда , или . (2.8)

Следовательно, при механическом взаимодействии двух тел изменения их импульсов численно равно и противоположны по направлению.

Третий закон Ньютона позволяет осуществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек. Это следует из того, что и для системы материальных точек взаимодействие сводится к силам парного взаимодействия между материальными точками.

2.4. Закон сохранения импульса.

План

1. Понятие механической системы.

2. Закон сохранения импульса.

3. Центра масс, закон (теорема) движения центра масс.

1. Понятие механической системы.

Из второго и третьего законов Ньютона вытекает закон сохранения импульса замкнутой системы.

Совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое, называется механической системой. Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называются внутренними. Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними. Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы (они взаимно уравновешиваются), называется замкнутой или изолированной. В такой системе необходимо учитывать только силы взаимодействия между входящими в нее телами (внутренние силы). Строго говоря, изолированных механических систем в природе не существует.

Рассмотрим изолированную механическую систему, состоящую из n тел с массами m₁, m₂,…, m_n. Обозначим скорости этих тел через а внутреннюю силу, действующую на i-е тело со стороны k-го, - через .

На основании второго закона Ньютона можно составить следующую систему уравнений движения всех тел системы:

Складывая почленно эти уравнения и группируя силы и , получим:

.

Согласно третьему закону Ньютона =-, поэтому все скобки в правой части этого уравнения равны нулю, т.е. или .

2. Закон сохранения импульса.

Векторная сумма представляет собой импульс всей системы. Таким образом, или const. (2.9)

Выражение (2.9) представляет собой закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы тел с течением времени не изменяется.

Закон сохранения импульса справедлив не только в классической механике; он выполняется и для замкнутых систем микрочастиц, т.е. действует и в квантовой механике. Другими словами, этот закон носит универсальный характер и является фундаментальным законом природы.

Закон сохранения импульса является следствием однородности пространства: при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы движения не изменяются, т.е. не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета.

3. Центра масс, закон (теорема) движения центра масс.

В классической механике из-за независимости массы от скорости импульс системы можно выразить через скорость ее центра масс.

Скорость i-й материальной точки связана с ее радиусом-вектором соотношением: Следовательно, .

Центром масс или центром инерции системы материальных точек называется воображаемая тоска С, положение которой характеризует распределение массы этой системы. Ее радиус-вектор равен где масса системы.

Скорость центра масс определяется выражением:

т.е. . (2.10)

Другими словами, импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра инерции.

Подставив выражение (2.10) в (2.9), получим:

т.е. в изолированной механической системе центр масс находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.

Если система незамкнутая (на нее действуют помимо внутренних и внешние силы), то выражение (2.9) с учетом (2.10) запишется следующим образом: ,

или (2.11)

где ускорение центра масс.

Из (2.11) вытекает закон (теорема) движения центра масс: центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе.

2.5. Уравнение движения тела переменной массы.

План

1. Уравнение И.В. Мещерского.

2. Формула К.Э. Циолковского.

1. Уравнение И.В. Мещерского.

Получим уравнение движения тела переменной массы (например, движение ракеты сопровождается уменьшением ее массы за счет истечения газов, образующихся от сгорания топлива).

Пусть в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость ; тогда по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной m-dm, а скорость увеличится до величины Изменение импульса системы за время dt будет равно:

где - скорость истечения газов относительно ракеты. Раскрывая скобки в этом выражении, получим:

Если на систему действуют внешние силы, то т.е. или Тогда или (2.12)

где член называют реактивной силой . Если вектор противоположен , то ракета ускоряется, а если совпадает с , то тормозится.

Таким образом, уравнение движения тела переменной массы имеет следующий вид: (2.13)

Уравнение (2.13) называется уравнением И.В. Мещерского.

2. Формула К.Э. Циолковского.

Применим уравнение (2.12) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Тогда, полагая и считая, что ракета движется прямолинейно (скорость истечения газов постоянна), получим:

Откуда или

где С - постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий. Если в начальный момент времени , а стартовая масса ракеты составляет m₀, то . Следовательно, (2.14)

Полученное соотношение называют формулой К.Э. Циолковского. Из выражения (2.14) следуют следующие практические выводы:

а) чем больше конечная масса ракеты m, тем больше должна быть стартовая масса m₀;

б) чем больше скорость истечения газов u, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.

Уравнения Мещерского и Циолковского справедливы для случаев, когда скорости и намного меньше скорости света с.

Краткие выводы

• Динамика - раздел механики, предметом изучения которого являются законы движения тел и причины, которые вызывают или изменяют это движение.

• В основе динамики материальной точки и поступательного движения твердого тела лежат законы Ньютона. Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета и формулируется следующим образом: существуют такие системы отсчета, относительно которых поступательно движущиеся тела сохраняют свою скорость постоянной, если на них не действуют другие тела или действие других тел компенсируется.

• Инерциальной называется система отсчета, относительно которой свободная материальная точка, на которую не действуют другие тела, движется равномерно и прямолинейно, или по инерции. Система отсчета, движущаяся относительно инерциальной системы отсчета с ускорением, называется неинерциальной.

• Свойство любого тела оказывать сопротивление изменению его скорости называется инертностью. Мерой инертности тела при его поступательном движении является масса.

• Сила - это векторная физическая величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

• Второй закон Ньютона формулируется следующим образом: ускорение, приобретаемое телом (материальной точкой), пропорционально равнодействующей приложенных сил, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе тела: , или

Более общая формулировка второго закона Ньютона гласит: скорость изменения импульса тела (материальной точки) равна равнодействующей приложенных сил: где - импульс тела. Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета.

• Всякое действие материальных точек (тел) друг на друга взаимно. Силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль соединяющей точки прямой (третий закон Ньютона):

Эти силы приложены к разным точкам, действуют парами и являются силами одной природы.

• В замкнутой механической системе выполняется фундаментальный закон природы - закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы материальных точек (тел) с течением времени не изменяется: const, где n - число материальных точек в системе. Замкнутой (изолированной) называется механическая система, на которую не действуют внешние силы.

• Закон сохранения импульса является следствием однородности пространства: при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства не изменяются.

Вопросы для самоконтроля и повторения

1. Какие системы отсчета называются инерциальными? Почему система отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальная?

2. Какое свойство тела называется инертностью? Что является мерой инертности тела при его поступательном движении?

3. Что такое сила, чем она характеризуется?

4. Какие основные задачи решает ньютоновская динамика?

5. Сформулируйте законы Ньютона. Является ли первый закон Ньютона следствием второго закона?

6. В чем заключается принцип независимости действия сил?

7. Что называется механической системой? Какие системы являются замкнутыми (изолированными)?

8. Сформулируйте закон сохранения импульса. В каких системах он выполняется?

9. Каким свойством пространства обусловлена справедливость закона сохранения импульса?

10. Выведите уравнение движения тела переменной массы. Какие практические выводы позволяет сделать формула Циолковского?

Примеры решения задач

Задача 1. Грузы одинаковой массы (m₁=m₂=0,5 кг) соединены нитью и перекинуты через невесомый блок, укрепленный на конце стола (рис. 2.2). Коэффициент трения груза m₂ о стол µ =0,15. Пренебрегая трением в блоке, определить: а) ускорение, с которым движутся грузы; б) силу натяжения нити.

Дано: m₁=m₂=0,5 кг; µ =0,15.

Найти: а, Т.

Решение

По второму закону Ньютона уравнения

движения грузов имеют вид:

, откуда

м/с²;

Н.

Ответ: а=4,17 м/с², Т=2,82 Н.

Задача 2. Снаряд массой 5 кг, вылетевший из орудия, в верхней точке траектории имеет скорость 300 м/с. В этой точке он разорвался на два осколка, причем больший осколок массой 3 кг полетел в обратном направлении со скоростью 100 м/с. Определить скорость второго, меньшего, осколка.

Дано: m=5 кг; v=300 м/с; m₁=3 кг; v₁=100 м/с.

Найти: v₂.

Решение

По закону сохранения импульса

где м/с.

Ответ: v₂=900 м/с.

Задачи для самостоятельного решения

1. Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону , где С=2 м/с², D=0,4 м/с³. Определить силу, действующую на тело в конце первой секунды движения.

2. К нити подвешен груз массой 500 г. Определить силу натяжения нити, если нить с грузом: а) поднимать с ускорением 2 м/с²; б) опускать с тем же ускорением.

3. На тело массой 10 кг, лежащее на наклонной плоскости (угол α равен 20⁰), действует горизонтально направленная сила 8 Н. Пренебрегая трением, определить: а) ускорение тела; б) силу, с которой тело давит на плоскость.

4. С вершины клина, длина которого 2 м и высота 1 м, начинает скользить небольшое тело. Коэффициент трения между телом и клином μ=0,15. Определить: а) ускорение, с которым движется тело; б) время прохождения тела вдоль клина; в) скорость тела у основания клина.

5. Два груза с неравными массами m₁ и m₂(m₁> m₂) подвешены на легкой нити, перекинутой через неподвижный блок. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая трением в оси блока, определить: а) ускорение грузов; б) силу натяжения нити.

6. Платформа с песком общей массой М=2 т стоит на рельсах на горизонтальном участке пути. В песок попадает снаряд массой m=8 кг и застревает в нем. Пренебрегая трением, определить, с какой скоростью будет двигаться платформа, если в момент попадания скорость снаряда 450 м/с, а ее направление - сверху вниз под углом 30⁰ к горизонту.

7. На железнодорожной платформе, движущейся по инерции со скоростью 3 км/ч, укреплено орудие. Масса платформы с орудием 10 т. Ствол орудия направлен в сторону движения платформы. Снаряд массой 10 кг вылетает из ствола под углом 60⁰ к горизонту. Определить скорость снаряда (относительно Земли), если после выстрела скорость платформы уменьшилась в 2 раза.

8. Человек массой 70 кг находится на корме лодки, длина которой 5 м и масса 280 кг. Человек переходит на нос лодки. На какое расстояние лодка передвинется по воде относительно дна?

9. Шарик массой 200 г ударился о стенку со скоростью 10 м/с и отскочил от нее с такой же скоростью. Определить импульс, полученный стенкой, если до удара шарик двигался под углом 30⁰ к плоскости стенки.

10. Два шарика массами 2 и 4 кг двигаются со скоростями соответственно 5 и 7 м/с. Определить скорости шаров после прямого неупругого удара в случаях: а) больший шар догоняет меньший; б) шары двигаются навстречу друг другу.

ГЛАВА 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

3.1. Энергия, работа, мощность.

План

1. Энергия и работа.

2. Мощность.

1. Энергия и работа.

Единая мера различных форм движения материи называется энергией. Энергия системы материальных тел характеризует эту систему с точки зрения возможных в ней количественных и качественных превращений движения. Эти превращения обусловлены как взаимодействием тел системы между собой, так и с внешними по отношению с системе телами.

Движение является неотъемлемым свойством материи. Поэтому всякое тело обладает энергией, являющейся мерой его движения. Для количественной характеристики качественно различных форм движения, изучаемых в физике, вводятся соответствующие им виды или формы энергии - механическая, внутренняя, электромагнитная и другие.

Причиной изменения состояния механического движения тела, а, следовательно, и его энергии, является взаимодействие тела с другими телами. Для характеристики воздействия этих тел на рассматриваемое тело в механике введено понятие силы. Поэтому можно говорить, что изменение движения и энергии вызывается силами. Процесс изменения энергии тела под действием силы называется процессом свершения работы, а приращение энергии тела в этом процессе называется работой, совершенной силой. Опыт показывает, что сила, приложенная к телу, совершает работу только тогда, если тело при этом перемещается.

Из курса физики средней школы известно, что при прямолинейном поступательном движении тела работа, совершаемая постоянной силой , тем больше, чем больше составляющая силы , касательная к траектории и чем больше путь s, пройденный телом за время действия силы:

(3.1)

В общем случае сила может изменяться как по величине, так и по направлению, поэтому формула (3.1) является лишь одним из частных случаев. Однако если рассматривать достаточно малое перемещение, то движение материальной точки можно считать прямолинейным, а силу - постоянной. Поэтому элементарная работа, совершаемая силой на перемещении равна:

(3.1')

Работа, совершаемая силой на конечном пути s (путь 1-2 на рис. 3.2), равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках: (3.2)

Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость . Очевидно, что работа, совершаемая силой на пути 0-s, численно измеряется площадью, заштрихованной на рис. 3.3. Если сила не зависит от s (const), то .

Из выражения (3.1') следует, что сила, действующая на тело, не совершает работы, если:

а) тело покоится (ds=0);

б) сила перпендикулярна к направлению перемещения тела ().

Если угол , то работа силы положительна (составляю-щая совпадает по направлению с вектором скорости ), поэтому в данном случае силу называют движущей силой. Если угол , то работа силы отри-цательна ( и противоположны по направлению) и силу называют силой сопротивления (например, сила трения).

Единица работы - джоуль (Дж): 1 Дж - это работа, совершаемая силой в 1 Н на пути в 1 м: 1 Дж = 1 Н·м.

Если на тело, движущееся поступательно, одновременно действует несколько сил (рис. 3.4), то работа равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ составляющих сил:

Если работа, совершаемая силой при перемещении точки из одного произвольного положения 1 в другое произвольное положение 2 (рис. 3.5), не зависит от траектории перемещения, т.е. выполняется условие

А_1-2 = А_1-а-2 = А_1-b-2 ,

то такая сила называется консервативной (или

потенциальной).

Из уравнения (3.2) следует, что изменение направления движения вдоль траектории на противоположное вызывает изменение знака работы (cos меняет свой знак). Поэтому при перемещении материальной точки вдоль замкнутой траектории L, например, 1-a-2-b-1, работа консервативной силы тождественно равна нулю:

(3.3)

Примерами консервативных сил являются силы всемирного тяготения, силы упругости, силы электростатического взаимодействия.

Все силы, не удовлетворяющие условию (3.3) (т.е. работа этих сил зависит от траектории перемещения точки), называются неконсервативными или диссипативными. Примером таких сил являются силы трения, которые всегда направлены в сторону, противоположную направлению движения (). Поэтому работа сил трения при перемещении материальной точки вдоль замкнутой траектории всегда отрицательна и никогда не равна нулю.

2. Мощность.

Для характеристики скорости совершения работы силой , вводится понятие мощности, численно равной работе, совершаемой силой за единицу времени:

(3.4)

Подставляя в (3.4) выражение (3.1′) для элементарной работы, получим:

(3.5)

Следовательно, мощность (мгновенная мощность) силы равна произведению касательной составляющей силы и скорости движения, т.е. скалярному произведению векторов силы и скорости.

Если P≠const, то пользуются понятием средней мощности за некоторый промежуток времени t, в течение которого сила совершила работу А:

(3.6)

Единица мощности - ватт (Вт): 1 Вт - мощность, при которой за время 1 с совершается работа 1 Дж: 1 Вт = 1 Дж/с.

3.2. Виды механической энергии.

План

1. Кинетическая энергия.

2. Потенциальная энергия.

3. Полная механическая энергия.

1. Кинетическая энергия.

В механике различают два вида энергии: кинетическую и потенциальную. Кинетической энергией называют механическую энергию всякого свободно движущегося тела и измеряют ее той работой, которую могло бы совершить тело при его торможении до полной остановки.

Пусть тело В, движущееся со скоростью , начинает взаимодействовать с другим телом С и при этом тормозится. Следовательно, тело В действует на тело С с некоторой силой и на элементарном участке пути ds совершает работу

По третьему закону Ньютона на тело В одновременно действует сила , касательная составляющая которой вызывает изменение численного значения скорости тела. Согласно второму закону Ньютона

Следовательно,

Работа, совершаемая телом до полной его остановки равна:

Итак, кинетическая энергия поступательно движущегося тела равна половине произведения массы этого тела на квадрат его скорости: (3.7)

Из формулы (3.7) видно, что кинетическая энергия тела не может быть отрицательной ().

Если система состоит из n поступательно движущихся тел, то для ее остановки необходимо затормозить каждое из этих тел. Поэтому полная кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в нее тел:

(3.8)

Из формулы (3.8) видно, что Е_k зависит только от величины масс и скоростей движения, входящих в нее тел. При этом неважно, каким образом тело массой m_i приобрело скорость . Другими словами, кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения.

Скорости существенно зависят от выбора системы отсчета. При выводе формул (3.7) и (3.8) предполагалось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, т.к. иначе нельзя было бы использовать законы Ньютона. Однако, в разных инерциальных системах отсчета, движущихся относительно друг друга, скорость i-го тела системы, а, следовательно, его и кинетическая энергия всей системы будут неодинаковы. Таким образом, кинетическая энергия системы зависит от выбора системы отсчета, т.е. является величиной относительной.

2. Потенциальная энергия.

Потенциальная энергия - это механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Численно потенциальная энергия системы в данном ее положении равна работе, которую произведут действующие на систему силы при перемещении системы из этого положения в то, где потенциальная энергия условно принимается равной нулю (Е_п = 0). Понятие «потенциальная энергия» имеет место только для консервативных систем, т.е. систем, у которых работа действующих сил зависит только от начального и конечного положения системы. Так, для груза весом P, поднятого на высоту h, потенциальная энергия будет равна (Е_п = 0 при h = 0); для груза, прикрепленного к пружине, , где - удлинение (сжатие) пружины, k - ее коэффициент жесткости (Е_п = 0 при l = 0); для двух частиц с массами m₁и m₂, притягивающимися по закону всемирного тяготения, , где γ - гравитационная постоянная, r - расстояние между частицами (Е_п = 0 при ).

Рассмотрим потенциальную энергию системы Земля - тело массой m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли. Уменьшение потенциальной энергии такой системы измеряется работой сил тяготения, совершаемой при свободном падении тела на Землю. Если тело падает по вертикали, то

где Е_no - потенциальная энергия системы при h = 0 (знак «-» показывает, что работа совершается за счет убыли потенциальной энергии).

Если это же тело падает по наклонной плоскости длиной l и с углом наклона к вертикали (, то работа сил тяготения равна прежней величине:

Если, наконец, тело движется по произвольной криволинейной траектории, то можно представить себе эту кривую состоящей из n малых прямолинейных участков . Работа силы тяготения на каждом из таких участков равна

На всем криволинейном пути работа сил тяготения, очевидно, равна:

Итак, работа сил тяготения зависит только от разности высот начальной и конечной точек пути.

Таким образом, тело в потенциальном (консервативном) поле сил обладает потенциальной энергией. При бесконечно малом изменении конфигурации системы работа консервативных сил равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии:

В свою очередь работа dA выражается как скалярное произведение силы на перемещение , поэтому последнее выражение можно записать следующим образом:

(3.9)

Следовательно, если известна функция Е_п(r), то из выражения (3.9) можно найти силу по модулю и направлению.

Для консервативных сил , , ,

или в векторном виде grad П,

где grad П (3.10)

Вектор, определяемый выражением (3.10), называется градиентом скалярной функции П; - единичные векторы координатных осей (орты).

Конкретный вид функции П (в нашем случае Е_п) зависит от характера силового поля (гравитационное, электростатическое и т.п.), что и было показано выше.

3. Полная механическая энергия.

Полная механическая энергия W системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергий:

Из определения потенциальной энергии системы и рассмотренных примеров видно, что эта энергия, подобно кинетической энергии, является функцией состояния системы: она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам. Следовательно, полная механическая энергия системы также является функцией состояния системы, т.е. зависит только от положения и скоростей всех тел системы.

3.3. Закон сохранения энергии в механике.

План

1. Закон сохранения и превращения энергии.

2. Консервативные и диссипативные системы.

3. Потенциальная кривая. Потенциальный барьер.

4. Абсолютно упругий и абсолютно неупругий удар.

1. Закон сохранения и превращения энергии.

Путь к правильному пониманию переходов движения из одной формы в другую был намечен М.В. Ломоносовым, который сформулировал закон сохранения массы вещества при химических превращениях и закон сохранения материи и движения. Количественную формулировку закона сохранения и превращения энергии дали немецкие ученые Ю. Майер и Г. Гельмгольц (XIX в.): в замкнутой системе энергия может переходить из одних видов в другие и передаваться от одного тела к другому, но ее общее количество остается неизменным.

Закон сохранения и превращения энергии является одним из фундаментальных законов природы, справедливым как для систем макроскопических тел, так и для систем элементарных частиц. Он является выражением вечности и неуничтожимости движения в природе, которое лишь переходит из одной формы в другую.

В замкнутой системе тел, силы взаимодействия между которыми консервативны (потенциальны), отсутствуют взаимные превращения механической энергии в другие виды энергии. Такие системы называются замкнутыми консервативными и для них справедлив закон сохранения энергии в механике: механическая энергия замкнутой консервативной системы не изменяется в процессе ее движения:

const. (3.11)

Для вывода этого закона рассмотрим систему материальных точек максами m₁, m₂, … , m_n, движущихся со скоростями . Пусть - равнодействующие внутренних консервативных сил, действующие на каждую из этих точек, а - равнодействующие внешних сил, которые также будем считать консервативными. Кроме того, будем считать, что на материальные точки действует еще и внешние неконсервативные силы; равнодействующие этих сил, действующих на каждую из материальных точек, обозначим При массы материальных точек постоянны и уравнения движения этих точек по второму закону Ньютона имеют следующий вид: (3.12)

Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени dt совершают перемещения . Умножим каждое уравнение системы (3.12) на соответствующее перемещение:

Учитывая, что , получим:

Складывая эти уравнения, получим:

(3.13)

Первый член левой части (3.13) представляет собой приращение кинетической энергии системы:

Второй член равен элементарной работе внутренних и внешних консервативных сил, т.е. равен элементарному приращению потенциальной энергии dE_к.

Правая часть уравнения (3.13) задает работу внешних неконсервативных сил, действующих на систему. Таким образом, имеем: (3.14)

При переходе системы из состояния 1 в какое-либо состояние 2

т.е изменение полной механической энергии системы при переходе из одного состояния в другое равно работе, совершенной при этом внешними неконсервативными силами. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то из (3.14) следует, что

откуда const, что и требовалось доказать.

Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени, т.е. инвариантностью физических законов относительно выбора начала отсчета времени.

2. Консервативные и диссипативные системы.

Механические системы, на тела которых действуют только консервативные силы (внутренние и внешние), называются консервативными системами. Системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие виды энергии, называются диссипативными (диссипация - рассеяние энергии). Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными и в них закон сохранения механической энергии нарушается. Однако при изменении механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом состоит физическая сущность закона сохранения и превращения энергии - сущность неуничтожимости материи и ее движения.

3. Потенциальная кривая. Потенциальный барьер.

Во многих задачах рассматривается одномерное движение тела, потенциальная энергия которого является функцией лишь одной переменной (например, координаты х), т.е. Е_п = f(х). График зависимости потенциальной энергии от некоторого аргумента называется потенциальной кривой, анализ которой позволяет определить характер движения тела.

В общем случае потен-циальная кривая может иметь достаточно сложный вид, например с несколь-кими максимумами и мини-мумами (рис. 3.6).

Проанализируем эту по-тенциальную кривую в предположении, что система консервативна и в ней вы-полняется закон сохранения энергии в форме (3.11). Если W- заданная полная энергия тела, то тело может нахо-диться только там, где Е_п(х) ≤W, т.е. в областях I и III. Переходить из области I в область III и обратно тело не может, так как ему препятствует потенциальный барьер CDG, ширина которого равна интервалу значений х, при которых Е_п >W, а его высота определяется разностью Е_пmax-W. Для того чтобы тело смогло преодолеть потенциальный барьер, ему необходимо сообщить дополнительную энергию, равную высоте барьера или превышающую ее. В области I тело с полной энергией W оказывается «запертым» в потенциальной яме ABC и совершает колебания между точками с координатами х_А и х_С.

В точке В с координатой х_О потенциальная энергия тела минимальна. Так как действующая на тело сила , а условие минимума потенциальной энергии , то в точке В F_x=0. При смещении тела из положения х_О в результате малых возмущений в системе оно испытывает действие возвращающей силы, поэтому положение х_О является положением устойчивого равновесия. Указанные условия выполняются и для точки х^* (для Е_пmax). Однако эта точка соответствует положению неустойчивого равновесия, так как при малых возмущениях в системе появляется сила, стремящаяся удалить тело от этого положения. Таким образом, в состоянии устойчивого равновесия замкнутой консервативной системы ее потенциальная энергия имеет минимальное значение, а в состоянии неустойчивого равновесия - максимальное значение.

4. Абсолютно упругий и абсолютно неупругий удар.

Рассмотрим применение закона сохранения энергии в механике к расчету абсолютно упругого прямого центрального удара двух шаров. Абсолютно упругим называется такой удар, в результате которого не происходит превращения механической энергии системы соударяющихся тел в другие виды энергии.

Пусть два абсолютно упругих шара массами m₁ и m₂ до удара движутся поступательно со скоростями и , направленными в одну сторону вдоль линии их центров, причем (рис. 3.7, а). Требуется найти скорости шаров и после их соударения (рис. 3.7, б).

По закону сохранения энергии в механике имеем:

(3.15)

Шары движутся в горизонтальной плоскости, поэтому их потенциальная энергия в поле тяготения Земли при ударе не изменяется, т.е.

Тогда из уравнения (3.15) получаем: (3.16)

С другой стороны, по закону сохранения импульса

(3.17)

При центральном ударе векторы скоростей , , и направлены вдоль одной прямой. Поэтому в уравнении (3.17) можно перейти от векторов к их модулям:

(3.18)

Решая совместно уравнения (3.16) и (3.18), получим:

(3.19)

Анализ уравнений (3.19) позволяет сделать следующие выводы:

1) Если массы шаров одинаковы (m₁=m₂=m), то и , т.е. при ударе шары обмениваются скоростями;

2) если масса второго шара m₂>>m₁, то

Если при этом второй шар был до удара неподвижен (), то , т.е. первый шар отскакивает от неподвижного массивного шара и движется в обратную сторону со скоростью .

Как отмечалось, система тел называется диссипативной, если ее механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. В качестве примера рассмотрим диссипацию энергии при абсолютно неупругом прямом центральном ударе двух поступательно движущихся шаров (удар называется абсолютно неупругим, если после удара тела движутся как одно целое, т.е. с одной и той же скоростью).

Общая скорость обоих шаров после удара по закону сохранения импульса равна:

(3.20)

Если шары движутся в горизонтальной плоскости, то их потенциальная энергия Е_n остается неизменной. Полная механическая энергия системы до удара

После удара она будет равна , или, с учетом (3.20):

Найдем изменение полной механической энергии системы в результате неупругого удара:

Таким образом, при неупругом ударе полная механическая энергия системы уменьшается, т.е. часть ее рассеивается на деформацию соударяющихся тел. На деформацию тел затрачивается работа, равная убыли полной механической энергии системы:

Если второе тело до удара было неподвижно (), то

(3.21)

Неупругий удар на практике применяется для целей двоякого рода. Во-первых, для изменения формы тела - ковки и штамповки металла, раздробления тел. В этом случае важно, чтобы возможно большая часть кинетической энергии первого тела затрачивалась на работу деформации (формула (3.21)), т.е. чтобы масса неподвижного тела m₂ (например, наковальни вместе с куском металла) была во много раз больше массы ударяющего тела m₁ (например, молота).

Вторая цель состоит в перемещении тел после удара и преодолении при этом сопротивлений (забивка свай в землю, вбивание клиньев и т.п.). В этом случае выгодно, чтобы работа, затрачиваемая на деформацию, была как можно меньше и чтобы общая кинетическая энергия обоих тел после удара () была наибольшей. Для этого необходимо, чтобы масса ударяющего тела m₁(молота) была во много раз больше массы второго тела m₂ (сваи, гвоздя).

Краткие выводы

• Энергия - универсальная мера различных форм движения материальных объектов и их взаимодействия. Количественной характеристикой процесса обмена энергией между взаимодействующими телами является физическая скалярная величина - работа сил.

Элементарная работа силы

Работа силы на произвольном участке траектории 1-2

• Мощность - физическая скалярная величина, характеризующая скорость совершения работы:

Мощность, развиваемая силой в данный момент времени, равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы:

• Консервативная сила - сила, работа которой при перемещении из одного положения в другое не зависит от траектории перемещения, а зависит только от начального и конечного положений тела. Силовое поле, в котором консервативные силы совершают работу, называется потенциальным полем.

• Кинетическая энергия - механическая энергия всякого свободно движущегося тела, численно равная работе, которую совершают действующие на тело силы при его торможении до полной остановки:

• Потенциальная энергия - это механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

• Связь между консервативной силой и потенциальной энергией устанавливается выражением gradЕ_п, где gradЕ_п =

Отсюда, как частные случаи, определяются: а) потенциальная энергия тела массой m на высоте h

б) потенциальная энергия упругодеформированного тела

где k - коэффициент упругости (для пружины - жесткость).

• Полная энергия механической системы - равна сумме кинетической и потенциальной энергий:

• Механические системы, на тела которых действуют только консервативные силы (внутренние и внешние) называются консервативными системами. В таких системах выполняется закон сохранения механической энергии:

const,

т.е. полная механическая энергия консервативной системы со временем не изменяется. Это фундаментальный закон природы, ко торый является следствием однородности времени.

• Система, в которой механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие формы энергии, называется диссипативной. Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными. Однако при уменьшении механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Другими словами, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом заключается физическая сущность всеобщего закона сохранения и превращения энергии - неуничтожимость материи и ее движения.

Вопросы для самоконтроля и повторения

1. Что такое энергия, работа, мощность?

2. Как определяется работа переменной силы?

3. Какие силы называются консервативными? Приведите примеры консервативных сил.

4. Какие силы называются диссипативными? Приведите примеры таких сил.

5. Дайте определения кинетической и потенциальной энергии.

6. В чем заключается закон сохранения механической энергии? Для каких систем он выполняется?

7. Каким свойством времени обусловлена справедливость закона сохранения механической энергии?

8. В чем физическая сущность закона сохранения и превращения энергии? Почему он является фундаментальным законом природы?

9. Как на основе закона сохранения механической энергии охарактеризовать положения устойчивого и неустойчивого равновесия консервативной системы?

10. Что такое потенциальная яма? потенциальный барьер?

Примеры решения задач

Задача 1. С башни высотой 20 м горизонтально со скоростью 10 м/с брошен камень массой 400 г (рис. 3.8). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить кинетическую и потенциальную энергию камня через 1 с после начала движения.

Дано: H = 20 м; v₀= 10 м/с; m = 0,4 кг; t = 1c.

Найти: E_k, E_п.

Решение

В точке А где

Подставляя числовые данные, получим E_k= 39,2 Дж, E_п = 59,2 Дж.

Ответ: E_k= 39,2 Дж, E_п = 59,2 Дж.

Задача 2. Автомобиль массой 1,8 т движется в гору, уклон которой составляет 3 м на каждые 100 м пути (рис. 3.9). Определить: а) работу, совершаемую двигателем автомобиля на пути 5 км, если коэффициент трения равен 0,1; б) развиваемую двигателем мощность, если известно, что этот путь был преодолен за 5 мин.

Дано: m = 1800 кг; sinα = 0,03; s = 5000 м; μ = 0,1; t = 300 с.

Найти: А, Р.

Решение

где

Подставляя числовые данные, получим:А = 11,5·10⁶ Дж, Р = 38,3·10³ Вт.

Ответ: А = 11,5 МДж, Р = 38,3·кВт.

Задачи для самостоятельного решения

1. Тело массой 5 кг поднимают с ускорением 2 м/с². Определить работу силы в течение первых пяти секунд.

2. Определить работу, совершаемую при подъеме груза массой 50 кг по наклонной плоскости с углом наклона 30⁰ к горизонту на расстояние 4 м, если время подъема составляет 2 с, а коэффициент трения 0,06.

3. С башни высотой 35 м горизонтально брошен камень массой 0,3 кг. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить: а) скорость, с которой брошен камень, если через 1 с после начала движения его кинетическая энергия равна 60 Дж; б) потенциальную энергию камня через 1 с после начала движения.

4. Пуля массой 10 г, летевшая горизонтально со скоростью 500 м/с, попадает в баллистический маятник длиной 1 м и массой 5 кг и застревает в нем. Определить угол отклонения маятника.

5. Тело скользит с наклонной плоскости высотой h и углом наклона α к горизонту и движется далее по горизонтальному участку. Принимая коэффициент трения на всем пути постоянным и равным µ, определить расстояние s, пройденное телом на горизонтальном участке, до полной остановки.

6. Автомобиль массой 1,8 т спускается при выключенном двигателе с постоянной скоростью 54 км/ч по наклонной плоскости (угол к горизонту 3⁰). Определить, какой должна быть мощность двигателя автомобиля, чтобы он смог подняться на такой же подъем с той же скоростью.

7. Камень массой 0,2 кг бросили под углом 60⁰ к горизонту со скоростью 15 м/с. Найти кинетическую, потенциальную и полную энергию камня: а) спустя 1 с после начала движения; б) в высшей точке траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.

8. Тело массой 5 кг падает с высоты 20 м. Определить полную энергию тела в точке, находящейся от поверхности Земли на высоте 5 м. Трением тела о воздух пренебречь. Сравнить эту энергию с первоначальной энергией тела.

9. Тело, падая с некоторой высоты, в момент соприкосновения с Землей обладает импульсом 100 кг·м/с и кинетической энергией 500 Дж. Определить: а) с какой высоты тело падало; б) массу тела.

10. Тело брошено под углом 45⁰ к горизонту со скоростью v₀ =15 м/с. Используя закон сохранения энергии, определить скорость тела в высшей точке его траектории.

ГЛАВА 4. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

ТВЕРДОГО ТЕЛА

4.1. Характеристики динамики вращательного движения.

План

1. Момент импульса. Момент количества движения.

2. Момент силы.

3. Момент инерции. Теорема Штейнера.

1. Момент импульса. Момент количества движения.

Всякое твердое тело можно рассматривать как систему из n материальных точек и масса m тела есть сумма масс всех этих точек:

Будем считать, что тело абсолютно твердое, т.е. расстояния между любыми двумя его материальными точками не изменяются в процессе движения.

Рассмотрим движение твердого тела, закрепленного о одной неподвижной точке О, вокруг которой тело может свободно вращаться. Эта точка называется центром вращения тела. Совместим с этой точкой начало неподвижной системы координат. Тогда положение в пространстве i-точки тела определяется радиусом-вектором , проведенным из центра О в эту точку (рис. 4.1).

Обозначим через силу, действующую на i-ю точку тела со стороны k-ой его точки, и через - равнодействующую всех внешних сил, приложенных к i-й точке. По второму закону Ньютона уравнение движения этой материальной точки имеет следующий вид:

(k≠i, т.к. i-я точка сама на себя не действует).

Умножим обе части этого уравнения векторно на :

(4.1)

Векторное произведение радиуса-вектора материальной точки на ее импульс называется моментом импульса этой материальной точки относительно точки О:

. (4.2)

Вектор называют также моментом количества движения материальной точки. Он направлен перпендикулярно к плоскости, проведенной через векторы и , и образует с ними правую тройку векторов: при наблюдении из конца видно, что вращение от к по кратчайшему расстоянию происходит против часовой стрелки.

2. Момент силы.

Векторное произведение радиуса-вектора , проведенного из центра О в точку приложения внешней силы (рис. 4.2), на эту силу, называется моментом силы относительно точки О: (4.3)

Векторы , и также образуют правую тройку. Модуль момента силы, как следует из рисунка, равен:

где l_i - плечо силы , т.е. длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы.

3. Момент инерции. Теорема Штейнера.

Моментом инерции тела относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек тела на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси: (4.4)

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в данном случае есть функция положения точки с координатами x, y, z.

Неподвижная ось вращения z может проходить как через центр инерции тела (ось вращения маховика, ротора турбины и т.п.), так и вне его (например, ось вращения самолета, выполняющего мертвую петлю). Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс (инерции), то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера (теоремой о переносе осей инерции): момент инерции тела J_z относительно произвольной оси вращения z равен сумме момента инерции тела относительно оси ОО₁, проведенной через центр инерции С тела параллельно оси z и произведения массы тела на квадрат расстояния между этими осями (рис. 4.3):

(4.5)

Таким образом, с удалением центра инерции тела от его оси вращения момент инерции тела относительно этой оси возрастает. Из формул (4.4) и (4.5) видно, что момент инерции тела зависит не только от его массы, но и от ее распределения относительно оси вращения.

В табл. 4.1 приведены значения моментов инерции для некоторых однородных тел.

Таблица 4.1

Тело

Положение оси вращения

Момент инерции

Полый тонкостенный цилиндр радиуса R

Ось симметрии

Сплошной цилиндр или диск радиуса R

То же

Прямой тонкий стержень длиной l

Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину

Прямой тонкий стержень длиной l

Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец

Шар радиусом R

Ось проходит через центр шара

4.2. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

Выведем уравнение динамики вращательного движения тела. Из выражений (4.1), (4.2) и (4.3) следует, что скорость изменения момента импульса i-й материальной точки определяется следующим образом: (4.6)

Сложим почленно уравнения (4.6), записанные для каждой из материальных точек тела: (4.7)

Векторная сумма моментов всех внешних сил, приложенных к телу, называется результирующим, или главным, моментом внешних сил относительно точки О:

Векторная сумма моментов импульса всех материальных точек тела называется моментом импульса тела относительно точки О:

Так как производная от суммы равна сумме производных от всех слагаемых, то

Наконец, векторная сумма моментов относительно точки О всех внутренних сил взаимодействия между точками тела равна нулю, т.е.

так как по третьему закону Ньютона силы и численно равны, имеют общую линию действия, но направлены в противоположные стороны (рис. 4.4). Поэтому их моменты и относительно точки О численно равны и противоположны по направлению (на рис. 4.4 точки m_i, m_k и О лежат в горизонтальной плоскости, а векторы и перпендикулярны этой плоскости). Действительно, , где - вектор, проведенный из точки m_i в точку m_k. Поэтому так как векторное произведение векторов и , направленных вдоль одной прямой, равно нулю.

На основании изложенного уравнение (4.7) можно записать в следующем виде:

(4.8)

Таким образом, скорость изменения момента импульса тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, равна результирующему моменту относительно этой точки всех внешних сил, приложенных к телу.

Полученный результат называется основным законом динамики вращательного движения тела, закрепленного в одной неподвижной точке. Момент импульса является основной динамической характеристикой твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.

4.3. Кинетическая энергия и работа при вращении тела.

План

1. Кинетическая энергия при вращении тела.

2. Момент силы относительно неподвижной оси.

3. Работа при вращении тела.

1. Кинетическая энергия при вращении тела.

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. Если мысленно разбить это тело на n точек массами m₁, m₂, …, m_n , находящихся на расстояниях r₁, r₂, …, r_n от оси вращения, то при вращении они будут описывать окружности и двигаться с различными линейными скоростями v₁, v₂, …, v_n. Так как тело абсолютно твердое, то угловая скорость вращения точек будет одинакова:

Кинетическая энергия вращающегося тела есть сумма кинетических энергий его точек, т.е.

Учитывая связь между угловой и линейной скоростями, получим:

(4.9)

Сопоставление формулы (4.9) с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно со скоростью v, показывает, что момент инерции является мерой инертности тела во вращательном движении.

Если твердое тело движется поступательно со скоростью v и одновременно вращается с угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей через его центр инерции, то его кинетическая энергия определяется как сумма двух составляющих:

(4.10)

где v_c - скорость центра масс тела; J_c - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс.

2. Момент силы относительно неподвижной оси.

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина M_z, равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки 0 данной оси. Значение момента M_z не зависит от выбора положения точки 0 на оси z.

Если ось z совпадает с направлением вектора , то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:

3. Работа при вращении тела.

Найдем выражение для работы при вращении тела. Пусть сила приложена к точке В, находящейся от оси вращения на расстоянии r (рис. 4.6); α - угол между направлением силы и радиусом-вектором . Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела.

При повороте тела на бесконечно малый угол точка приложения В проходит путь , и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:

Учитывая, что можно запи-сать где M_z - момент силы отно-сительно оси вращения. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Работа при вращении тела идет на увели-чение его кинетической энергии: где Тогда , или Учитывая, что получим (4.11)

Уравнение (4.11) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

4.4. Закон сохранения момента импульса.

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина L_z, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки 0 данной оси. Значение момента импульса L_z не зависит от положения точки 0 на оси z.

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса с некоторой скоростью . Скорость и импульс перпендикулярны этому радиусу, т.е. радиус является плечом вектора . Поэтому можно записать, что момент импульса отдельной точки относительно оси z равен

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных его точек:

Учитывая связь между линейной и угловой скоростями (), получим следующее выражение для момента импульса тела относительно неподвижной оси:

(4.12)

т.е. момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцировав выражение (4.12) по времени, получим:

(4.13)

Это еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: скорость изменения момента импульса тела относительно неподвижной оси вращения равна результирующему моменту относительно этой оси всех внешних сил, действующих на тело.

Закон сохранения момента импульса вытекает из основного уравнения динамики вращательного движения тела, закрепленного в неподвижной точке (уравнение 4.8), и состоит в следующем:

если результирующий момент внешних сил относительно неподвижной точки тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой точки с течением времени не изменяется.

Действительно, если , то , откуда (4.14)

Другими словами, момент импульса замкнутой системы с течением времени не изменяется.

Из основного закона динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z (уравнение 4.13), следует закон сохранения момента импульса тела относительно оси:

если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тела тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой оси не изменяется в процессе движения, т.е. если M_z=0, то , откуда

(4.15)

Закон сохранения момента импульса является фундаментальным законом природы. Справедливость этого закона обусловливается свойством симметрии пространства - его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета.

Справедливость закона сохранения момента импульса относительно неподвижной оси вращения можно продемонстрировать на опыте со скамьей Жуковского. Скамьей Жуковского называется горизонтальная площадка, свободно вращающаяся без трения вокруг неподвижной вертикальной оси ОО₁. Человек, стоящий или сидящий на скамье, держит в вытянутых руках гимнастические гантели и приводится во вращение вместе со скамьей вокруг оси ОО₁ с угловой скоростью . Приближая гантели к себе, человек уменьшает момент инерции системы, а так как момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы сохраняется и угловая скорость ее вращения возрастает. Тогда по закону сохранения момента импульса относительно оси ОО₁ можно записать: (4.16)

где - момент инерции человека и скамьи; и - моменты инерции гантелей в первом и втором положениях; m - масса одной гантели; r₁, r₂ - расстояния от гантелей до оси ОО₁.

Изменение момента инерции системы связано с изменением ее кинетической энергии:

Используя выражение для , полученное из (4.16) ,

после преобразований получим:

Это изменение кинетической энергии системы численно равно работе, совершенной человеком при перемещении гантелей.

В табл. 4.2 сопоставлены основные физические величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение.

Таблица 4.2

Поступательное движение

Вращательное движение

Масса m

Момент инерции J_z

Скорость

Угловая скорость

Ускорение

Угловое ускорение

Сила

Момент силы

Импульс

Момент импульса

Основное уравнение динамики:

Основное уравнение динамики:

Работа

Работа вращения

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия вращения

Краткие выводы

• Вращательным называется движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

• Момент инерции тела относительно оси вращения - это физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек тела на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

• Момент инерции тела J_z относительно любой оси вращения равен моменту его инерции J_c относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями:

• При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z его кинетическая энергия равна половине произведения момента инерции относительно оси вращения на квадрат угловой скорости:

• Из сравнения формул и следует, что момент инерции - мера инертности тела при вращательном движении.

• Работа вращения тела идет на увеличение его кинетической энергии и определяется выражением где M_z - момент сил относительно оси вращения z.

• Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z (аналог второго закона Ньютона) имеет вид: где L_z - момент импульса твердого тела относительно оси z.

• В замкнутой механической системе момент внешних сил относительно неподвижной оси M_z=0 и , откуда L_z=const - закон сохранения момента импульса. Он является следствием изотропности пространства: инвариантность физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета.

Вопросы для самоконтроля и повторения

1. Что называется моментом инерции тела? Какова роль момента инерции во вращательном движении?

2. Сформулируйте теорему Штейнера. От чего зависит момент инерции тела?

3. Что называется моментом силы относительно неподвижной точки? Относительно неподвижной оси? Как определяется направление момента силы?

4. Что такое момент импульса твердого тела? Как определяется направление момента импульса?

5. Какова формула для кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси? Как определяется работа при вращении тела?

6. Выведите и сформулируйте уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

7. Сформулируйте закон сохранения момента импульса. В каких системах он выполняется?

8. Сопоставьте основные величины и уравнения динамики поступательного и вращательного движений.

Примеры решения задач

Задача 1. Шар радиусом 10 см и массой 5 кг вращается вокруг оси симметрии по закону , где В=2 рад/с², С=-0,5 рад/с³. Определить момент сил относительно оси вращения для момента времени t=3 c.

Дано: R=0,1 м; m=5 кг; рад; В=2 рад/с²; С=-0,5 рад/с³; t=3 c.

Найти: M_z.

Решение

Согласно уравнению динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси , где - момент инерции шара;

Для t=3 c

Ответ: M_z=-0,1 Н·м.

Задача 2. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом 20 см, момент инерции которого 0,15 кг·м², намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой 0,5 кг. До начала вращения барабана высота груза над полом составляла 2,3 м (рис. 4.7 ). Определить: а) время опускания груза до пола; б) силу натяжения нити; в) кинетическую энергию груза в момент удара о пол.

Дано: R=0,2 м; J_z=0,15 кг·м²; m=0,5 кг; h=2,3 м.

Найти: t, T, E_к.

Решение

По закону сохранения энергии

откуда

Время опускания груза до пола: .

Уравнение динамики вращательного движения вала откуда сила натяжения нити

тогда .

Кинетическая энергия груза в момент удара о пол:

Ответ: t=2 с; Т=4,31 Н; Е_к=1,32 Дж.

Задачи для самостоятельного решения

1. Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного и того же материала, одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определить, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра.

2. Полый тонкостенный цилиндр массой 0,5 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стену и откатывается от нее. Скорость цилиндра до удара о стену 1,4 м/с, после удара 1 м/с. Определить выделившееся при ударе количество теплоты.

3. К ободу однородного сплошного диска массой 10 кг, насаженного на ось, приложена постоянная касательная сила 30 Н. Определить кинетическую энергию через 4 с после начала действия силы.

4. Вентилятор вращается с частотой 600 об/мин. После выключения он начал вращаться равнозамедленно и, сделав 50 оборотов, остановился. Работа сил торможения равна 31,4 Дж. Определить: а) момент сил торможения; б) момент инерции вентилятора.

5. К ободу однородного сплошного диска радиусом 0,5 м приложена постоянная касательная сила 100 Н. При вращении диска на него действует момент сил трения 2 Н·м. Определить массу диска, если известно, что его угловое ускорение постоянно и равно 16 рад/с².

6. С наклонной плоскости, составляющей угол 30⁰ с горизонтом, скатывается без скольжения шарик. Пренебрегая трением, определить время движения шарика по наклонной плоскости, если известно, что его центр масс при скатывании понизился на 30 см.

7. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом 50 см намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой 6,4 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением 2 м/с². Определить: а) момент инерции вала; б) массу вала.

8. Горизонтальная платформа массой 25 кг и радиусом 0,8 м вращается с частотой 18 об/мин. В центре стоит человек и держит в расставленных руках гири. Считая платформу диском, определить частоту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от 3,5 кг·м² до 1 кг·м².

9. Человек массой 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой 10 об/мин, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека - точечной массой, определить, с какой частотой будет тогда вращаться платформа.

10. Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, может вращаться по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси. На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза меньше массы платформы. Определить, как и во сколько раз изменится угловая скорость вращения платформы, если человек перейдет ближе к центру на расстояние, равное половине радиуса платформы.

ГЛАВА 5. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ

ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

5.1. Механический принцип относительности

и законы электродинамики.

Во второй половине XIX века Д. Максвеллом были сформулированы основные законы электродинамики. При этом возникли сомнения в справедливости механического принципа относительности Галилея применительно к электромагнитным явлениям. Вспомним суть механического принципа относительности.

Если системы отсчета движутся относительно друг друга равномерно и прямолинейно и в одной из них справедливы законы динамики Ньютона, то эти системы являются инерциальными. Во всех инерциальных системах отсчета законы классической динамики имеют одинаковую форму (инвариантны); в этом состоит суть механического принципа относительности или принципа относительности Галилея.

Для доказательства этого принципа рассмотрим две системы отсчета: инерции-альную систему К (с коорди-натами x, y, z), которую условно будем считать неподвижной и подвижную систему (с координатами ), движущуюся относительно К равномерно и прямолинейно со скоростью = const. Примем, что в начальный момент времени t = 0 начала О и обеих систем координат совпадают. Расположение систем координат в произвольный момент времени t имеет вид, изображенный на рис. 5.1. Скорость направлена вдоль прямой , а радиус-вектор, проведенный из точки О в точку , равен

Координаты произвольной материальной точки А в неподвижной и подвижной системах отсчета определяются радиусами-векторами и , причем

(5.1)

В проекциях на оси координат векторное уравнение (5.1) записывается в виде, называемом преобразованиями Галилея: (5.2)

В частном случае, когда система движется со скоростью вдоль положительного направления оси х системы К, преобразования координат Галилея имеют следующий вид:

В классической механике предполагается, что ход времени не зависит от относительного движения систем отсчета. Поэтому система уравнений (5.2) дополняется еще одним соотношением: (5.3)

Соотношения (5.2) - (5.3) справедливы лишь в случае . При скоростях, сравнимых со скоростью света, преобразования Галилея заменяются более общими преобразованиями Лоренца.

Продифференцируем уравнение (5.1) по времени и учитывая, что =const, найдем соотношения между скоростями и ускорениями точки А относительно обеих систем отсчета: откуда , (5.4)

а также (5.5)

Если на точку А другие тела не действуют, то и согласно (5.5) , т.е. подвижная система К΄ является инерциальной - изолированная материальная точка либо движется относительно нее равномерно и прямолинейно, либо покоится.

Из выражения (5.5) следует, что или т.е. уравнения Ньютона (уравнения динамики) для материальной точки одинаковы во всех инерциальных системах отсчета или инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея. Этот результат часто формулируют следующим образом: равномерное и прямолинейное движение системы как целого не влияет на ход протекающих в ней механических процессов.

Классическая механика Ньютона достоверно описывает движение макроскопических тел, движущихся со скоростями, намного меньшими скорости света. В конце XIX в. было установлено, что выводы классической механики противоречат некоторым опытным данным. В частности при изучении движения быстрых заряженных частиц оказалось, что их движение не подчиняется законам Ньютона. Далее возникли затруднения при попытках применить классическую механику для объяснения распространения света. Согласно законам электродинамики скорость распространения электромагнитных волн в вакууме одинакова по всем направлениям и приблизительно равна с = 3·10⁸ м/с. Но в соответствии с законами классической физики скорость света может равняться с только в одной избранной системе отсчета. В любой другой системе отсчета, движущейся относительно избранной системы со скоростью v, она должна уже равняться c-v, или c+v. Это означает, что если справедлив закон сложения скоростей классической механики (формула (5.4)), то при переходе от одной инерциальной системы к другой законы электродинамики должны меняться, так как должна меняться скорость света. Таким образом, обнаружились противоречия между электродинамикой и механикой Ньютона, законы которой согласуются с принципом относительности Галилея.

Для преодоления возникших трудностей предлагались различные способы:

1. Принять несостоятельность принципа относительности применительно к электромагнитным явлениям. Еще со времен Фарадея электромагнитные явления рассматривались как процессы в особой, всепроникающей среде, заполняющей все пространство, - эфире. Согласно Х. Лоренцу инерциальная система отсчета, покоящаяся относительно эфира, - это особая система, в которой законы электродинамики Максвелла справедливы. Лишь в этой системе отсчета скорость света в вакууме одинакова по всем направлениям.

2. Считать ошибочными уравнения электродинамики Максвелла и попытаться изменить их таким образом, чтобы они при переходе от одной инерциальной системы к другой (в соответствии с классическими представлениями о пространстве и времени) не менялись. Такая попытка, в частности, была предпринята Г. Герцем, который считал, что эфир полностью увлекается движущимися телами, поэтому электромагнитные явления протекают одинаково, независимо от того, покоится тело или движется. Принцип относительности справедлив.

3. Отказаться от классических представлений о пространстве и времени, с тем, чтобы сохранить и принцип относительности, и законы Максвелла. С этой точки зрения оказываются неточными не уравнения электромагнитного поля, а законы механики Ньютона, согласующиеся со старыми представлениями о пространстве и времени. Таким образом, изменять нужно законы классической механики, а не законы электродинамики Максвелла.

Вспомним, как трактовались пространство и время в классической физике. Пространство рассматривалось как бесконечная пустая протяженность, вмещающая в себе все тела и не зависящая от материи. Время рассматривалось как абсолютный фактор равномерного потока длительности, в котором все возникает и исчезает. При этом время не зависит ни от каких процессов в мире.

Развитие естествознания опровергло эти представления. Никакого абсолютного пространства и времени не существует. Вселенная заполнена материей в форме вещества и поля, а пространство выступает как всеобщее свойство материи. Время всегда связано с движением и развитием материи. Таким образом, пространство - это форма бытия материи, которая выражает ее протяженность и структурность; время - это форма бытия материи, характеризующая длительность существования всех объектов, полей и последовательность смены событий.

Основными свойствами пространства и времени являются: а) единство и неразрывная связь материи, пространства и времени; б) абсолютная непрерывность и относительная прерывность пространства и времени. Непрерывность проявляется в распространении материальных полей в пространстве всех тел и систем, в бесконечном следовании элементов длины при движении тела между двумя точками. Прерывность пространства относительна и проявляется в раздельном существовании материальных объектов и систем, каждая из которых имеет определенные размеры и границы. Прерывность времени характеризуется лишь временем существования качественных состояний материи, каждое из которых возникает и исчезает, переходя в другие формы; в) время обладает длительностью, однонаправленностью, необратимостью.

Последовательно развивая новые, отличные от классических, представления о пространстве и времени, А. Эйнштейн в начале XX в. создал специальную теорию относительности (СТО). В рамках этой теории удалось согласовать принцип относительности с электродинамикой Максвелла. При этом новая теория не отменяла старую (ньютоновскую механику), а включала ее в себя как частный, предельный случай.

5.2. Постулаты специальной теории относительности.

Преобразования Лоренца.

План

1. Постулаты специальной теории относительности.

2. Преобразования Лоренца.

1. Постулаты специальной теории относительности.

Специальная теория относительности представляет собой современную физическую теорию пространства и времени. В СТО, как и в классической механике, предполагается, что время однородно (инвариантность физических законов относительно выбора начала отсчета времени), а пространство однородно и изотропно (симметрично). Специальная теория относительности называется также релятивистской теорией, а явления, описываемые этой теорией - релятивистскими эффектами.

В основу СТО легло положение, согласно которому никакая энергия, никакой сигнал не могут распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме, а скорость света в вакууме постоянна и не зависит от направления распространения.

Это положение формулируется в виде двух постулатов А. Эйнштейна: принципа относительности и принципа постоянства скорости света.

Первый постулат является обобщением механического принципа относительности Галилея на любые физические процессы и утверждает, что законы физики имеют одинаковую форму (инвариантны) во всех инерциальных системах отсчета: любой процесс протекает одинаково в изолированной материальной системе, находящейся в состоянии покоя, и в такой же системе, находящейся в состоянии равномерного прямолинейного движения. Состояние покоя или движения определяется здесь относительно произвольно выбранной инерциальной системы отсчета; физически эти состояния равноправны.

Второй постулат утверждает: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Анализ явлений в инерции-альных системах отсчета, прове-денный А. Эйнштейном на базе сформулированных им постула-тов, показал, что преобразования Галилея несовместимы с ними и, следовательно, должны быть за-менены преобразованиями, удов-летворяющими постулатам СТО.

Рассмотрим две инерцииаль-ные системы отсчета: К (с ко-ординатами x, y, z) и К΄ (с коорди-натами x΄, y΄, z΄), движущуюся от-носительно К вдоль оси х со ско-ростью =const. Пусть в началь-ный момент времени (t = t΄ = 0), когда начала систем координат совпадают (0 = 0΄), излучается световой импульс. Согласно второму постулату Эйнштейна скорость света в обеих системах одна и та же и равна с. Поэтому если за время t в системе К сигнал дойдет до некоторой точки А, пройдя расстояние (5.6)

то в системе К΄ координата светового импульса в момент достижения точки А будет равна (5.7)

где t΄ - время прохождения светового импульса от начала координат до точки А в системе К΄. Вычитая (5.6) из (5.7), получим:

Так как (система К΄ перемещается относительно К), то получается, что , т.е. отсчет времени в системах К΄ и К различен или имеет относительный характер (в классической механике считается, что время во всех инерциальных системах отсчета протекает одинаково, т.е. t = t΄).

2. Преобразования Лоренца.

А. Эйнштейн показал, что в СТО классические преобразования Галилея при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой заменяются преобразованиями Лоренца (1904 г.), удовлетворяющими первому и второму постулатам (табл. 5.1).

Таблица 5.1

Прямые

преобразования

Обратные

преобразования

Галилея

Лоренца

Галилея

Лоренца

Из преобразований Лоренца вытекает, что при малых скоростях (по сравнению со скоростью света) они переходят в преобразования Галилея. При v>c выражения для x, t, x΄ и t΄ теряют физический смысл, т.е. движение со скоростью, большей скорости света в вакууме, невозможно. Кроме того, из табл. 5.1 следует, что как пространственные, так и временные преобразования Лоренца не являются независимыми: в закон преобразования координат входит время, а в закон преобразования времени - пространственные координаты, т.е. устанавливается взаимосвязь пространства и времени. Таким образом, релятивистская теория Эйнштейна оперирует не трехмерным пространством, к которому присоединяется понятие времени, а рассматривает неразрывно связанные пространственные и временные координаты, образующие четырехмерное пространство-время.

5.3. Следствия из преобразований Лоренца.

План

1. Относительность одновременности.

2. Длительность событий в разных системах отсчета.

3. Длина тел в разных системах отсчета.

4. Релятивистский закон сложения скоростей.

1. Относительность одновременности.

Пусть в системе К в точках с координатами х₁ и х₂ в моменты времени t₁ и t₂ происходят два события. В системе К΄ им соответствуют координаты и и момен-ты времени и . Если события в системе К происходят в одной точке (х₁=х₂) и явля-ются одновременными (t₁=t₂), то, согласно преобразованиям Лоренца,

т.е. эти события являются одновременными и пространственно совпадающими для любой инерциальной системы отсчета.

Если события в системе К пространственно разобщены (х₁ ≠ х₂), но одновременны (t₁=t₂), то в системе К΄, согласно преобразованиям Лоренца,

Таким образом, в системе К΄ эти события, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются и неодновременными.

2. Длительность событий в разных системах отсчета.

Пусть в некоторой точке А с координатой х, покоящейся относительно системы К, происходит событие, длительность которого (разность показаний часов в конце и начале события) , где индексы 1 и 2 соответствуют началу и концу события. Длительность этого же события в системе К΄ , где Таким образом, или ,

т.е. длительность события, происходящего в некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна. Следовательно, часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее покоящихся часов, т.е. ход часов замедляется в системе отсчета, относительно которой часы движутся.

3. Длина тел в разных системах отсчета.

Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси x΄ и покоящийся относительно системы К΄. Длина стержня в системе К΄ равна , где , - не изменяющиеся со временем t΄ координаты начала и конца стержня; индекс 0 показывает, что в системе К΄ стержень покоится. Определим длину стержня в системе К, относительно которой он движется со скоростью v. Для этого необходимо измерить координаты концов стержня х₁ и х₂ в системе К в один и тот же момент времени t. Их разность и даст длину стержня в системе К:

- т.е.

Таким образом, размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения в раз, т.е. лоренцево сокращение длины тем больше, чем больше скорость движения.

4. Релятивистский закон сложения скоростей.

Пусть материальная точка движется в системе К΄ вдоль оси x΄, а система К΄ движется относительно К со скоростью v (оси х и x΄ совпадают). Тогда

Произведя вычисления, получим релятивистский закон сложения скоростей:

Если скорости v, малы по сравнению со скоростью света, то эти формулы переходят в привычный закон сложения скоростей в классической механике. Релятивистский закон сложения скоростей не противоречит второму постулату Эйнштейна: если то , т.е. скорость с - предельная скорость, которую невозможно превысить.

5.4. Основной закон релятивистской динамики.

Релятивистская энергия.

План

1. Основной закон релятивистской динамики.

2. Закон взаимосвязи массы и энергии.

3. Закон сохранения релятивистской массы и энергии.

1. Основной закон релятивистской динамики.

Согласно представлениям классической механики, масса тела есть величина постоянная. Однако в конце XIX в. на опытах с электронами было установлено, что масса тела зависит от скорости его движения, а именно возрастает с увеличением v по закону (5.8)

где - масса покоя, т.е. масса материальной точки, измеренная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой точка покоится; m - масса точки в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью v.

Из принципа относительности Эйнштейна, утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, следует, что основной закон динамики Ньютона оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем справа стоит производная от релятивистского импульса: (5.9)

или (5.10) где (5.11)

Из приведенных формул следует, что при скоростях, значительно меньших скорости света в вакууме, они переходят в формулы классической механики. Следовательно, условием применимости законов классической механики является условие . Законы Ньютона получаются как следствие СТО для предельного случая . Таким образом, классическая механика - это механика макротел, движущихся с малыми (по сравнению со скоростью света в вакууме) скоростями.

Вследствие однородности пространства в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы тел сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

2. Закон взаимосвязи массы и энергии.

Изменение скорости тела в релятивистской механике влечет за собой изменение массы, а, следовательно, и полной энергии, т.е. между массой и энергией существует взаимосвязь. Эту универсальную зависимость - закон взаимосвязи массы и энергии - установил А. Эйнштейн: (5.13)

Из (5.13) следует, что любой массе (движущейся m или покоящейся ) соответствует определенное значение энергии. Если тело находится в состоянии покоя, то его энергия покоя

Энергия покоя является внутренней энергией тела, которая складывается из кинетических энергий всех частиц, потенциальной энергии их взаимодействия и суммы энергий покоя всех частиц.

В релятивистской механике не справедлив закон сохранения массы покоя. Именно на этом представлении основано объяснение дефекта массы ядра и ядерных реакций.

3. Закон сохранения релятивистской массы и энергии.

В СТО выполняется закон сохранения релятивистской массы и энергии: изменение полной энергии тела (или системы) сопровождается эквивалентным изменением его массы: (5.14)

Таким образом, масса тела, которая в классической механике является мерой инертности или гравитации, в релятивистской механике является еще и мерой энергосодержания тела.

Физический смысл выражения (5.14) состоит в том, что существует принципиальная возможность перехода материальных объектов, имеющих массу покоя, в электромагнитное излучение, не имеющее массы покоя; при этом выполняется закон сохранения энергии.

Классическим примером этого является аннигиляция электрон-позитронной пары и, наоборот, образование пары электрон-позитрон из квантов электромагнитного излучения: ↔

В релятивистской динамике значение кинетической энергии Е_к определяется как разность энергий движущегося Е и покоящегося Е₀ тела:

(5.15)

При уравнение (5.15) переходит в классическое выражение

Из формул (5.13) и (5.11) найдем релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом тела:

(5.16)

Закон взаимосвязи массы и энергии полностью подтвержден экспериментами по выделению энергии при протекании ядерных реакций. Он широко используется для расчета энергического эффекта при ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц.

Краткие выводы

• Специальная теория относительности - это новое учение о пространстве и времени, пришедшее на смену классическим представлениям. В основе СТО лежит положение, согласно которому никакая энергия, никакой сигнал не может распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. При этом скорость света в вакууме постоянна и не зависит от направления распространения. Это положение принято формулировать в виде двух постулатов Эйнштейна - принципа относительности и принципа постоянства скорости света.

• Область применения законов классической механики ограничена скоростью движения материального объекта: если скорость тела соизмерима со скоростью света, то необходимо использовать релятивистские формулы. Таким образом, скорость света в вакууме является критерием, определяющим границу применимости классических законов, т.к. она является максимальной скоростью передачи сигналов.

• Зависимость массы движущегося тела от скорости движения определяется соотношением

• Релятивистский импульс тела и соответственно уравнение динамики его движения

• Изменение скорости в релятивистской механике влечет за собой изменение массы, а, следовательно, и полной энергии:

• В СТО выполняется закон сохранения релятивистской массы и энергии: изменение полной энергии тела сопровождается эквивалентным изменением ее массы:

Физический смысл этого соотношения заключается в следующем: существует принципиальная возможность перехода материальных объектов, имеющих массу покоя, в электромагнитное излучение, не имеющее массы покоя; при этом выполняется закон сохранения энергии. Это соотношение является важнейшим для ядерной физики и физики элементарных частиц.

Вопросы для самоконтроля и повторения

1. В чем заключается физическая сущность механического принципа относительности?

2. Чем отличается принцип относительности Галилея от принципа относительности Эйнштейна?

3. Каковы причины создания специальной теории относительности?

4. Сформулируйте постулаты специальной теории относительности.

5. Запишите преобразования Лоренца. При каких условиях они переходят в преобразования Галилея?

6. В чем заключается релятивистский закон сложения скоростей?

7. Как в релятивистской механике масса движущегося тела зависит от скорости?

8. Запишите основное уравнение релятивистской динамики. Чем оно отличается от основного закона ньютоновской механики?

9. В чем заключается закон сохранения релятивистского импульса?

10. Как выражается кинетическая энергия в релятивистской механике?

11. Сформулируйте закон взаимосвязи массы и энергии. В чем его физическая сущность?

Примеры решения задач

Задача 1. Ионизированный атом, вылетев из ускорителя со скоростью 0,8с, испустил фотон в направлении своего движения. Определить скорость фотона относительно ускорителя.

Дано:

Найти:

Решение

По релятивистскому закону сложения скоростей где - скорость фотона. С учетом того, что , получим:

Ответ: скорость фотона в собственной системе координат и относительно ускорителя одинакова и равна скорости света.

Задача 2. Протон движется со скоростью 0,75с. Определить его релятивистский импульс и кинетическую энергию.

Дано: кг; v=0,7c; с=3· 10⁸ м/с.

Найти: р, E_k.

Решение

Релятивистский импульс протона вычислим по формуле

Кинетическая энергия частицы

где Е - полная энергия движущегося протона; Е₀ - энергия покоя.

Ответ: р = 5,68·10^-19 Н·с; E_k = 7,69·10^-11 Дж.

Задачи для самостоятельного решения

1. С какой скоростью должен двигаться стержень, чтобы размеры его в направлении движения сократились в три раза?

2. Частица движется со скоростью v=8c. Определить отношение полной энергии релятивистской частицы к ее энергии покоя.

3. Определить скорость, при которой релятивистский импульс частицы превышает ее ньютоновский импульс в три раза.

4. Определить релятивистский импульс электрона, кинетическая энергия которого E_k = 1 ГэВ.

5. На сколько процентов увеличится масса электрона после прохождения им в ускоряющем электрическом поле разности потенциалов 1,5 МВ?

Приложение

Некоторые знаменательные события в истории развития механики

Год

Событие

Ученый

III в. до н.э.

Создана теория рычага, определено значение выталкивающей силы, введены понятия «центр тяжести» и «момент силы».

Архимед

1632

Впервые указано на существование явления инерции.

Г. Галилей

1638

Открыт закон свободного падения тел.

Г. Галилей

1687

Опубликован трактат, в котором сформулированы законы динамики и закон всемирного тяготения.

И. Ньютон

1781

Установлены закономерности трения.

Ш. Кулон

1798

Экспериментально подтвержден закон всемирного тяготения, определена масса Земли.

Г. Кавендиш

1842-1847

Сформулирован закон сохранения

и превращения энергии.

Ю. Майер,

Д. Джоуль,

Г. Гельмгольц

1903

Создана теория движения ракеты, обоснована возможность использования ракетной техники для межпланетных сообщений.

К.Э. Циолковский

1905

Разработаны основы специальной теории относительности (релятивистской механики), открыт закон взаимосвязи массы и энергии.

А. Эйнштейн

1926

Получено основное уравнение квантовой механики.

Э. Шрёдингер

Список использованной и рекомендуемой литературы

1. Савельев И.В. Курс общей физики: В 3 т. - М.: Наука, 1989.

2. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. - М.: Высш. шк., 1989. - 608 с.

3. Курс физики: Учеб. для вузов: В 2 т. Т.1 / Под ред. В.Н. Лозовского. - СПб.: Издательство «Лань», 2001. - 576 с.

4. Ремизов А.Н., Потапенко А.Я. Курс физики: Учеб. для вузов. - М.: Дрофа, 2002. - 720 с.

5. Трофимова Т.И. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. - М.: Высш. шк., 1990. - 478 с.

6. Трофимова Т.И. Краткий курс физики: Учеб. пособие для вузов. - М.: Высш. шк., 2004. - 352 с.

7. Трофимова Т.И., Павлова З.Г. Сборник задач по курсу физики с решениями: Учеб. пособие для вузов. - М.: Высш. шк., 1999. - 591 с.

8. Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А.М. Прохоров. Ред. кол. Д.М. Алексеев, А.М. Бонч-Бруевич, А.С. Боровик-Романов и др. - М.: Сов. энциклопедия, 1984. - 944 с.

9. Енохович А.С. Справочник по физике и технике: Учеб. пособие для учащихся. - М.: Просвещение, 1989. - 224 с.

10. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики: Учеб. пособие для втузов. - М.: Наука, 1973. - 464 с.

11. Дмитриева В.Ф. Физика: Учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. Образования. - М.: Издат. центр «Академия», 2003. - 464 с.

12. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике: Учеб. пособие. - М.: Высш. шк., 1981. - 496 с.