Исследование колебательных процессов в электронных таблицах

Исследования психологов позволяют утверждать, что чем больше своего труда вкладывает ученик в познавание темы, тем лучше он в ней разбирается, лучше запоминает. Физика наука экспериментальная : все физическое знание добыто в конечном итоге из опыта, а не путем чистых размышлений. Для того, чтобы сформулировать самый простой физический закон, необходимо абстрагироваться от тех черт предмета или явления, которые несущественны или кажутся таковыми исследователю, то есть создать физическую модель. Б...
Раздел Физика
Класс -
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Исследование колебательных процессов в электронных таблицахИсследование колебательных процессов в электронных таблицахИсследование колебательных процессов в электронных таблицахИсследование колебательных процессов в электронных таблицахИсследование сложения колебаний с использованием Excel

Исследуя сложение колебаний можно повторить тригонометрические функции, активизировать изучение информатики и понять законы физики.

Пусть тело одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинакового направления и одинаковой частоты:

Исследование колебательных процессов в электронных таблицах

x1 = a1 Cos(ωt + α1), x2 = a2 Cos(ωt + α2)

Результирующее смещение тела в данный момент определяется суммой независимых смещений, приобретенных телом в каждом из колебаний: х = х1 + х2. Это результирующее смещение можно найти с помощью векторной диаграммы. Построим для этого по правилу сложения векторов вектор амплитуды результирующего колебания а .Проекция его на ось ОХ равна сумме проекций х1 и х2 векторов амплитуды а1 и а2 на эту же ось и изменяется со временем по закону

x = a Cos (ω t + α )

где

a2 = a12 + a22 + 2 a1a2 Cos( α2 - α1 ),

а начальная фаза α определяется из соотношения

tg α = (a1 Sin α1 + a2 Sin α2) / (a1 Cos α1 + a2 Cos α2 ).

Амплитуда результирующего колебания зависит от разности начальных фаз α2 - α1 складываемых колебаний. В частности, если α2 - α1 = 0 или α2 - α1 = 2 π n, где n - любое целое число, то амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний.

При α2 - α1 = π / 2 амплитуда результирующего колебания Исследование колебательных процессов в электронных таблицах.
Если α2 - α1 = (2n + 1) π , то амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний. В случае а1 = а2 амплитуда результирующего колебания равна нулю, т.е. оба колебания уничтожаются.

Полученные утверждения наблюдаем с помощью Excel:

Ячейки электронных таблиц заполнены следующим образом: в ячейке В2 - значение частоты, в В3 - а1, в В4 - а2, в В5 - формула =КОРЕНЬ(В3^2+B4^2+2*B3*B4*COS(B6)),

в B6 -разность фаз α2 - α1 - =π()/2*B7, в В7 - четные или нечетные числа. В столбце С вычисляются значения времени, возрастающее на 0,02, для чего в С3 введена формула =С2+0,02. В столбце D вычисляются значения Х1 по формуле =$B$3*COS($B$2*C2), в столбце Е - Х2, =$B$4*COS($B$2*C2+$B$6), в столбце F -амплитуда результирующего колебания, для чего введена формула =$b$5*COS($B$2*C2+$B$6). Формулы вычисления времени t, значений Х12 и Х размножены до 80-й строки.

Меняя значения в В7, значения амплитуд в В3 или В4 , наблюдаем изменения графиков исходных и результирующего колебаний.

t

x1

x2

x

w

6,283185

0

4

-4

0

a1

4

0,02

3,968458805

-3,968458805

0

a2

4

0,04

3,874332645

-3,874332645

0

a

0

0,06

3,719105944

-3,719105944

0

f

3,141593

0,08

3,50522672

-3,50522672

0

n

2

0,1

3,236067977

-3,236067977

0

0,12

2,91587451

-2,91587451

0

0,14

2,549695959

-2,549695959

0

0,16

2,14330718

-2,14330718

0

0,18

1,703117166

-1,703117166

0

0,2

1,236067977

-1,236067977

0

0,22

0,749525258

-0,749525258

0

0,24

0,251162078

-0,251162078

0

0,26

-0,251162078

0,251162078

0

При нечетном n, например 3, графики будут выглядеть так :

Исследование колебательных процессов в электронных таблицах

При сложении колебаний одинакового направления, но с разной частотой, результирующее колебание уже не будет гармоническим. Пусть, например, складываются два гармонических колебания:

x1 = a1 Cos (ω1 t + α), x2 = a2 Cos (ω2 t + α)

Амплитуды обеих колебаний для простоты будем считать равными (а1 = а2). Тогда для результирующего колебания, применяя формулу для суммы косинусов, получим

Исследование колебательных процессов в электронных таблицах

Где Исследование колебательных процессов в электронных таблицах определяет закон изменения амплитуды результирующего колебания со временем. Так как этот множитель может изменяться от -2а до +2а, берем его абсолютную величину, так как по определению амплитуда, есть величина положительная.

Ячейки электронных таблиц заполняем следующим образом:

В2- частота первого колебания, В3 - частота второго , В4 амплитуда результирующего колебания, определяемая по формуле =2*$B$5*COS(($B$3-$B$2)*C2/2), в ячейке В5- амплитуда складываемых колебаний. В столбце С введено время с интервалом изменения 0,02. Столбец D определяет первое колебание x1 - =$B$4*COS($B$2*C2), столбец Е для второго колебания - =$B$4*COS($B$3*C2), результирующее колебание определяется в столбце F - =2*$B$4*COS(($B$3-$B$2)*C2/2)*SIN(($B$3+$B$4)*C2/2). Введение функции Sin задает разность фаз в π/2.

Чтобы получить наглядную картину биений, значения времени, амплитуд исходных и результирующего колебаний продолжены до 200 строки.

t

x

x1

x2

w1

22

0

0

8

8

w2

24

0,02

5,032058

7,238013

7,095959

a

8

0,04

9,547484

5,097209

4,58816

a1

8

0,06

13,08348

1,985404

1,04339



0,08

15,27923

-1,50461

-2,7372



0,1

15,91328

-4,70801

-5,89915



0,12

14,92621

-7,01454

-7,72783



0,14

12,42627

-7,98483

-7,80995



0,16

8,677419

-7,43403

-6,12694



0,18

4,071056

-5,46708

-3,05918



0,2

-0,91537

-2,45866

0,699992



0,22

-5,76858

1,01812

4,300954



0,24

-9,99311

4,300954

6,929857



0,26

-13,1626

6,764471

7,992541



0,28

-14,9635

7,939378

7,248831



0,3

-15,2268

7,601861

4,866811



0,32

-13,9434

5,816214

1,384842



0,34

-11,2643

2,922598

-2,41012



0,36

-7,48181

-0,52776

-5,66036



0,38

-2,99833

-3,87759

-7,63131



0,4

1,717583

-6,48874

-7,8775

Если w1 = 20 , то при w2 = 22 - график

Исследование колебательных процессов в электронных таблицах

При w2 = 24 При w2 = 30

Исследование колебательных процессов в электронных таблицахИсследование колебательных процессов в электронных таблицах

Результат сложения колебаний можно наблюдать и так:

сложение колебаний



x=2*a*Cos(((w1+w2)/2)*t)*Cos(((w1-w2)/2)*t)

A

W1

W2

t

X

10

2

1

0

20



0,8

19,33116

А - амплитуда



1,6

10,16955

W1 - частота первого

2,4

-13,8263

W2 - частота второго

3,2

-10,6723



4

19,59957



4,8

-19,922



5,6

19,8



6,4

-12,5863



7,2

-11,0707



8

13,90873



8,8

19,98763



9,6

18,76391



Меняя значения частот, наблюдаем результирующее колебание.



Фигуры Лиссажу

уравнения колебаний x = A1 Cos (w1 t) и y = A2 Cos (w2 t + φ)

A1

w1

A2

w2

φградус

φрадиан

t

x

y

40

2

60

3

30

0,523599

0

40

51,96152







0,2

36,84244

49,52014







0,4

27,86827

21,74147



0,6

14,49431

-13,6321


0,8

-1,16798

-44,2436


1

-16,6459

-59,3995


1,2

-29,4957

-53,8055


1,4

-37,6889

-29,4156


1,6

-39,9318

5,249939


1,8

-35,8703

38,08157


2

-26,1457

57,61022


2,2

-12,2933

57,01396


2,4

3,499959

36,50108


2,6

18,74067

3,237325


2,8

31,02264

-31,1573







3

38,40681

-54,6678







3,2

39,7274

-59,0813


нарисовать при W2 = 1,2,3... и т.д.

3,4

34,7759

-42,8559







3,6

24,33405

-11,6598

Исследование колебательных процессов в электронных таблицахИсследование колебательных процессов в электронных таблицах

W2 = 4 W2 = 5

Исследование колебательных процессов в электронных таблицахИсследование колебательных процессов в электронных таблицах

W2 = 6 W2 = 7



© 2010-2022