Исследование физических явлений в Exctl

ИССЛЕДОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ EXCEL

Аннотация

Пособие содержит примеры использования Excel для исследования физических явлений и законов, выяснения границ применимости физических понятий и величин.

Для поиска данных приведенных расчетов использовались справочники и учебники физики, физическая энциклопедия.

Пособие окажется полезным ученикам старших классов и студентам, изучающим физику.

Введение

Специфика новой системы образования должна проявляться в ее способности не только вооружать знаниями обучающегося, но и формировать потребность в непрерывном самостоятельном овладении ими, развивать умения и навыки самообразования. Речь идет о таких знаниях, которые, во-первых, способны формировать широкий, целостный, энциклопедический взгляд на современный мир и место человека в этом мире; во-вторых, позволяют преодолеть предметную разобщенность и изолированность.

Исследования психологов позволяют утверждать, что чем больше своего труда вкладывает ученик в познавание темы, тем лучше он в ней разбирается, лучше запоминает.

Физика наука экспериментальная : все физическое знание добыто в конечном итоге из опыта, а не путем чистых размышлений. Для того, чтобы сформулировать самый простой физический закон, необходимо абстрагироваться от тех черт предмета или явления, которые несущественны или кажутся таковыми исследователю, то есть создать физическую модель. Без модели невозможно ничего объяснить, обобщить, понять сущность чего бы то ни было. Без модели нет теории, и от науки останется лишь набор бессвязных и никак не объясняемых фактов. Формирование знаний лишь тогда оказывается плодотворным, когда осуществляется в неразрывной связи с выработкой учебно-познавательных умений.

Уметь добывать и использовать информацию, создавать и работать с простейшими моделями, понимать пределы их применимости поможет использование компьютера.

кинематика

Использование электронных таблиц позволяет проводить элементарные исследования движений.

Пример1: На лодке переправляются через реку: скорость течение реки максимальна по середине реки и минимальна у берегов. Построить траекторию движения лодки в зависимости от скорости ее движения, от скорости течения и ширины реки.

Разобьем ширину реки на несколько участков и будем считать, что скорость изменяется скачком при переходе от участка к участку. Изменяя число участков, задавая разные значения скорости лодки и течения, можем видеть и изменение траектории движения.

Вот пример: ширина реки 5 км, скорость лодки относительно воды 3 км/час, максимальная скорость течения 4 км/час. Ширина реки разбита на 12 участков.

скорость движения лодки км/ч

3

максимальная скорость течения реки

км/ч

4

ширина реки, км

5

изменение скорости течения при переходе к другому участку

0,667

время прохождения участка реки

0,152

число участков

12

№ участка

скорость течения

текущий снос

накопленный снос

1

0,667

0,10

0,101

2

1,333

0,20

0,303

3

2,000

0,30

0,606

4

2,667

0,40

1,010

5

3,333

0,51

1,515

6

4,000

0,61

2,121

7

3,333

0,51

2,626

8

2,667

0,40

3,030

9

2,000

0,30

3,333

10

1,333

0,20

3,535

11

0,667

0,10

3,636

12

0,000

0,00

3,636

Пример 2. Неравномерное движение. Движение называется неравномерным, если за какие-либо равные промежутки времени проходит пути разной длины.

Мгновенной скоростью переменного движения называется такая скорость, с которой двигалось бы тело, если бы, начиная с данного мгновения, его движение стало бы равномерным.

Средней скоростью переменного движения называется скорость такого равномерного движения, при котором тело проходит такой же путь за то же время.

Среднюю скорость очень часто определяют как среднее арифметическое. Для более четкого их разделения полезно провести следующий расчет:

Катеру необходимо проехать из города А в город В и обратно по озеру и по реке. Сравнить время движения в обеих случаях.

Время движения по реке определится соотношением по озеру

В Excel исследуем зависимости при разных значениях скорости

Формулы введены следующим образом: в ячейку D2↔ =A2/(B2-C2)+A2/(B2+C2), в ячейку E2↔ =2*A2/B2, в ячейку F2↔ =D2-E2, в ячейку G2↔ =F2/60. Формулы размножены до 8 строки.

расстояние

V_катера

V_реки

t_{в реке}

t_{в озере}

Δt

Δtминут

500

8

2

133,33

125,00

8,33

0,14

3000

8

2

800,00

750,00

50,00

0,83

10000

8

2

2666,67

2500,00

166,67

2,78

3000

8

6

1714,29

750,00

964,29

16,07

10000

8

6

5714,29

2500,00

3214,29

53,57

10000

8

7

10666,6

2500,00

8166,67

136,11

Особенно резко отличаются значения времени движения по реке и озеру при близких по значению скоростей катера и течения. В предельном случае, когда значения скоростей будут одинаковы, катер против течения двигаться не сможет, т.е. время движения станет бесконечно большим.

Ускоренное движение

Для определения путей, проходимых телом в последовательные, равные промежутки времени при ускоренном движении введем в ячейку первого столбца величину ускорения, в третьем столбце будем определять путь,

пройденный телом за t секунд, в следующем - за t + 1 секунд. В следующем определим разность пройденных расстояний и, наконец, вычислим отношение разности пройденных расстояний к пути, пройденному за первую секунду

Ускорение

T с

S_t м

S_t+1 м

∆S м

∆S/S₁

6

0

0

3

3

1

1

3

12

9

3

2

12

27

15

5

3

27

48

21

7

4

48

75

27

9

5

75

108

33

11

6

108

147

39

13

7

147

192

45

15

8

192

243

51

17

9

243

300

57

19

10

300

363

63

21

11

363

432

69

23

12

432

507

75

25

13

507

588

81

27

14

588

675

87

29

15

675

768

93

31

16

768

867

99

33

Меняя значение ускорения, убеждаемся в том, что пути, проходимые телом за последовательные равные промежутки времени, относятся как нечетные числа.

Используем полученные соотношения : определить пути, пройденные свободно падающим телом за 5-ю, 7-ю, 12-ю секунды. Значение нечетного числа можно вычислить по формуле 2n-1. Тогда 5-е =9, 7-е =13, 12-е = 23, и значения получаем умножением полученного значения на 4,9: за 5-ю - 44,1; за 7-ю - 63,7; за 12-ю - 112,7.

Проверим : в подставим 5, получаем 122,5 за 4 - 78,4, значит за пятую 122,5 - 78,4 = 44,1. Аналогично можно проверить и другие ответы.

Движение в жидкости и газе

Сопротивление при движении в жидкости и газах можно определить по закону Стокса , где ɳ - динамическая вязкость, v - скорость .

Определим максимальную скорость падения капли воды в воздухе.

Движение станет равномерным, когда сила тяжести станет равной силе сопротивления. Сила тяжести капли воды . Подставляя в формулу Стока, получим . Вычислим постоянные величины (кг/(м²с²), коэффициент вязкости воздуха ɳ = 1,84ˑ10^-5 кг/(мˑс)

Проведем расчеты для капель разных радиусов.

ɳ

k

V

0,001

1,84E-05

2177,8

1,18E+02

0,01

1,18E+04

0,1

1,18E+06

Для измерения коэффициента вязкости жидкости измеряют скорость установившегося (т.е. равномерного) падения шарика в мензурке с делениями. Чтобы определить, из какого материала и какого размера шарик начинает двигаться равномерно через сколько времени, полезно провести расчеты в Excel.

Если частицы падают в вязкой жидкости под действием собственного веса, то установившаяся скорость достигается, когда эта сила трения совместно с силой Архимеда точно уравновешиваются силой гравитации. Результирующая скорость равна

Частица движется вниз если , и вверх в случае ), V_s - установившаяся скорость частицы (м/с), - радиус Стокса частицы (м), g - ускорение свободного падения (м/с²), ρ_p - плотность частиц (кг/м³), ρ_f - плотность жидкости (кг/м³), - динамическая вязкость жидкости (Па с).

roT

roV

V

V2

V3

1000

1,2

0,001

0,126463

1,480889

0,209067

7800

1000

0,002

0,505852

5,923556

0,836267

2700

1260

0,003

1,138167

13,328

1,8816

0,004

2,023409

23,69422

3,345067

0,005

3,161576

37,02222

5,226667

0,006

4,55267

53,312

7,5264

0,007

6,196689

72,56356

10,24427

0,008

8,093635

94,77689

13,38027

0,009

10,24351

119,952

16,9344

0,01

12,6463

148,0889

20,90667

0,011

15,30203

179,1876

25,29707

0,012

18,21068

213,248

30,1056

0,013

21,37226

250,2702

35,33227

0,014

24,78676

290,2542

40,97707

0,015

28,45419

333,2

47,04

0,016

32,37454

379,1076

53,52107

0,017

36,54782

427,9769

60,42027

0,018

40,97403

479,808

67,7376

0,019

45,65316

534,6009

75,47307

0,02

50,58522

592,3556

83,62667

Сопротивление воздуха движению автомобиля

При полете тело «заметает» воздух массой , где ρ - плотность воздуха, который получает вследствие этого энергию E=m V²/ 2. Силу сопротивления можно определить по формуле

Fv = c_x·S·v²·ρ/2,

где S - площадь фронтальной проекции автомобиля, м²; v - скорость движения автомобиля относительно воздуха, м/с; ρ - плотность воздуха, кг/м³; c_х - коэффициент аэродинамического сопротивления.

Коэффициенты сопротивления возьмем 0,3 для легкового, 0,6 - автобуса и 0,8 - для грузового автомобиля. Средние сечения: легковой 2,7 м² и 7,8 для автобуса и легкового автомобиля. Расчеты видны в таблице:

V

ro

Sx

S

F1

F2

F3

1

1,29

0,3

2,7

0,52245

2,6316

4,0248

2

0,6

6,8

2,0898

10,5264

16,0992

3

0,8

7,8

4,70205

23,6844

36,2232

4

8,3592

42,1056

64,3968

5

13,06125

65,79

100,62

6

18,8082

94,7376

144,8928

7

25,60005

128,9484

197,2152

8

33,4368

168,4224

257,5872

9

42,31845

213,1596

326,0088

10

52,245

263,16

402,48

11

63,21645

318,4236

487,0008

12

75,2328

378,9504

579,5712

13

88,29405

444,7404

680,1912

14

102,4002

515,7936

788,8608

15

117,5513

592,11

905,58

16

133,7472

673,6896

1030,349

17

150,9881

760,5324

1163,167

18

169,2738

852,6384

1304,035

19

188,6045

950,0076

1452,953

20

208,98

1052,64

1609,92

21

230,4005

1160,536

1774,937

22

252,8658

1273,694

1948,003

При скорости движения 100 км/ч сила сопротивления по сравнению с слой сопротивления при скорости 40 км/ч увеличивается в 8 раз, при скорости 180 км/ч - в 30 раз.

Мощность двигателя, необходимая для преодоления аэродинамического сопротивления, пропорциональна, следовательно, кубу скорости:

N_v = F_v·v/3600 (кВт),

где v - относительная скорость движения автомобиля, км/ч., и мощность в киловатт часах

V

ro

Sx

S

P1

P2

P3

1

1,29

0,3

2,7

0,00029

0,00172

0,002236

2

0,6

8

0,002322

0,01376

0,017888

3

0,8

7,8

0,007837

0,04644

0,060372

4

0,018576

0,11008

0,143104

5

0,036281

0,215

0,2795

6

0,062694

0,37152

0,482976

7

0,099556

0,58996

0,766948

8

0,148608

0,88064

1,144832

9

0,211592

1,25388

1,630044

10

0,29025

1,72

2,236

11

0,386323

2,28932

2,976116

12

0,501552

2,97216

3,863808

13

0,637679

3,77884

4,912492

14

0,796446

4,71968

6,135584

15

0,979594

5,805

7,5465

16

1,188864

7,04512

9,158656

17

1,425998

8,45036

10,98547

18

1,692738

10,03104

13,04035

19

1,990825

11,79748

15,33672

20

2,322

13,76

17,888

При увеличении скорости необходимая мощность двигателя возрастает в 140 раз при увеличении скорости от 40 км/ч до 180 км/ч .

Траектория полета тела, брошенного под углом к горизонту

Исследуем для скорости 74 м/с и углов 30^о, 45^о и 60^о

x

V₀

α_град

α_рад

y₁

y₂

y₃

1

74

30

0,523599

0,576157

0,99821

1,728472

11

45

0,785398

6,20649

10,78346

18,61947

21

60

1,047198

11,59821

20,21077

34,79462

31

16,7513

29,28017

50,25391

41

21,66579

37,99164

64,99736

51

26,34165

46,34518

79,02495

61

30,7789

54,3408

92,33669

71

34,97753

61,97849

104,9326

81

38,93754

69,25825

116,8126

91

42,65894

76,18009

127,9768

Исследование гравитационного взаимодействия

Численные расчеты гравитационных взаимодействий без вычислительной техники требуют достаточно много времени и потому редко выполнялись на уроках физики. Использование Excel позволяет рассмотреть несколько интересных примеров.

Задание № 1. Определите ускорение свободного падения на разных широтах Земного шара.

На поверхности Земли тела удерживаются силой тяготения , где М - масса Земли, R - ее радиус. Любая точка поверхности земного шара, лежащая на географической широте φ, движется по кругу радиуса r = R Cos φ с центростремительным ускорением ω²R Cos φ. Это ускорение сообщается составляющей силы тяготения ОG (Рис.1). Вторая составляющая ОС - вес тела. Для всех точек земной поверхности, не принадлежащих экватору и полюсам, вектор веса тела не направлен к центру Земли.

Разложим силу ОС на две: направленную вдоль радиуса OD и по касательной ОВ.

Вращение Земли приводит к двум фактам. Во-первых, вес (давление тела на Землю) стал меньше силы тяготения. Так как ОС ≈ OD, то это уменьшение равно DE = mR ω² Cos² φ.

Во-вторых, возникает сила, стремящаяся расплющить Землю, передвинуть вещество к экватору; эта сила ОВ = mR ω² Cos φ Sin φ , и Земля имеет не форму шара, а форму, близкую к эллипсоиду вращения. Сила тяжести на широте φ будет mg - m ω² R Cos² φ . Ускорение свободного падения определяем по формуле g = , центростремительное ускорение - a = R ω² Cos² φ , и ускорение свободного падения на широте φ определится - g - а .

Проведем расчеты в Excel:

M- Земли

R- Земли

ω

G

g

φ

φ1

a

g-a

5,97E+24

6,38E+06

7,27E-05

6,67E-11

9,79E+00

0

0

0,033741

9,751894

10

0,174533

0,033228

9,752407

20

0,349066

0,031706

9,753929

30

0,523599

0,02922

9,756415

40

0,698132

0,025847

9,759788

50

0,872665

0,021688

9,763947

60

1,047198

0,01687

9,768765

70

1,22173

0,01154

9,774095

80

1,396263

0,005859

9,779776

90

1,570796

2,07E-18

9,785635

Масса Земли, радиус, гравитационная постоянная введены в ячейки А2, В2 и D2 ; в ячейки столбца F введены значения углов в градусах. Формулы : в ячейке G2 - =РАДИАНЫ(F2), угловая скорость ω определена - =2*ПИ()/(24*3600), ускорение свободного падения g - = D2*A2/B2^2. Уменьшение ускорения на разных широтах определено в ячейках столбца Н - H2 - = $C$2^2*$B$2*(COS(G2))^2, в I2 - = $E$2 - H2. Все формулы размножены до 11 строки. Формат ячеек столбцов F, G , Н, I - общий, ячеек - A, B, C,D, E - экспоненциальный.

Задание № 2. Используя полученные данные определите дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, на разных широтах Земного шара.

α

V_y

V_x

V

Время полета и дальность

угол

скорость

широта

g-a

дальность

0,785

70,00

0

9,751894

502,4663

10

9,752407

502,4399

20

9,753929

502,3615

30

9,756415

502,2335

40

9,759788

502,0599

50

9,763947

501,8461

60

9,768765

501,5986

70

9,774095

501,325

80

9,779776

501,0338

90

9,785635

500,7338

Задан угол 45^о и скорость 70 м/с. В столбец D скопированы данные предыдущей таблицы, в ячейку Е2 записана формула =$B$2^2*Sin(2*$A$2)/D2

Комментируя полученные результаты вычислений, обращаем внимание учащихся на необходимость округления до трех значащих цифр.

Траектории полета на разных широтах выглядят так:

x

a

v0

g

y1

y2

y3

0

0,785398

73

9,752

0

0

0

10

9,759

9,817001

9,81687

9,816382

20

9,785

19,26801

19,26748

19,26553

30

28,35301

28,35183

28,34744

40

37,07202

37,06992

37,06211

50

45,42503

45,42175

45,40955

60

53,41205

53,40732

53,38975

70

61,03306

61,02663

61,00272

80

68,28808

68,27968

68,24845

90

75,17711

75,16647

75,12695

100

81,70013

81,687

81,63821

110

87,85716

87,84126

87,78223

120

93,64819

93,62927

93,55902

130

99,07322

99,05102

98,96857

140

104,1323

104,1065

104,0109

150

108,8253

108,7957

108,686

160

113,1523

113,1187

112,9938

170

117,1134

117,0754

116,9344

180

120,7084

120,6659

120,5078

190

123,9375

123,8901

123,7139

200

126,8005

126,748

126,5528

210

129,2976

129,2397

129,0245

Задание 3. Определите ускорение свободного падения и первую космическую скорость на разных высотах над поверхностью Земли.

G

M

R+h

gh

Vh

Vk

1

6,67E-11

5,97E+24

6,38E+06

6,38E+06

9,786

7901,414

7,901

2

1,28E+07

2,446

5587,144

5,587

3

1,91E+07

1,087

4561,884

4,562

4

2,55E+07

0,612

3950,707

3,951

5

3,19E+07

0,391

3533,620

3,534

6

3,83E+07

0,272

3225,739

3,226

7

4,47E+07

0,200

2986,454

2,986

8

5,10E+07

0,153

2793,572

2,794

9

5,74E+07

0,121

2633,805

2,634

10

6,38E+07

0,098

2498,647

2,499

Высоты обозначены R+h, gh - ускорение на высоте R+h, первая космическая скорость на высоте R+h обозначена Vh, Vk - значение первой космической скорости в км/с.

Ускорение определяем по формуле , а скорость

Формулы введены так: в ячейку Е3 - =Е2+6,38Е+06, в F2 - =$B$2*$C$2/E2^2, в G2 - =КОРЕНЬ($B$2*$C$2/E2), в H2 - =G2/1000 для выражения скорости в км/с.

Задание № 4. Определите скорость движения планет на орбитах и период их вращения вокруг Солнца..

Сравнивая выражения центростремительного ускорения и силу всемирного тяготения , из второго закона Ньютона получаем

Планета

расстояние до Солнца (м)

масса Солнца

G

V скорость

период

Период в годах

Меркурий

5,79E+10

2,00E+30

6,67E-11

47999,71

7,58E+06

0,241

3,38E+18

Венера

1,08E+11

35112,7

1,94E+07

0,615

3,38E+18

Земля

1,50E+11

29861,53

3,15E+07

1,000

3,38E+18

Марс

2,28E+11

24193,89

5,92E+07

1,880

3,38E+18

Юпитер

7,78E+12

4140,039

1,18E+10

375,252

3,38E+18

Сатурн

1,43E+12

9668,652

9,27E+08

29,460

3,38E+18

Уран

2,87E+12

6818,874

2,64E+09

83,984

3,38E+18

Нептун

4,50E+12

5447,093

5,19E+09

164,756

3,38E+18

Плутон

5,90E+12

4755,015

7,80E+09

247,674

3,38E+18

В ячейку Е2 записана формула =КОРЕНЬ($D$2*$C$2/B2), в ячейке F2- =2*ПИ()*В2/Е2. Чтобы периоды выразить в годах в ячейке G2 записано - = F2/$F$4
Для убеждения в том, что результаты вычисления соответствуют законам природы, в столбце Н проверим выполнение закона Кеплера , для чего в ячейку H2 введем формулу =B2^3/F2^2 Формулы размножим до десятой строки.

планета

масса

V

T

T/Tз

Меркурий

3,30E+23

5,80E+10

47958,315

87,95

0,2

Венера

4,90E+24

1,08E+11

35145,201

223,47

0,6

Земля

2,00E+30

1,50E+11

29821,692

365,78

1,0

Марс

6,40E+23

2,28E+11

24188,587

685,47

1,9

Юпитер

1,90E+27

7,80E+11

13077,677

4337,41

11,9

Сатурн

5,70E+26

1,43E+12

9658,505

10766,94

29,4

Уран

8,70E+25

2,87E+12

6817,686

30613,36

83,7

Нептун

1,00E+26

4,50E+12

5444,671

60104,50

164,3

Плутон

5,00E+24

5,90E+12

4755,015

90233,17

246,7

Для закрепления умений предлагаем задания: используя справочные данные определите плотности планет, ускорение свободного падения и дальность полета на планетах, постройте сравнительные диаграммы размеров планет, расстояний их до Солнца.

Исследование столкновений

Закон сохранения импульса впервые сформулировал Декарт. Он формулирует его так: «если одно тело сталкивается с другим, оно не может сообщить ему никакого другого движения, кроме того, которое потеряет во время этого столкновения, как не может и отнять у него больше, чем одновременно приобретет само» (Декарт Р. Избранные произведения.- М. Изд-во полит. Лит.1950.). Ньютон сформулировал второй закон динамики через количество движения (mv) «Изменение количества движения пропорционально приложенной силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует» . (Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Перевод с латинского и комментарии А.Н.Крылова. (М.: Наука, 1989.) Гюйгенс, рассматривая соударение тел в движущихся системах отсчета, пришел к принципу относительности .

Термин «количество движения» просуществовал вплоть до недавнего времени и лишь недавно был заменен понятием «импульс тела». Импульсом тела называется произведение его массы на скорость , а импульсом системы - геометрическая сумма импульсов отдельных тел, входящих в систему: . Из второго и третьего законов следует постоянство векторной суммы количества движения тел, образующих замкнутую систему.

Открытие различных элементарных частиц и исследование процессов их столкновения и превращения, разработка теории реактивного движения, заставили ученых взглянуть на этот закон с иной точки зрения и сделать переоценку его значения в процессе познания. Сейчас он считается универсальным законом природы, не имеющим исключений. Не обнаружено ни одного явления ни в микромире, ни в макромире, где бы этот закон нарушался.

Закон сохранения импульса широко применяется при расчетах столкновений элементарных частиц, макроскопических тел, отдачи при выстреле и реактивной силы, создаваемой ракетным двигателем.

Ударом называется явление конечного изменения скоростей твердых тел за весьма малый промежуток времени τ, происходящее при их столкновениях. В процессе деформации тел при ударе возникают мгновенные (ударные) силы, величина которых весьма значительна. Для системы соударяющихся тел мгновенные силы являются внутренними силами. Их импульсы за время τ продолжительности удара во много раз больше импульсов всех внешних сил, приложенных к системе. Поэтому в процессе удара влиянием внешних сил можно пренебречь.

Удар называется прямым, если скорости центров инерции соударяющихся тел перед ударом параллельны линии удара. Удар называется центральным, если при ударе центры инерции соударяющихся тел лежат на линии удара.

Пример 1. Центральный абсолютно упругий удар (упругое столкновение). Ударом называется явление изменения скоростей тел за очень малый промежуток времени их столкновения. Удар называется абсолютно упругим, если в результате взаимодействия механическая энергия системы не изменяется. Удар называется центральным , если скорости тел до удара направлены вдоль линии, соединяющей центры масс тел.

U₂

U₁

m₂

m₁

m₂

V₂

V₁

m₁

Два шара с массами m₁ и m₂ движутся поступательно вдоль горизонтальной прямой со скоростями V₁ и V₂ .Требуется определить скорости шаров U₁ и U₂ после абсолютно упругого удара.

Закон сохранения проекции импульсов на горизонтальную ось запишется

m₁V₁ + m₂V₂ = m₁U₁ + m₂U₂

Закон сохранения энергии

Решая совместно эти уравнения, получим

и

Исследуем полученные уравнения с помощью Excel

m1

m2

V1

V2

U1

U2

5

40

10

2

-4,22222

3,777778

10

-2,8

5,2

15

-1,63636

6,363636

20

-0,66667

7,333333

25

0,153846

8,153846

30

0,857143

8,857143

35

1,466667

9,466667

40

2

10

45

2,470588

10,47059

50

2,888889

10,88889

55

3,263158

11,26316

60

3,6

11,6

65

3,904762

11,90476

70

4,181818

12,18182

75

4,434783

12,43478

80

4,666667

12,66667

В ячейке b3 введена формула =b2+5, в c2 - m2, d2 - V1, e2 - V2, f2 - формула =((b2-$c$2)*$d$2+2*$c$2*$e$2)/(b2+$c$2),

в ячейки g2 - =(($c$2-b2)*$e$2+2*b2*$d$2)/(b2+$c$2). Формулы размножены до 20 строки.

Видно, что если шары имеют одинаковые массы, то в результате упругого удара обмениваются скоростями.

Если второй шар до удара покоился (V₂ = 0), то

и

m1

m2

V1

V2

U1

U2

5

40

10

0

-7,77778

2,222222

10

-6

4

15

-4,54545

5,454545

20

-3,33333

6,666667

25

-2,30769

7,692308

30

-1,42857

8,571429

35

-0,66667

9,333333

40

0

10

45

0,588235

10,58824

50

1,111111

11,11111

55

1,578947

11,57895

60

2

12

65

2,380952

12,38095

70

2,727273

12,72727

75

3,043478

13,04348

80

3,333333

13,33333

85

3,6

13,6

90

3,846154

13,84615

95

4,074074

14,07407

100

4,285714

14,28571

При m₁> m₂ первый шар после удара движется вправо, но с меньшей скоростью, при m₁ < m₂ первый шар движется влево, при равных массах шары обмениваются скоростью.

Пример 2. Центральный абсолютно неупругий удар (неупругое столкновение) двух шаров. При абсолютно неупругом ударе между телами действуют не потенциальные силы, и после удара тела движутся как одно целое с общей скоростью.

Пусть скорости поступательного горизонтального движения шаров с массами m₁ и m₂ до удара были соответственно равны V₁ и V₂ , а после удара их общая скорость равна U.

XU

V₂

V₁

m₂

m₁

Воспользовавшись законом сохранения импульсов с учетом направления векторов скорости и оси Х , запишем уравнение

m₁V₁ + m₂V₂ = (m₁ + m₂) U.

Откуда

Кинетическая энергия шаров до удара , после удара . Уменьшение механической энергии системы сопровождается возрастанием внутренней энергии - выделяется тепло Q = E_o - E_k . Выражение называют ударный импульс. Определим и отношение выделенной энергии к начальной

Проведем исследование в Excel

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

1

m₁

m₂

V₁

V₂

U

S

E₀

E_k

Q

k

2

2

20

10

-12

-10

40

1540

1100

440

0,285714

3

4

-8,33333

73,33333

1640

833,3333

806,6667

0,49187

4

5

6

6

-6,92308

101,5385

1740

623,0769

1116,923

0,64191

7

8

-5,71429

125,7143

1840

457,1429

1382,857

0,751553

Проведем исследование в Excel

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

1

m₁

m₂

V₁

V₂

U

S

E₀

E_k

Q

k

2

2

20

10

-12

-10

40

1540

1100

440

0,285714

3

4

-8,33333

73,33333

1640

833,3333

806,6667

0,49187

4

5

6

6

-6,92308

101,5385

1740

623,0769

1116,923

0,64191

7

8

-5,71429

125,7143

1840

457,1429

1382,857

0,751553

8

10

-4,66667

146,6667

1940

326,6667

1613,333

0,831615

9

12

-3,75

165

2040

225

1815

0,889706

10

14

-2,94118

181,1765

2140

147,0588

1992,941

0,931281

11

16

-2,22222

195,5556

2240

88,88889

2151,111

0,960317

12

18

-1,57895

208,4211

2340

47,36842

2292,632

0,979757

13

20

-1

220

2440

20

2420

0,991803

14

22

-0,47619

230,4762

2540

4,761905

2535,238

0,998125

15

24

0

240

2640

0

2640

1

16

26

0,434783

248,6957

2740

4,347826

2735,652

0,998413

17

28

0,833333

256,6667

2840

16,66667

2823,333

0,994131

18

30

1,2

264

2940

36

2904

0,987755

19

32

1,538462

270,7692

3040

61,53846

2978,462

0,979757

20

34

1,851852

277,037

3140

92,59259

3047,407

0,970512

21

36

2,142857

282,8571

3240

128,5714

3111,429

0,960317

22

38

2,413793

288,2759

3340

168,9655

3171,034

0,949412

23

40

2,666667

293,3333

3440

213,3333

3226,667

0,937984

24

42

2,903226

298,0645

3540

261,2903

3278,71

0,926189

25

44

3,125

302,5

3640

312,5

3327,5

0,914148

Для определения скорости движения шаров после удара в ячейки столбца F введена формула: =(B2*$D$2+$C$2*$E$2)/(B2+$C$2).

Начальная кинетическая энергия Е₀ определяется в столбце

H: =(B2*$D$2^2+$C$2*$E$2^2)/2

Энергия после удара в столбце I : =((B2+$C$2)*F2^2)/2

Внутренняя энергия в столбце J: =H2-I2, коэффициент в K: = (H2-I2)H2

Меняя значения масс шариков и их скорости, наблюдаем изменения всех параметров.