Трудные вопросы и задания при подготовке к ЕГЭ

Трудные вопросы в решении

задач при подготовке к ЕГЭ

по физике

Пособие для подготовки к ЕГЭ

Тольятти, 2014

М.Л. Дёмина , преподаватель физики СОШ ТАУ 2014

Тольяттинская Академия Управления, 2014

ВВЕДЕНИЕ

Данное пособие предназначено для подготовки учащихся 11 класса к успешной сдаче ЕГЭ. Пособие составлено на основе примерной программы среднего (полного) общего образования (сборник нормативных документов. Физика./сост. Э.Д. Днепров, А.Г. Аркадьев - М. : Дрофа. 2007 )

Материал учебного пособия направлен на повторение, систематизацию и углубление знаний по физике, полученных в 7-10 классах; на развитие умений обобщать изученное и контролировать себя.

В пособии освещены трудные вопросы при сдачи ЕГЭ, даны варианты решений и описана логика решений.

Это пособие может быть использовано учителями физики и учащимися при решении трудных задач в подготовке к ЕГЭ.

Кроме того, оно полезно для формирования у школьников знаний и умений на высшем уровне - применения в нестандартной ситуации.

Содержание

1.Равномерное прямолинейное движение………………………………………………..

5

2.Свободное падение………………………………………………………………………

9

3.Криволинейное движение……………………………………………………………….

14

4.Движение по окружности……………………………………………………………….

17

5.Механические колебания и волны………………………………………………………

19

6.Постоянный ток ………………………………………………………………………….

24

7. Электростатика ……………………………………………………………………........

28

8.Магнитные явления………………………………………………………………………

29

9.Переменный ток …………………………………………………………………………

30

10.Волновая оптика ……………………….……………………………………………….

34

11.Геометрическая оптика ………………………………………………………………..

37

12.Линзы ……………………………………………………………………………………

41

13.Элементы теории относительности …………………………………………………...

42

14Явление фотоэффекта …………………………………………………………………..

45

15.Основы Молекулярно - кинетической теории………………………………………..

47

16.Теплота… ……………………………………………………………………………….

52

17.Работа.Законы термодинамики………………………………………………………...

55

18.Волновые свойства частиц…………………………………………………………….

58

19.Законы электролиза …………………………………………………………………….

60

20.Трансформаторы………………………………………………………………………...

65

21.Работа и мощность тока………………………………………………………………...

.

68

РАВНОМЕРНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Основные понятия кинематики :

Материальная точка (м.т.) - физическое тело, размерами которого можно пренебречь.

Механическое движение - изменение положения тела относительно других тел с течением времени.

Перемещение - вектор проведенный из начального положения материальной точки в конечное положение м.т.

Траектория - линия вдоль которой движется материальная точка.

Путь - длина траектории от начального положения м.т. до конечного положения. В понятии скорости принимается средняя скорость прохождения пути.

Равноускоренное движение: .Равнозамедленное движение:

Задача 1. Охарактеризуйте движения тел, графики проекций скоростей которых представлены на рисунке.

Решение:

В момент времени t = 0 определим начальные скорости тел: v₁, v₂, v₃, v₄. Причем у 1, 2, 4 начальная скорость положительная, а у тела 3 начальная скорость отрицательная. По вертикальной оси v определим, что максимальная начальная скорость у 4-го тела, а минимальная - у 1-го. Сравниваем модуль скоростей тел |v₃| > |v₁|. У первого тела скорость постоянна на протяжении всего движения v_o1 = const, движение равномерное и прямолинейное. Второе и третье тело движутся равноускоренно с ускорением а > 0.

Четвертое тело движется равно замедленно а < 0. Геометрический смысл ускорения

по углу наклона графика скорости можно сравнить ускорения тел: самое большое ускорение имеет 4-е тело минимальное ускорение имеет 2-е тело. У 1-го тела ускорение a = 0.

Точки пересечения графиков 3 и 4 с осью t означают смену направления движения и скорости, точки поворота тел. В этих точках тело останавливается и его мгновенная скорость равна нулю. После поворота тело движется в противоположную первоначальному направлению движения сторону с таким же ускорением, с возрастающей скоростью.

Задача 2. Тело движется по прямой с ускорением а = 0,5 м/с². Начальная скорость тела v_o= -5 м/c. Начальная координата х_о = 2 м. Записать уравнение движения тела, зависимость скорости тела от времени. Определить время движения тела до остановки и путь, пройденный телом до остановки.

Решение:

Уравнение движения тела имеет вид:

или

Уравнение зависимости скорости от времени имеет вид:

В момент остановки конечная скорость равна нулю v = 0, тогда уравнение скорости запишем в виде: 0 = -5 + 0,5t или 5 = 0,5t, тогда время до остановки t = 10 c.

Путь, пройденный телом до остановки

За t = 10 c тело пройдет путь равный S = -510 + 25 = -25 м. Знак «-» указывает на направление движения тела. Путь можно было определить и из формулы

где конечная скорость равна нулю в момент остановки v = 0, после подстановки S = -25 м. Так как путь величина положительная, путь - длина траектории, то S = 25 м. Тело двигалось против выбранного направления оси координат, и начальная скорость тела и его ускорение были антинаправлены.

Задача 3. Прямолинейное движение точки описывается уравнением x = -1 + 3t - 2t² (x - выражена в метрах, t - в секундах). Где находилась точка в начальный момент времени. Как менялась скорость со временем? Когда точка окажется в начале координат?

Решение:

Мы имеем уравнение движения x = -1 + 3t - 2t². Общий вид уравнения движения:

Сравнивая два уравнения имеем: x_o = -1 м, v_o = 3 м/с, а = -4 м/с². Тогда начальная координата точки x_o = 1 м, а скорость изменяется по закону v = 3 - 4t.

Чтобы ответить на вопрос когда тело окажется в начале координат х = 0, надо решить квадратное уравнение 0 = -1 + 3t - 2t² или в более привычном виде:

-2t² + 3t - 1 = 0. Корнями этого уравнения являются: t = 0,5 c и t = 1 c. Тело будет проходить начало координат дважды: вначале двигаясь из точки с координатой -1 м, по направлению оси координат, через 0,5 с, затем после остановки, возвращаясь обратно, через 1 c от начала движения.

Задача 4. Движение точки задано уравнением x = 12t - 2t². Определите среднюю скорость движения точки в интервале времени от t₁ = 1 c до t₂ = 4 с.

Решение:

Продифференцировав уравнение движения тела по времени, мы получим уравнение скорости:

Из уравнения скорости определяем начальную скорость v_o = 0 и ускорение тела a = 4 м/с². Для ответа на вопрос о средней скорости движения точки в интервале времени используем следующее утверждение:

Для определения средней скорости необходимо знать скорость точки через 1 с и 4 c. Подставляя время в уравнение скорости, определим скорость в указанное время:

v₁ = 12 - 41 = 8 м/с и v₂ = 12 - 44 = -4 м/c.

Тогда средняя скорость движения точки в интервале времени от t₁ = 1 c до t₂ = 4 с равна

Задачу можно решить и чуть более сложным способом: необходимо найти пройденный путь в указанном интервале и разделить на промежуток времени. Сложность состоит в том, что точка остановится через 3 с и продолжит движение в противоположном направлении. Поэтому придется находить путь до остановки, после остановки и затем сумму пути делить на интервал времени движения. Попробуйте это проделать самостоятельно.

Задача 5. Автомобиль начал двигаться с ускорением a = 1,5 м/с² и через некоторое время оказался на расстоянии S = 12 м от начальной точки. Определить скорость тела в этот момент времени. Чему равна средняя скорость?

Решение:

Так как автомобиль начал движение с места, то его начальная скорость равна нулю v_o = 0. Тогда из уравнения пути

Определим время его движения

Рассмотрим уравнение скорости v = v_o+ at = [v_o= 0] = at.

Подставляя в уравнение скорости выражение для времени, находим скорость

Скорость можно было получить и другим способом, если использовать формулу связи перемещения и ускорения без времени:

По определению средняя скорость равна отношению всего пройденного пути ко всему затраченному времени:

В данной задаче легче использовать вторую формулу. Используя начальные условия задачи

Подставим значения и определим скорость

и среднюю скорость

Задача 6. Тело начинает двигаться со скоростью v_o = 10 м/с и движется с ускорением a = -2 м/с². Определить, какой путь пройдет тело за время t_I= 6 c, t_II= 8 c.

Решение:

Запишем уравнение пути:

и скорости

Оценим время, через которое тело остановится

Через пять секунд тело остановится, и будет продолжать движение в противоположную сторону первоначальному направлению движения с прежним ускорением а.

Для того, чтобы найти путь, пройденный телом за 6 с, необходимо рассмотреть два интервала времени t₁ = 5 с до остановки и t₂ = 1 с после остановки. Пройденный телом путь равен

Аналогично поступим для определения пути пройденного телом за 8 с, рассмотрев при этом два интервала времени t₁ = 5 с до остановки и t₃ = 3 c после остановки. Подставим значения и рассчитаем путь, пройденный телом за 8 с:

Задачу можно было решить в общем виде. Для этого выведем формулу нахождения пути:

после преобразований:

где |a| = 2 м/с², а t = t_I = 6 c в первом случае и t = t_II = 8 c во втором случае.

Пути, пройденные телами за 6 с и 8 с, соответственно равны: 26 м и 34 м.

Задача 7. Автомобиль, двигаясь равноускоренно, через t = 10 c после начала движения достиг скорости v = 36 км/ч. определить ускорение, с которым двигался автомобиль. Какой путь он при этом прошел? Какой путь он прошел за последнюю секунду?

Решение:

По определению ускорения

Уравнение перемещения

Подставляя значения в формулы (1, 2, 3) получим:

Задача 8. С каким ускорением движется тело, если за 8-ю секунду после начала движения оно прошло путь S = 30 м? Найти путь за 15-ю секунду.

Решение:

По условию задачи v_o= 0, тогда путь, пройденный телом

Путь, пройденный телом за 8 с равен

а путь, пройденный за 7 с равен

Тогда путь, пройденный телом за 8-ю секунду:

Аналогично находим путь за 15-ю секунду:

Подставим значения

СВОБОДНОЕ ПАДЕНИЕ

В пренебрежении сопротивлением воздуха все тела движутся с постоянным ускорением-ускорением свободного падения (g). g =10 м. Уравнение для координаты и проекции скорости имеют вид: y=yн +vн t +gt2/2 v= vн +g t. Задачи по этой теме решаются с использованием этих уравнений.

Задача 1. Тело падает без начальной скорости с высоты H = 100 м. За какое время тело проходит первый и последний метры своего пути? Какой путь проходит тело за первую секунду своего движения? За последнюю?

Решение:

Уравнение высоты тела брошенного без начальной скорости имеет вид:

. Время падения тела с этой высоты . Первый метр тело проходит за время , где h₁ = 1 м. Расстояние H - 1 тело пролетает за время равное . Время прохождения последнего метра пути

.

За первую секунду своего падения тело проходит путь , где t₁ = 1 c. За последнюю секунду, тело пролетает расстояние:

.

Итак, первый метр своего пути тело проходит за время c.

Последний метр - за время c.

За первую секунду тело проходит путь равный м.

За последнюю секунду - путь равный м.

Задача 2. С каким промежутком времени оторвались от крыши две капли, если спустя 2 c от начала падения второй капли расстояние между каплями равно S = 25 м?

Решение:

За 2 с падения вторая капля пройдет путь равный , где t₂ = 2 c. Первая капля при этом прошла путь на 25 м больший . Зная расстояние, пройденное первой каплей, найдем время ее падения . Или с. Следовательно, промежуток времени, с которым оторвались две капли c.

Задача 3. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v_o. Когда оно достигло высшей точки, из той же начальной точки с той же начальной скоростью брошено вверх другое тело. На какой высоте h тела встретились?

Решение:

Вначале определим максимальную высоту подъема тела - его начальную координату в момент бросания второго тела: . Запишем уравнения движения для двух тел, приняв за тело отсчета - второе тело. Ось координат направим вверх. и . В момент встречи координаты тел совпадут или . Зная время встречи тел, определим координату (высоту от начального уровня). Для этого в уравнение движения (любое) подставим выражение для времени:

.

Задача 4. С высоты h₁ = 10 м без начальной скорости падает камень. Одновременно с высоты h₂ = 5 м вертикально вверх брошен другой камень. С какой начальной скоростью брошен второй камень, если камни встретились на расстоянии h = 1 м над землей?

Решение:

Первый камень до встречи пролетит 9 м. Время его движения до высоты h = 1 м определим из формулы (1). Второе тело движется вверх с начальной скоростью v_o, достигает некоторой высоты и свободно падает вниз. Уравнение движения второго камня имеет вид: . С учетом (1) и условия задачи

.

После преобразования . Подставим значения и определим начальную скорость м/с.

Задача 5. С какой начальной скоростью с высоты H = 30 м надо бросить вертикально вниз тело, чтобы оно упало на 2 с раньше, чем при свободном падении?

Решение:

Время свободного падения тела t. Тогда высота падения . С другой стороны, при падении тела с начальной скоростью , где с. Приравнивая правые части полученных уравнений и учитывая, что

, найдем .

Или .

После вычислений м/с.

Задача 6. Тело падает с высоты h₁ = 50 м. Спустя время  = 1 c с меньшей высоты начинает падать второе тело. Какова высота, с которой падает второе тело, если на землю они падают одновременно?

Решение:

Пусть второе тело находилось в полете время t, тогда время, в течение которого падало второе тело, равно . Пути, пройденные первым и вторым телами, соответственно равны:

и .

Выразим из второго уравнения и подставим в первое:

.

После решения относительно h₂ найдем:

или м.

Задача 7. Ракета запущена вертикально вверх. Двигатели ракеты сообщают ей ускорение 40 м/с². Через сколько времени ракета упадет на землю, если топливо сгорает через 2 минуты?

Решение:

В течение времени t₁ ракета движется равноускоренно с ускорением равным . За это время она пройдет путь и приобретет скорость . В дальнейшем она будет двигаться равнозамедленно вплоть до достижения максимальной высоты. Пройденный путь при равнозамедленном движении . Общая высота, которой достигает ракета, равна сумме высот . Ракета достигает максимальной высоты через время

. Вниз она будет падать по законам свободного падения

. Следовательно, ракета упадет на землю через время равное:

.

Подставим значения и определим искомое время

с.

Задача 8. Какой угол наклона должна иметь крыша, чтобы вода стекала за минимальное время? Ширина крыши равна 10 м. Трением и сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение:

Определим ширину крыши через длину ее ската . Где S - длина ската крыши,  - угол наклона крыши, L - ширина крыши. По скату вода движется с ускорением , проходя расстояние . Тогда,

.

Очевидно, что время стекания капли будет минимальным, при

или  = 45^о.

Задача 9. За какое время тело, свободно падающее без начальной скорости, проходит n-метр своего пути?

Решение:

В решении задачи используем уравнения и , где  - время движения на n-метре пути. Отсюда и . Сделав подстановку во второе уравнение и решив относительно искомого времени , находим: .

КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Закон всемирного тяготения - сила взаимного притяжения двух материальных точек - прямо пропорциональна произведению масс этих точек и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними: F=G m1 m2/r2.

Определение высоты падения h= gt2/2 .Определение скорости падения v=gt.

Задача 1. С верхней полки вагона, равномерно движущегося поезда, упал предмет. Каков характер движения предмета относительно вагона? Относительно Земли?

Решение:

Относительно вагона предмет падает по направлению силы тяжести, и траектория движения представляет собой прямую линию.

Относительно Земли предмет одновременно участвует в двух движениях: равномерное движение по горизонтали со скоростью поезда, равноускоренное движение по вертикали под действием силы тяжести. Траектория движения представляет собой ветку параболы.

Задача 2. В каком случае выпавший из окна вагона предмет упадет на землю раньше: когда вагон стоит на месте или когда он движется?

Решение:

Так как скорость по вертикали для обоих случаев одинакова, то тела упадут на землю одновременно. Отличие двух ситуаций заключается в том, что во втором случае тело имеет горизонтально направленную скорость. Именно по этой причине во втором случае тело пролетит по горизонтали некоторое расстояние за время падения.

Задача 3. Камень, брошенный горизонтально с обрыва высотой H = 10 м, упал на расстоянии S = 14 м от точки бросания. Записать уравнение траектории камня и из него определить начальную скорость бросания камня.

Решение:

Из уравнения дальности полета тела выразим время и подставим в уравнение высоты

.

Тогда

.

После вычислений v_o= 9,8 м/с.

Задача 4. Определить скорость тела через t = 3 с после того, как его бросили горизонтально со скоростью v_o= 39,2 м/с.

Решение:

Вертикальная составляющая скорости изменяется по закону . Горизонтальная составляющая скорости постоянна. Зависимость скорости от времени может быть выражена уравнением вида:

.

Подставляя значения скорости и времени имеем v = 49 м/с.

Задача 5. Человек ныряет в воду с крутого горизонтального берега высотой H = 5 м, имея после разбега скорость v_o= 6,7 м/с. Определить модуль и направление скорости человека при достижении им воды.

Решение:

Время падения тела с высоты H равно . В момент падения тело приобретает вертикальную скорость

.

Горизонтальная скорость постоянна на протяжении всего полета. Скорость в момент падения определим по формуле м/с. Направление скорости человека при достижении им воды определим по формуле , тогда

.

Задача 6. С обрыва, в горизонтальном направлении, бросают камень со скоростью v_o= 20 м/с. Определить точку траектории, радиус кривизны которой в восемь раз больше радиуса кривизны в верхней точке.

Решение:

Вначале найдем время, когда выполняется условие, что радиус кривизны в этот момент, в восемь раз больше радиуса кривизны в верхней точке. Затем, зная время, определим координаты этой точки.

Радиус кривизны найдем из выражения

.

Для верхней точки и . Для искомой точки

и .

По условию задачи

(1).

Скорость в искомой точке связана с горизонтальной скоростью выражением

.

Подставим выражение для косинуса в формулу (1):

(2).

Скорость в точке определяется выражением

,

подставляя в формулу (2) имеем уравнение вида:

.

Решая это уравнение, относительно времени, находим . Приступаем ко второй части задачи: находим координаты точки

м и м.

Задача 7. Дальность полета тела, брошенного горизонтально со скоростью v_o= 4,9 м/с, равно высоте, с которой его сбросили. Чему равна эта высота, и под каким углом тело упало на землю?

Решение:

По условию задачи

,

тогда время падения

.

Зная время падения тела, находим высоту падения

.

Угол падения найдем из условия

. , ,

тогда

.

После вычислений имеем: H = 4,9 м, a = 63,4^о.

ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ.

Одной из основных характеристик движения тела по окружности является угловая скорость (w)-отношение угла поворота к промежутку времени. .Период обращения -

время, за которое тело совершает полный оборот:T=2П/W. Частота обращения определяется отношением числа оборотов N за время t: n=1/T.

Задача 1. Точка движется в плоскости, причем ее прямоугольные координаты определяются уравнениями x = Acoswt, y = Asinwt где A и w - постоянные. Какова форма траектории точки?

Решение:

Из уравнений

выразим

Возведем правые и левые части уравнений в квадрат и, сложив их, имеем:

т. к.

то

Графиком этого уравнения, т. е. искомой траектории движения точки является окружность радиусом A.

Задача 2. Найдите радиус вращающегося колеса, если линейная скорость точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости точки, лежащей на l = 3 см ближе к оси колеса.

Решение:

У точек находящихся на колесе и лежащих на радиусе, будут одинаковы угловые скорости. Используя связь угловой и линейной скоростей

Тогда приравнивая части уравнений

Решая уравнение относительно R, находим, что радиус колеса равен R = 5 см.

Задача 3. Точка движется по окружности с постоянной скоростью v = 50 см/с. Вектор скорости изменяет направление на Dj = 30^о за время Dt = 2 c. Найти нормальное ускорение точки.

Решение:

Так как точка движется по окружности с постоянной скоростью используем в решении задачи связь угловой и линейной скоростей

тогда

С другой стороны угловая скорость

Нормальное ускорение

Задача 4. Конец минутной стрелки часов на Спасской башне Кремля передвинулся за 1 мин на 37 см. определите длину стрелки.

Решение:

Движение конца минутной стрелки равномерное с постоянной скоростью v = l/t. С другой стороны угловая скорость связана с линейной скоростью конца минутной стрелки отношением:

Угловую скорость можно найти из

где T - время одного оборота минутной стрелки. Окончательно имеем

После подстановки численных значений и вычислений имеем R = 3,53 м.

Задача 5. Минутная стрелка часов в три раза длиннее секундной. Каково отношение между линейными скоростями концов этих стрелок?

Решение:

Зная связь угловой и линейной скоростей

выразим длины минутной и секундной стрелок:

По условию задачи

Угловые скорости связаны с периодом обращения стрелок:

Учитывая эту зависимость, имеем

где T₁ = 3600 c и T₂ = 60 c, тогда

Следовательно, скорость конца секундной стрелки в 20 раз больше скорости конца минутной стрелки.

Задача 6. Колесо велосипеда имеет радиус R = 40 см. С какой скоростью едет велосипедист, если колесо делает n = 100 об/мин.

Решение:

За 1 минуту точка на колесе велосипеда пройдет расстояние

Тогда скорость

Задача 7. Мальчик вращает камень, привязанный к веревке длиной l = 0,5 м, в вертикальной плоскости с частотой n = 3 с^-1. На какую высоту взлетел камень, если веревка оборвалась в тот момент, когда скорость была направлена вертикально вверх?

Решение:

Скорость камня в момент отрыва найдем по формуле

Высоту подъема тела определим из выражения

Учитывая, что в верхней точке подъема камня v = 0, то

После вычислений, высота подъема от точки отрыва, равна H = 4,53 м.

Задачу можно решить, используя, закон сохранения и превращения механической энергии.

Задача 8. Почему когда колесо катится, то часто бывает, что верхние спицы как будто сливаются, а нижние видны отчетливо?

Решение:

Когда колесо катится, то оно в каждый момент времени поворачивается вокруг точки касания с землей. Поэтому линейные скорости верхних спиц больше линейных скоростей нижних спиц, расположенных ближе к неподвижной в данный момент точке.

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Задача 1. Два одинаковых упругих шарика подвешены к одной точке на нитях длиной l = 1 м каждая. Шарики отводят в противоположные стороны на один и тот же малый угол и отпускают по очереди: сначала один потом другой - в тот момент, когда первый проходит положение равновесия. Найдите интервалы времени между последовательными ударами шариков.

Решение:

Если за начало отсчета времени принять тот момент, когда начинается двигаться второй шарик, то уравнения движения шариков до удара имеют вид:

, , где x₁ и x₂ - координаты шариков в произвольный момент времени t, - амплитуда колебаний,  - частота колебаний. В момент встречи x₁ = x₂, откуда до первой встречи получаем , или . При упругом ударе одинаковых шариков они просто обмениваются скоростями, т. е. первый шарик будет далее двигаться по закону , а второй - по закону . Моменту второй встречи соответствует следующее по порядку решение уравнения x₁ = x₂, т. е. , или . Значит, интервал между первыми двумя, а также и всеми следующими последовательными соударениями равен:

с.

Задача 2. Доска, на которой лежит брусок, совершает гармонические колебания в горизонтальной плоскости. Амплитуда колебаний равна A, коэффициент трения между доской и бруском . Какому условию должна удовлетворять частота колебаний, чтобы брусок не скользил по доске?

Решение:

Если брусок не проскальзывает, то он вместе с доской совершает гармонические колебания. При этом его смещение и ускорение изменяются по законам:

, , где  - частота колебаний.

Ускорение бруска создается силой трения покоя, поэтому:

,

где m - масса бруска. Но , что приводит к условию

.

Задача 3. Записать уравнение гармонических колебаний тела, если его максимальное ускорение |a_o|=1,58 м/с², период колебаний 1 c, а смещение из положения равновесия в начальный момент времени x₁ = 2 см.

Решение:

По условию задачи, колебания тела являются гармоническими, т. е. . Определяем начальную фазу колебаний. По условию при t = 0 x = x₁, т. е. , откуда . Мгновенное значение ускорения

,

т. е. амплитудное значение , откуда амплитуда колебаний . Следовательно, начальная фаза колебаний . Уравнение колебаний имеет вид:

или

м

Задача 4. Шарик массой 10 г совершает гармонические колебания с амплитудой 3 см и частотой 10 Гц. Определить полную энергию колебаний, а также мгновенное значение скорости, ускорения и координаты шарика, если в начальный момент времени он находился в положении равновесия.

Решение:

По условию задачи колебания шарика являются гармоническими, т. е. можно записать уравнение колебаний . Так как в начальный момент времени шарик находится в положении равновесия, то начальная фаза равна нулю, кроме того . Следовательно, .

Мгновенная скорость шарика

.

Мгновенное ускорение есть вторая производная координаты по времени . Полная энергия колебания шарика . Подставив в уравнение значения координаты и скорости: .

Сделав числовые расчеты, получим уравнение координаты м, скорости м/с, ускорения , полная энергия равна Дж.

Задача 5. На горизонтально расположенную стальную телефонную мембрану толщиной h = 0,2 мм, совершающую вынужденные поперечные колебания с частотой  = 400 Гц, насыпан песок. Считая колебания в центральной части мембраны гармоническими, определить, при какой кинетической энергии точек мембраны песчинки начнут подпрыгивать. За точку принять участок мембраны площадью S = 0,1 мм².

Решение:

Песчинки начнут подпрыгивать, если максимальное ускорение точек мембраны будет больше или равно ускорению свободного падения, т. е. . Так как колебания можно считать гармоническими, то , , откуда максимальное ускорение точек мембраны . С учетом этого исходное равенство запишется в виде:

.

Кинетическая энергия точек мембраны . Так как масса песка , то искомое значение кинетической энергии

Дж.

Задача 6. Доска, на которой лежит брусок, совершает гармонические колебания в горизонтальной плоскости с периодом 5 c. Определить коэффициент трения между бруском и доской, если брусок начинает скользить по доске при амплитуде колебаний x_o = 60 см.

Решение:

Брусок начинает скользить по доске, если его ускорение a₁ окажется меньше максимального ускорения доски |a_o|, т. е. если . Так как доска совершает гармонические колебания, то

.

Для определения a₁ воспользуемся вторым законом Ньютона: . В проекции , следовательно

, .

Подставив |a_o| и a₁ в исходное равенство, получим

и .

Задача 7. Ртутный манометр содержит 40,8 г ртути. Определить период свободных колебаний ртути в манометре, если внутренний диаметр трубки d = 4 мм.

Решение:

При смещении уровня ртути в одном из колен манометра на малую величину x разность уровней ртути в манометре будет равна 2x. Следовательно, на ртуть будет действовать сила , стремящаяся вернуть ее в положение равновесия.

По второму закону Ньютона эта сила сообщает всей ртути ускорение a, т. е. . Принимая во внимание, что

, получим .

Так как ускорение ртути в манометре пропорционально смещению ее уровня из положения равновесии и направлено к этому положению, то ртуть совершает гармонические колебания, следовательно, . Из двух последних равенств получим

, откуда . T = 1 c.

Задача 8. Под каким углом к горизонту взлетает самолет с аэродрома, если период малых колебаний математического маятника, находящегося в кабине самолета, в два раза больше чем на Земле? Ускорение самолета при взлете a = 10 м/с².

Решение:

Так как ускорение точки подвеса не равно нулю, то период малых колебаний математического маятника, находящегося в кабине самолета ; на Земле . По условию , т. е. .

С другой стороны, , т. е.

.

Из последнего уравнения

.

Задача 9. Математический маятник длиной 1 м колеблется с амплитудой 1 см. За какое время он пройдет путь равный 1 см, если в начальный момент времени маятник проходит положение равновесия? За какое время маятник пройдет: а) первую половину этого пути; б) вторую половину этого пути?

Решение:

Поскольку амплитуда колебаний намного меньше длины маятника, колебания можно считать гармоническими. Их период

c.

Путь, равный амплитуде колебаний, маятник проходит из положения равновесия за четверть периода, т. е. за 0,5 c. Для ответа на два последних вопроса необходимо использовать уравнение гармонических колебаний.

Поскольку x = 0 при t = 0, это уравнение принимает вид . При x = A/2 получаем t = T/12 = 0,17 c. На вторую половину пути маятнику понадобится время равное c, т. е. вдвое больше, чем на первую половину пути. Это связано с тем, что при удалении от положения равновесия движение замедляется.

Задача 10. Конический маятник освещают горизонтальным параллельным пучком света. С какой скоростью движется тень шарика на стене в тот момент, когда тень удалена от своего среднего положения на x = 5 см? Длина нити маятника l = 2 м, шарик описывает окружность радиуса r = 10 см. Свет падает на стену нормально.

Решение:

Тень шарика совершает гармонические колебания с амплитудой r. Поскольку , период колебаний . [Согласно второму закону Ньютона для конического маятника, имеем . Проецируя последнее уравнение на оси координат, найдем ускорение шарика . С другой стороны , следовательно, или

.

При ,

получаем , что совпадает с периодом малых колебаний математического маятника]. Если отсчитывать время от момента прохождения тенью среднего положения, то , где . Скорость перемещения тени найдем как . Используя соотношение между тригонометрическими функциями, получаем

м/с.

ПОСТОЯННЫЙ ТОК

Электрическим током (током проводимости) называют упорядоченное движение заряжённых частиц- электронов, положительных и отрицательных ионов. За направление электрического тока принимают направление движения положительно заряженных частиц.

Если сила тока не изменяется с течением времени, то такой ток называется постоянным. Для постоянного тока:

I=q/t

Последовательное соединение

Параллельное соединение

Сила тока во всех частях цепи одинакова

Напряжения на параллельно соединённых участках цепи одинаковы

Напряжение на концах цепи равно сумме напряжений

Сила тока в неразветвлённой части цепи равна сумме токов на отдельных учаcтках

Сопротивление всей цепи больше сопротивления на отдельном участке цепи

Сопротивление всей цепи меньше сопротивления любого её участка.

Для измерения силы тока амперметр включается в цепь последовательно , чтобы через него проходил такой же ток, как и через другие элементы цепи.

Для измерения вольтметр включают в цепь параллельно, чтобы напряжение совпадало с напряжением на участке цепи.

Задача 1. Сопротивление катушки из медной проволоки - R, вес проволоки - P. Определить длину и площадь поперечного сечения проволоки.

Решение:

Сопротивление проводника , где ρ - удельное электрическое сопротивление; l - длина; S - площадь поперечного сечения проволоки.

Вес , где d - удельный вес; V - объем. Отсюда

; .

Задача 2. Сопротивление проволоки R₁ = 81 Ом. Ее разрезали на несколько частей и соединили эти части параллельно, вследствие чего сопротивление стало равно R₂ = 1 Ом. На сколько частей разрезали проволоку?

Решение:

Если представить неразрезанную проволоку как n последовательно соединенных сопротивлений, то R₁ = nr, где r - сопротивление одного отрезка.

При параллельном соединении R₂ = r/n.

Решив совместно оба уравнения, получим:

.

Задача 3. Ток в проводнике за равные промежутки времени t сначала равномерно возрастает от 0 до I₁, затем остается постоянным и, наконец, уменьшается до нуля. Какой заряд прошел по проводнику за время, равное 4t?

Решение:

Построим график изменения тока во времени. Очевидно, что заряд, прошедший по проводнику, численно равен площади заштрихованной фигуры, т. е.

Задача 4. Медный проводник сечением S движется со скоростью v_o, направленной перпендикулярно площади S. Какой заряд пройдет по проводнику при резком торможении, если концы проводника замкнуты?

Решение:

При прохождении тока по проводнику сопротивлением R совершается работа .

Сила тока в данном случае не будет постоянна в течение всего времени торможения. Предполагается, что она уменьшается равномерно до нуля, для среднего количества электричества, прошедшего по проводнику, можем написать:

; . Работа .

С другой стороны, эта работа может быть выражена как

,

где N - общее число свободных электронов в проводнике; - изменение кинетической энергии электрона, когда в процессе торможения скорость меняется от v_o до 0.

Так как , где j - плотность тока; S - площадь поперечного сечения провода и , где e - заряд электрона; n_o - число свободных электронов в единице объема, то , и первое выражение для работы примет вид: . Из условия имеем

, где l - длина проводника.

Приравнивая оба выражения для работы, найдем, что

, откуда .

Задача 5. Две проволоки - нихромовая и стальная - имеют одинаковые массы. Длина стальной проволоки в 20 раз больше длины нихромовой. Во сколько раз отличаются их сопротивления (удельное сопротивление нихрома в 10 раз больше удельного сопротивления стали, плотность больше в 1,07 раза)?

Решение:

Сопротивление нихромовой проволоки ; (1) сопротивление стальной проволоки равно (2), где ρ₁, ρ₂ - удельные сопротивления нихрома и стали; l₁, l₂ и S₁, S₂ - длины и сечения проволок.

Массы проволок равны между собой, т. е. или (3), где d₁, d₂ - плотности нихрома и стали.

Из (1), (2) и (4) имеем: . Учитывая, что ; ; , находим .

Задача 6. По медному проводнику сечением S = 0,17 мм² течет ток I = 0,025 A. Определить, какая сила действует на отдельные электроны со стороны электрического поля.

Решение:

Запишем закон Ома для участка цепи: , где U - напряжение: - сопротивление участка. Здесь ρ - удельное электрическое сопротивление, l - длина, S - площадь поперечного сечения проводника.

Из этих уравнений , так как для однородного проводника .

Сила, действующая на электрон, H.

Задача 7. Определить, какой ток создает электрон, вращающийся вокруг ядра в атоме водорода, если радиус его орбиты принять равным 5,3×10^-9 см.

Решение:

Сила тока может быть представлена как , где e - заряд электрона; N - число оборотов электрона за время t; n - число оборотов в единицу времени; v - скорость электрона при движении по орбите; r - радиус орбиты.

При движении электрона по круговой орбите роль центростремительной силы играет кулоновская сила взаимодействия электрона с ядром: или , где m - масса электрона. Отсюда . Введя это выражение в формулу для I, найдем А.

Задача 8. По железному проводнику сечением S = 0,64 мм² течет ток I = 24 A. Определить среднюю скорость направленного движения электронов, считая, что число свободных электронов n_o в единице объема равно числу атомов n_o^/ в единице объема проводника.

Решение:

Средняя скорость упорядоченного движения электронов (1), где t - время, за которое все свободные электроны, находящиеся в отрезке проводника длиной l, пройдут через выходное сечение и перенесут заряд , создавая при этом ток (2), где e - заряд электрона; N - число свободных электронов в отрезке длиной l, (3), где V - объем проводника; S - площадь поперечного сечения.

По условию задачи (4), где ρ - плотность железа; M - молярная масса; - число Авогадро.

Из уравнений (2), (3), (4) . Подставив полученное уравнение в (1), найдем

м/с.

Задача 9. Через двухэлектродную лампу с плоскими электродами идет ток I. Напряжение на лампе - U. С какой силой действуют на анод лампы попадающие на него электроны, если они покидают катод со скоростью v_o?

Решение:

За некоторый промежуток времени t на анод попадает электронов. Каждый из них передает аноду количество движения , где v - скорость электрона при подлете к аноду.

Из закона сохранения энергии , где - работа сил электрического поля; - кинетическая энергия электрона при подлете его к аноду; - кинетическая энергия электрона при вылете из катода, получаем:

.

Подставив выражение для v в формулу для количества движения, найдем

.

Количество движения, передаваемое аноду N электронами, . С другой стороны, изменение количества движения равно импульсу силы: , следовательно,

.

Задача 10. Сопротивление 100-ваттной электролампы, работающей при напряжении 220 B, в накаленном состоянии в n = 15 раз больше, чем при температуре t₁ = 10 ^oC. Найти сопротивление при этой температуре и температурный коэффициент сопротивления α, если в накаленном состоянии температура нити t₂ = 2500 ^оС.

Решение:

Если сопротивление лампы при 0 ^оС принять равным R_o, при 10 ^оС - R₁, при 2500 ^оС - R₂, то

; ;

^оС.

Зная мощность лампы P, можно найти ее сопротивление R₂ в накаленном состоянии и R₁ при температуре t₁:

Ом; Ом.

ЭЛЕКТРОСТАТИКА

Задача 1. С какой силой F будут притягиваться два одинаковых свинцовых шарика радиусом r = 1 см, рассоложенные на расстоянии R = 1 м друг от друга, если у каждого атома первого шарика отнять по одному электрону и все эти электроны перенести на второй шарик? Молярная масса свинца M = 207×10^-3 кг/моль, плотность r = 11,3 г/см³.

Решение:

После того как электроны у одного шарика отняты и перенесены на другой, шарики приобретают равные и противоположные по знаку заряды, поэтому (если шарики находятся в вакууме) сила притяжения

,

где R - расстояние между центрами шариков. Заряд q определится следующим соотношением:

,

здесь моль^-1 - число Авогадро.

Тогда

H.

Задача 2. Внутри гладкой сферы находится маленький заряженный шарик. Какой величины заряд нужно поместить в нижней точке сферы для того, чтобы шарик удерживался в ее верхней точке?

Решение:

Заряд Q, который нужно поместить в нижней точке сферы, должен быть таким, чтобы электрическая сила, действующая на верхний заряд, была не меньше силы тяжести mg, то есть

.

Однако нам надо еще проверить, будет ли такое равновесие устойчивым. Рассмотрим малое отклонение шарика от положения равновесия.

Равновесие шарика устойчиво, если проекция силы электрического взаимодействия зарядов на касательную к сфере больше или равна проекции силы тяжести на ту же касательную:

.

(Сила N реакции опоры перпендикулярна поверхности сферы.)

Так как угол a отклонения шарика от положения равновесия мал, то . Поэтому

.

Следовательно, для устойчивого равновесия шарика в верхней точке сферы в нижнюю точку сферы должен быть помещен заряд равный

.

МАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Задача 1. Какие явления происходят, когда в кольцо вдвигают магнит? Рассмотрите два случая: а) кольцо проводящее; б) кольцо сверхпроводящее.

Решение:

В обоих случаях возникающее при движении магнита вихревое электрическое поле вызывает в кольце индукционный ток. После исчезновения вихревого поля индукционный ток в проводящем контуре кольца затухает, а в сверхпроводящем будет течь неограниченно долго (если внешнее магнитное поле не будет изменяться).

Задача 2. Магнит падает в длинной вертикальной медной трубе, воздух из которой откачан. Магнит с трубой не соприкасается. Опишите характер движения.

Решение:

В трубе при движении магнита возникают вихревые токи. Согласно правилу Ленца магнитные поля этих токов препятствуют падению магнита. Тормозящая сила возрастает с увеличением скорости падения (в этом смысле движение магнита напоминает падение тела в жидкости или газе). Ускорение магнита постепенно уменьшается, и в конце концов (если труба достаточно длинная) движение магнита станет практически равномерным.

Задача 3. Плоская проволочная рамка может свободно вращаться вокруг оси, перпендикулярной магнитной индукции однородного магнитного поля. Каково положение устойчивого равновесия рамки, если магнитное поле возрастает? Если магнитное поле убывает?

Решение:

Необходимым условием равновесия является обращение в нуль момента действующих на рамку сил. Это возможно при двух положениях рамки: когда плоскость рамки параллельна магнитному полю (положение 1) и перпендикулярно ему (положение 2). Рассмотрение индукционного тока в промежуточном положении рамки показывает, что при возрастании магнитного поля рамка поворачивается к положению 1, а при убывании - к положению 2. Следовательно, устойчивое положение равновесия при возрастании поля достигается в положении 1 (рамка параллельна магнитному полю), а при убывании - в положении 2 (рамка перпендикулярна магнитному полю).

Задача 4. Чему был равен магнитный поток через площадь ограниченную замкнутым контуром, если при равномерном убывании этого потока в течение 1 с до нуля в контуре возникает ЭДС индукции 1 В.

Решение:

Из закона электромагнитной индукции

Вб.

ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК

Задача 1. Определите максимально возможное число N импульсов, испускаемых радиолокаторов за промежуток времени 1,0 c при обнаружении цели, находящейся на расстоянии 40 км. (6)

Решение:

Радиолокатор испускает импульс. Электромагнитная волна доходит до препятствия, отражается и возвращается по обратному пути, проходя при этом расстояние

.

Время распространения волны туда и обратно равно

.

Максимально возможное число импульсов за 1 c равно

.

Задача 2. При изменении силы тока в катушке на величину 1,0 A за промежуток времени 0,4 c в ней возникает ЭДС 0,4 B. Определите длину волны, излучаемую генератором, контур которого состоит из катушки и конденсатора емкостью 14,1 мкФ. (8)

Решение:

Из закона электромагнитной индукции

.

Магнитный поток можно связать с индуктивностью

, тогда .

Длина волны равна .

.

Задача 3. Радиолокатор работает на длине волны  = 20 см и дает в секунду n = 5000 импульсов длительностью t_o = 0,02 мкс каждый. Сколько колебаний составляет один импульс и каково максимальное расстояние, на котором может быть обнаружена цель?

Решение:

Число колебаний в одном импульсе найдем из формулы

,

где  - частота колебаний.

С другой стороны частота колебаний может быть выражена из уравнения длины волны

,

где c = 310⁸ м/с - скорость электромагнитных волн в вакууме.

Тогда , N = 30.

За промежуток времени между двумя последовательными импульсами электромагнитные волны доходят до цели и, отразившись, возвращаются обратно. Поэтому

. L = 310⁴ м.

Задача 4. Колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности и воздушного конденсатора, настроен на длину волны 300 м. при этом расстояние между пластинами конденсатора 4,8 мм. Каким должно быть расстояние между пластинами, чтобы контур был настроен на длину волны 240 м?

Решение:

Длина волны в первом случае . Во втором случае . Разделим левые и правые части этих уравнений друг на друга соответственно.

. После вычислений d₂ = 7,5 мм.

Задача 5. Радиолокатор работает в импульсном режиме. Частота повторения импульсов 1700 Гц, длительность импульсов 0,8 мкс. Найти максимальную и минимальную дальность обнаружения цели данным локатором.

Решение:

Для того чтобы по положению отраженного импульса на экране электронно-лучевой трубки можно было судить о расстоянии до цели, необходимо, чтобы отраженный импульс пришел не ранее, чем через время , и не позднее, чем через время , после начала посылки прямого импульса. Следовательно, минимальное расстояние до цели , максимальное расстояние .

Задача 6. Колебательный контур настроен на частоту 300 кГц. Этот контур оказался настроен на длину волны 2000 м после параллельного подключения к его конденсатору дополнительного конденсатора емкостью 200 пФ. Найти индуктивность катушки.

Решение:

Длина волны определяется выражением

.

Тогда

. (1)

Из первоначального условия задачи найдем емкость конденсатора

.

Подставляя выражение для емкости в формулу (1), получим

.

Найдем индуктивность катушки

.

Подставим значения в последнюю формулу и найдем L = 4,2 мГн.

Задача 7. На соленоид длиной l и площадью сечения S надет проволочный виток. Соленоид имеет N витков и по нему течет ток I. Найти среднюю ЭДС, индуцируемую в витке при включении тока в течение малого промежутка времени t.

Решение:

В соленоиде с током существует магнитное поле с индукцией

.

Поток магнитной индукции, пересекающий отдельный виток,

.

Когда ток выключается, индукция магнитного поля и поток через виток падают до нуля, т. е.

.

Средняя ЭДС, индуцируемая в витке,

.

Задача 8. Обмотка соленоида состоит из медной проволоки с площадью сечения S₁. Длина соленоида - l, его сопротивление - R. Найти индуктивность соленоида.

Решение:

Индуктивность соленоида

,

где n = N/l - число витков на единицу длины соленоида (N - общее число витков); S - площадь сечения соленоида. Для того, чтобы найти N и S, необходимо знать длину проводника, из которого намотан соленоид. Известно, что R = l₁/S₁, где l₁ - длина провода; S₁ - площадь сечения провода;  - удельное электрическое сопротивление меди. Отсюда

.

Если r - радиус сечения соленоида, то длина одного витка провода l_o = 2r. Длина обмотки из N витков l₁ = 2rN. Отсюда

.

Так как площадь сечения соленоида S = r², формула для индуктивности может быть переписана в виде:

.

Задача 9. Найти индуктивность катушки длиной l = 30 см, площадью поперечного сечения S = 10 см², с общим числом витков N = 600. Найти индуктивность этой катушки, если в нее введен железный сердечник, магнитная проницаемость которого  = 500.

Решение:

При отсутствии сердечника  = 1 и

.

При наличии ферромагнитного сердечника с  = 500

.

Задача 10. По катушке, индуктивность которой L = 0,05 мГн, течет ток I = 0,8 A. При выключении ток изменяется практически до нуля за t = 120 мкс. Определить среднее значение ЭДС самоиндукции, возникающей в контуре.

Решение:

ЭДС самоиндукции

ВОЛНОВАЯ ОПТИКА

Задача 1. Во сколько раз увеличится расстояние между соседними интерференционными полосами на экране в опыте Юнга, если зеленый (₁ = 500 нм) светофильтр заменить красным (₂ = 750 нм)?

Решение:

Условие интерференционного максимума:

где k = 0, 1, 2, 3 …

Условие интерференционного минимума:

где k = 0, 1, 2, 3 …

Расстояние между соседними максимумами интенсивности называется расстоянием между интерференционными полосами, а расстояние между соседними минимумами интенсивности - шириной интерференционной полосы.

Из (1) и (2) следует, что расстояние между полосами и ширина полосы имеют одинаковое значение, равное . Тогда расстояние между интерференционными полосами при зеленом светофильтре равно , а при красном , где L - расстояние от экрана до источника света. Поскольку величины L и d не меняются, то

Задача 2. При фотографировании спектра звезды Андромеды было найдено, что линия титана ( = 494,4 нм) смещена к фиолетовому концу спектра на  = 0,17 нм. Как движется звезда относительно Земли?

Решение:

Смещение спектральных линий в сторону коротких волн означает, что звезда приближается к нам. Радиальная скорость ее движения (скорость вдоль линии, соединяющей звезду и Землю) находится из соотношения

Задача 3. В опыте Юнга отверстия освещались монохроматическим светом ( = 600 нм). Расстояние между отверстиями d = 1 мм, расстояние от отверстий до экрана L = 3 м. Найти положение трех первых светлых полос.

Решение:

Первая светлая полоса находится на расстоянии

.

Вторая - на расстоянии . Третья на расстоянии .

Задача 4. В опыте с зеркалами Френеля расстояние между мнимыми изображениями источника света d = 0,5 мм, расстояние до экрана L = 5 м. В зеленом свете получились интерференционные полосы, расположенные на расстоянии l = 5 мм друг от друга. найти длину волны зеленого света.

Решение:

Из формулы для расстояния между интерференционными полосами

, откуда

Задача 5. В опыте Юнга на пути одного из интерферирующих лучей помещалась тонкая стеклянная пластинка, вследствие чего центральная светлая полоса смещалась в положение, первоначально занятое светлой полосой (не считая центральной). Луч падает перпендикулярно к поверхности пластинки. Показатель преломления пластинки n = 1,5. Длина волны  = 600 нм. Какова толщина пластинки?

Решение:

Измерение разности хода лучей в результате внесения пластинки равно

.

Кроме того, произошло смещение на k = 5 полос, т. е. разность хода  = k.

Отсюда

Задача 6. Какая разность потенциалов U была приложена между электродами гелиевой разрядной трубки, если при наблюдении пучка -частиц максимальное доплеровское смещение линии гелия ( = 492,2 нм) получилось равным  =0,8 нм?

Решение:

За счет работы электрического поля -частицы приобрели кинетическую энергию

,

где скорость частиц

.

Откуда

.

После подстановки числовых значений, получим U = 2500 B.

Задача 7. При фотографировании спектра Солнца было найдено, что желтая спектральная линия ( = 589 нм) в спектрах, полученных от левого и правого краев Солнца, была смещена на  = 0,008 нм. Найдите скорость вращения солнечного диска.

Решение:

Согласно принципу Доплера при фотографировании левого края Солнца, т. е. когда источник света движется к нам

при фотографировании правого края диска, когда источник света движется от нас,

Частота излучения

Подставляя (3) в (1) и (2), получим

Задача 8. В опыте с интерферометром Майкельсона для смещения интерференционной картины на k = 500 полос потребовалось переместить на расстояние L = 0,161 мм. Найти длину волны  падающего света.

Решение:

Перемещение зеркала на расстояние /2 соответствует изменению разности хода на , т. е. смещению интерференционной картины на одну полосу. Таким образом

.

Задача 9. Сколько длин волн монохроматического света с частотой колебаний  = 510¹⁴ Гц уложится на пути длиной l = 2,4 мм: 1) в вакууме; 2) в стекле; 3) в алмазе?

Решение:

Оптическая длина пути L = nl, где n - показатель преломления среды, в которой распространяется луч; l - геометрическая длина пути.

Таким образом, число длин волн, уложившихся на отрезке пути l,

.

В вакууме N₁ = 410³, в стекле N₂ = 610³, в алмазе N₃ = 9,710³.

Задача 10. В некоторую точку пространства приходят когерентные лучи с геометрической разностью хода l = 1,2 мкм, длина волны  которых в вакууме 600 нм. Определить, что происходит в этой точке вследствие интерференции, когда лучи проходят в воздухе, воде, скипидаре.

Решение:

Оптическая разность хода в перечисленных средах равна соответственно:

где n₁, n₂, n₃ - показатели преломления воздуха, воды, скипидара соответственно. Условием интерференционного максимума является равенство оптической разности хода целому числу длин волн. Таким образом,

.

В первом и в третьем случае наблюдается усиление света, во втором (близко к полуцелому числу длин волн) - ослабление света.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА

Задача 1. Найти увеличение Г, даваемое лупой с фокусным расстоянием F = 2 см, для: а) нормального глаза с расстоянием наилучшего зрения d_o = 25 см; б) близорукого глаза с расстоянием наилучшего зрения L = 15 см.

Решение:

Увеличение лупы . Подставляя числовые значения, получим:

а) ; б) .

Задача 2. Какими должны быть радиусы кривизны R₁ = R₂ поверхностей лупы, чтобы она давала увеличение для нормального глаза k = 10? Показатель преломления стекла, из которого сделана лупа, n = 1,5.

Решение:

Для нормального глаза расстояние наилучшего зрения d_o = 0,25 м. По формуле тонкой линзы

,

откуда при R₁ = R₂ = R, имеем фокусное расстояние лупы

(1).

Радиус кривизны . Увеличение лупы , откуда . С учетом (1), имеем

Задача 3. В зрительную трубу с фокусным расстоянием объектива F₁ = 50 см в первом положении наблюдатель рассматривает очень далекий предмет, а затем, переместив окуляр во второе положение, направляет трубу на предмет находящийся от него на расстоянии d₂ = 25 м. Насколько перемещен окуляр трубы?

Решение:

Условия наблюдения в обоих случаях будут наилучшими, если из окуляра выходит пучок параллельных лучей. Для этого изображение, которое дает объектив, должно находиться в фокальной плоскости окуляра.

В случае 1 изображение получается в фокальной плоскости объектива f₁ = F₁, где F₁ - фокусное расстояние объектива. Во втором случае изображение окажется на расстоянии f₂, которое больше, чем F₁, на величину x.

Для того чтобы в глаз наблюдателя и в случае 2 попадал пучок параллельных лучей, окуляр также должен быть смещен на расстояние x. Очевидно, что x = f₂ - F₁. Используя формулу линзы для второго случая, находим

а значит,

Задача 4. Какое увеличение можно получить с помощью проекционного фонаря, оптическая сила объектива которого 4 диоптрия?

Решение:

В проекционном аппарате предмет располагается за фокусом, вблизи него. Увеличение, даваемое объективом проекционного аппарата, Г = f/d. Расстояние предмета до линзы определяем из формулы линзы d = Ff/(f - F). Отсюда увеличение

где D - оптическая сила объектива.

Задача 5. Фокусное расстояние объектива микроскопа F₁ = 5 мм, окуляра F₂ = 25 мм. Предмет находится на расстоянии d₁ = 5,1 мм от объектива. Вычислить длину тубуса микроскопа и даваемое микроскопом увеличение Г.

Решение:

Увеличение микроскопа Г = Г₁Г₂, где Г₁ - увеличение, даваемое объективом; Г₂ - увеличение, даваемое окуляром. Увеличения определяются по формулам

где f₁ - расстояние от объектива до даваемого им изображения; l = 25 см - расстояние наилучшего зрения для нормального глаза. С учетом двух последних формул, находим

Используя формулу линзы для объектива, находим

Зная f₁, находим увеличение микроскопа

В микроскопе объектив и окуляр подбираются так, что действительное изображение, даваемое объективом, лежит между фокусом и окуляром, близко к фокусу окуляра. Окуляр действует, как лупа. Следовательно, длина тубуса

Если принять L  f₁, то для определения увеличения микроскопа можно пользоваться приближенной формулой

В этом случае получим Г = 560.

Задача 6. Зрительная труба с фокусным расстоянием F = 50 см установлена на бесконечность. После того как окуляр трубы передвинули на некоторое расстояние, стали ясно видны предметы, удаленные от объектива на расстояние a = 50 м. На какое расстояние d передвинули окуляр при наводке?

Решение:

Зрительная труба дает изображение предметов, находящихся в бесконечности, в своей фокальной плоскости. Изображение предметов, находящихся на расстоянии a₁ от объектива, получается на расстоянии

,

т. е. на расстоянии дальше.

Следовательно, окуляр нужно отодвинуть на столько же, чтобы созданное объективом изображение по-прежнему находилось в фокальной плоскости окуляра. Таким образом,

Задача 7. Наблюдатель с нормальным зрением рассматривает луну в телескоп, объектив которого имеет фокусное расстояние F₁ = 2 м, а окуляр F₂ = 5 см. Глаз наблюдателя аккомодирован на расстояние наилучшего зрения d = 25 см. На сколько нужно переместить окуляр для того, чтобы получить изображение Луны на экране на расстоянии d = 25 см от окуляра? Чему равны при этом размеры изображения Луны на экране, если ее угловые размеры  = 30^/?

Решение:

Изображение S Луны, даваемое объективом, располагается в фокальной плоскости. Расстояние a₁ от этого изображения до окуляра при наблюдении глазом найдем по формуле линзы

,

где b₁ = -d (изображение, даваемое окуляром, мнимое), или

Найдем теперь расстояние a₂ от изображения S до окуляра при наблюдении на экране:

Смещение окуляра a₂ - a₁ равно, таким образом, 2,08 см. линейный размер h^/ изображения Луны легко найти, рассматривая подобные треугольники:

.

Здесь h - линейный размер изображения S, даваемого объективом. При написании последней формулы принята во внимание малость угла ; это позволяет с хорошим приближением записать . Подставляя числовые значения, получим h^/ = 7 см.

Задача 8. Фотоаппаратом с размерами кадра 24  36 мм и фокусным расстоянием объектива 50 мм нужно переснять чертеж размерами 12  18 см. Определить: коэффициент уменьшения переснимаемого предмета; расстояние от поверхности пленки, на котором следует располагать чертеж; оптическую силу насадочной линзы. Изображение чертежа должно точно соответствовать размеру кадра, и объектив фотоаппарата должен быть сфокусирован на бесконечно удаленный предмет. Считать, что систему объективов - насадочная линза можно рассматривать как систему тонких линз, сложенных вплотную.

Решение:

Определим уменьшение переснимаемого чертежа как отношение соответствующих линейных размеров чертежа (120 мм) и кадра (24 мм)

.

Применительно к оптической системе объектив - насадочная линза формула линзы принимает вид:

где D₁ - оптическая сила объектива; D₂ - оптическая сила насадочной линзы; d - расстояние от оптического центра системы до предмета (чертежа); f - расстояние от оптического центра системы до изображения (до пленки).

По условию задачи объектив сфокусирован на бесконечность и f = F₁, где F₁ - фокусное расстояние объектива. Уменьшение k в этом случае может быть представлено как

откуда

Искомое расстояние от чертежа до пленки

Подставив значение d в формулу линзы, получим

Учитывая, что , находим оптическую силу насадочной линзы

Задача 9. Лупа, ограниченная сферическими поверхностями радиусами R₁ = 5,9 см и R₂ = 8,2 см, «отодвигает» рассматриваемый предмет на l = 2 см. Во сколько раз она его увеличивает? Показатель преломления стекла линзы n = 1,6.

Решение:

Найдем фокусное расстояние лупы

Согласно формуле линзы

Учитывая, что d + l =f, находим

следовательно, увеличение лупы

.

ЛИНЗЫ

Задача 1. Точка движется по окружности с постоянной по модулю скоростью 0,2 м/с вокруг главной оптической оси собирающей линзы в плоскости, перпендикулярной оси и отстоящей от линзы на расстоянии, в 1,5 раза большем фокусного. Центр окружности лежит на главной оптической оси линзы. С какой скоростью движется изображение?

Решение:

Если точка движется по окружности с постоянной по модулю линейной скоростью, то можно утверждать, что угловые скорости точки и ее изображения одинаковы.

Обозначим радиусы движения точки и ее изображения соответственно R₁ и R₂. Можно считать, что R₂ является изображением R₁. Поэтому, используя выражения для увеличения линзы, запишем:

. (1)

Формула линзы в нашем случае имеет вид

,

откуда находим

.

Подставляя значения d, получим: , откуда из (1) имеем

, .

Запишем формулу связи между линейной и угловой скоростями для точки и ее изображения

и .

Исключая угловую скорость , выделяем искомую скорость в виде:

. (2)

Подставляя в (2) полученное значение для отношения радиусов орбит, находим окончательный результат:

м/с.

Задача 2. Расстояние от предмета до экрана 105 см. Тонкая линза, помещенная между ними, дает на экране увеличенное изображение предмета. Если линзу переместить на 32 см, то на экране будет уменьшенное изображение. Найти фокусное расстояние линзы.

Решение:

Введем обозначения: d - расстояние от предмета до линзы в первом случае, f - расстояние от линзы до экрана в первом случае, F - фокусное расстояние линзы. Тогда можно записать:

. (1)

Чтобы произошел переход от увеличенного изображения к уменьшенному при неизменном положении предмета и экрана, необходимо передвинуть линзу ближе к экрану. Поэтому во втором случае с учетом (1) соответствующие расстояния будут равны

и .

Запишем формулу линзы для случая действительного изображения в обоих случаях:

Решаем систему уравнений (1) - (3) относительно искомой величины F. Из равенства левых частей уравнений (2) и (3) следует:

. (4)

Рассматривая совместно (1) и (4), находим

, . (5)

Подставляя (5) в (2), получаем ответ:

см.

\

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Задача 1. Ракета движется относительно неподвижного наблюдателя не Земле со скоростью 0,99с. Найти, как изменятся линейные размеры тел и плотность вещества в ракете (по линии движения) для неподвижного наблюдателя; какое время пройдет по часам неподвижного наблюдателя; если по часам движущимися с ракетой, прошел один год.

Решение:

Размеры тел вдоль линии движения составят (для земного наблюдателя)

= 0,14l_o.

Плотность вещества в ракете для земного наблюдателя

,

где V - объем, S - сечение предмета, перпендикулярное к линии движения. Так как поперечные (по отношению к линии движения) размеры тел не изменяются, то

; .

В рассматриваемом случае .

Время полета ракеты с точки зрения земного наблюдателя

года.

Задача 2. Две частицы движутся в вакууме вдоль прямой навстречу друг другу со скоростями 0,5с и 0,75с. Определите их относительную скорость.

Решение:

Свяжем с первой частицей неподвижную систему отсчета K, относительно которой она движется со скоростью u. Со второй частицей свяжем систему K^/, движущуюся вдоль оси x со скоростью v относительно неподвижной системы K в направлении, противоположном оси x, то есть противоположном скорости u. Используя релятивистский закон сложения скоростей и учитывая, что проекция скорости v на ось x отрицательна, запишем выражение для скорости в неподвижной системе отсчета:

.

Отсюда находим относительную скорость частиц

u^/: .

Подставляя численные значения, имеем:

м/с.

Задача 3. Время жизни -мезона в системе отсчета, связанной с ним, равно 2,610⁸ с. Определите время жизни -мезона для наблюдателя, относительно которого он движется со скоростью 0,99с.

Решение:

Время жизни p-мезона, который движется со скоростью v, найдем по формуле: , где t_о - собственное время жизни -мезона. Подставляя численные данные, получаем:

с.

Задача 4. Какая энергия выделилась бы при полном превращении 1 г вещества в излучение?

Решение:

По формуле Эйнштейна Дж.

Задача 5. Какому изменению массы соответствует изменение энергии на 4,19 Дж?

Решение:

кг.

Задача 6. Найти изменение энергии, соответствующее изменению массы на 1 а. е. м.

Решение:

МэВ.

Задача 7. Какому изменению массы соответствует энергия, выработанная за 1 ч электростанцией мощностью 2,5 ГВт?

Решение:

кг.

Задача 8. Протон движется со скоростью 0,75с. Определите его энергию покоя, полную энергию и кинетическую энергию.

Решение:

Энергия покоя протона определяется по формуле Эйнштейна:

E_о = mc².

Полная энергия протона:

.

В релятивистской механике кинетическая энергия E_к частицы определяется как разность между полной энергией E и энергией покоя E_о этой частицы: E_к = E + E_о. Подставляя числовые значения величин, получаем:

E_о = 1,6710²⁷ кг + (310⁸)² м²/с² = 1510¹¹ Дж.

E = 2,5210²⁷ кг + (310⁸)² м²/с² = 22,710¹¹ Дж.

E_к = 22,710¹¹ Дж + 1510¹¹ Дж = 7,710¹¹ Дж.

Задача 9. При аннигиляции медленно движущихся электрона и позитрона образуется два гамма-кванта. Под каким углом друг к другу они разлетаются? Какая частота возникшего излучения?

Решение:

В рассматриваемом процессе выполняются законы сохранения импульса и энергии. Поскольку начальные скорости частиц малы, по закону сохранения импульса получим:

, т. е. ₁ = ₂.

При этом, очевидно, что угол разлета равен 180^о, ибо только в этом случае суммарный импульс частиц после взаимодействия может быть равным нулю.

Теперь запишем закон сохранения энергии:

,

откуда, учитывая, что ₁ = ₂ = , найдем .

Задача 10. Летевшая со скоростью v = 0,8c нейтральная частица распадается на два фотона, движущихся затем в противоположных направлениях. Каково отношение частот этих квантов?

Решение:

Применим законы сохранения энергии и импульса. Согласно закону сохранения импульса, начальный импульс частицы равен сумме проекций импульсов фотонов на первоначальное направление движения частицы:

,

а по закону сохранения энергии полная энергия частицы равна суммарной энергии квантов:

Подставляя сюда значение скорости v = 0,8c, и умножая обе части первоначального уравнения на c, получим:

,

.

Вычитая и складывая полученные уравнения, найдем частоты излучений:

, и искомое отношение .

ЯВЛЕНИЕ ФОТОЭФФЕКТА

Задача 1. Найти массу фотона: 1) красных лучей видимого света ( = 710^-7 м); 2) рентгеновских лучей (( = 0,2510^-10 м); 3) гамма лучей (( = 1,2410^-12 м).

Решение:

1) кг.

2) кг.

3) кг.

Задача 2. Определить энергию, массу и импульс фотона с  = 0,01610^-10 м.

Решение:

Дж. кг. кгм/с.

Задача 3. Мощность ртутной горелки - 125 Вт. Найти сколько квантов с длиной волны  = 612310^-10 м испускается ежесекундно, если интенсивность этой линии составляет 2 % интенсивности дуги. КПД горелки - 80 %.

Решение:

Энергия излучения данной волны составляет Дж. Энергия кванта . Число квантов в секунду равно .

Задача 4. С какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его кинетическая энергия была равна энергии фотона с длиной волны  = 520010^-10 м?

Решение:

Из формулы имеем м/с.

Задача 5. С какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его импульс был равен импульсу фотона с длиной волны  = 520010^-10 м?

Решение:

Импульс электрона равен м/с.

Задача 6. Какую энергию должен иметь фотон, чтобы его масса была равна массе покоя электрона?

Решение:

Энергия фотона равна Дж, или эВ.

Задача 7. Излучение состоит из фотонов с энергией 6,410^-19 Дж. Найти частоту колебаний и длину волны в вакууме для этого излучения.

Решение:

Частота с^-1. Длина волны м.

Задача 8. Скорость распространения фиолетовых лучей с частотой  = 7,510¹⁴ Гц в воде равна v = 2,2310⁸ м/с. Насколько изменятся частота и длина волны этих лучей при переходе из воды в вакуум?

Решение:

Частота электромагнитных колебаний при переходе из среды в среду не меняется. Длина волны меняется по формуле ; , откуда м.

Задача 9. Насколько энергия квантов фиолетового излучения (_ф = 7,510¹⁴ Гц) больше энергии квантов красного света (_кр = 410¹⁴ Гц)?

Решение:

Дж.

Задача 10. Сколько фотонов зеленого излучения с длиной волны  = 520 нм в вакууме будут иметь энергию 10^-3 Дж?

Решение:

Энергия такого кванта равна . Число квантов равно .

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

Задача 1. Нагревается или охлаждается идеальный газ, если он расширяется по закону P = b/Vⁿ, где - b и n - некоторые постоянные, причем 0 < n < 1?

Решение:

Так как кривые при идут на графике зависимости P от V более полого, чем проведенные через те же точки изотермы , то при расширении газа по этому закону давление падает медленнее, чем при изотермическом расширении. Следовательно, газ нагревается.

Задача 2. Масса пороха M, сгорающего в одну секунду в камере ракетного двигателя, зависит от давления P по закону M = APⁿ (A и n - некоторые постоянные). Скорость расхода массы газа за счет истечения из сопла пропорциональна давлению в камере. Во сколько раз отличаются давления в камерах ракетных двигателей, если сечения их сопел равны S₁ и S₂? Рассмотреть частный случай, когда n = 2/3, S₁/S₂ = 2.

Решение:

Очевидно, что при установившемся режиме горения в камере двигателя будет такое давление, при котором скорость истечения массы вещества из сопла равна скорости сгорания топлива: , где  - некоторая постоянная; отсюда

или .

Отношение давлений в камерах 2 и 1 будет

.

В частном случае n = 2/3, S₁/S₂ = 2 получим P₂/P₁ = 2³ = 8

Задача 3. Масса пороха M, сгорающего в одну секунду в камере реактивного двигателя, зависит от давления P по закону M = APⁿ. Найти показатель степени n, если при уменьшении сечения сопла двигателя в два раза давление в камере возрастает в четыре раза. Скорость расхода массы газа за счет истечения из сопла пропорциональна давлению в камере P.

Решение:

Задача решается аналогично предыдущей. В нашем случае S₁/S₂ = 2, P₂/P₁ = 4. Таким образом . Т. е.

.

Задача 4. Спутник V = 1000 м³ наполнен воздухом, находящимся при нормальных условиях. Метеорит пробивает в корпусе спутника отверстие площадью 1 см². Определить время, через которое давление внутри изменится на 1 %. Температура неизменна.

Решение:

Число молекул, которые за время t проходят через отверстие площадью S, равно

,

где n - концентрация молекул, v_x - проекция скорости.

При этом число молекул в единице объема изменяется на

.

По условию задачи T=const из уравнения Клапейрона - Менделеева

или ,

где величина , следовательно, . Поэтому

.

Для оценки можно считать, что

или .

Тогда время, через которое давление внутри спутника уменьшится на 1 %, определим по формуле

. с.

Задача 5. Сосуд C сообщается с окружающим пространством через малое отверстие. Температура газа в окружающем пространстве T, давление p. Газ настолько разрежен, что молекулы при пролете в сосуд из сосуда на протяжении размеров отверстии не сталкиваются друг с другом. В сосуде поддерживается температура 4T. Каким будет давление в сосуде?

Решение:

Давление газа в сосуде равно . Вне сосуда давление равно . Где n₁ - концентрация молекул в сосуде, n₂ - концентрация молекул вокруг сосуда. Следовательно, и . Таким образом, чтобы определить давление в сосуде, достаточно определить отношение концентраций. При равновесии число вылетающих и влетающих молекул одинаково. Число молекул, которые вылетают из сосуда за время t равно , число влетающих в сосуд молекул равно . Так как газ в сосуде находится в равновесии, то и .

.

.

Задача 6. В цилиндре, площадь основания которого 100 см², находится воздух при температуре 7 ^оС. А высоте 60 см от основания цилиндра расположен поршень массой 10 кг. На сколько опустится поршень, если на него поставить гирю массой 100 кг, а воздух в цилиндре нагреть до 27 ^оС? Трением поршня о стенки цилиндра пренебречь. Атмосферное давление равно 0,1 МПа.

Решение:

Масса воздуха в цилиндре при переходе из начального состояния в конечное не изменяется, следовательно, для решения используем уравнение состояния идеального газа:

.

Начальная и конечная температуры воздуха в цилиндре известны: T₁ = 280 K, T₂ = 300 K. Начальный объем воздуха , конечный - , где h - искомое изменение высоты поршня в цилиндре. Начальное и конечное давление воздуха в цилиндре определяем, пользуясь тем, что поршень и в начале, и в конце процесса находится в состоянии равновесия:

, .

Подставляя полученные значения V₁, V₂, p₁, p₂ в исходное уравнение, получим

,

откуда . h = 26,33 см.

Задача 7. Вертикальный цилиндр, закрытый с обеих сторон, разделен тяжелым теплонепроницаемым поршнем на две части, в которых находится одинаковое количество воздуха. При температуре 300 К давление в нижней части сосуда в 2 раза больше, чем в верхней. До какой температуры надо нагреть воздух в нижней части цилиндра, чтобы поршень оказался на середине цилиндра?

Решение:

Массы воздуха в верхней и нижней частях цилиндра одинаковы, кроме того, температура воздуха в верхней части постоянна и равна T₁, а в нижней части изменяется от T₁ до T₂. Поэтому ; , где p₁, V₁ и p₂, V₂ - начальные, а , и , - конечные давления и объемы воздуха в верхней и нижней частях сосуда соответственно.

По условию задачи , . Так как поршень в начальном состоянии и конечном состояниях находится в состоянии равновесия, то , где m - масса поршня, S - площадь основания цилиндра. Следовательно,

.

Кроме того, , . Следовательно, . Принимая во внимание, что , получим .

Так как , то конечные объемы воздуха в верхней и нижней частях

.

Подставив значения давлений и объемов в исходные уравнения, получим

Решим систему уравнений относительно T₂: К.

Задача 8. Цилиндр с площадью основания 20 см², закрытый поршнем массой 10 кг, находится в стартующей вертикально ракете. Определить ускорение ракеты, если объем газа под поршнем в движущейся ракете в 3 раза меньше, чем в покоящейся. Давление воздуха в ракете p_o = 0,1 МПа.

Решение:

Масса газа в цилиндре постоянна, поэтому если пренебречь изменением температуры газа при сжатии, то для решения задачи можно воспользоваться законом Бойля - Мариотта:

.

По условию задачи , где . Так как в покоящейся ракете поршень, закрывающий цилиндр, находится в равновесии, то . В стартующей ракете поршень движется с ускорением a, равным ускорению ракеты. Для нахождения p₂ воспользуемся вторым законом Ньютона: , где - сила давления, действующая на поршень со стороны газа, - сила давления воздуха, mg - сила тяжести поршня. Следовательно, .

Подставив значения p₁, V₁ и p₂ в исходное уравнение, получим

.

Из последнего уравнения найдем искомое значение ускорения м/с².

Задача 9. Тонкостенный резиновый шар массой 0,06 кг наполнен неоном и погружен в озеро на глубину 120 м. Найти массу неона, если шар находится в равновесии. Атмосферное давление 0,1 МПа, температура воды 4 ^оС. Упругостью резины пренебречь.

Решение:

Масса неона в шаре m₁ может быть определена из уравнения Менделеева - Клапейрона: , где M = 210^-2 кг/моль - молярная масса неона.

Температура неона в шаре равна температуре воды, т. е. 277 K, давление , где  - плотность воды, h - глубина погружения, p_o - атмосферное давление.

На шар с неоном, погруженный в воду, действуют сила тяжести , где m₂ - масса оболочки, и выталкивающая сила .

Шар находится в равновесии, поэтому , но , где V₁ - наружный объем шара, т. е.

, откуда .

Так как шар тонкостенный, то его наружный объем равен объему неона V₁ = V.

Подставляя полученные значения давления и объема в исходное уравнение, получим

.

Решим уравнение относительно m₁:

.

После подстановки значений, находим m₁ = 2,710^-4 кг.

Задача 10. Определить плотность смеси, состоящей из 4 г водорода и 32 г кислорода при температуре 7 ^оС и давлении 93,3 кПа.

Решение:

Искомая плотность смеси , где - масса смеси, V - ее объем. Температура T и давление p известны. По закону Дальтона , где p₁ - давление водорода, p₂ - давление кислорода.

Применяя к водороду и кислороду уравнение Менделеева - Клапейрона, получим для двух газов:

и ,

где M₁ и M₂ - молярные массы водорода и кислорода. Следовательно,

.

Подставив значение объема в исходную формулу, получим

кг/м³.

ТЕПЛОТА

Задача 1. Для определения температуры t₁ печи нагретый в ней стальной цилиндр с массой m₁ = 0,3 кг бросили в медный сосуд с массой m₃ = 0,2 кг, содержащий m₂ = 1,27 кг воды при t₂ = 15 ^оС. Температура воды повысилась до  = 32 ^оС. Вычислить температуру печи.

Решение:

Уравнение теплового баланса Q₁ = Q₂ (*), где Q₁ - количество теплоты, отданное цилиндром; Q₂ - количество теплоты, полученное водой и колориметром.

В свою очередь, , где - количество теплоты, полученное водой; - количество теплоты, полученное колориметром.

,

где m₁ - масса цилиндра; c₁ - его удельная теплоемкость; t₁ - первоначальная температура цилиндра;  - средняя температура, установившаяся в калориметре.

; ,

где m₂, m₃ - масса воды и колориметра; c₂, c₃ - их удельные теплоемкости; t₂ - первоначальная температура воды и колориметра.

Подставляя все эти уравнения в (*), получим:

,

откуда искомая температура цилиндра, а значит и печи,

^оС.

Задача 2. Свинцовая пуля, летящая со скоростью v_o, пробивает доску, уменьшает свою скорость до v. Начальная температура пули - t. Определить, какая часть пули расплавится, если считать, что на нагревание пошла k-я часть энергии (k < 1).

Решение:

При пробивании доски скорость пули уменьшается, следовательно, ее кинетическая энергия уменьшается на

.

На нагревание пули до температуры плавления и на плавление части пули с массой m₁ расходуется k-я часть этой энергии:

,

где c - удельная теплоемкость;  - удельная теплота плавления свинца.

Разделив обе части уравнения на m, получим

.

Задача 3. На какую высоту можно было бы поднять груз массой m₂ = 10³ кг, если бы удалось полностью использовать энергию, освобождающуюся при остывании 1 л воды от t₁ = 100 ^оС до t₂ = 20 ^оС?

Решение:

При остывании воды освобождается энергия , где - масса воды ( - плотность воды; V - объем воды).

Для того чтобы поднять груз массой m₂ на высоту h, должна быть выполнена работа

.

Следовательно, м.

Задача 4. Какое количество теплоты выделится при замерзании m = 1 кг воды, переохлажденной до t = -15 ^оС (удельную теплоемкость переохлажденной воды считать равной 4190 Дж/(кгК))?

Решение:

Для нагревания воды до температуры замерзания необходимо количество теплоты

.

При замерзании вода отдает количество теплоты .

Полное количество выделившейся теплоты

Дж.

Задача 5. При соблюдении некоторых мер предосторожности воду можно переохладить, т. е. охладить ниже 0 ^оС. Пробирку, содержащую m = 12 г переохлажденной воды с температурой t = -5 ^оС, встряхивают. При этом часть воды замерзает. Какова масса образовавшегося льда? Теплообменом с окружающей средой и теплоемкостью пробирки пренебречь.

Решение:

При замерзании некоторой части воды выделяется тепло, благодаря чему образующийся лед и оставшаяся вода нагреваются до 0 ^оС. Поставленный в задаче вопрос не требует детального анализа этого достаточно сложного процесса. Чтобы воспользоваться законом сохранения энергии (в форме уравнения теплового баланса), можно заменить реальный процесс воображаемым: сначала вся вода нагревается до 0 ^оС, «занимая» при этом некоторую энергию, а затем вода массой m_л замерзает, выделяя такую же энергию. Тогда

г.

Задача 6. На сколько градусов нагреется вода, падая с высоты h, если k % выполненной при ее падении работы тратится на нагревание воды.

Решение:

Работа, выполненная при падении с высоты h, равна потенциальной энергии, которую имела масса воды m на этой высоте:

.На нагревание пошло k % работы, т. е.

.

Задача 7. В колориметре с массой m₁, удельная теплоемкость которого равна c₁, находится воды массой m₂, нагретая до температуры t₁. В колориметр опускают смесь медных и алюминиевых опилок с массой m, имеющих температуру t₂. В результате температура воды повышается до . Определить массу медных и алюминиевых опилок.

Решение:

Количество теплоты, полученное колориметром и водой,

.

Количество теплоты, отданное опилкам,

,

где m₃, m₄, c₃, c₄ - соответственно массы и удельные теплоемкости медных и алюминиевых опилок, причем m = m₃ + m₄.

По закону сохранения энергии Q₁ = Q₂, так, что

, .

Задача 8. В сосуде, из которого быстро откачивают воздух, находится небольшое количество воды с массой m при t = 0 ^oC. За счет интенсивного испарения происходит постепенное замораживание воды. Какая часть первоначальной массы воды может быть таким образом превратится в лед?

Решение:

Необходимое для образования пара тепло может быть получено за счет теплоты, освобождающейся при замерзании воды, Q₁ = m₁, где -  - удельная теплота плавления; m₁ - масса льда. Количество теплоты, необходимое для превращения в пар воды с массой m₂, равно Q₂ = Lm₂, где L - удельная теплота парообразования. Следовательно,

m₁ = Lm₂.

Так как m₁ + m₂ = m, то

Задача 9. Для определения температуры t₁ печи нагретый в ней стальной цилиндр с массой m₁ = 0,3 кг бросили в медный сосуд с массой m₃ = 0,2 кг, содержащий m₂ = 1,27 кг воды при t₂ = 15 ^оС. Температура воды повысилась до  = 32 ^оС. Вычислить температуру печи.

Решение:

Уравнение теплового баланса Q₁ = Q₂ (*), где Q₁ - количество теплоты, отданное цилиндром; Q₂ - количество теплоты, полученное водой и колориметром.

В свою очередь, , где - количество теплоты, полученное водой; - количество теплоты, полученное колориметром.

,

где m₁ - масса цилиндра; c₁ - его удельная теплоемкость; t₁ - первоначальная температура цилиндра;  - средняя температура, установившаяся в калориметре.

; ,

где m₂, m₃ - масса воды и колориметра; c₂, c₃ - их удельные теплоемкости; t₂ - первоначальная температура воды и колориметра.

Подставляя все эти уравнения в (*), получим:

,

откуда искомая температура цилиндра, а значит и печи,

^оС.

Задача 10. Определите температуру воды в сосуде, если в него налили одну кружку воды при температуре t₁ = 40 ^оС, четыре кружки воды при температуре t₂ = 30 ^оС и пять кружек воды при температуре t₃ = 20 ^оС. Потери теплоты не учитывать.

Решение:

Уравнение теплового баланса при смешивании двух первых порций воды запишется в виде:

,

где c - удельная теплоемкость воды, m - масса одной кружки воды,  - температура смеси. Отсюда . Уравнение теплового баланса при смешивании первой смеси и третьей порции воды представится в виде: . Отсюда

^оС.

РАБОТА. ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

Задача 1. КПД тепловой машины равен 18 %. Чему будет равен КПД, если потери тепла уменьшить в 2 раза?

Решение:

Согласно определению КПД и условию задачи имеем:

(1), а , где ,

следовательно

. (2)

Решаем совместно уравнения (1) и (2), для этого преобразуем уравнения до вида

и .

Теперь разделим последние уравнения друг на друга соответственно правые части на правые, левые на левые:

.

Тогда

.

Задача 2. Кислород массой 20 г, находящийся при температуре 640 K, сначала изохорно охлаждают так, что его давление падает в 2 раза, а затем изобарно расширяют до первоначальной температуры. Определите работу, совершенную газом в этом процессе.

Решение:

Газ участвует в двух процессах и пребывает в трех последовательных состояниях, для которых можно записать объединенный газовый закон в виде:

Газ совершает работу только на этапе изобарного расширения, поэтому имеем следующее выражение для искомой работы:

. (4)

Решая совместно (1) и (2), находим , подставляем его в (4), тогда в итоге получаем:

кДж.

Задача 3. Имеется n одинаковых кубов, температуры которых T₁ > T₂ > … > T_n, а теплоемкость не зависит от температуры. До какой максимальной температуры T можно нагреть один из кубов, используя тепловую машину, которая может работать на любом перепаде температур.

Решение:

Очевидно, что в результате мы должны получить один куб температуры T и (n - 1) кубов некоторой температуры , иначе на перепаде температур можно продолжать процесс переноса тепла от холодных кубов к горячему. Из закона сохранения энергии:

.

Необходимо также, чтобы энтропия системы осталась постоянной. Если энтропия системы увеличится, это будет говорить о том, что в каком-то процессе происходил перенос тепла от горячего тела к холодному без запаса работы, т. е. о неэффективности использования ресурсов. Мы определяем максимально допустимый результат:

.

Решая систему, получим уравнение:

.

Аналитически представить ответ в виде не представляется возможным. Наибольший корень уравнения (3) является искомой величиной.

Задача 4. Докажите, что молярные теплоемкости (молярная теплоемкость численно равна количеству теплоты, необходимому для нагревания одного моля вещества на 1 К) идеального газа при постоянном давлении C_p и при постоянном объеме C_Vсвязаны соотношением C_p - C_V = R, где R - универсальная газовая постоянная.

Решение:

Согласно определению, молярная теплоемкость , где  - количества вещества. Поскольку , а при изобарном расширении , получаем

.

Как следует из уравнения Менделеева - Клапейрона,

при .

Следовательно,

.

Задача 5. Чему равны молярные теплоемкости идеального одноатомного газа при постоянном объеме C_V и при постоянном давлении C_p? Найти их отношение  = C_V/C_p. Что можно сказать о величине этого отношения для жидкости?

Решение:

При постоянном объеме , поэтому . Для одноатомного идеального газа . Так как

и .

Разность между C_p и C_V обусловлена работой, совершаемой гамом при изобарном расширении. Жидкость при нагревании расширяется настолько незначительно, что можно считать  = 1.

Задача 6. Приведите пример процесса, в котором газ нагревается, отдавая тепло.

Решение:

Поскольку абсолютная температура газа T прямо пропорциональна его внутренней энергии U, переформулируем поставленный вопрос так: каким образом должен быть процесс, чтобы изменение внутренней энергии газа U было положительно, когда газ отдает тепло (Q < 0)? Согласно первому закону термодинамики . Значит, если работа внешних сил A достаточно велика, U может быть положительным даже при Q < 0. С таким процессом сталкивался каждый, кому приходилось накачивать насосом мяч или велосипедную шину. Воздух в насосе нагревается при сжатии, хотя через стенки насоса он отдает тепло окружающей среде (T > 0 при Q < 0).

ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ

Задача 1. Найти радиусы первой и второй боровских орбит электрона в атоме водорода (z = 1) и скорости электрона на них.

Решение:

1) При движении электрона вокруг ядра или . Используя правило квантования момента импульса , выразим скорость и подставим в первое уравнение

или , следовательно .

Учитывая, что и , имеем . При n = 1 м; при n = 2, получаем м.

2) Из формулы находим м/с; м/с.

Задача 2. Найти кинетическую, потенциальную и полную энергию электрона на первой боровской орбите.

Решение:

Скорость движения электрона по k-й орбите найдем из условия: на электрон действует кулоновская сила , сообщающая ему центростремительное ускорение . Следовательно, радиус . Согласно первому постулату Бора движение электрона вокруг ядра возможно только по определенным орбитам, радиусы которых удовлетворяют соотношению . Решая совместно последние уравнения, найдем . Тогда кинетическая энергия электрона по k-й орбите . По условию задачи k = 1. Подставляя числовые значения, получим

Дж = 13,6 эВ. Потенциальная энергия эВ. Полная энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий эВ.

Задача 3. Найти период T обращения электрона на первой боровской орбите атома водорода и его угловую скорость.

Решение:

Радиус k-й боровской орбиты электрона в атоме водорода и скорость движения электрона по k-й орбите соответственно равны и . Период обращения электрона , после подстановки, имеем . Для k = 1, найдем T₁ = 1,5210^-16c. Угловая скорость движения электрона . Для k = 1, находим рад/с.

Задача 4. Найти энергию ионизации атома водорода (т. е. минимальную энергию, необходимую, чтобы оторвать электрон от атома).

Решение:

У водорода в нормальном состоянии Z = 1, n = 1, и полная энергия электрона на первой орбите

, где м.

Так как на большом удалении от ядра (на бесконечности) энергия электрона равна нулю, то для того, чтобы «поднять» электрон из потенциальной ямы ( в которой он находится на «глубине» E₁) до нулевого уровня, необходимо затратить энергию ионизации , т. е.

Дж = 13,6 Эв

Задача 5. В атоме водорода атом перешел на уровень с главным квантовым числом n, причем радиус орбит изменился в q раз. Найти частоту испущенного кванта.

Решение:

По формуле Бальмера . Так как ,

то .

Задача 6. Найти длину волны де Бройля для электрона, движущегося по первой боровской орбите в атоме водорода.

Решение:

, где м/с, следовательно,  = 3,410^-10 м.

Задача 7. Сколько квантов различных энергий могут испускать атомы водорода, если их электроны находятся на третьей боровской орбите?

Решение:

При переходе с третьей орбиты на вторую, со второй на первую и с третьей на первую могут быть испущен кванты трех различных энергий.

Задача 8. Как изменилась кинетическая энергия электрона в атоме при излучении фотона с длиной волны  = 486010^-10 м?

Решение:

эВ.

Задача 9. Атомарный водород при облучении его моноэнергетическим пучком электронов испускает свет с длиной волны 0,1221 мкм. Найти энергию электронов и определить, в которое из возбужденных состояний переходит атом при ударе электрона.

Решение:

По условию частот , где - кинетическая энергия пучка, переводящая атом водорода в n-е состояние. Используя, кроме того, соотношение , находим, что энергия налетающего электрона эВ.

Чтобы ответить на вопрос, в котором из возбужденных состояний находится атом, надо вычислить квантовое число n. Так как энергия (отрицательная) основного состояния эВ, то энергия n-го возбужденного состояния эВ.

Так как ; , то ; n = 2 (первое возбужденное состояние).

Задача 10. Найти энергию электрона на третьей и на n-й орбитах атома водорода.

Решение:

Так как энергии соседних орбит относятся как квадраты целых чисел, то

эВ. В общем виде можно записать эВ.

За пределами атома, где , , как это и должно быть.

ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРОЛИЗА

Задача 1. При серебрении пластинки через раствор нитрата серебра проходит ток плотностью j = 2 кА/м². С какой средней скоростью растет толщина серебряного покрытия пластинки? Относительная атомная масса, валентность и плотность серебра равны соответственно M_r = 108, n = 1,  = 1,0510⁴ кг/м³.

Решение:

При прохождении электрического тока через раствор нитрата серебра за время t на катоде откладывается серебро массой

,

где F - постоянная фарадея; I - сила тока в растворе; M - молярная масса серебра (M = 0,108 кг/моль).

Если слой серебра плотностью  осаждается равномерно по всей поверхности пластинки площадью S и толщина слоя серебра равна: .

С учетом этого формулу закона Фарадея можно переписать так:

или ,

где - скорость роста толщины покрытия; j - плотность тока в растворе электролита. Последняя формула является основным расчетным соотношением в данной задаче. Из нее для средней скорости роста толщины покрытия получаем:

,

откуда после подстановки числовых значений будем иметь:

v = 2,510^-7 м/с = 0,25 мкм/с.

Задача 2. Сколько электроэнергии нужно затратить для получения из подкисленной воды водорода, имеющего при температуре T = 300 K и давлении p = 100 кПа объем V = 2,510^-3 м³, если электролиз ведется при напряжении U = 5 B, а КПД установки равен 0,75?

Решение:

Согласно закону Фарадея масса m водорода, выделившегося при электролизе подкисленной воды при КПД установки , равна:

,

где M и n - молярная масса и валентность водорода, q - заряд прошедший через подкисленную воду.

Если при электролизе на электроды подается напряжение U и их поляризацией можно пренебречь (ЭДС поляризации очень мала), то для получения газа массой m необходимо затратить энергию, равную

.

Учитывая это, формулу закона Фарадея можно представить в виде:

. (1)

Массу водорода, полученного при электролизе, можно выразить из уравнения Менделеева - Клапейрона через параметры состояния газа:

, (2)

где M - молярная масса водорода. Уравнения (1) и (2) содержат две неизвестные величины: массу водорода и затраченную энергию, которую нам требуется определить.

Исключая из этих уравнений массу и подставляя числовые значения, находим:

кДж.

Задача 3. Определить плотность тока j, прошедшего через электролит в течение времени t. Если за это время на катоде выделилась медь толщиной h, покрыв равномерно плоскость катода. Плотность меди  и ее электрохимический эквивалент k известны. Выход по току равен .

Решение:

Выходом по току электрохимики называют величину , равную отношению фактически выделившейся массы вещества на электроде m₁, к той массе m, которая должна бы выделится в соответствии с теорией, т. е. по первому закону Фарадея для электролиза. Обычно эту величину выражают в процентах.

. (1)

Фактическая масса вещества, выделившегося на катоде, равна произведению плотности выделившегося вещества  и объема V этого вещества, .

В свою очередь, объем выделившегося вещества V равен произведению толщины слоя меди на катоде h и площади поверхности катода S, . Тогда . (2)

Масса вещества m, которая должна выделиться за это время на катоде, по закону Фарадея определяется формулой . Где силу тока можно выразить как . Тогда . (3)

Теперь подставляя выражения (2) и (3) в формулу (1) имеем

.

Задача 4. При электролизе раствора серной кислоты расходуется мощность тока P = 37 Вт. Найти сопротивление электролита R, если за время t = 50 мин на электроде выделилось m = 0,3 г водорода. Молярная масса водорода M = 0,002 кг/моль, его валентность равна n = 1. Число фарадея F = 9,610⁴ Кл/моль.

Решение:

Запишем объединенный закон Фарадея для электролиза

, откуда . (1)

Здесь сила тока I, прошедшего за время t через электролит нам неизвестна, но зато нам известна мощность тока P и требуется определить сопротивление электролита R, поэтому выразим сопротивление R из формулы мощности тока:

, откуда . (2)

Теперь подставим выражение (1) в формулу (2), получим

.

После вычислений, находим R = 1,6 Ом.

Задача 5. При электролизе воды течет ток силой I = 59 A. Какой объем гремучего газа при нормальных условиях (p = 10⁵ Па и T = 273 K) образуется за время t = 1 мин? Молярная масса водорода M₁ = 210^-3 кг/моль. Молярная масса кислорода M₂ = 3210^-3 кг/моль, электрохимический эквивалент водорода k₁ = 0,0104 мг/Кл, электрохимический эквивалент кислорода k₂ = 0,083 мг/Кл.

Решение:

Гремучий газ представляет собой смесь кислорода и водорода. Сразу отметим. Что эти газы (каждый в отдельности) занимают в смеси один и тот же объем V, тогда как давление смеси газов по закону Дальтона равна сумме парциальных (отдельных) давлений каждого газа. Поэтому

.

Здесь p₁ - давление водорода в смеси, p₂ - давление кислорода в ней.

Давление каждого газа связано с объемом, который он занимает, его температурой и массой законом Менделеева - Клапейрона:

, откуда .

Тогда

.

Массу каждого газа найдем по первому закону электролиза:

и .

Подставляя эти выражения в предыдущую формулу, получим

.

После вычислений, находим V = 6,310^-4 м³.

Задача 6. Какой заряд нужно пропустить через ванну с подкисленной водой, чтобы получить V = 1 дм³ гремучего газа при температуре t = 27 ^oC и давлении p = 10⁵ Па?

Решение:

Сначала определим количество гремучего газа (в молях). Для этого воспользуемся уравнением Менделеева - Клапейрона:

,

где R = 8,31 Дж/(мольК) - молярная газовая постоянная.

При электролизе воды атомов водорода выделяется вдвое больше, чем атомов кислорода. Количество водорода

. (1)

Учитывая, что молекула газообразного водорода состоит из двух атомов, с помощью законов Фарадея

.

Подставляя последнее выражение в (1):

.

После подстановки значений находим искомый заряд q = 5,210³ Кл.

Задача 7. Через раствор медного купороса пропускают ток, изменяющийся по линейному закону I = (10 - 0,02)A. Сколько меди выделится на катоде через 200 с после того, как ток начнет изменяться?

Решение:

В момент времени t_o = 0 I_o = 10 A; в момент времени t₁ = 200 c I = 6 A.

Так как сила тока меняется линейно, то за время t₁ ее среднее значение

.

Количество электричества протекшего через электролит равно

.

Масса меди, выделившейся на катоде,

г.

Задача 8. Амперметр, включенный последовательно с электролитической ванной с раствором AgNO₃, показывает силу тока I_A = 0,9 A. Верны ли показания амперметра, если за 10 мин прохождения тока выделилось 0,632 г серебра?

Решение:

Для того чтобы за время t выделилась масса m вещества, необходима сила тока

A,

где F - число Фарадея, M - атомная масса серебра, n - валентность.

Следовательно, показания амперметра на A меньше действительной силы тока.

Задача 9. При электролизе раствора AgNO₃ в течение t = 0,5 ч выделилось m = 4,8 г серебра. Определить ЭДС поляризации, если напряжение на зажимах ванны U = 4,6 В, а сопротивление ванны R = 1,6 Ом.

Решение:

Согласно закону Фарадея . Известно, что ЭДС поляризации направлена против основной ЭДС. Поэтому в данном случае закон Ома может быть представлен в виде

.

Таким образом

В.

Задача 10. При электролизе положительные и отрицательные ионы непрерывно нейтрализуются на соответствующих электродах. Какие причины поддерживают концентрацию ионов в электролитах на постоянном уровне? В каких участках электролита происходит пополнение убыли ионов?

Решение:

Определенная концентрация ионов есть результат динамического равновесия: количество ионов, возникающих вследствие электролитической диссоциации, равно убыли числа ионов вследствие обратного процесса - рекомбинации (ионы противоположных знаков, столкнувшись, могут образовать нейтральную молекулу). Вблизи электродов концентрация ионов падает, и это равновесие нарушается. Число ионов, возникших вследствие диссоциации, больше числа рекомбинировавших ионов. Именно этот процесс поставляет ионы в электролит. Процесс происходит вблизи электродов. Внутри электролита динамическое равновесие не нарушается.

ТРАНСФОРМАТОРЫ

Задача 1. В каком случае обмотка электромотора сильнее нагревается проходящим по ней током - когда мотор вращается в холостую или совершает работу? Напряжение в сети считать постоянным.

Решение:

Нагревание обмотки двигателя зависит только от силы тока. При вращении двигателя в его обмотке наводится ЭДС индукции, вызывающая согласно правилу Ленца уменьшение силы тока. Поскольку двигатель под нагрузкой вращается медленнее, ЭДС индукции в нем меньше, и поэтому сила тока больше. Значит, под нагрузкой двигатель нагревается сильнее.

Задача 2. Электродвигатель включен в сеть постоянного тока с напряжением U = 120 B. Сопротивление обмотки двигателя R = 12 Ом. Какую максимальную мощность может развивать этот двигатель? При какой силе тока достигается эта мощность? Напряжение в сети считайте постоянным.

Решение:

Потребляемая от сети постоянного тока мощность равна UI, а выделяющаяся в обмотке тепловая мощность равна (эти величины не равны друг другу, поскольку из-за возникновения ЭДС индукции в обмотке двигателя). Согласно закону сохранения энергии мощность

.

Она зависит от скорости вращения двигателя: при замедлении вращения сила тока увеличивается, потому, что ЭДС индукции уменьшается. Анализ формулы (дифференцирование уравнения мощности по сопротивлению) для мощности N как функции силы тока I показывает: максимальную мощность

Вт

двигатель развивает при токе равном

A.

Задача 3. Сопротивление в цепи нагрузки генератора переменного тока увеличилось. Как должна изменится мощность двигателя, вращающего генератор, чтобы частота переменного тока осталась прежней?

Решение:

Если частота переменного тока остается прежней, то это означает, что осталось прежним число оборотов двигателя и генератора. Поэтому не изменяется и ЭДС генератора. При большом внешнем сопротивлении в цепи потечет меньший ток и, значит, будет выделяться меньшая мощность. Следовательно, мощность двигателя, вращающего генератор, должна быть уменьшена.

Задача 4. Сила, действующая на движущуюся заряженную частицу со стороны магнитного поля (сила Лоренца), всегда перпендикулярна скорости; следовательно, эта сила не совершает работы. Почему же в таком случае работает электромотор? Ведь сила, действующая на проводник с током, возникает в результате действия поля на отдельные заряженные частицы, движение которых образует ток.

Решение:

Работа, совершаемая полем по перемещению проводников с током (обмотки якоря), не равна полной работе поля. Кроме работы по перемещению проводника, магнитное поле совершает работу по торможению электронов в проводнике, что приводит к появлению в обмотке ЭДС индукции. Первая часть работа положительна, а вторая - отрицательна. Полная работа магнитного поля равна нулю. Электродвижущая сила источника, создающего в якоре мотора ток, совершает положительную работу, компенсирующую отрицательную работу магнитного поля по торможению электронов. Двигатель совершает работу, по существу, за счет энергии источника, питающего мотор.

Задача 5. К зажимам генератора синусоидальной ЭДС постоянной амплитуды подключают конденсаторы C₁ и C₂. Первый раз конденсаторы соединяют между собой параллельно, второй - последовательно. Во сколько раз должна изменится частота генератора, чтобы ток через него был одинаковым в обоих случаях? Внутренним сопротивлением генератора пренебречь.

Решение:

При включении конденсатора C в цепь переменного тока будет происходить периодическая перезарядка конденсатора. Заряд, протекающий по проводам к обкладкам конденсатора, будет тем больше, чем больше емкость конденсатора C. Так как за половину периода этот заряд должен смениться противоположным по знаку, то ток протекающий по цепи, должен быть пропорционален частоте. Итак, при одной и той же амплитуде переменного напряжения на конденсаторе ток в цепи с конденсатором пропорционален частоте и емкости конденсатора . Можно сказать поэтому, что конденсатор обладает «емкостным сопротивлением», обратно пропорциональным частоте и емкости. При параллельном соединении

.

При последовательном соединении

.

Отсюда

.

Задача 6. Может ли сериесный мотор постоянного тока, включенный в сеть с напряжением U = 120 B, развивать мощность N = 200 Вт, если сопротивление его обмоток R = 20 Ом?

Решение:

Мощность, потребляемая мотором,

; ,

где - ЭДС индукции, возникающая в якоре.

Следовательно,

.

Здесь - джоулево тепло, выделяемое в обмотках, а - мощность против ЭДС индукции. Она равна механической мощности N₁ развиваемой мотором. Эта мощность

, так как .

Данное выражение имеет максимум при .

Следовательно, максимальное значение

Вт.

Мощность в 200 Вт мотор развить не может.

Задача 7. Сериесный мотор, питающийся от источника постоянного напряжения, работает в режиме, обеспечивающем получение от него максимальной механической мощности N. Какое количества тепла за единицу времени выделяется в моторе, если остановить (заклинить) его вал?

Решение:

Согласно решению предыдущей задачи, максимальная механическая мощность . Если якорь мотора неподвижен, то протекающий по обмотке ток . Количество тепла, выделяемое в обмотке в единицу времени,

.

Следовательно, .

Задача 8. Какими параметрами сети определялась бы мощность электромотора постоянного тока, включенного в эту сеть, если бы его обмотка была сделана из проводника?

Решение:

Сила тока, текущего по обмотке двигателя, будет определяться ЭДС сети E, ее сопротивлением r и ЭДС индукции , возникающей в якоре мотора: . Разность потенциалов U на клеммах двигателя равна в любой момент , так как сопротивление обмотки равно нулю. Следовательно, мощность

определяется ЭДС сети, ее сопротивлением и .

Задача 9. Определить КПД сериесного и шунтового моторов при условии, что развиваемая ими мощность максимальна. Напряжение на зажимах U; сопротивление обмоток ротора R₁ и статора R₂ одинаковы у обоих моторов и предполагаются известными.

Решение:

Для сериесного мотора развиваемая максимальная мощность

. Потребляемая мотором мощность , так как E_i = U/2.

Следовательно, коэффициент полезного действия  = ½. Для шунтового мотора

.

Потребляемая мощность

.

Следовательно, ,

т. е. меньше 50 %.

\

РАБОТА И МОЩНОСТЬ ТОКА.

Задача 1. Имеется лампочка мощностью P, рассчитанная на напряжение U₁. Какое добавочное сопротивление надо включить последовательно с лампочкой, чтобы она давала нормальный накал при напряжении в сети U₂ > U₁? Сколько метров нихромовой проволоки сечением S надо взять, чтобы получить такое сопротивление?

Решение:

Для того чтобы лампочку можно было включить в сеть с напряжением U₂, падение напряжения на добавочном сопротивлении должно быть равно .

Согласно закону Ома . Ток через добавочное сопротивление равен току через лампочку: . Таким образом, , откуда , так как , где  - удельное сопротивление нихрома; S и l - сечение и длина проводника, получаем

.

Задача 2. Через аккумулятор с ЭДС 10 B и внутренним сопротивлением r = 1 Ом течет ток I = 5 A. Найти напряжение на зажимах источника.

Решение:

Как известно, ЭДС равна сумме падений напряжений на внешнем и внутреннем участках замкнутой электрической цепи:

, где R - сопротивление внешней цепи.

Напряжение на зажимах источника В.

Задача 3. Два вольтметра, соединенных последовательно, подключены к источнику тока и показывают 8 и 4 B. Если подключить к источнику только второй вольтметр, он покажет 10 B. Чему равна ЭДС источника?

Решение:

Для случая, когда подключены оба вольтметра, можно записать уравнение

, (1)

где Ir - падение напряжения внутри источника; U₁, U₂ - падения напряжений на первом и втором вольтметрах соответственно.

Если подключен только второй вольтметр, то

, (2)

где I₁r - падение напряжения внутри источника; - показание вольтметра во втором случае.

Согласно закону Ома для участка цепи

; , (3)

где R₂ - сопротивление вольтметра.

Из (3) имеем:

; . (4)

Из (1) получаем . (5)

Подставив (4) в (2), находим . (6)

Из (5) и (6) B.

Задача 4. При замыкании элемента на сопротивление R₁ в цепи идет ток I₁; при замыкание на сопротивление R₂ идет ток I₂. Чему равен ток короткого замыкания?

Решение:

Запишем закон Ома для замкнутой цепи в первом и втором случаях:

, ,

где E - ЭДС элемента; r - внутреннее сопротивление. Решив эти два уравнения, получим:

; .

Ток короткого замыкания

.

Задача 5. N-одинаковых аккумуляторов соединены последовательно, причем k из них включены навстречу другим. ЭДС каждого элемента равна E₁, внутреннее сопротивление - r₁. Какой ток установится в цепи, если батарею замкнуть на сопротивление R?

Решение:

Запишем закон Ома для замкнутой цепи:

, где E - ЭДС; r - внутреннее сопротивление батареи.

Так как элементы соединены последовательно, внутреннее сопротивление батареи .

ЭДС батареи равна алгебраической сумме ЭДС элементов:

.

Следовательно, ток в цепи .

Литература

1.Балаш, В.А.Задачи по физике и методы их решения.- М.: Просвещение, - 2000 г

2.Кабардин, О.Ф..Факультативный курс физики.10 класс. / Кабардин, О.Ф.. Орлов В.А.Шеффер Н.И. - Просвещение 2002г.

3.Кабардин, О.Ф. Факультативный курс физики.10 класс / О.Ф. Кабардин, В.А.Орлов, В.А. Шеффер. - М.: Просвещение, 2000г.

4.Павленко Ю.Г. Пособие по физике для поступающих в вузы. Изд-во: Наука. - М.1978г.

5.Зубов В.Г. Задачи по физике. // В.Г. Зубов, В.П. Шальнов. Изд-во: Наука, 2002 г.

6.Жданов Л.С. Физика для средних специальных учебных заведений // Л.С. Жданов, Г.Л. Жданов. Изд-во: Наука, 1981 г

7.Савченко, Н.Е. Решение задач по физике. Изд-во: «Высшая школа», 1997 г

8.Кобушкин, В.К. Методика решения задач по физике. Изд-во: Университет, 2000 г

9.Яворский, Б.М. Справочное руководство по физике // Б.М. Яворский, Ю.А. Селезнев /. Изд-во Наука, 1979 г.

10.Степанова, Г.Н. Сборник задач по физике М.: Просвещение, 2006 г.

69