Исследовательский проект Центр тяжести плоской фигуры

Ленинградская область

Выборгский район

МОУ «Вещевская СОШ»

Работу выполнили учащиеся 11 класса: Анстрок Мария, Селезнёва Ксения, Розанов Егор, Стрельников Олег.

• Цель исследования:

• экспериментально определить центр тяжести плоских фигур, изготовленных учащимися.

• Задачи исследования:

• подготовка к ЕГЭ по физике;

• углубленное изучение темы «Центр тяжести» из раздела «Статика»;

• раскрытие творческих способностей учащихся;

• поиск информации в сети Интернет;

• применение компьютерных технологий при оформлении исследовательской работы;

• овладение технологией проектной деятельности.

Введение.

Понятие о центре тяжести было впервые изучено примерно 2200 лет назад греческим геометром Архимедом, величайшим математиком древности. С тех пор это понятие стало одним из важнейших в механике, а также позволило сравнительно просто решать некоторые геометрические задачи.

Первым открытием Архимеда в механике было введение понятия центра тяжести, т.е. доказательство того, что в любом теле есть единственная точка, в которой можно сосредоточить его вес, не нарушив равновесного состояния. Архимед решил ряд задач на нахождение центров тяжести различных геометрических фигур: треугольника, параллелограмма, окружности и др., а также упомянул о существовании фигур, у которых центр тяжести находится извне, например, кольцо.конуса

В дальнейшем Герон и Папп приводят со ссылкой на Архимеда доказательство существования центра тяжести. Герон предваряет теорему фразой, относящейся к рассмотрению Архимедом идеализированных «физико-математических» тел (метод абстракции). Герон пишет: «Никто не отрицает, что о наклонении и отклонении в действительности говорят только о телах. Если же мы говорим о плоских или телесных (объемных) фигурах, что некоторая точка является их центром поворота и центром тяжести, то это достаточно разъяснено Архимедом». Эта фраза подтверждает, что замена тел их теоретическими моделями была в науке новшеством, введенным Архимедом. В современности модель материальной точки просто необходима при решении многих физических задач.

Понятие центра тяжести в школьном курсе обучения физике даётся в начале седьмого класса, а на определение центра тяжести отводится всего один урок в десятом классе. Этих знаний не достаточно для изучения темы «Статика» при подготовке к ЕГЭ. Этим мотивируется выбор темы нашего дальнейшего исследования.

• Определение центра тяжести формулируется так: «...центром тяжести некоторого тела является некоторая расположенная внутри него точка, обладающая тем свойством, что если за нее мысленно подвесить тяжелое тело, то оно останется в покое и сохранит первоначальное положение».

• Доказательство существования центра тяжести также основано на мысленном уравновешивании тела. В нем тело мысленно помещают на горизонтальную прямую, являющуюся основанием вертикальной плоскости: «Если какое-нибудь обладающее весом тело положить на прямую так, чтобы оно полностью рассекалось продолжением упомянутой плоскости, то оно может иногда занять такое положение, что будет оставаться в покое... Если затем переставить груз так, чтобы он касался прямой другой своей частью, то можно при поворачивании дать ему такое положение, что он, будучи отпущен, останется в покое... Если снова вообразить плоскость продолженной, то она разделит груз на две взаимно уравновешивающиеся части и пересечется с первой плоскостью... Если бы эти плоскости не пересеклись, то те же самые части были бы и уравновешивающимися и неуравновешивающимися, что нелепо».

Гипотеза.

Чтобы экспериментально определить центр тяжести плоской фигуры, нужно подвесить её за некоторую точку А и провести через эту точку вертикальную прямую АС по отвесу. В положении равновесия центр тяжести должен лежать на вертикали АС, иначе сила тяжести имела бы момент относительно оси, проходящей через точку подвеса, и этот момент вызывал поворот тела. Затем подвесить тело за некоторую точку В и вновь провести вертикальную прямую ВD, на которой также должен лежать центр тяжести. Следовательно, он находится в точке О пересечения прямых АС и ВD.

Центр тяжести геометрической фигуры (по Архимеду).

Центром тяжести круга - это точка пересечения его диаметров.

Центр тяжести треугольника - это точка пересечения его медиан.

Существуют фигуры, у которых центр тяжести находится вне фигуры.

Например, кольцо.

Проведённый эксперимент.

Правильность определения центра тяжести проверяется экспериментально: геометрический центр фигуры помещают на остриё иглы. Если фигура находится в равновесии, значит, расчеты верны.

Фигуры, изготовленные учащимися.

(творческие работы)

Проведение эксперимента.

Исследовательская задача.

Имеется однородный диск радиусом 12 сантиметров. На сколько сместится центр тяжести этого диска, если из него вырезать круг радиусом 6 см так, чтобы вырезанный круг касался окружности диска.

Дано: Решение:

R₁= 12 см

R₂= 6 см

х = ?

Обозначим центр диска точкой О, центр вырезанного круга точкой А, точку касания двух окружностей В и центр полученной фигуры точкой С. Искомое расстояние х есть нечто иное как отрезок ОС. ОА = R₁/2 по построению.

При определении положения центра тяжести диск с вырезом формально можно считать как сплошной диск массы m₁, на который наложен диск радиуса R₂, имеющий отрицательную массу - m₂, равную по модулю массе вырезанной части. Очевидно, что центр тяжести диска (т. С) лежит на продолжении прямой ОВ, соединяющей центры диска и выреза. Равенство моментов сил тяжести, действующих на положительную и отрицательную массы, относительно оси, проходящей через точку С, даёт

m₁gx = m₂g(x + R/2)

Учитывая, что m₁ = π R₁²σ и m₂ = πR₂²σ, где σ - масса единицы площади диска, находим искомое расстояние: х = R₂²R₁/2(R₁² - R₂²).

Откуда, х = 2 (см).

Ответ: смещение составляет 2 см.

Проведя экспериментальное определение центра тяжести фигуры, получаем совпадение результатов решения и эксперимента.

Выводы:

Проведенный эксперимент полностью подтвердил гипотезу опытного определения центра тяжести плоских фигур.

Источники информации:

1. Тихомирова С.А, Яворский Б.М. Физика 10 класс. - М.: Мнемозина, 2008.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7-9 класс. - М.: просвещение, 2006.

3. Сайт «Википедия».

4. Задачи по физике для поступающих в вузы. Бендриков Г.А., Буховцев Б.Б., Керженцев В.В., Мякишев Г.Я. - М.: Физматлит, 1995.

Оглавление:

1. Цель и задачи исследования ………………………………………..2

2. Введение ……………………………………………………………..3

3. Определение центра тяжести ………………………………………4

4. Гипотеза ……………………………………………………………...5

5. Центр тяжести геометрической фигуры (по Архимеду) ………….6

6. Проведенный экспнримент …………………………………………7

7. Фигуры, изготовленные учащимися ……………………………….8

8. Проведение эксперимента …………………………………………..9

9. Исследовательская задача ………………………………………….10

10. Выводы ……………………………………………………………..11

11. Источники информации ………………………………………… 12

14