Задачи по механике повышенной сложности

Физика на 100 Механика Гойхман ГС

Задача 1. (ЕГЭ 2015). Брусок массой m=1 кг, привязанный к потолку лёгкой нитью, опирается на массивную горизонтальную доску. Под действием горизонтальной силы F доска движется поступательно вправо с постоянной скоростью (см. рисунок). Брусок при этом неподвижен, а нить образует с вертикалью угол α=30° (см. рисунок). Найдите F, если коэффициент трения бруска по доске μ=0,2. Трением доски по опоре пренебречь.

Решение. Эта задача на движение под действием нескольких сил. Подобные задачи решаются с использованием законов Ньютона по следующему алгоритму:

• делается подробный рисунок с расстановкой векторов ускорения и всех приложенных к телу сил. Если тел несколько и они взаимодействуют друг с другом, то связи заменяются силами в соответствии с третьим законом Ньютона;

• для каждого тела пишется уравнение движения по второму закону Ньютона

• выбирается удобная система координат и переписывается уравнение движения в проекциях на систему координат

• решить совместно полученные уравнения.

Разобьём рисунок на два, разорвав связь между бруском и доской и заменив её силами трения, которыми они действуют друг на друга. Получим два рисунка.

Здесь всё понятно. Так как скорость постоянная, то F=F_тр1. А по третьему закону Ньютона F_тр2=F_тр1.

y

x

α

На рисунке справа на брусок действуют четырёх сил, под действием которых он находится в покое. Уравнение для второго закона Ньютона запишется в виде . Перепишем его в проекциях . Кроме того F_тр2= μN. С учётом этого решаем совместно предыдущую систему. Окончательно получим

Ответ:

α

Задача 2. (ЕГЭ 2015). Стержень массой m шарнирно закреплен на потолке и образует угол 30° с массивной доской. Массивная доска под действием силы F=2 Н движется прямолинейно без ускорения. Коэффициент трения между доской и стержнем 0,2. Стержень остается неподвижен. Трением в шарнире и доски о поверхность пренебречь. Найти массу стержня.

α

О

Решение. Расставим все силы, действующие на стержень. Учтём, что доска и стержень действуют друг на друга силами трения, равными по третьему закону Ньютона. Кроме того, вследствие движения доски с нулевым ускорением, сила F равна силе трения . Здесь N - сила реакции опоры (доски). Если считать стержень однородным и одинаковой толщины по всей его длине, то можно считать, что сила тяжести приложена к середине стержня. На рисунке не указана сила действия шарнира на стержень. Воспользуемся правилом моментов относительно точки О подвеса стержня (шарнира). Так как стержень находится в покое, то алгебраическая сумма моментов всех сил равна нулю. Если длина стержня равна L, то . Отсюда

.

Далее

.

И, наконец,

.

Отсюда

Ответ: 2,23 кг

Задача 3. (Олимпиада «Физтех-2015») U-образная трубка с открытыми в атмосферу вертикальными коленами заполнена частично ртутью. Одно из колен закрывают сверху, а в другое доливают столько ртути, что после установления равновесия смещения уровней ртути в коленах (относительно начального положения) отличаются в 4 раза, а в закрытом колене остается столб воздуха длиной L=25 см. Найдите атмосферное давление. Ответ выразить в миллиметрах ртутного столба (мм рт. ст.).

Решение. Будем считать, что температура не изменилась после доливания ртути в левое колено U-образной трубки. x

L

4x

О₁

О₂

Значит, для воздуха в закрытом колене можно использовать закон Бойля-Мариотта . Здесь p₀ - атмосферное давление, p₁ - давление «запертого» в колене воздуха. Кроме того, давление на уровне О₁О₂ одинаковое. Поэтому . Из полученных уравнение получим , а в мм рт. ст. ответ будет выглядеть

Ответ: 750 мм рт. ст.

Задача 4. (ДВИ МГУ 2014 г.) К потолку комнаты прикреплён конец невесомой нерастяжимой нити длиной L= 4 м. На другом конце нити закреплён маленький шарик. Расстояние от потолка до пола равно 0,5L. Слегка натянув нить, шарик отклонили так, чтобы нить приняла горизонтальное положение, а затем отпустили без толчка. В процессе движения шарик совершает с полом абсолютно упругие соударения. Пренебрегая влиянием воздуха, определите расстояние х между точками первого и третьего соударений шарика с полом. Числовой ответ выразите в метрах, округлив до десятых.

Решение. Для начала найдем скорость, с которой шарик ударится об пол.

x

0

y

V

V₀

По закону сохранения энергии . Отсюда . Из геометрических соображений исходя из условия задачи, а также по причине абсолютно упругого удара понятно, что угол между скоростью V₀ отскока и поверхностью пола равен 30°. А также V₀=V. Следовательно, координата шарика в момент первого удара равна . Найдем координату второго удара . Это означает, что расстояние между первым и третьим ударом равно .

Ответ:

Задача 5. (ДВИ МГУ 2013 г.) На плоскость, образующую с горизонтом угол α=30°, положили брусок массой M=8 кг и привязанный к нему лёгкой нерастяжимой нитью брусок массой m=4кг. При этом тяжёлый брусок расположили ниже лёгкого так, что нить оказалась слегка натянутой и расположенной в вертикальной плоскости, проходящей через центры масс брусков перпендикулярно линии пересечения наклонной плоскости и горизонтальной поверхности. После этого бруски одновременно отпустили без начальной скорости. Определите модули ускорений брусков относительно земли, если коэффициент трения о плоскость бруска массой М равен μ₁=0,2, а бруска массой m - μ₂=0,5. Примите модуль ускорения свободного падения равным g=10 м/с²

Решение. Сделаем рисунок. Разорвём мысленно связь между брусками, заменив её силами натяжения нити. Для этого сделаем вспомогательные рисунки. Расставим все вектора сил, действующих на бруски и вектор ускорения.

α

M

m

Для каждого из брусков напишем уравнения движения по второму закону Ньютона. Затем перепишем их в проекциях на выбранную систему координат и решим совместно полученные уравнения.

y

x

α

α

y

x

x)

y)

Отсюда

x)

y)

Отсюда

Учитывая, что по третьему закону Ньютона , получим систему

Сложим оба эти уравнения

и .

И, наконец,

Ответ: 2,4 м/с²

Задача 6.

ρ₁

ρ₂

(ЕГЭ, 2014) На границе раздела двух несмешивающихся жидкостей, имеющих плотности ρ₁=400 кг/м³ и ρ₂=2ρ₁, плавает шарик (см. рисунок). Какой должна быть плотность шарика ρ, чтобы выше границы раздела жидкостей была одна четверть его объёма?

Решение. Пусть объём всего шарика равен V, тогда объём его части, находящейся выше границы раздела жидкостей будет равен αV, где α=0,25 по условию, его ниже раздела будет находиться объём (1-α)V. Так как и жидкости, и шарик находятся в равновесии, то сумма всех приложенных сил равна нулю, а это сила тяжести и Архимедова сила, состоящая из двух, так как шарик находится в двух жидкостях. Итак, . Отсюда . С учётом условия задачи ρ=1,75ρ₁=700 кг/м³.

Ответ: 1,75 ρ₁=700 кг/м³

Задача 7. (Олимпиада «Физтех-2015») В сосуде с водой закреплен клин. На гладкой поверхности клина, наклоненной к горизонту под углом α (tg α=1/4), удерживается стеклянный шар с помощью горизонтально натянутой нити (см. рис.). Объем шара V, плотность воды ρ, плотность стекла 3ρ.

1) Найдите силу натяжения нити при неподвижном сосуде.

2) Найдите силу натяжения нити при движении сосуда с горизонтальным ускорением a= g/8.

В обоих случаях шар находится полностью в воде.

Решение. Сделаем рисунок с расстановкой всех приложенных сил.

Для первого случая при неподвижном сосуде уравнение равновесия шара

x

y

В проекциях на оси координат

, .

Отсюда .

Известно, что , а . Тогда

x

y

Для второго случая надо понимать, что при движении с ускорением со стороны жидкости на шар действует дополнительно сила, направленная в ту же сторону, что и ускорение. Это - тоже архимедова сила, равная . Уравнением движения будет

В проекциях на оси координат

, .

Отсюда . Далее

Ответ: ,

Задача 9. (Физтех-2003) В результате удара шар получил скорость v₀ вдоль горизонтальной поверхности стола и вращение вокруг своего горизонтального диаметра, перпендикулярного скорости (см. рис.). После удара скорость шара уменьшалась в течение времени τ, а затем стала постоянной.

1. Найдите эту постоянную скорость.

2. На каком расстоянии от места удара окажется шар через время 4τ после удара?

Коэффициент трения скольжения между поверхностями шара и стола - µ.

Решение. Из условия ясно, что после удара скорость шара уменьшалась в течение времени τ, а затем стала постоянной. Это означает, что вначале на шар действовала сила трения скольжения, что и приводило к уменьшению скорости. Продолжалось это до тех пор, пока скорость поступательного движения шара была больше скорости вращения точек поверхности шара. По второму закону Ньютона , где mмасса шара. Но , a . Отсюда . Тогда . И наконец,

Таким образом, в течение времени τ шар проскальзывал с ускорением на расстояние .

Далее шар двигался с постоянной скоростью и за время 3τ прошел путь . Итак за время 4τ шар окажется на расстоянии

Ответ:;

g

β

Задача 10. (Олимпиада «Физтех-2005») Клин, прислонённый к гладкой вертикальной стене, находится на гладкой горизонтальной поверхности стола. Поверхность клина наклонена под углом β к горизонту. (см. рис.). Автомобильное колесо массой m скатывается без проскальзывания с клина. При движении колеса по клину клин давит на стол с постоянной силой, величина которой на ∆F больше веса клина. На какое расстояние сместится колесо по клину за время t, начав движение из состояния покоя.

Решение. Рассмотрим отдельно силы, действующие на клин и колесо.

g

β

При движении колеса по клину последний находится в покое под действием силы тяжести, силы реакции опоры со стороны стола, силы трения и силы давления со стороны колеса. Поэтому

.

В проекции на вертикальную ось

Для скатывающегося колеса

В проекциях

Так как по условию , то

Отсюда

.

И, наконец,

Ответ:

Задача 11. (Олимпиада «Физтех-2011»). На гладкой горизонтальной поверхности стола находятся бруски массами m и 3m, к которым прикреплена лёгкая пружина жёсткостью k, сжатая на величину x₀ (см. рис.). Брусок массой 3m удерживают неподвижно, другой прижат к упору. Затем брусок массой 3m отпускают.

1. Найдите скорость бруска массой 3m в момент отрыва другого бруска от упора.

2. Найдите величину деформации пружины при минимальном расстоянии между брусками в процессе их движения после отрыва от упора.

Примечание. Величиной деформации называется модуль разности длин пружин в напряжённом и ненапряжённом состояниях.

Решение. Здесь важно понять, что в момент отрыва от упора ускорение обоих брусков равно нулю. Почему? Давайте разбираться. В тот момент, когда брусок массой 3m отпустили, сила упругости сообщает ему некоторое ускорение. По мере уменьшения деформации пружины это ускорение уменьшается. Левый же брусок массой m не двигается, так как та же сила упругости прижимает его к упору. В момент, когда пружина окажется недеформированной, брусок массой m получит возможность начать движение. Но теперь на оба бруска не действуют никакие силы в направлении движения, следовательно, и ускорение будет нулевым. Но брусок массой 3m уже приобрёл некоторую скорость (её и надо найти!). Двигаясь дальше, он растягивает пружину. Снова возникает сила упругости, которая с одной стороны уменьшает скорость бруска массой 3m, а с другой стороны увеличивает скорость бруска массой m. Теперь можно писать уравнения. В момент отрыва от упора между брусками действуют только внутренняя сила (сила упругости). По закону сохранения энергии . Здесь v - скорость бруска массой 3m в момент отрыва от упора бруска массой m. Отсюда .

Теперь определим минимальную деформацию пружины при дальнейшем движении брусков. Ясно, что при минимальной деформации пружины оба бруска относительно Земли имеют одинаковую скорость v₁ (ведь их относительная скорость по отношению друг к другу равна нулю!). Применим закон сохранения импульса: . Отсюда . А по закону сохранения энергии для тех же моментов времени

.

Отсюда

И/, наконец,

Ответ: ;

MЗадача 11. (ЕГЭ-2014) Небольшие шарики, массы которых m=30 г и M=60 г, соединены лёгким стержнем и помещены в гладкую сферическую выемку. В начальный момент шарики удерживаются в положении, изображённом на рисунке. Когда их отпустили без толчка, шарики стали скользить по поверхности выемки. Максимальная высота подъёма шарика массой М относительно нижней точки выемки оказалась равной 12 см. Каков радиус выемки R?

Решение.

Задачи для самостоятельного решения.

(ЕГЭ 2015)α

Стержень массой m шарнирно закреплен на потолке и образует угол 30° с массивной доской. Массивная доска под действием силы F=2 Н движется прямолинейно без ускорения. Коэффициент трения между доской и стержнем 0,2. Стержень остается неподвижен. Трением в шарнире и доски о поверхность пренебречь. Найти массу стержня.

1. (Олимпиада «Физтех-2015») U-образная трубка с открытыми в атмосферу вертикальными коленами заполнена частично ртутью. Одно из колен закрывают сверху, а в другое доливают столько ртути, что после установления равновесия уровень ртути в открытом колене смещается на х=6 см, а в закрытом колене остается воздушный столб длиной L=15 см. Найдите начальную (до долива ртути) длину столба воздуха в закрытом колене. Атмосферное давление Р₀=750 мм рт. ст.

2. (ДВИ МГУ 2013 г.) На наклонную плоскость положили брусок массой M=8 кг и привязанный к нему лёгкой нерастяжимой нитью брусок массой m=4 кг. При этом тяжёлый брусок расположили ниже лёгкого так, что нить оказалась слегка натянутой и расположенной в вертикальной плоскости, проходящей через центры масс брусков перпендикулярно пересечения наклонной плоскости и горизонтальной поверхности. Если после этого бруски одновременно отпустить, сообщив нижнему бруску некоторую скорость, направленную вниз по наклонной плоскости, то бруски будут скользить с этой скоростью по плоскости. Определите тангенс угла наклона плоскости к горизонту, если коэффициент трения о плоскость бруска массой М равен μ₁=0,2, а бруска массой m - μ₂=0,5.

3. (Олимпиада «Физтех-2015») В сосуде с водой закреплена полка, наклоненная к горизонту под углом α (tg α=1/3). Пробковый шар опирается на гладкую поверхность полки и удерживается с помощью горизонтально натянутой нити (см. рис.). Объем шара V, плотность воды ρ, плотность пробки ρ/5.

1) Найдите силу натяжения нити при неподвижном сосуде.

2) Найдите силу натяжения нити при движении сосуда с горизонтальным ускорением a=g/6.

В обоих случаях шар находится полностью в воде.

A

β

(Олимпиада «Физтех-2002») В сосуде с водой находится алюминиевый шар объемом V, прикрепленный ко дну сосуда нитью АВ (см. рис.). Дно сосуда горизонтальное и гладкое. Плотности алюминия и воды ρ₀ и ρ. Найти силу давления шара на дно сосуда в двух случаях:

1. сосуд неподвижен,

2. сосуд движется с постоянным горизонтальным ускорением а, и нить составляет с дном угол β.

(Олимпиада «Физтех-2003»). Обручу, закрученному вокруг горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно плоскости обруча через его центр, сообщают вдоль горизонтальной поверхности стола скорость v₀, направленную перпендикулярно оси вращения (см. рис.). Обруч сначала удаляется, а затем из-за трения о стол возвращается к месту начала движения со скоростью v₁=v₀/4, катаясь без проскальзывания. Коэффициент трения скольжения между обручем и столом - µ.

1. Найдите время движения до места максимального удаления.

2. Через какое время, считая от начала движения, обруч возвратиться назад?

Ответ: ;

(Олимпиада «Физтех-2003»).

Шару ударом сообщили скорость v₀ вдоль горизонтальной поверхности стола и вращение вокруг его горизонтального диаметра, перпендикулярного скорости (см. рис.). В результате скорость шара в течение времени t₀ увеличивалась, а затем шар стал двигаться с постоянной скоростью.

1. Найдите эту постоянную скорость.

2. На какое расстояние от места удара удалится шар за время 3t₀ после удара?

Коэффициент трения скольжения между поверхностями шара и стола - µ.

Ответ: ;

4. (Олимпиада «Физтех-2003»). Обручу, закрученному вокруг горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно плоскости обруча через его центр, сообщают вдоль горизонтальной поверхности стола скорость v₀, направленную перпендикулярно оси вращения (см. рис.). Обруч сначала удаляется, а затем из-за трения о стол возвратился к месту броска, катясь без проскальзывания со скоростью v₁=v₀/3. Коэффициент трения скольжения между обручем и столом - µ.

На какое максимальное расстояние от места броска удалился обруч?

1. Найдите отношение времени возврата (движение к месту броска) ко времени удаления (движение от места броска).

Ответ: ;

(Олимпиада «Физтех-2005»). g

γ

A

На гладкой горизонтальной поверхности стола находится призма, упирающаяся в гладкую вертикальную стенку. Поверхность призмы наклонена под углом γ к горизонту (см. рис.). Велосипедное колесо массой m движется вверх по призме, катясь без проскальзывания и имея при прохождении точки А скорость v₀. При движении колеса вверх призма давит на стенку с постоянной силой F. На какое максимальное расстояние удалится колесо от точки А при движении вверх?

Ответ:

5. (Олимпиада «Физтех-2011»). На гладкой горизонтальной поверхности стола находятся бруски массами m и 3m, к которым прикреплена лёгкая пружина жёсткостью k, сжатая на величину x₀ (см. рис.). Брусок массой 3m удерживают неподвижно, другой прижат к упору. Затем брусок массой 3m отпускают.

1. Найдите скорость бруска массой 3m в момент отрыва другого бруска от упора.

2. Найдите величину деформации пружины при максимальном расстоянии между брусками в процессе их движения после отрыва от упора.

Примечание. Величиной деформации называется модуль разности длин пружин в напряжённом и ненапряжённом состояниях.

Ответ: ;

17