Лекция по теме Энергия

Раздел Физика
Класс -
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат rar
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Тема: «Работа, мощность, энергия при поступательном и вращательном движении. Законы сохранения в механике»

  1. Работа, мощность, энергия при поступательном движении материальной точки и твердого тела

      1. 1.1.Работа и мощность постоянной и переменной силы

    1. 1.2.Кинетическая энергия материальной точки и твердого тела

    2. 1.3.Потенциальная энергия

    3. 1.4.Закон сохранения полной механической энергии

    4. 1.5.Закон сохранения импульса

    5. 1.6.Абсолютно упругий и неупругий удары двух тел

  2. Работа, мощность, энергия при вращательном движении

      1. 2.1.Работа и мощность при вращательном движении

    1. 2.2.Кинетическая энергия при вращательном движении

    2. материальной точки и твердого тела

    3. 2.3.Закон сохранения момента импульса

  3. Теория поля

  4. Аналогия поступательных и вращательных характеристик тела

1. Работа, мощность, энергия при поступательном движении материальной точки и твердого тела.


  1. 1.1 Работа и мощность постоянной и переменной силы


Работа постоянной силы по перемещению тела называется скалярная физическая величина, равная произведению величины силы на величину перемещения тела и на косинус угла между векторами силы и перемещения:

Лекция по теме Энергия

Работа в системе СИ измеряется в Джоулях: Лекция по теме Энергия


ВЛекция по теме Энергия зависимости от угла α между направлением силы Лекция по теме Энергия и перемещением Лекция по теме Энергия работа может быть положительной (АЛекция по теме Энергия0), при αЛекция по теме Энергия90Лекция по теме Энергия, отрицательной (АЛекция по теме Энергия0) при α Лекция по теме Энергия90Лекция по теме Энергия или равной нулю (А=0) при α=90Лекция по теме Энергия.

Если тело, к которому приложена сила, описывается моделью материальной точки или движется поступательно, но при этом движение не прямолинейно или/и сила не постоянна, для нахождения работы силы траекторию поступательного движения тела необходимо разделить на участки, в пределах которых силу можно считать постоянной, а сами участки - прямолинейными.

Лекция по теме Энергия

Работа А будет приблизительно равна сумме работ Лекция по теме Энергия, совершенных на каждом участке, Лекция по теме Энергия.

Равенство будет приблизительным, потому что сумма будет зависеть от разбиения траектории на участки.

Для достижения точного равенства нужно количество участков устремить к бесконечности, а их длину к нулю.

ПЛекция по теме Энергияри этом в сумме заменим конечные величины бесконечно малыми: Лекция по теме Энергияи рассмотрим предел суммы, который по определению является интегралом.

То есть работа равна:

Лекция по теме Энергия

Данная формула является формулой механической работы в общем случае. Величина Лекция по теме Энергия называется элементарной работой.

Для характеристики работы, совершаемой в единицу времени, в механике используют понятие мощности. Средняя мощность равна отношению работы A, совершенной за этот промежуток времени, к времени t:

Лекция по теме Энергия Лекция по теме Энергия

Мощностью (мгновенной мощностью) называется скалярная величина, равная отношению элементарной работы Лекция по теме Энергия к бесконечно малому промежутку времени dt, в течение которого эта работа совершается:

Лекция по теме Энергия

Если Лекция по теме Энергия, то

Лекция по теме Энергия,

где Лекция по теме Энергия- скорость точки приложения силы.

1.2. Кинетическая энергия материальной точки и твердого тела

Если на материальную точку действует несколько сил, и в качестве Лекция по теме Энергия взята результирующая сил, то работа A будет работой всех сил.

Поскольку в этом случае по второму закону Ньютона

Лекция по теме Энергия, то работа для всех сил:

Лекция по теме Энергия

Таким образом получено, что работа равна:

Лекция по теме Энергия

Полученное выражение Лекция по теме Энергия называется кинетической энергией материальной точки:

Лекция по теме Энергия, Лекция по теме Энергия

Кинетическая энергия (энергия движения) называется энергия, являющаяся мерой механического движения. Кинетической энергией обладают все движущиеся тела.

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех частей системы. Например, для системы, состоящей из n материальных точек, она равна

Лекция по теме ЭнергияЛекция по теме Энергия

где Лекция по теме Энергия и - масса и скорость i-й материальной точки системы.

Если абсолютно твердое тело массой m движется поступательно со скоростью то, сложив кинетические энергии всех точек тела, получим кинетическую энергию поступательного движения абсолютно твердого тела

Лекция по теме Энергия

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки: приращение кинетической энергии материальной точки равно работе всех сил, действующих на тело

Лекция по теме Энергия

Теорема об изменении кинетической энергии поступательного движения абсолютно твердого тела: приращение кинетической энергии абсолютно твердого тела равно работе внешних сил

Лекция по теме Энергия

Действующие на тело силы можно разделить на два типа:

  1. Консервативные силы (например, сила тяжести, упругости).

Сила называется консервативной, если она зависит только от положения тела, на которое действует , и производимая ею работа при перемещении тела зависит только от начального и конечного положения тела, и следовательно, не зависит от формы траектории.

Работа консервативных по замкнутой траектории равна нулю.


  1. Диссипативные силы

Сила называется диссипативной (неконсервативной), если производимая ею работа при перемещении тела зависит от траектории.

Диссипативные силы зависят от скорости тела, на которое действуют, , причем направлены, как правило, противоположно скорости. Работа диссипативных сил отрицательна A<0 Лекция по теме Энергия. Поскольку работа связана с кинетической энергией соотношением то работа диссипативных сил всегда уменьшает кинетическую энергию.

1.3. Потенциальная энергия.

Консервативные силы обладают свойством, благодаря которому их и выделили из всех сил. Для поля консервативных сил можно внести потенциальную энергию тела Лекция по теме Энергия так, что разность потенциальной энергии между начальным и конечным положениями тела равна работе консервативных сил при перемещении тела из начального положения в конечное:

Лекция по теме Энергия

Введенная таким образом потенциальная энергия, зависит только от положения тела (взаимного расположения тел и его частей).

Потенциальной энергией тела (энергией положения) называется скалярная физическая величина, определяемая взаимодействием данного тела с внешними телами и равная той работе, которая может совершить тело, перемещаясь из данной точки пространства в ту точку, для которой потенциальная энергия равна нулю.

По определению потенциальной энергии Лекция по теме Энергия. Начальное положение часто выбирают так, чтобы потенциальная энергия тела была равна нулю, Лекция по теме Энергия=0. Тогда потенциальная энергия тела в некоторой точке поля консервативных сил будет равна работе консервативных сил при перемещении тела из этого положения в положение, где потенциальная энергия равна нулю.

Используя определение работы, можем записать:

Лекция по теме Энергия, Лекция по теме Энергия

Для силы тяжести (она консервативна) при подъеме тела на высоту h с нулевой высоты изменение потенциальной энергии равно

Лекция по теме Энергия

Для упругодеформированного тела, сжатого или растянутого силой упругости также являющейся консервативной силой) изменение потенциальной энергии равно:

Лекция по теме Энергия

- потенциальная энергия упругодеформированного тела.

1.4. Закон сохранения полной механической энергии

Запишем теорему об изменении кинетической энергии механической системы

Лекция по теме Энергия

Вычислив отдельно работу диссипативных и консервативных сил, действующих на систему, получим, что работа диссипативных сил равна изменению суммы потенциальной и кинетической энергии

Лекция по теме Энергия

Суммарная кинетическая и потенциальная энергия называется полной механической энергией.

Изменение полной механической энергии равно работе диссипативных сил:

Лекция по теме Энергия

Если диссипативных сил нет, то есть Лекция по теме Энергия, то Лекция по теме Энергия, следовательно, полная механическая энергия сохраняется

Лекция по теме Энергия, при Лекция по теме Энергия

Лекция по теме Энергия

Закон сохранения полной механической энергии (ЗСЭ): полная механическая энергия тела либо системы тел сохраняется, если работа диссипативных сил, действующих на тело, равно нулю.

Потенциальные поля стационарны, то есть не изменяются с течением времени сами по себе, они могут изменяться со временем только при изменении положения рассматриваемой системы.

Системы, в которых выполняется закон сохранения полной механической энергии, называются консервативными системами - действующие на нее диссипативные силы работы не совершают, а внешние потенциальные силы стационарны.

1.5. Закон сохранения импульса

Если механическая система не взаимодействует с внешними телами, она называется замкнутой системой. Для замкнутой системы выполняется закон сохранения импульса. В отличие от законов Ньютона закон сохранения импульса справедлив не только в классической механике - это, как и закон сохранения энергии, один из фундаментальных законов физики.

Для механических систем, которые мы рассматриваем в классической механике, закон сохранения импульса можно получить из законов Ньютона. Запишем основной закон динамики для поступательного движения

Лекция по теме Энергия

Поскольку по определению ускорения центра масс Лекция по теме Энергия, то

Лекция по теме Энергия,

так как импульс системы равен сумме импульсов материальных точек, входящих в систему,Лекция по теме Энергия

Закон сохранения импульса (ЗСИ) для системы материальных точек:

Если на систему не действуют внешние силы (система замкнута), или сумма внешних сил равна нулю, то суммарный импульс системы будет сохраняться. То есть, если Лекция по теме Энергия, то Лекция по теме Энергия

Поскольку импульс системы Лекция по теме Энергия, где Лекция по теме Энергия- масса системы, Лекция по теме Энергия- скорость центра масс системы, то из закона сохранения импульса следует, что при любых процессах в замкнутой системе скорость центра масс не меняется.


1.6.Абсолютно упругий и неупругий удары 2-х тел

Рассмотрим выполнение законов сохранения импульса и энергии на примере столкновения двух тел.

Столкновением (ударом) двух тел называется кратковременное взаимодействие тел, которые, двигаясь навстречу друг другу, первоначально не взаимодействовали, но скорости их были направлены так, чтобы взаимодействие произошло.

Лобовым или центральным ударом называется удар, при котором скорости тел направлены по прямой, соединяющей центры тел.

Абсолютно упругим ударом называется удар, при котором суммарная кинетическая энергия тел до и после удара одинакова. Для этого удара энергия системы тел сохраняется-выполняется закон сохранения энергии.

Абсолютно неупругий удар- столкновение, после которого тела движутся как одно целое.

Рассмотрим лобовой абсолютно упругий удар (АУУ).

Лекция по теме Энергия

Лекция по теме Энергия

Определим скорости тел после удара Лекция по теме Энергия. Сначала соберем характеристики одного тела с одной стороны от знака равенства

Лекция по теме Энергия

Затем вынесем массы за скобки

Лекция по теме Энергия

Далее разделим второе уравнение на первое, и результат запишем вместо второго уравнения

Лекция по теме Энергия


Мы получили систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Разделим первое уравнение на :

Лекция по теме Энергия

Сложим уравнения (при этом исключится ) и получим:

Лекция по теме Энергия

Умножим на , то получим

Лекция по теме Энергия,

перенесем известные и неизвестные величины по разные стороны от знака равенства, разделим на и получим скорость 2-го шара после соударения

Лекция по теме Энергия

Для нахождения скорости первого шара можно проделать ту же работу (исключив ) или просто поменять местами индексы 1Лекция по теме Энергия2, 2→1, поскольку исходные уравнения симметричны относительно перестановки индексов. В любом случае получим скорость 1-го шара после соударения:

Лекция по теме Энергия

Мы нашли скорости шаров абсолютно упругого удара.

Рассмотрим теперь лобовой абсолютно неупругий удар (АНУ).

Закон сохранения энергии в этом случае не выполняется. По определению удара скорости после соударения одинаковы Лекция по теме Энергия. Обозначим Лекция по теме Энергия.

Тогда закон сохранения импульса будет иметь следующий вид:

Лекция по теме Энергия

Из него находим скорость тел после столкновения:

Лекция по теме Энергия

В полученном выражении слева стоит скорость центра масс после столкновения, а справа скорость центра масс до столкновения.

Выделившееся при деформации тел при ударе тепло равно разности кинетической энергии системы:

Лекция по теме Энергия

Подставив выражение для , получим Лекция по теме Энергия

2.1. Работа и мощность при вращательном движении

При нахождении работы следует иметь в виду, что при вращении тела так же, как и при поступательном движении, внутренние силы работы не совершают. При вращении твердого тела его потенциальная энергия не изменяется, поэтому элементарная работа внешних сил равна Лекция по теме Энергия, тогда полная работа внешних сил определяется выражением:

Лекция по теме Энергия

Мощность, равная скорости совершения работы, при вращательном движении находится из выражения:

Лекция по теме Энергия

2.2. Кинетическая энергия при вращательном движении материальной точки и твердого тела.


Найдем кинетическую энергию абсолютно твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси. Каждая материальная точка тела обладает кинетической энергией

Лекция по теме Энергия

Кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий всех материальных точек.

Лекция по теме Энергия

или

Лекция по теме Энергия

Если тело участвует в поступательном и вращательном движении, его движение можно представить как поступательное движение центра масс и вращение относительно оси, проходящей через центр масс. Тогда скорость Лекция по теме Энергия-й материальной точки в произвольной инерциальной системе отсчета можно представить в виде Лекция по теме Энергия, где - скорость центра масс в этой системе отчета, Лекция по теме Энергия-скорость Лекция по теме Энергия-й точки относительно центра масс. Полная кинетическая энергия будет равна

Лекция по теме Энергия

Второе слагаемое равно нулю, поскольку

Лекция по теме Энергия,

так как радиус-вектор центра масс относительно центра масс равен нулю Лекция по теме Энергия

В итоге мы получаем, что кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий поступательного движения центра масс тела и суммарной кинетической энергии движения всех точек тела относительно центра масс - теорема Кенига:

Лекция по теме Энергия,

здесь Лекция по теме Энергия- масса тела.

Если направление оси вращения, проходящей через центр масс, не меняется, то Лекция по теме Энергия, где - расстояние от Лекция по теме Энергия-й точки до оси вращения. Таким образом,

Лекция по теме Энергия

и мы получаем

Лекция по теме Энергия,

где - масса тела, - скорость движения центра масс, Лекция по теме Энергия- угловая скорость вращения относительно оси, проходящей через центр масс, - момент инерции относительно этой же оси. Первое слагаемое представляет собой кинетическую энергию поступательного движения тела, второе- кинетическую энергию вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс.

При вращательном движении, как и при поступательном движении, справедлива теорема об изменении кинетической энергии:

Лекция по теме Энергия,

где Лекция по теме Энергия - суммарная работа всех сил.

2.3 Закон сохранения момента импульса

Если основной закон динамики вращательного движения твердого тела, записанного в виде Лекция по теме Энергия, применить для замкнутой системы материальных точек, на которую не действуют внешние силы Лекция по теме Энергия, то из него следует закон сохранения момента импульса - в замкнутой системе (на которую не действуют внешние силы) векторная сумма моментов импульсов тел со временем не меняется:

Лекция по теме Энергия

Закон сохранения момента импульса будет справедлив и для незамкнутых систем, если суммарный момент внешних сил равен нулю.

3. Теория поля

Гравитационное взаимодействие между телами осуществляется с помощью поля тяготения, или гравитационного поля. Это поле порождается телами и является формой существования материи. Основное свойство поля тяготения заключается в том, что на всякое тело массой Лекция по теме Энергия, внесенное в это поле, действует сила тяготения, т. е.

Лекция по теме Энергия

Вектор g не зависит от m и называется напряженностью поля тяготения.

Напряженность поля тяготения определяется силой, действующей со стороны поля на материальную точку единичной массы, и совпадает по направлению с действующей силой. Напряжен­ность есть силовая характеристика поля тяготения.

Поле тяготения называется однородным, если его напряженность во всех точках одинакова, и центральным, если во всех точках поля векторы напряженности направ­лены вдоль прямых, которые пересекаются в одной точке (А), неподвижной по отноше­нию к какой-либо инерциальной системе отсчета.

Для графического изображения силового поля используются силовые линии (линии напряженности).

Силовые линии выбираются так, что вектор напряженности поля направлен по касательной к силовой линии.

Определим работу, совершаемую силами поля тяготения при перемещении в нем материальной точки массой т. Вычислим, например, какую надо затратить работу для удаления тела массой т от Земли. На расстоянии R на данное тело действует сила:

Лекция по теме Энергия

При перемещении этого тела на расстояние dR совершается работа

Лекция по теме Энергия

Знак минус появляется потому, что сила и перемещение в данном случае проти­воположны по направлению.

Если тело перемещать с расстояния R1 до R2, то работа

Лекция по теме Энергия

Из данной формулы вытекает, что затраченная работа в поле тяготения не зависит от траектории перемещения, а определяется лишь начальным и конечным положениями тела, т. е. силы тяготения действительно консервативны, а поле тяготения является потенциальным.

Работа, совершаемая консервативными силами, равна изменению потенциальной энергии системы, взятому со знаком минус, т. е.

Лекция по теме Энергия

Таким образом, получаем

Лекция по теме Энергия

Так как в формулы входит только разность потенциальных энергий в двух состояниях, то для удобства принимают потенциальную энергию при R2 равной нулю (Лекция по теме ЭнергияП2=0). Тогда Лекция по теме Энергия

Так как первая точка была выбрана произвольно, то

Лекция по теме Энергия

Величина

Лекция по теме Энергия

является энергетической характеристикой поля тяготения и называется потенциалом.

Потенциал поля тяготения - скалярная величина, определяемая потенциальной энер­гией тела единичной массы в данной точке поля или работой по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконечность.

Таким образом, потенциал поля тяготения, создаваемого телом массой М, равен

Лекция по теме Энергия,

где R - расстояние от этого тела до рассматриваемой точки.

Геометрическое место точек с одинаковым потен­циалом образует сферическую поверхность (R=const). Такие поверхности, для которых потенциал постоянен, называются эквипотенциальными.

Рассмотрим взаимосвязь между потенциалом () поля тяготения и его напряжен­ностью (g).

Элементарная работа dA, совершаемая силами поля при малом перемещении тела массой т, равна

Лекция по теме Энергия

С другой стороны,

Лекция по теме Энергия

dl - элементарное перемещение.

Приравняем левые части, получим:

Лекция по теме Энергия

Величина Лекция по теме Энергияхарактеризует изменение потенциала на единицу длины в направлении перемещения в поле тяготения.

Таким образом,

Лекция по теме Энергия,

где Лекция по теме Энергия - градиент скаляра . Знак минус в формуле показывает, что вектор напряженности g направлен в сторону убывания по­тенциала.


  1. Аналогия поступательных и вращательных

характеристик тела

Название

Поступательная характеристика

Единица измерения

Название

Вращательная

характеристика

Единица измерения

КИНЕМАТИКА

Путь, переме-щение

Лекция по теме Энергия


Лекция по теме Энергия


Угловой путь


Лекция по теме Энергия


Лекция по теме Энергия

Скорость

средняя

мгновенная

Лекция по теме Энергия

Лекция по теме Энергия


Лекция по теме Энергия

Угловая скорость

средняя

мгновенная

Лекция по теме Энергия

Лекция по теме Энергия


Лекция по теме Энергия

Ускорение

среднее

мгновенное

Лекция по теме Энергия

Лекция по теме Энергия


Лекция по теме Энергия

Угловое ускорение

среднее

мгновенное

Лекция по теме Энергия

Лекция по теме Энергия


Лекция по теме Энергия




Период

Лекция по теме Энергия

Лекция по теме Энергия




Частота

Лекция по теме Энергия

Лекция по теме Энергия

ДИНАМИКА

Масса

m


[кг]

Момент инерции

Лекция по теме Энергия

Лекция по теме Энергия

Сила

F

[Н]

Момент силы

Лекция по теме Энергия

Лекция по теме Энергия

Основной закон

Лекция по теме Энергия

Лекция по теме Энергия


Основной закон

Лекция по теме Энергия

Лекция по теме Энергия


Импульс

Лекция по теме Энергия


Лекция по теме Энергия

Момент импульса

Лекция по теме Энергия

Лекция по теме Энергия

Лекция по теме Энергия

Закон сохранения

Лекция по теме Энергия


Закон сохранения

Лекция по теме Энергия


РАБОТА. МОЩНОСТЬ. ЭНЕРГИЯ

Работа

Лекция по теме Энергия

Лекция по теме Энергия


Лекция по теме Энергия

Работа

Лекция по теме Энергия


Лекция по теме Энергия

Мощность

Лекция по теме Энергия

Лекция по теме Энергия

Мощность

Лекция по теме Энергия

Лекция по теме Энергия

Энергия:

кинетическая


Потенциальная тела на высоте


Потенциальная упруго-дефор-мированного тела

Лекция по теме Энергия


Лекция по теме Энергия


Лекция по теме Энергия



Лекция по теме Энергия

Энергия:


кинетическая


Кинетическая тела, катящегося по поверхности


Лекция по теме Энергия


Лекция по теме Энергия



Лекция по теме Энергия

Закон сохранения

Лекция по теме Энергия


© 2010-2022