- Преподавателю
- Физика
- Исследование колебательных процессов в электронных таблицах
Исследование колебательных процессов в электронных таблицах
Раздел | Физика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Зарубин Н.П. |
Дата | 30.12.2014 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Исследование сложения колебаний с использованием Excel
Исследуя сложение колебаний можно повторить тригонометрические функции, активизировать изучение информатики и понять законы физики.
Пусть тело одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинакового направления и одинаковой частоты:
x1 = a1 Cos(ωt + α1), x2 = a2 Cos(ωt + α2)
Результирующее смещение тела в данный момент определяется суммой независимых смещений, приобретенных телом в каждом из колебаний: х = х1 + х2. Это результирующее смещение можно найти с помощью векторной диаграммы. Построим для этого по правилу сложения векторов вектор амплитуды результирующего колебания а .Проекция его на ось ОХ равна сумме проекций х1 и х2 векторов амплитуды а1 и а2 на эту же ось и изменяется со временем по закону
x = a Cos (ω t + α )
где
a2 = a12 + a22 + 2 a1a2 Cos( α2 - α1 ),
а начальная фаза α определяется из соотношения
tg α = (a1 Sin α1 + a2 Sin α2) / (a1 Cos α1 + a2 Cos α2 ).
Амплитуда результирующего колебания зависит от разности начальных фаз α2 - α1 складываемых колебаний. В частности, если α2 - α1 = 0 или α2 - α1 = 2 π n, где n - любое целое число, то амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний.
При α2 - α1 = π / 2 амплитуда результирующего колебания .
Если α2 - α1 = (2n + 1) π , то амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний. В случае а1 = а2 амплитуда результирующего колебания равна нулю, т.е. оба колебания уничтожаются.
Полученные утверждения наблюдаем с помощью Excel:
Ячейки электронных таблиц заполнены следующим образом: в ячейке В2 - значение частоты, в В3 - а1, в В4 - а2, в В5 - формула =КОРЕНЬ(В3^2+B4^2+2*B3*B4*COS(B6)),
в B6 -разность фаз α2 - α1 - =π()/2*B7, в В7 - четные или нечетные числа. В столбце С вычисляются значения времени, возрастающее на 0,02, для чего в С3 введена формула =С2+0,02. В столбце D вычисляются значения Х1 по формуле =$B$3*COS($B$2*C2), в столбце Е - Х2, =$B$4*COS($B$2*C2+$B$6), в столбце F -амплитуда результирующего колебания, для чего введена формула =$b$5*COS($B$2*C2+$B$6). Формулы вычисления времени t, значений Х1 ,Х2 и Х размножены до 80-й строки.
Меняя значения в В7, значения амплитуд в В3 или В4 , наблюдаем изменения графиков исходных и результирующего колебаний.
t
x1
x2
x
w
6,283185
0
4
-4
0
a1
4
0,02
3,968458805
-3,968458805
0
a2
4
0,04
3,874332645
-3,874332645
0
a
0
0,06
3,719105944
-3,719105944
0
f
3,141593
0,08
3,50522672
-3,50522672
0
n
2
0,1
3,236067977
-3,236067977
0
0,12
2,91587451
-2,91587451
0
0,14
2,549695959
-2,549695959
0
0,16
2,14330718
-2,14330718
0
0,18
1,703117166
-1,703117166
0
0,2
1,236067977
-1,236067977
0
0,22
0,749525258
-0,749525258
0
0,24
0,251162078
-0,251162078
0
0,26
-0,251162078
0,251162078
0
При нечетном n, например 3, графики будут выглядеть так :
При сложении колебаний одинакового направления, но с разной частотой, результирующее колебание уже не будет гармоническим. Пусть, например, складываются два гармонических колебания:
x1 = a1 Cos (ω1 t + α), x2 = a2 Cos (ω2 t + α)
Амплитуды обеих колебаний для простоты будем считать равными (а1 = а2). Тогда для результирующего колебания, применяя формулу для суммы косинусов, получим
Где определяет закон изменения амплитуды результирующего колебания со временем. Так как этот множитель может изменяться от -2а до +2а, берем его абсолютную величину, так как по определению амплитуда, есть величина положительная.
Ячейки электронных таблиц заполняем следующим образом:
В2- частота первого колебания, В3 - частота второго , В4 амплитуда результирующего колебания, определяемая по формуле =2*$B$5*COS(($B$3-$B$2)*C2/2), в ячейке В5- амплитуда складываемых колебаний. В столбце С введено время с интервалом изменения 0,02. Столбец D определяет первое колебание x1 - =$B$4*COS($B$2*C2), столбец Е для второго колебания - =$B$4*COS($B$3*C2), результирующее колебание определяется в столбце F - =2*$B$4*COS(($B$3-$B$2)*C2/2)*SIN(($B$3+$B$4)*C2/2). Введение функции Sin задает разность фаз в π/2.
Чтобы получить наглядную картину биений, значения времени, амплитуд исходных и результирующего колебаний продолжены до 200 строки.
t
x
x1
x2
w1
22
0
0
8
8
w2
24
0,02
5,032058
7,238013
7,095959
a
8
0,04
9,547484
5,097209
4,58816
a1
8
0,06
13,08348
1,985404
1,04339
0,08
15,27923
-1,50461
-2,7372
0,1
15,91328
-4,70801
-5,89915
0,12
14,92621
-7,01454
-7,72783
0,14
12,42627
-7,98483
-7,80995
0,16
8,677419
-7,43403
-6,12694
0,18
4,071056
-5,46708
-3,05918
0,2
-0,91537
-2,45866
0,699992
0,22
-5,76858
1,01812
4,300954
0,24
-9,99311
4,300954
6,929857
0,26
-13,1626
6,764471
7,992541
0,28
-14,9635
7,939378
7,248831
0,3
-15,2268
7,601861
4,866811
0,32
-13,9434
5,816214
1,384842
0,34
-11,2643
2,922598
-2,41012
0,36
-7,48181
-0,52776
-5,66036
0,38
-2,99833
-3,87759
-7,63131
0,4
1,717583
-6,48874
-7,8775
Если w1 = 20 , то при w2 = 22 - график
При w2 = 24 При w2 = 30
Результат сложения колебаний можно наблюдать и так:
сложение колебаний
x=2*a*Cos(((w1+w2)/2)*t)*Cos(((w1-w2)/2)*t)
A
W1
W2
t
X
10
2
1
0
20
0,8
19,33116
А - амплитуда
1,6
10,16955
W1 - частота первого
2,4
-13,8263
W2 - частота второго
3,2
-10,6723
4
19,59957
4,8
-19,922
5,6
19,8
6,4
-12,5863
7,2
-11,0707
8
13,90873
8,8
19,98763
9,6
18,76391
Меняя значения частот, наблюдаем результирующее колебание.
Фигуры Лиссажу | ||||||||
уравнения колебаний x = A1 Cos (w1 t) и y = A2 Cos (w2 t + φ) | ||||||||
A1 | w1 | A2 | w2 | φградус | φрадиан | t | x | y |
40 | 2 | 60 | 3 | 30 | 0,523599 | 0 | 40 | 51,96152 |
|
|
|
|
|
| 0,2 | 36,84244 | 49,52014 |
|
|
|
|
|
| 0,4 | 27,86827 | 21,74147 |
|
| 0,6 | 14,49431 | -13,6321 | ||||
| 0,8 | -1,16798 | -44,2436 | |||||
| 1 | -16,6459 | -59,3995 | |||||
| 1,2 | -29,4957 | -53,8055 | |||||
| 1,4 | -37,6889 | -29,4156 | |||||
| 1,6 | -39,9318 | 5,249939 | |||||
| 1,8 | -35,8703 | 38,08157 | |||||
| 2 | -26,1457 | 57,61022 | |||||
| 2,2 | -12,2933 | 57,01396 | |||||
| 2,4 | 3,499959 | 36,50108 | |||||
| 2,6 | 18,74067 | 3,237325 | |||||
| 2,8 | 31,02264 | -31,1573 | |||||
|
|
|
|
|
| 3 | 38,40681 | -54,6678 |
|
|
|
|
|
| 3,2 | 39,7274 | -59,0813 |
| нарисовать при W2 = 1,2,3... и т.д. | 3,4 | 34,7759 | -42,8559 | ||||
|
|
|
|
|
| 3,6 | 24,33405 | -11,6598 |
W2 = 4 W2 = 5
W2 = 6 W2 = 7