Задачи по электростатике повышенной сложности

Физика на 100 Электродинамика Гойхман ГС

Задача 1 (Олимпиада «Физтех-2015). Две проводящие пластины с зарядами Q>О и -4Q расположены параллельно и напротив друг друга (см. рис.). Площадь каждой пластины S, размеры пластин велики по сравнению с расстоянием d между ними, и можно считать, что заряды распределены по каждой поверхности пластин равномерно.

1) Найти разность потенциалов левой и правой пластин.

2) Найти заряд на левой стороне левой пластины.

3) Найти силу притяжения пластин.

Решение. Изобразим на рисунке линии напряженности электрического поля каждой пластины. Напряжённость электрического поля между пластинами равна геометрической сумме напряжённостей составляющих полей. Видно, что направление векторов напряженностей «синих» и «красных» полей совпадает. А потому . А разность потенциалов между пластинами равна . Силу притяжения пластин определим по формуле . Это справедливо, учитывая, что левая пластина находится в поле правой пластины.

Для определения заряда на левой стороне левой пластины учтём, что поля внутри металического проводника нет. Под действием поля правой пластины произойдёт перераспределение зарядов на левой и правой сторонах левой пластины (электростатическая индукция). Пусть на левой стороне левой пластины индуцируется заряд q, тогда на правой стороне заряд будет равен Q-q. Таким образом, внутри левой пластины создаётся, как бы, поле трех пластин: левой и правой сторон левой пластины и целиком правой пластины. Их векторная сумма равна нулю: .

Отсюда и .

Ответ: , ,

Задача 2 (Олимпиада «Физтех-2015). Три небольших по размерам положительно заряженных шарика связаны попарно тремя легкими непроводящими нитями и находятся неподвижно в вершинах равнобедренного треугольника со сторонами a, 2а, 2а. Каждый из шариков, связанных короткой нитью, имеет массу m и заряд q. Третий шарик имеет массу 3m и заряд 2q. Короткую нить пережигают, и шарики начинают двигаться. В момент, когда шарики оказались на одной прямой, скорость шарика массой 3m оказалась v.

1) Найдите в этот момент скорость двух других шариков.

2) Найдите q, считая известными m, v, а.

Решение. После пережигания короткой нити в результате взаимодействия только друг с другом заряженные шарики приходят в движение. Нить при этом остаётся натянутой, так как шарики все заряжены одноименным зарядом.

3m

2q

m

q

m

q

Рис. 1

m

m

3m

Рис. 2

По закону сохранения импульса . С учётом направления векторов скорости и из соображений симметрии .

Для нахождения заряда q воспользуемся законом сохранения энергии. Связанная в соответствии с рис. 1 система шаров обладает потенциальной энергией; в ней все шары взаимодействуют друг с другом попарно. Та же система шаров на рис.2 кроме попарного взаимодействия еще и движется; следовательно имеется и энергия кинетическая. Поэтому

После упрощений и с учётом получим

Здесь

Ответ:

Задача 3 (Олимпиада «Физтех-2014). Плоский воздушный конденсатор ёмкостью С₀ и расстоянием между обкладками d заряжен до напряжения U₀ и отсоединён от источника.

1. Найдите силу притяжения обкладок.

2. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы увеличить расстояние между обкладками на ?

Решение. Если полагать, что расстояние d между пластинами значительно меньше размеров самих пластин, то поле внутри однородно и имеет напряженность, равную . Каждая из пластин находится в поле другой пластины с напряженностью, равной . Поэтому сила притяжения равна

.

Ёмкость плоского воздушного конденсатора определяется формулой . Увеличение расстояния между пластинами на сделает ёмкость конденсатора, равной .Заряд при этом не изменится и останется равным q. Вначале энергия электрического поля конденсатора была равна , а затем - . Работа, совершённая при раздвигании обкладок, увеличила энергию конденсатора. При этом

Ответ:

Задача 4 (Олимпиада «Физтех-2011). Плоский конденсатор заряжен и отключён от источника постоянного напряжения. В конденсатор вставляют пластину из диэлектрика (см. рис.) так, что диэлектрик заполняет половину объёма конденсатора, из-за чего разность потенциалов между пластинами уменьшается в два раза.

1. Во сколько раз и как изменилась напряжённость электрического поля внутри конденсатора в области без диэлектрика?

2. Найдите диэлектрическую проницаемость ε материала диэлектрической пластины.

Решение. Если конденсатор без диэлектрика равна C, то накопленный на нём заряд равен . Заполненный наполовину диэлектриком конденсатор можно представить в виде двух параллельно включённых конденсаторов: один с ёмкостью , а второй - ёмкостью . По условию напряжение снизилось вдвое. При этом заряд первого равен , а заряд второго - . При этом . Отсюда . Поэтому ε=3.

Первоначально напряжённость поля равна , где d - расстояние между пластинами. После ввода диэлектрика . Таким образом, .

Ответ: 1) уменьшилась вдвое; 2) ε=3

Задача 5 (Олимпиада «Физтех-2011). Плоский конденсатор подключён к источнику постоянного напряжения. Не отключая источника, в конденсатор вставляют пластину из диэлектрика (см. рис.), толщина которой равна 2/3 от расстояния между пластинами конденсатора (диэлектрик заполняет 2/3 объёма конденсатора), из-за чего заряд на пластинах конденсатора увеличивается в два раза.

1. Во сколько раз и как изменилась напряжённость электрического поля внутри конденсатора в области без диэлектрика?

2. Найдите диэлектрическую проницаемость материала диэлектрической пластины.

Решение. В отсутствии пластины из диэлектрика заряд на конденсаторе равен . После ввода пластины этот конденсатор можно представить как два последовательно включённых конденсатора, один из которых заполнен диэлектриком. По условию ёмкость верхнего конденсатора равна 3C, а нижнего - 1,5εC. Тогда общая ёмкость равна . Тогда заряд на пластинах этого конденсатора равен . Так как по условию , то . Отсюда . И, наконец, ε=4.

Так как заряд вырос в два раза, то напряженность поля в воздушном промежутке также выросла в два раза.

Ответ: 1) увеличится в два раза; 2) ε=4.

Задача 6 (Олимпиада «Физтех-2013). Проводящий шарик радиусом R с зарядом Q имеет потенциал φ₁=200 В. Каким станет потенциал φ₂ шарика, если он окажется внутри полого проводящего шара с радиусами сферических поверхностей 2R и 3R и зарядом 2Q? Центры заряженного шарика и полого шара совпадают.

2R

3R

Q

q₁

q₂

Решение. На внутренней и внешней поверхностях полого шара индуцируются заряды q₁ и q₂, причём q₁+q₂=2Q. Для начала определим эти индуцированные заряды. Следует напомнить, что потенциал на поверхности одиночной сферы и вне её обратно пропорционален расстоянию от центра сферы, а внутри одиночной сферы равен потенциалу на поверхности. Тогда по принципу суперпозиции полей потенциал на внешней поверхности сферического слоя

,

а на внутренней поверхности того же сферического слоя -

.

Но внутри проводника потенциал одинаковый, поэтому

.

Отсюда, учитывая q₁+q₂=2Q, получим q₁=-Q и q₂=3Q. Тогда искомый потенциал

.

Ответ: 300 В

ε₁

ε₂

_+Q

-Q

Задача 7 (Олимпиада «Физтех-2006). Две одинаковые половинки плоского конденсатора заполнены разными диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями ε₁ и ε₂ (см. рис.). Заряд на обкладках конденсатора равен Q. Определить величину и знак связанного (поляризационного) заряда верхнего диэлектрика у левой обкладки конденсатора.

Решение. Напряжённость электрического поля между обкладками конденсатора складывается из напряжённостей полей зарядов на обкладках и поляризационного заряда диэлектрика. Для верхней половины конденсатора по принципу суперпозиции полей . Здесь - напряжённость в отсутствие диэлектрика при тех же зарядах Q, а - напряжённость поля поляризационного заряда. Учтено, что индуцированный заряд слева на диэлектрике отрицательный. Аналогично в нижней половине конденсатора . Значения и различны, так как при поляризации различных диэлектриков произошло перераспределение зарядов на обкладках конденсатора.

Учитывая, что , и . Здесь - заряд верхней половины пластин, - индуцированный заряд верхнего диэлектрика, а S - площадь половинки обкладки. Отсюда

,

далее

и

Аналогично

.

Кроме того, и, учитывая (разность потенциалов) или , получим, опуская алгебраические подробности,

и

Ответ: , отрицательный.

Задачи для самостоятельного решения.

1. (Олимпиада «Физтех-2015). Две проводящие пластины с положительными зарядами Q и 5Q расположены параллельна и напротив друг друга (см. рис.). Площадь каждой пластины S, размеры пластин велики по сравнению с расстоянием d между ними, и можно считать, что заряды распределены по каждой поверхности пластин равномерно.

1. Найти разность потенциалов правой и левой пластин.

2. Найти заряд на правой стороне левой пластины.

3. Найти силу отталкивания пластин.

2. (Олимпиада «Физтех-2015). Две проводящие пластины с зарядами Q>О и -3Q расположены параллельно и напротив друг друга (см. рис.). Площадь каждой пластины S, размеры пластин велики но сравнению с расстоянием d между ними, и можно считать, что заряды распределены но каждой поверхности пластин равномерно.

1. Найти разность потенциалов левой и правой пластин.

2. Найти заряд на правой стороне правой пластины.

3. Найти силу притяжения пластин.

3. (Олимпиада «Физтех-2011). Плоский конденсатор заряжен и отключён от источника постоянного напряжения. В конденсатор вставляют пластину из диэлектрика (см. рис.) так, что диэлектрик заполняет половину объёма конденсатора, из-за чего разность потенциалов между пластинами уменьшается в три раза.

1. Во сколько раз и как изменилась напряжённость электрического поля внутри конденсатора в области без диэлектрика?

2. Найдите диэлектрическую проницаемость ε материала диэлектрической пластины.

3. Ответ: 1) уменьшилась втрое; 2) ε=5

4. (Олимпиада «Физтех-2011). Плоский конденсатор заряжен и отключён от источника постоянного напряжения. В конденсатор вставляют пластину из диэлектрика (см. рис.) так, что диэлектрик заполняет треть объёма конденсатора, из-за чего разность потенциалов между пластинами уменьшается в два раза.

1. Во сколько раз и как изменилась напряжённость электрического поля внутри конденсатора в области без диэлектрика?

2. Найдите диэлектрическую проницаемость ε материала диэлектрической пластины.

Ответ: 1) уменьшилась в два раза; 2) ε=4

5. (Олимпиада «Физтех-2011). Плоский конденсатор заряжен и отключён от источника постоянного напряжения. В конденсатор вставляют пластину из диэлектрика (см. рис.) так, что диэлектрик заполняет треть объёма конденсатора, из-за чего разность потенциалов между пластинами уменьшается в три раза.

1. Во сколько раз и как изменилась напряжённость электрического поля внутри конденсатора в области без диэлектрика?

2. Найдите диэлектрическую проницаемость ε материала диэлектрической пластины.

Ответ: 1) уменьшилась в три раза; 2) ε=7

6. (Олимпиада «Физтех-2011). Плоский конденсатор подключён к источнику постоянного напряжения. Не отключая источника, в конденсатор вставляют пластину из диэлектрика (см. рис.), толщина которой равна 5/6 от расстояния между пластинами конденсатора (диэлектрик заполняет 5/6 объёма конденсатора), из-за чего заряд на пластинах конденсатора увеличивается в три раза.

1. Во сколько раз и как изменилась напряжённость электрического поля внутри конденсатора в области без диэлектрика?

2. Найдите диэлектрическую проницаемость материала диэлектрической пластины.

Ответ: 1) увеличится в 3 раза; 2) ε=5.

7. (Олимпиада «Физтех-2013). Потенциал электростатического поля в точке А на расстоянии R от точечного заряда Q равен φ₁=300 В. Каким станет потенциал φ₂ в точке А, если заряд Q окажется в центре полого проводящего шара радиусами поверхностей 3R и 4R и зарядом 3Q?

Ответ:

8. (Олимпиада «Физтех-2013). Проводящий шарик радиусом R с зарядом Q имеет потенциал φ₁=400 В. Каким станет потенциал φ₂ шарика, если он окажется внутри полого проводящего шара с радиусами сферических поверхностей 4R и 5R и зарядом 4Q? Центры заряженного шарика и полого шара совпадают.

Ответ:

9. (Олимпиада «Физтех-2013). Потенциал электростатического поля в точке А на расстоянии R от точечного заряда Q равен φ₁=500 В. Каким станет потенциал φ₂ в точке А, если заряд Q окажется в центре полого проводящего шара радиусами поверхностей 5R и 7R и зарядом 6Q?

Ответ:

(Олимпиада «Физтех-2006). ε₁

ε₂

d₁

d₂

E

Плоский конденсатор с площадью пластин S полностью заполнен двумя слоями диэлектрика с толщинами d₁ и d₂ и диэлектрическими проницаемостями ε₁ и ε₂ (см. рис.). Между обкладками конденсатора поддерживается разность потенциалов E. Определить величину и знак связанного (поляризационного) заряда диэлектрика у нижней обкладки конденсатора.

Ответ: