Импульстің сақталу заңы тақырыбына арналған үлестірмелі материалдар

І топ. Импульстің сақталу заңы

mV туындысын дене импульсі немесе қозғалыс мөлшері деп аталады. Тұйық жүйеде импульс тұрақты болып қалады.

Әсерлесудің кез келген табиғатта және үйлесімсіз болуы мүмкін:

m₂¹ V₂¹

m₁¹ V₁¹

m₂ V₂

m₁V₁

Әсерлесу кейбір облыстарда болуы мүмкін.

Әсерлесу кезінде бөлшек массасы да (мысалы, ядролық әсерлесу кезінде) өзгеруі мүмкін.

.

Есеп. Массасы m шайба горизонталь V_o жылдамдықпен қозғалады да, М массалы платформаға құлайды және оның бетінде үйкеліспен қозғалуын жалғастырады. Шайба платформада тоқтаған кезде, платформаның жылдамдығын анықтау керек. Шайба мен платформаның арасындағы үйкеліс коэффициенті k тең. Платформа рельс бойында үйкеліссіз домалауы мүмкін.

Бұл есепті алдымен, қозғалыс заңдарын қолдана шығарайық.

Шайба мен платформаға горизонталь бағытта kmg тең үйкеліс күші әсер етеді, жерге қатысты a_пл және а_ш үдеулермен платформа мен шайба қозғалады. Үдеулердің бағыттары суретте көрсетілген, ал олардың шамалары Ньютонның екінші заңымен анықталады

, демек

сондықтан .

Платформаға қатысты шайбаның үдеуі мынаған тең

.

Шайбаның платформаға қатысты жылдамдығы уақыт өте заңы бойынша азаятындықтан, уақыттан кейін (яғни шайба тоқтайды).

Платформа жылдамдығы былай анықталады .

Импульстің сақталу заңын қолдансақ, бұл есеп мүлдем оңай шешілмек. Расында да, шайба мен платформа арасындағы үйкеліс күші ішкі күш болып саналатындықтан, ол жалпы импульс жүйесін өзгерте алмайды. Десек те, горизонт бағыттағы ішкі күштер платформа-шайба жүйесіне (платформа рельспен үйкеліссіз домалайтынын ескертеміз) әсер етпейді. Платформа әлі тыныштықта тұрғандағы бастапқы сәттегі импульс жүйесін, оның платформада шайбаның тоқатаған сәтіндегі импульсін теңестіреміз

Бұдан

.

Есеп: Горизонтпен α бұрыш құрайтын көлбеу жазықтықта үйкеліссіз М массалы кубик домалайды. Кубик S ара қашықтықты өткенде, оған горизонтқа β бұрыш жасайтын m массалы оқ келіп тиеді. Егер кубик пен оқ тоқтаса, оқтың жылдамдығын анықтау керек.

β

S

β

α

Үйкеліссіз көлбеу жазықтықта дене қозғалысы кезіндегі үдеу формуласымен және S жол жүріп өткеннен кейінгі жылдамдық келесі қатынаспен анықталады.

Импульстің сақталу заңын көлбеу жазықтықтағы проекцияларда жазған ыңғайырақ.. Оқ жылдамдығының бағыты жалпы жағдайда α±β бұрышты құрауы мүмкін. Онда

Бұдан

.

ІІ топ. Абсолют серпімді соққы.

Денелердің механикалық энергиясы энергияның басқа түріне айналмаған соқтығысуды абсолют серпімді соқтығысу деп атайды. Мұндай соқтығысу кезінде кинетикалық энергия серпімді деформацияның потенциалдық энергиясына айналады. Соқтығысқаннан кейін денелер бірін-бірі тебеді де бастапқы пішініне қайта оралады. Нәтижесінде серпімді деформацияның потенциалдық энергиясы қайтадан кинетикалық энергияға өтеді. Абсолют серпімді соқтығысуда импульстің және механикалық энергияның сақталу заңдары орындалады.

Массалары m₁ және m₂ шарлардың соқтығысқанға дейінгі жылдамдықтарын v₁ және v₂, ал соқтығысқаннан кейінгі жылдамдықтарын v^'₁ және v^'₂ деп белгілейік (8-сурет). Түзу орталық соққы кезінде шарлардың жылдамдық векторлары соққыға дейін және кейін олардың центрлерін қосатын түзудің бойында жатады. Олардың бағыттарын таңбаларымен ескереміз: оң таңбаңы оңға қарай бағыттаймыз, теріс таңбаны солға қарай бағыттаймыз.

8-сурет 9-сурет

Осы бойынша сақталу заңдары келесі түрде жазылады

m₁ v₁ + m₂ v₂ = m₁ v' ₁ + m₂ v' ₂ (1)

(m₁v²₁)/2+(m₂v²₂)/2=(m₁v₁'²)/2+(m₂v₂'²) (2)

(1) және (2) өрнектерін түрлендіруден кейін келесі өрнектерді аламыз:

m₁(v₁-v'₁)=m₂(v₂' -v₂) (4.3) m₁(v²₁-v'²₁)=m₂(v₂'²-v²₂) (4)

осыдан v₁+v'₁=v₂'+v₂ (5)

(4.3) және (4.5) теңдіктерді шеше отырып, келесі шамаларды табамыз

v'₁=( (m₁- m₂) v₁+2 m₂ v₂)/ (m₁+m₂) (6)

v'₂ =((m₂-m₁)v₂+2 m₁v₁)/ (m₁+m₂) (7)

Мысалдар келтірейік.

1) v₂=0 болсын v'₁=((m₁-m₂)v₁)/(m₁+m₂) (4.8) v'₂=2m₁v₁/(m₁+m₂) (9)

а) m₁ = m₂ . Егер екінші шар соққыға дейін тыныштықта ілініп тұрған болса (v₂=0) (9-сурет), онда соққыдан кейін бірінші шар тоқтайды (v'₁= 0), ал екінші шар бірінші шар соққыға дейін қандай жылдамдықпен қозғалса сол жылдамдықпен сол бағытта қозғалады (v'₂=v₁);

б) m₁>m₂. Бірінші шар соққыға дейінгі бағытында қозғалысын жалғастыра береді, бірақ жылдамдығы азаяды (v'₁₁). Соққыдан кейін екінші шардың жылдамдығы бірінші шардың соққыдан кейінгі жылдамдығынан үлкен болады (v'₂ >v'₁) (10-сурет).

в) m₁₂. Соққы кезінде бірінші шардың бағыты өзгереді-шар кері бағытта кетеді. Ал екінші шардың бағыты соққыға дейінгі бірінші шардың бағытындай болады, бірақ жылдамдығы аз болады, яғни v'₂< v₁ (11-сурет).

г) m₂>>m₁. (мысалы, шардың қабырғамен соқтығысы). (8) және (9) теңдеулерінен шығатыны v'₂ = - v₁, » 2 m₁v₁/ m₂ »0.

2) m₁ = m₂ болғанда (4.6) және (4.7) өрнектері келесі түрде жазылады

v'₁= v₂, v'₂= v₁ ,

яғни массалары бірдей болатын шаралар жылдамдықтарымен «алмасады».

ІІІ топ. Абсолют серпімсіз соққы.

Абсолют серпімсіз соққы-соққы нәтижесінде екі дене тұтас дене сияқты бірге қозғалады. Абсолют серпімсіз соққыны көрсету үшін бір-біріне қарама-қарсы келе жатқан екі шардың қозғалысын қарастырамыз (12-сурет).

m₁ v₁ m₂ v₂=0 m₁ v₁ m₂ v₂=0

10-сурет 11-сурет

Егер шарлардың m₁ және m₂, ал соқтығысқанға дейінгі жылдамдықтары v₁ және v₂ болса, онда импульстің сақталу заңын қолданып, келесі өрнекті жазуға болады m₁ v₁+m₂v₂ =(m₁+m₂)v (4.10)

осыдан v=(m₁v₁ + m₂ v₂)/ (m₁+m₂) (4.11)

Егер шарлар бір-біріне қарама-қарсы қозғалып келе жатқан болса, онда олар импульсі үлкен шардың бағытымен қозғалысын жалғастырады. Жекелеген жағдайда егер шарлардың массалары бірдей болса (m₁=m₂), онда v=(v₁+v₂)/2

12-сурет.

Орталық абсолют серпімсіз соққы кезінде шарлардың кинетикалық энергиялары қалай өзгеретіндігін анықтайық. Шарлар өзара соқтығысқан кезде олардың арасында деформацияның өзінен тәуелді болмайтын, ал олардың жылдамдықтарынан тәуелді болатын күштер әсер етеді, сонда біз үйкеліс күші сияқты күшті кездестіреміз, сондықтан да механикалық энергияның сақталу заңы орындалмайды. Деформация әсерінен кинетикалық энергияның «жоғалады» да жылу немесе энергияның басқа формасына өтеді. Осы «жоғалуды» денелердің соққыға дейінгі және кейінгі кинетикалық энергияларының айырмасы арқылы анықтауға болады:

ΔW= ((m₁v²₁)/2 + (m₂v²₂)/2) -( (m₁+m₂)v²)/2

(11) формуланы қолдана отырып, келесі өрнекті аламыз

ΔW=(m₁ m₂ (v₁-v₂)²)/ 2 (m₁ + m₂) сонда

v= m₁v_1/(m₁+m₂), DW= (m₂m₁v²₁)/2(m₁+m₂)

m₂>>m₁ болғанда (тыныштықтағы дененің массасы өте үлкен), v<₁ және соққы кезінде барлық кинетикалық энергиясы энергияның басқа түріне өтеді.

Соқтығысқан кезде денелердің кинетикалық энергиясы толығынан немесе жартылай ішкі энергияға айналса, соқтығысқаннан кейін денелер не бірдей жылдамдықпен қозғалатын болса немесе тыныштықта болса, соқтығысу абсолют серпімсіз болады.

«Жеке жұмыс» /суретпен жұмыс/

1. Сурет бойынша импульстің сақталу заңын жазу

2. Сурет бойынша импульстің сақталу заңын жазу және оқтың ұшу жылдамдығын табу

2. Сурет бойынша импульстің сақталу заңын жазу және және тапаншаның жылдамдығын табу

Шарлардың соқтығысқаннан кейінгі бағыттары мен қорытқы векторын салу және - соқтығысқанға дейінгі

және - соқтығысқаннан кейінгі