Другими словами, если для любых точек x₁ и x₂ отрезка [a; b] секущая AB проходит под графиком функции f (x), то функция f выпукла вверх.

Аналогично определяется функция, выпуклая вниз.

Дважды дифференцируемая на [a; b] функция f (x) выпукла вверх, если для любого

Дважды дифференцируемая на [a; b] функция f (x) выпукла вниз, если для любого

Так, вторая производная функции равна откуда следует, что квадратичная функция выпукла вниз на всей области определения.

Пусть функция f (x) непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда точка называется точкой перегиба функции f, если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.

Необходимое условие наличия точки перегиба. Если - точка перегиба функции f (x), и функция f (x) имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то

Достаточные условия наличия точки перегиба.

Пусть функция f (x) непрерывна и имеет конечную или бесконечную производную в точке Если меняет знак при переходе через точку то - точка перегиба функции f (x).

Если то - точка перегиба функции f (x).

В заключение приведем примеры, когда точка x₀ не является точкой перегиба несмотря на то, что ее вторая производная меняет знак при переходе через эту точку:

• если функция разрывна в точке (например );

• в случае угловой точки (например,

Не являются точками перегиба и точки возврата, например точка у функции

Все вышеперечисленные случаи изображены на рисунке.

Урок по теме: Правила дифференцирования.

Ряд частных задач из различных областей наук. Задача № 1. Тело движется по прямой согласно закону х(t). Запишите формулу для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени t.

Задача № 2. Радиус круга R изменяется по закону R = 4 + 2t2. Определите, с какой скоростью изменится его площадь в момент t = 2 с. Радиус круга измеряется в сантиметрах. Ответ: 603 см2/с.

Задача № 3. Материальная точка массой 5 кг движется прямолинейно по закону S(t) = 2t + , где S - путь в метрах, t - время в секундах. Найдите силу, действующую на точку в момент t = 4 с. Ответ: Задача № 4. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t с на угол 3t - 0,1t2 (рад). Найдите: а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 7с; б) в какой момент времени маховик остановится. Ответ: а) 2,86 ; б) 150 с.

Примерами применения производной также могут служить задачи на нахождение: удельной теплоемкости вещества данного тела, линейной плотности и кинетической энергии тела и т.д.

Памятка

Задача 1.

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=t³-4t². Найти скорость и ускорение в момент t=5c.(Перемещение измеряется в метрах.)

Решение

Производная от координаты по времени есть скорость, а от скорости по времени - ускорение. v(t) - скорость: a(t) - ускорение; t₀=5.

V(t) = x´(t) = (t³ - 4t²)´ = 3t² - 8t. V(5) = 3 ·5² -8 ·5 = 75 -40 = 35(м/c)

A(t) = v´(t) = (3t² -8t)´ = 6t - 8. a(5) = 6 ·5 - 8 = 30 -8 = 22(м/c).

Задача 2.

Вращение тела вокруг оси совершается по закону ф (t) = 3t² -4t +2. Найти угловую скорость w(t) в произвольный момент времени t и при t =4c.

( Ф(t) - угол в радианах, w(t)- скорость в радианах в секунду, t- время в секундах)

Решение

Скорость есть производная от расстояния по времени.

Ф(t)= 3t²- 4t + 2. w(t)= Ф´(t)= (3t² - 4t +2)´ =6t - 4(рад/с);

w(4) = 20(рад/с).

Задача 3.

Маховик, задерживаемый тормозом, за время t поворачивается на угол ф(t) =4t- 0,3 t². Найти: а) угловую скорость w(t) вращения маховика в момент времени t = 2с; б)такой момент времени, когда маховик остановится (ф(t)-угол радианах, t- время в секундах)

Решение

Скорость- производная от расстояния по времени.

ф(t)=4t-0,3t². w(t)=(4t-0,3t²)´=4-0,6t

1)w(2)=4-0,6·2-2,28(рад/с)

2)Маховик остановится, если w (t)= 0,т. е. 4-0, 6t=0, t=6 2/3 с

Задача 4.

Точка движения прямолинейно по закону X(t)=2t²+t-1. Найти ускорение в момент времени t. В какой момент времени ускорение будет равно:

а) 1см/c²; б)2см/с². Х(t)- перемещение в метрах, t- время в секундах)

Решение

Ускорение- вторая производная от расстояния по времени, т. е. производная от скорости по времени.

x(t)=2t³+t-1;V(t)=(2t³+t-1) ´=6t²+1; а(t)=(6t²+1) ´=12t.

А)а(t)=1см/с² если 12t=1,т. е.t=1/12 c

Б)а(t)=2см/с², если 12t=2, т. е. t=1/6 с.

Задача 5.

Точка движется прямолинейно по закону x(t)=-t³/6+3t²-5. (координата в метрах, t- время в секундах)

Найти: а) момент времени t, когда ускорение точки равно нулю;

б) скорость движения точки в этот момент.

Решение

Скорость - производная от расстояния по времени, а ускорение производная скорости по времени.

x(t)=-t³/6+3t²-5; v(t)=x ´(t)=-t²/2+6t; a(t)=v`(t)=-t+6

1. a(t)=0 при -t+6=0; t=6;

2. v(6)=-6²/2+6·6=-18+36= 18 (м/с).

Задача 6.

Точка движется прямолинейно по закону х(t)=√t. Покажите, что ее ускорение пропорционально кубу скорости.

Решение

x(t) = √t; v(t) = x`(t)= ½·t^-½; v³(t)= (½·t^-½)³= 1/8·t^-³/²

a(t) = v ´(t) = (½·t^-½) = -¼ · t^-³/². Таким образом,

v³(t)/a(t) = 1/8 · t^-³/² : (-¼ · t^-³/²) =1/8 : (-¼) = -½

Вывод: ускорение пропорционально кубу скорости.

Задача 7.

Найдите силу F, действующую на материальную точку с массой m, движущуюся прямолинейно по закону x(t)=2t³-t² при t=2.

Решение

Ускорение - есть производная от скорости по времени. F=m·a

x(t)=2t³-t²; v(t)=x'(t)=(2t³-t²)'=6t²-2t¸ a(t)=v'(t)=(6t²-2t)'=12t-2

F=m·a=m(12t-2); при t=2 F=m(12 · 2-2)=22m

Задача 8.

Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону x(t)=t²+t+1. Координата х измеряется в сантиметрах, время t - в секундах. Найдите:

а) действующую силу; б) кинетическую энергию Е тела через 2 с. после начала движения.

Решение

x(t)=t²+t=1; v(t)=(t²+t+1)`=2t+1 a(t)=(2t+1)´=2(c)

а)F=m·a=2 · 2 (кг · см/с²)= 4(кг · см/с²)=0,004(кг · см/с²)=0,04Н

б)Е=m·v²/2; при t=2c ; v(2)=2 · 2+1=5

E=2 · 5²/2 (кг ·см/с² )=0,0025 Дж.

Задача 9.

Известно, что для любой точки C стержня АВ длиной 20 см, отстоящей от точки А на расстояние l, масса куска стержня АС в граммах определяется по формуле m(l) = 3t² + 5l.

Найдите линейную плотность стержня: а) в середине отрезка АВ; б) в конце В стержня.

Решение

Линейная плотность стержня d(l) есть производная от массы по длине.

m(l) = 3l² + 5l; d(l) = m´(l) = (3l² + 5l)´ = 6l + 5.

а) Линейная плотность в середине отрезка АВ = 20 см: d(10) = 6 · 10 + 5 = 65 (г/см).

б) Линейная плотность в конце В отрезка АВ: d(20) = 6 · 20 + 5 = 125 (г/см).

Задача 10.

По прямой движутся две материальные точки по законам x1(t) = 4t² - 3 и x2(t) = t³. В каком промежутке времени скорость первой точки больше скорости второй точки?

Решение

x1(t) = 4t² - 3, значит, v1(t) = (4t² - 3) = 8t .

x2(t) = t³, значит v2(t) = (t³)´ = 3t².

Скорость первой точки больше скорости второй точки, поэтому:

8t > 3t² ,

3t/22 - 8t < 0 ,

t · (3t - 8) < 0 ,

t = 0 или t =2⅔ .

0^**2²₃ t

Ответ: при t € (0 =2⅔).

Задача11.

Из пункта О по двум лучам, угол между которыми 60˚, движутся два тела: первое - равномерно со скоростью 5км/ч, которое - по закону s(t) = 2t² + t . С какой скоростью они удаляются друг от друга? (s измеряется в километрах, t - в секундах.)

Решение

S₁(t)=S(t)

0 ) 60⁰ S(t)

S₂(t)=S(t)

По теореме косинусов: s²(t) = (5t)² + (2t² + t)² - 2 · 5t · (2t² + t) · cos60˚ = 25t² + 4t² +4t³ + +t² - 10t³ - 5t² = 4t⁴ - 6t³ + 21t² , т.е. s(t) =t·√4t² -6t + 21, где t > 0.

v(t) = s´(t) =(t · √4t² -6t + 21)´=t ·√4t² -6t + 21 + t · (4t² -6t + 21) ₌ 4t²-6t + 21 ₊t · ( 8t - 6 )

√4t² -6t + 21 1 2√4t² -6t + 21

8t² - 12t +42 + 8t² - 6t 16t² - 18t + 42 8t² - 9t +21

2√4t² -6t + 21 2√4t² -6t + 21 √4t² -6t + 21

при t > 0.

Применение производной в физике и технике

Задача 1. Материальная точка движется по прямой по закону S(t) =. Найдите её скорость и ускорение в момент времени t = 3.

Указание: V(t) =, - ?

а(t) = , а(3) - ?

Задача 2. Тело, выпущенное вертикально вверх со скоростью движется по закону , где h - путь в метрах, t- время в секундах. Найдите наибольшую высоту, которую достигнет тело, если , g = 10м/с².

,

t - ?

Задача 3. Точка движется прямолинейно по закону (x измеряется в метрах, t в секундах).

Напишите формулу для вычисления скорости в любой момент времени и вычислите её при t = 2.

Указание: V(t) =,

- ?

Задача 4. Основание параллелограмма а изменяется по закону , а высота b по закону Вычислите скорость изменения его площади в момент t = 4c. (Основание а и высота b измеряются в сантиметрах).

Указание: S(t) =,

- ?,

- ? (см²/с)

Задача 5. Радиус круга R изменяется по закону

C какой скоростью изменяется его площадь в момент t = 3cек, если радиус круга измеряется в сантиметрах.

Указание: S =,

?, V(t) =,

- ? (см²/с)

Задача 6. Материальная точка массой 2кг движется прямолинейно по закону , где S- путь в метрах, t - время в секундах. Найдите силу, действующую на неё в момент t = 3 c.

Указание: ,

a(t) = ,

а(3) - ?,

F - ? (н).

Задача 7. Тело, выпушенное вертикально вверх с высоты h₀ с начальной скоростью V₀ движется по закону

, где h - высота в метрах, t - время в секундах. Найдите высоту тела в момент времени, когда скорость тела в 4 раза меньше первоначальной, если h₀ = 3м,

V₀ = 5м/с, g 10 м/с².

Указание:

V(t) = - скорость движения тела.

Найти момент времени t, когда < V₀ в 4 раза. (из уравнения: 4V(t) = V₀).

h(t) - ? (м)

Задача 8. Маховик задерживаемый тормозом, поворачивается за t_c на угол α(t) = 4t - 0,2t² (рад). Найдите:

а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 6с;

б) в какой момент маховик остановится?

Указание: ,

- ? (рад/с).

, t - ?

Задача 9. Материальная точка движется прямолинейно по закону S(t) =, где S - путь в метрах, t - время в секундах. Найдите:

а) момент времени t, когда ускорение точки равно 0;

б) скорость, с которой движется точка в этот момент времени.

Задача 10. Точка массой m₀ движется прямолинейно по закону S(t) =. Докажите, что действующая на неё сила пропорциональна квадрату пройденного пути.

Указание: a(t) = ;

а(t) = 0, t - ?,

V(t) = , - ? (м/с).

Указание: .

Задача 11. Точка массой m₀ движется прямолинейно по закону S(t) =. Докажите, что действующая на неё сила пропорциональна кубу пройденного пути.

Указание: .

Задача 12. Известно, что тело массой m = 5кг движется прямолинейно по закону . Найдите кинетическую энергию тела через 2с после начала движения.

Указание: E(t)= ,

, E(2) - ? (Дж)

Задача 13. Изменение силы тока I в зависимости от времени t задано уравнением: . Найдите скорость изменения тока в момент времени t = 10с.

Указание:

(А/с)

Задача 14. Две материальные точки движутся прямолинейно по законам:

В какой момент скорости их равны?

Указание:

V₁(t) = , V₂(t) = ,

V₁(t) = V₂(t), t - ?

Задача 15. Две материальные точки движутся прямолинейно по законам:

В какой момент времени скорость первой точки будет в два раза больше скорости второй?

Указание:

V₁(t) = , V₂(t) = ,

V₁(t) > V₂(t) в 2 раза. t - ?

Задача 16*. Под каким углом надо сделать въезд на мост, если его высота 10 м, пролёт 120 м ?

Указание:

необходимо ввести прямоугольную систему координат и рассмотреть график функции y = ax² + b,

b = 10;

найти a, если x = 60;

найти y′ (x), y′ (60);

y′ (x) = tg φ,

tg φ = y′ (-60), φ ≈ ?

Критерии оценивания: 7 - 9 задач - оценка «3», 10 -13 задач - оценка «4», 14 - 15 задач - оценка «5»
Примечание: задача №16 выполняется по желанию учащегося, выполнившего первые 15 задач, и оценивается дополнительной оценкой.

Ответы к задачам:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Итог: правильно решено _________ задач. Оценка: __________

Задачи с решениями на нахождение производной

Задача 1. Исходя из определения производной, найти .

Задача 2. Составить уравнение нормали (в вариантах 1-12) или уравнение касательной (в вариантах 13-31) к данной кривой в точке с абсциссой .

-уравнение нормали,

Задача 3. Найти дифференциал .

Задача 4. Вычислить приближенно с помощью дифференциала.

, .

Выберем следовательно

Задача 5. Найти производную.

Задача 6. Найти производную.

Задача 7. Найти производную.

Задача 8. Найти производную.

Задача 9. Найти производную.

Задача 10. Найти производную.

.

Задача 11. Найти производную.

Задача 12. Найти производную.

Задача 13. Найти производную.

Задача 14. Найти производную.

Задача 15. Найти производную .

Задача 16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра .

- уравнение касательной,

- уравнение нормали.

Задача 17. Найти производную -го порядка.

Задача 18. Найти производную указанного порядка.

Задача 19. Найти производную второго порядка от функции, заданной параметрически.

Задача 20. Показать, что функция удовлетворяет данному уравнению.

.

Задания повышенной трудности по теме

«Производная».

1. .

Решение:

2. y=

Решение:

y.

3. y =

Решение:

y

Решение:

5.

6. Найти частные значения производных:

при x = 0; 1; π/4; √3.

Решение:

7.Доказать, что функция удовлетворяет уравнение

Решение:

8. Доказать, что функция удовлетворяет уравнению

Решение:

ФИЗИКА

Задача 1. Точка совершает гармонические колебания по закону Найти мгновенную скорость точки в момент времени t_0.

_{РЕШЕНИЕ}

Задача 2. Количество радиоактивного вещества в момент времени t выражается формулой

где T- период полураспада, а М- первоначальное количество вещества

(количество вещества в момент времени t =0). Найти мгновенную скорость распада вещества в момент времени

РЕШЕНИЕ

.

Ответы, тексты и решение задач практической части семинара-практикума

«Применение производной в физике, технике»

Критерии оценивания: 7 - 9 задач - оценка «3», 10 -13 задач - оценка «4», 14 - 15 задач - оценка «5»
Примечание: задача №16 выполняется по желанию учащегося, выполнившего первые 15 задач, и оценивается дополнительной оценкой.

Ответы к задачам:

1

v (3) = - 19,

a (3) = -18.

2

h (5) = 125

3

v(t) = 12 t ²+ 22t

v(2) = 92 м/с

4

S′(4) = 493 см²/с

5

v(3) =

132π см²/с

6

F = 8H

7

h(0,375) ≈ 4,2 м

8

ω(6) = 1,6 рад/с,

t =10c

9

t = 3 c,

v(3) = 13 м/с

10

F= 6m₀S²(t)

11

F= 18m₀S³(t)

12

E(2) = 40 Дж

13

I′(t) = 35 A/c

14

t = 2

15

t = 7

16

φ = arctg

φ ≈ 18˚ 26′

Итог: правильно решено _________ задач. Оценка: ________

Задача 1. Материальная точка движется по прямой по закону S(t) =. Найдите её скорость и ускорение в момент времени t = 3.

Решение:

S(t) =.

V(t) == 8 - 3, = 8 - 27 = - 19;

а(t) = = -6t, а(3) = - 18. Ответ: -19, -18.

Задача 2. Тело, выпущенное вертикально вверх со скоростью движется по закону , где h - путь в метрах, t- время в секундах. Найдите наибольшую высоту, которую достигнет тело, если , g = 10м/с².

Решение:

, , , g = 10м/с².

50-10t=0, t=5;

t - ?

=125 Ответ: 125 м.

Задача 3. Точка движется прямолинейно по закону (x измеряется в метрах, t в секундах). Напишите формулу для вычисления скорости в любой момент времени и вычислите её при t = 2.

Решение:

V(t) =, V(t) = =12t²+22t;

- ? =92м/с Ответ: 12t² + 22t; 92м/с.

Задача 4. Основание параллелограмма а изменяется по закону , а высота b по закону

Вычислите скорость изменения его площади в момент t = 4c. (Основание а и высота b измеряются в сантиметрах).

Решение:

S(t) =, S(t) =(3+7t)(3+8t) =56t² +45t +9;

- ?, =112t +45; =493 см²/с.

- ? (см²/с) Ответ: 493 см²/с.

Задача 5. Радиус круга R изменяется по закону

C какой скоростью изменяется его площадь в момент t = 3cек, если радиус круга измеряется в сантиметрах.

Решение:

S =,

?, π(2+t²)²;

V(t) =, V(t)= 2π(2+t²)( 2+t²)′= 4πt(2+t)²; V(3)=132 π (см²/с).

- ? Ответ: 132π см²/с.

Задача 6. Материальная точка массой 2кг движется прямолинейно по закону , где S- путь в метрах, t - время в секундах. Найдите силу, действующую на неё в момент t = 3 c.

Решение:

,

a(t) = , a(t) = =(9 -2t+t²)′= -2+2t; а(3) = 4,

а(3) - ?, F = 4m, m=2 кг, F= 8(н).

F - ? Ответ: 8 н.

Задача 7. Тело, выпушенное вертикально вверх с высоты h₀ с начальной скоростью V₀ движется по закону

, где h - высота в метрах, t - время в секундах. Найдите высоту тела в момент времени, когда скорость тела в 4 раза меньше первоначальной, если h₀ = 3м,

= 5м/с, g 10 м/с².

Решение:

V(t) = - скорость движения тела. V(t) =;

Найдём момент времени t, когда < V₀ в 4 раза (из уравнения: 4V(t) = V₀).

h(t) - ? (м) (м).

Ответ: 4,2м.

Задача 8. Маховик задерживаемый тормозом, поворачивается за t_c на

угол α(t) = 4t - 0,2t² (рад). Найдите:

а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 6с;

б) в какой момент маховик остановится?

Решение:

а), ω =t; ω(6)=(рад/с),

б), t - ? t=0, t=10(c).

Ответ: 1,6 рад/с, 10с.

Задача 9. Материальная точка движется прямолинейно по закону S(t) =, где S - путь в метрах, t - время в секундах. Найдите:

а) момент времени t, когда ускорение точки равно 0;

б) скорость, с которой движется точка в этот момент времени.

Решение:

a(t) = ; а(t) =

а(t) = 0, t - ?,

V(t) = , - ? (м/с). (м/с).

Ответ: 3с, 13м/с.

Задача 10. Точка массой m₀ движется прямолинейно по закону S(t) =. Докажите, что действующая на неё сила пропорциональна квадрату пройденного пути.

Решение:

a(t) = ;

.

Ответ: .

Задача 11. Точка массой m₀ движется прямолинейно по закону S(t) =. Докажите, что действующая на неё сила пропорциональна кубу пройденного пути.

Решение:

.

Ответ:

Задача 12. Известно, что тело массой m = 5кг движется прямолинейно по закону . Найдите кинетическую энергию тела через 2с после начала движения.

Решение:

E(t)= ,

, E(2) - ? (Дж)

Если то Е(2)

Ответ: 40 Дж.

Задача 13. Изменение силы тока I в зависимости от времени t задано уравнением: . Найдите скорость изменения тока в момент времени t = 10с.

Решение:

(А/с)

Ответ: 35 А/с.

Задача 14. Две материальные точки движутся прямолинейно по законам:

В какой момент скорости их равны?

Решение:

V₁(t) = , V₂(t) = ,

V₁(t) = V₂(t), t - ? t=2.

Ответ: t = 2.

Задача 15. Две материальные точки движутся прямолинейно по законам:

В какой момент времени скорость первой точки будет в два раза больше скорости второй?

Решение:

V₁(t) = , V₂(t) = ,

V₁(t) > V₂(t) в 2 раза.

t - ?

Ответ: t = 7.

Задача 16. Под каким углом надо сделать въезд на мост, если его высота 10 м, пролёт 120 м ?

Решение: необходимо ввести прямоугольную систему координат и рассмотреть график функции графиком является парабола, ветви направлены вниз;

b = 10;

; .

Ответ :

График 1

Выпуклая вверх функция